(320)--周周清第二十四周（8.18-8.24）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 8.18-8.24 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）已知函数 f(u)连续，z(x,y) f(sinxcosy)sin(x y),z(0,0)0. z z 若  sin2xsin2y，则 f(u) ____. x y1 f(x) 2.（数一二三）设函数 f(x)在[0,1]上连续，且 dx1，则 0 1x2   2dx f (sinx)f (siny)dy ____  0 21 1 3.（数一二三）设函数 f(x)满足 f(x)2f( ) x2  ，则曲线 y  f(x)在点(1, f(1)) x x2 处的切线方程为 y ____.4.（数一三）设随机事件A,B相互独立，P(A),P(B)均大于0，且P(B| A) P(A|B)， 5 若P(B| AB) ，则P(B)____. 75.（数一二三）设 ， ， ，则 2 2 2 sin sin 2 cos 1 =0 1+e cos2 d 2 =0 1+e cos2 d 3 =0 1+e sin2 d () A. 1 > 2 > 3 B. 3 > 2 > 1 C. 2 > 1 > 3 D. 3 > 1 > 26.（数一二三）在第一象限内，过曲线 上任一点作其切线，若切线与 2 2 两坐标轴所围成的三角形面积的最小值为3 ，+求2 的 +值3 = 1 4 .7.（数一二三）设 ， 是3阶矩阵，且 ， ， 与 分 1 0 −1 ∗ ∗ = 2 1 =2 =1 别是 与 的伴随矩阵, 则1下列2选项1中正确的是 ________. ∗ A. =3. B. ∗ =3. ∗ C. =3. ∗ D. =3. 周周清 8.18-8.24 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）已知函数 f(u)连续，z(x,y) f(sinxcosy)sin(x y),z(0,0)0.若 z z  sin2xsin2y，则 f(u) ____. x y [知识点]：多元函数微分 [解析]：答案：u2 1 z z 分别计算 , x y z  f(sinxcosy)cosxcos(x y) x z f(sinxcosy)sin ycos(x y) y 于是， z z   f(sinxcosy)(cosxsin y)2cos(x y) x y z z 另一方面，由  sin2xsin2y可得 x y f(sinxcosy)(cosxsin y)2cos(x y)sin2xsin2y 整理可得 sin2xsin2y2cos(x y) f(sinxcosy) cosxsin y 2(sinxcosxsin ycosycosxcosysinxsin y)  cosxsin y 2(cosxsin y)(sinxcosy)  2(sinxcosy) cosxsin y 令u sinxcosy，则可得 f(u)2u，于是 f(u)u2 C，将x0,y 0代入z(x,y) f(sinxcosy)sin(x y)可得z(0,0) f(1).结合z(0,0)0可得 f(1)0， 因此可知C 1，于是 f(u)u2 1. [易错点]：注意函数形式比较复杂，计算时需要谨慎一点。1 f(x) 2.（数一二三）设函数 f(x)在[0,1]上连续，且 dx1，则 0 1x2  x 2dx f(sinx)f(sin y)dy  ____  0 2 [知识点]：二重积分对称性的应用 1 [解析]：答案： 2     记区域D {(x,y)|x y ,0 x },D{(x,y)|0 y ,0 x }， 1 2 2 2 2 则区域D关于直线y  x对称，D 为D位于直线y  x上方的部分，进一步可得 1 轮换对称性 1 原积分 f(sinx)f(sin y)dxdy  f(sinx)f(sin y)dxdy 2 D D 1 2 1   1    2 f(sinx)dx2 f(sin y)dy   2 f(sinx)dx 2 0 0 2  0  2 tsinx 1 1 f(t)  1    dt  2  0 1t2  2 [易错点]：不熟悉二重积分轮换对称性的使用导致无法化简。1 1 3.（数一二三）设函数 f(x)满足 f(x)2f( ) x2  ，则曲线y  f(x)在点(1, f(1)) x x2 处的切线方程为y  ____ . [知识点]：函数的表达式的处理 19 [解析]：答案：7x 2 2 2 令t  ，则x .于是， x t 2 2 2  t  2 4 t2 f   2f(t)        .  t   t  2 t2 4 与已知条件联立可得  2 1 f(x)2f  x2  , (1)      x x2   2 4 x2 f 2f(x)  . (2)      x x2 4 2 9 3 3 1 消去 f  可得，3f(x)  x2，解得 f(x)  x2，进一步可得  x x2 2 x2 2 6 5 f(x) x.代入x1可得 f(1) ， f(1)7 x3 2 5 5 因此，曲线y  f(x)在点(1, f(1))，即点(1, )处的切线方程为y 7(x1)，整 2 2 19 理可得y 7x 2 [易错点]：在对函数的处理上方法不对，不会使用代换解出函数表达式。4.（数一三）设随机事件A,B相互独立，P(A),P(B)均大于0，且P(B| A) P(A|B)， 5 若P(B| AB) ，则P(B) ____. 7 [知识点]：概率的计算 3 [解析]：答案： 5 P(AB) P(AB) 由于P(B| A) P(A|B)，故  .由于事件A,B相互独立，知 P(A) P(B) P(AB) P(A)P(B)0，故进一步可得P(A) P(B). 5 另一方面，由P(B| AB) 可得 7 P[B(AB)] P(B) 独立性 P(B) P(B| AB)   P(AB) P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)2P(B)[P(B)]2 1 5   2P(B) 7 3 解得P(B) 5 [易错点]：概率计算里面的常用公式需要牢记，一般来讲就是直接将公式展开即可算出正确 答案。𝜋 𝑥sin2𝑥 𝜋 sin2𝑥 𝜋 cos2𝑥 5.（数一二三）设𝐼 =∫ d𝑥，𝐼 =∫ d𝑥，𝐼 =∫2 d𝑥，则() 1 0 1+ecos2𝑥 2 0 1+ecos2𝑥 3 0 1+esin2𝑥 A. 𝐼 >𝐼 >𝐼 B. 𝐼 >𝐼 >𝐼 C. 𝐼 >𝐼 >𝐼 D. 𝐼 >𝐼 >𝐼 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2 [知识点]：反常积分的计算与比较 [解析]：答案：A. 𝜋 𝑥sin2𝑥 𝑥= 𝜋 2 −𝑡 𝜋 2 ( 𝜋 2 −𝑡)cos2𝑡 𝐼 =∫ d𝑥 = −∫ d𝑡 1 1+ecos2𝑥 𝜋 1+esin2𝑡 0 − 2 𝜋 𝜋 𝜋 − 2 cos2𝑡 − 2 𝑡cos2𝑡 =− ∫ d𝑡+∫ d𝑡 2 𝜋 1+esin2𝑡 𝜋 1+esin2𝑡 2 2 𝜋 2 cos2𝑡 =𝜋∫ d𝑡(利用被积函数的奇偶性) 1+esin2𝑡 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 sin2𝑥 𝑥 = 2 −𝑡 − 2 cos2𝑡 2 cos2𝑡 𝐼 =∫ d𝑥 ∫ d𝑡 =2∫ d𝑡 2 1+ecos2𝑥 1+esin2𝑡 𝜋 1+esin2𝑡 1+esin2𝑡 0 0 2 即𝐼 =𝜋𝐼 ，𝐼 =2𝐼 ，𝐼 >0，故𝐼 >𝐼 >𝐼 . 选项A正确. 1 3 2 3 3 1 2 3 [易错点]：很多同学一看到带有字母的等式，就急于去代入数值或者把式子展开运算，试图 算出一个具体的数值结果。其实这样不仅复杂，也浪费大量时间。本题完全不需要精确计算， 只要注意到各个量之间的倍数关系，便可直接比较大小得出答案。6.（数一二三）在第一象限内，过曲线 3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2 =𝑎 上任一点作其切线，若切线 1 与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值为 ，求𝑎的值. 4 [知识点]：曲线方程隐函数；切线方程；拉格朗日乘数法 。 [答案]： 𝑎 =1. [解析]：设第一象限内，曲线上任一点为 𝑃(𝑥,𝑦). 方程 3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2 =𝑎 两边同时对 𝑥 求导，解得 3𝑥+𝑦 𝑦′ =− ， 𝑥+3𝑦 则过点 𝑃 的切线方程为 3𝑥+𝑦 𝑌−𝑦 =− (𝑋−𝑥). 𝑥+3𝑦 切线与两个坐标轴的截距分别为 𝑥+3𝑦 3𝑥+𝑦 𝑥+ 𝑦, 𝑦+ 𝑥. 3𝑥+𝑦 𝑥+3𝑦 三角形的面积为 1 𝑥+3𝑦 3𝑥+𝑦 𝑆 = (𝑥+ 𝑦)(𝑦+ 𝑥) 2 3𝑥+𝑦 𝑥+3𝑦 1 𝑎2 = ⋅ (这里利用了 3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2 =𝑎). 2 𝑎+8𝑥𝑦 由已知 𝑎 >0，只需求 𝑥𝑦 在条件 3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2 =𝑎 下的最大值. 令 𝐿 =𝑥𝑦+𝜆(3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2−𝑎), 则 𝐿′ =𝑦+6𝜆𝑥+2𝜆𝑦=0, 𝑥 {𝐿′ =𝑥+2𝜆𝑥+6𝜆𝑦=0, 𝑦 𝐿′ =3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2−𝑎 =0. 𝜆 解上述方程组, 得 𝑥 =𝑦 = √2𝑎 ，故 4 1 𝑎2 1 𝑆 = ⋅ = ， min 2 √2𝑎 √2𝑎 4 𝑎+8⋅ ⋅ 4 4 解得 𝑎 =1. [易错点]：隐函数求导错误，切线截距计算失误，拉格朗日乘数法解方程组出错，面积最小 值计算时化简、运算错误。1 0 −1 7.（数一二三）设 𝐀=(2 𝑎 1 )，𝐁是3阶矩阵，且𝑟(𝐁)=2，𝑟(𝐀𝐁)=1，𝐀∗与𝐁∗分别 1 2 1 是𝐀与𝐁的伴随矩阵, 则下列选项中正确的是________. 𝐀∗ 𝐎 A. 𝑟[( )]=3. 𝐀 𝐁 𝐀 𝐎 B. 𝑟[( )]=3. 𝐎 𝐁∗ 𝐀∗ 𝐁 C. 𝑟[( )]=3. 𝐎 𝐀 𝐀 𝐁∗ D. 𝑟[( )]=3. 𝐎 𝐁 [知识点]：矩阵初等变换和矩阵的秩。 [答案]：B. [解析]：先确定𝐀 的秩，对 𝐀 作初等变换，有： 1 −1 0 1 0 −1 1 −1 0 1 −1 0 0 3 𝑎 𝐀 = (2 𝑎 1 )→(2 1 𝑎)→(0 3 𝑎)→( ) 2 1 2 1 1 1 2 0 2 2 0 0 2− 𝑎 3 若𝑎 ≠3，则可逆，从而2=𝑟(𝐁)=𝑟(AB)=1，矛盾，故𝑎=3. 从而𝑟(𝐀)=2，𝑟(𝐀∗)=1，由𝑟(𝐁)=2，知𝑟(𝐁∗)=1. 𝐀 𝐎 故 𝑟[( )]=𝑟(𝐀)+𝑟(𝐁∗)=2+1=3. 选项B正确. 𝐎 𝐁∗ 由𝐀与𝐀∗及B均不可逆，可知 𝐀∗ 𝐎 𝑟[( )]≥𝑟(𝐀∗)+𝑟(𝐁)=1+2=3， 𝐀 𝐁 𝐀∗ 𝐁 𝑟[( )]≥𝑟(𝐀∗)+𝑟(𝐀)=1+2=3， 𝐎 𝐀 𝐀 𝐁∗ 𝑟[( )]≥𝑟(𝐀)+𝑟(𝐁)=2+2=4. 𝐎 𝐁 故排除选项A，C，D. [易错点]：矩阵初等变换计算错误，对伴随矩阵秩的性质的对应关系及分块矩阵秩的计算 规则掌握不牢，导致选项判断错误。