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第三章 微分中值定理与导数应用
第三节 泰勒公式
主讲 武忠祥 教授若 在 处可微，则
问题：若 在 处 阶可导,是否存在 次多项式
使
结论：定理1(Taylor定理) 设 在 处 阶可微，则
上式称为带Peano余项的Taylor公式；
在 处的 次Taylor多项式
的Peano余项
缺点：1）只给出余项的定性描述，不能进行定量分析;
2) 适用范围小.
若 在区间 中可微，定理2(Taylor定理) 设 在区间 中 阶可导，
则 （ 在 与 之间），使
上式称为带Lagrange余项的Taylor公式；
称为 的Lagrange余项
若 则若 ，则
上式称为 的Maclaurin公式
几个初等函数的Maclaurin公式
1）
2）
3）
4）5)内容小结
1）Peano余项
2）Lagrange余项
小结：1．本质：用多项式逼近
用已知点的信息表示未知点
2．Peano： 定性; 局部
3．Lagrange：定量；整体
4．Lagrange定理是Taylor定理的特例.
四大中 前三个建立 与一阶导数的关系；
值定理
Tayloy 建立 与高阶导数之间的关系。例1 求极限
例2 设 当 时， 与 是等价无穷小.
证明：当 时，作业
P143 4; 5; 10(1)(3);
：
