(218)--高数强化16笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（16） 16 多元函数微分法及举例（复合函数微分法；隐函数微分法） P165-P178 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第二节 偏导数与全微分的计算 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）复合函数求导法 （二）隐函数求导法26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 题型一 求一点处的偏导数与全微分 题型二 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分 题型三 含有抽象函数的复合函数的偏导数与全微分 题型四 隐函数的偏导数与全微分26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）复合函数求导法 设 u  u( x, y),v  v( x, y) 可导, z  f (u,v) 在相应点有连续 一阶偏导数,则 z f u f v z f u f v     x u x v x y u y v y 全微分形式不变性 设 z  f (u,v), u  u( x, y),v  v( x, y) 都有连续一阶偏导数 z z z z 则 dz  dx  dy dz  du  dv x y u v26武忠祥考研 （二） 隐函数求导法 1. 由一个方程所确定的隐函数 设 F ( x, y, z) 有连续一阶偏导数, F  0, z  z(x, y) 由 z 所确定. F ( x, y, z)  0 z F z F 方法: (1) 公式   x ,   y ; x F y F z z (2) 等式两边求导 z z F  F  0, F  F  0, x z x y z y (3) 利用微分形式不变性 F dx  F dy  F dz  0 x y z26武忠祥考研 2. 由方程组所确定的隐函数（仅数一要求） F ( x, y, u,v)  0 设 u  u(x, y),v  v(x, y) 由  所确定. G( x, y, u,v)  0 方法:  u v F  F  F  0  x u v x x （1）等式两边求导  u v  G  G  G  0  x u x v x  F dx  F dy  F du  F dv  0 x y u v （2）微分形式不变性  G dx  G dy  G du  G dv  0  x y u v题型一 求一点处的偏导数与全微分  | x |  sin( x 2  y 2 ) (x, y)  (0,0) 【例1】设 f ( x, y)   x 2  y 2   0 (x, y)  (0,0) 求 和 f (0,0) f (0,0). x y f (x,0)  f (0,0) 【解】由于 lim x0 x x sin(x) 2 (x) 2 x  lim  lim  . x0 x x0 x 则 f (0,0) 不存在；而 x f (0, y)  f (0,0) 0  0 f (0,0)  lim  lim  0. y y0 y y0 y26武忠祥考研 2x  3 y 【例2】设 f (x, y)  ,求 f (0,0) 和 f (0,0). x y 1  xy x 2  y 2 d d 【解】 f (0,0)  f (x,0)  (2x)  2; x dx x0 dx x0 d d f (0,0)  f (0, y)  (3 y)  3; y dy y0 dy y026武忠祥考研 2 z 【例3】设 z  ln(1  xy 2 ) ,则  ______. xy (0,1) z y 2 【解】  x 1  xy 2 2 z d z(0, y) d  ( )  ( y 2 )  2 xy dy x dy y1 (0,1) y126武忠祥考研 x 【例4】设 f ( x, y, z)  z ,则 df (1,1,1)  . y d d 【解】 f (1,1,1)  f (x,1,1)  (x)  1 x dx x1 dx x1 d d 1 1 f (1,1,1)  f (1, y,1)  ( )    1 y dy y1 dy y y 2 y1 y1 d d f (1,1,1)  f (1,1, z)  (1)  0 z dz dz z1 z1 故 df (1,1,1)  dx  dy题型二 求已给出具体表达式函数的 偏导数与全微分 arctan y z z 【例1】设 z  (x 2  y 2 )e x ,求 , 及 dz. x y26武忠祥考研 z z 【例2】设 z  (1  x 2  y 2 ) xy,求 及 . x y 【解1】 z  e xyln(1 x 2  y 2 ) 【解2】 ln z  xy ln(1  x 2  y 2 ) 【解3】 令 u  1 x 2  y 2 ,v  xy, 则 z  u v z z u z v    vu v1 2x  u v ln u  y x u x v x 2 2x y  (1  x 2  y 2 ) xy [  y ln(1  x 2  y 2 )] 1  x 2  y 2 z 同理可得 . y2 z 26武忠祥考研 【例3】若函数 z  f ( x, y) 满足  2 ,且 f (x,1)  x  2 ,又 y 2 f (x,1)  x  1,则 f ( x, y) 等于 y A) y 2  (x  1) y  2; B) y 2  (x  1) y  2; C) y 2  (x  1) y  2; D) y 2  (x  1) y  2; 【解1】 容易验证（C）正确. 2 z z 【解2】由  2 知   2dy  2 y (x) y 2 y 由 f (x,1)  1  x 知 y z 1  x  2 (x) (x)  x  1   2 y  x  1 y z   (2 y  x  1)dy  y 2  y(x  1) (x) 由 f (x,1)  x  2 知 x  2  1  (x  1) (x) (x)  226武忠祥考研  2 z 【例4】已知  1 ,且当 x  0 时, z  sin y; 当 y  0 时, xy z  sin x 则 z(x, y)  .  2 z z 【解2】 【解1】由  1 知，   1dy  y (x) xy x z   [ y (x)]dx  xy  (x)dx ( y)  xy  g(x) ( y) 由 x  0 时， z  sin y 知， s in y  g(0) ( y); 由 y  0 时，z  sin x 知， s in x  g(x) (0) z  xy  sin x  sin y  g(0) (0) g(0) (0)  0 故 z(x, y)  xy  sin x  sin y26武忠祥考研 【例5】已知 (axy 3  y 2 cos x)dx  (1  by sin x  3x 2 y 2 )dy 是某一函数的全微分,则 取值分别为: a,b （A） - 2 和 2； （B） 2 和 - 2； （ C） - 3 和 3； （D）3 和 - 3； 【解】 df (x, y)  (axy 3  y 2 cos x)dx  (1  bysin x  3x 2 y 2 )dy f f 则  axy 3  y 2 cos x,  1  by sin x  3x 2 y 2 x y 2 f 2 f 从而有  3axy 2  2 ycos x,  by cos x  6xy 2 xy yx 2 f 2 f  2 f 2 f 由于 和 都连续,从而有 即  xy yx xy yx 3axy 2  2 y cos x  by cos x  6xy 2 3a  6,  a  2 则 即 故应选（B）.   , b  2, b  226武忠祥考研 【注】若 P(x, y) 和 Q(x, y) 有一阶连续偏导数,且 P(x, y)dx  Q(x, y)dy 是某一函数的全微分,则 P Q  y x26武忠祥考研 【例6】设 有连续一阶导数， f ( x) (xy  yf (x))dx  ( f (x)  y 2 )dy  du(x, y), 求 f ( x) 及 u(x, y), 其中 f (0)  1. 【解】由题设知 x  f ( x)  f  (x) f  (x)  f (x)  x f (x)  (x  1)  Ce x 由 f (0)  1 知， C  0, f ( x)  x  1 du(x, y)  ydx [(x  1)  y 2 ]dy 1 u(x, y)  y(x  1)  y 3  C 326武忠祥考研 题型三 含有抽象函数的复合函数 偏导数与全微分 【例1】设函数 f (x, y) 可微且， f (x  1,e x )  x(x  1) 2 , f (x, x 2 )  2x 2 ln x, 则 df (1,1)  （ A ） d x  d y （B）dx  dy （C） dy （D） dy 【解1】直接法 f  (x  1,e x )  e x f  (x  1,e x )  (x  1) 2  2x(x  1) 1 2 f  (x, x 2 )  2xf  (x, x 2 )  4x ln x  2x 1 2 f  (1,1)  f  (1,1)  1 f  (1,1)  2 f  (1,1)  2 1 2 1 2 f  (1,1)  0 f  (1,1)  1 1 2 【解2】排除法 f (x, y)  x 2 ln y26武忠祥考研 z 2 z 【例3】设 z  f (xy, x 2  y 2 ), 求 , . 其中 f (u,v) 有二阶 x xy 连续偏导数. z 【解】  yf 2xf x 1 2 2 z  f  y[xf  2 yf ]  2x[ f x  f  2 y] xy 1 11 12 21 22  f  xy[ f  4 f ]  2(x 2  y 2 ) f 1 11 22 1226武忠祥考研 【例4】设 可微,又 且 f ( x, y) f (0,0)  0, f (0,0)  a, f (0,0)  b x y g(t)  f [t, f (t, t 2 )] ,求 g  (0). 【解】 g  (t)  f [t, f (t,t 2 )] f [t, f (t,t 2 )][ f (t,t 2 )  f (t,t 2 )  2t] 1 2 1 2 g  (0)  a  b[a  0 b]  a(1  b)26武忠祥考研 【例5】设 u  f ( x, y, z), y  ( x,t),t ( x, z) ,其中 f ,, u u 可微,求 , . x z u f f  f  【解】    x x y x y t x u f  f   z y t z z 2 u  2 u 2 u 【例7】设函数 u  f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且满足 4 + 12  5  0. x 2 xy y 2  2 u 确定 a,b 的值，使等式在变换  x  ay, x  by 下简化为  0.  u u u  2 u  2 u  2 u  2 u 【解1】     2  x   x 2 2  2 u u u  2 u  2 u  2 u  2 u  a  b  a 2  2ab  b 2 y   y 2 2  2 2 u 2 u 2 u 2 u  a  (a  b)  b xy 2  2 2 u 2 u 2 u (5a 2  12a  4)  [10ab  12(a  b)  8]  (5b 2  12b  4)  0 2  2  5a 2  12a  4  0  10ab  12(a  b)  8  0 5b 2  12b  4  0 2 u  2 u 2 u 【例7】设函数 u  f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且满足 4 + 12  5  0. x 2 xy y 2  2 u 确定 a,b 的值，使等式在变换  x  ay, x  by 下简化为  0.   a b x  ,  【解2】 由  x  ay, x  by 解得 a  b    y  , u  b u 1 u  a  b    a  b x a  b y  2 u  ab  2 u a  b  2 u  1  2 u     (a  b) 2 x 2 (a  b) 2 xy (a  b) 2 y 2 2 u 2 u 2 u 2 u 欲使  0, 即  a b  (a  b)   0  x 2 xy y 2  ab a  b  1   4 12 526武忠祥考研 【例8】设 f (u) 具有二阶连续导数,而 z  f (e x sin y) 满足方程 2 z 2 z   ze 2x . 求 f ( x). x 2 y 2 【解】令 u  e x sin y, 则 z 2 z  f  (u)e x sin y,  f  (u)e 2x sin 2 y  f  (u)e x sin y x x 2 z 2 z  f  (u)e x cos y,  f  (u)e 2x cos 2 y  f  (u)e x sin y y y 2 f  (u)  f (u) f  (u)  f (u)  0 f (u)  c e u  c e u 1 226武忠祥考研 【例9】设 (r,) 为极坐标, u  u(r,) 具有二阶连续偏导数, u 2 u 2 u 并满足  0 ,且   0 ,求 u(r,).  x 2 y 2 u 【解】由  0 知， u 仅为 r 的函数,令 u (r), r  x 2  y 2  u x x   (r)   (r) x x 2  y 2 r 2 x r   2 u x 2 x 2 1 x 2 r   (r)  (r)   (r)  (r)(  ) x 2 r 2 r 2 r 2 r r 3  2 u y 2 1 y 2   (r)  (r)(  ) y 2 r 2 r r 3 2 u 2 u 1   (r)  (r)  0 (r)  C lnr  C x 2 y 2 r 1 226武忠祥考研 【例10】若对任意 t  0 有 f (tx,ty)  t n f (x, y) ,则称函数 f ( x, y) 是 n 次齐次函数,试证:若 f ( x, y) 可微,则 f ( x, y) 是 f f n 次齐次函数  x  y  nf (x, y) x y 【证】必要性 由 f (tx,ty)  t n f (x, y) 得 xf (tx,ty)  yf (tx,ty)  nt n1 f (x, y) 1 2 令 t  1 得 x f ( x , y)  yf (x, y)  nf (x, y) 1 2 f f 即 x  y  nf (x, y) x y dF 充分性 令 F(t)  f (tx,ty)(t  0) 则  xf (tx,ty)  yf (tx,ty) 1 2 dt dF t  txf (tx, ty)  tyf (tx, ty)  nf (tx, ty)  nF (t) 1 2 dt dF n  dt, F(t)  Ct n , F(1)  C, F(1)  f (x, y) F t26武忠祥考研 y z z 【例】设 z  xyf ( ), 且 f (u) 可导，若 x  y  xy(ln y  ln x), 则（ ） x x y 1 1 （A）f (1)  , f  (1)  0. （B）f (1)  0, f  (1)  . 2 2 1 （C）f (1)  , f  (1)  1. （D） f (1)  0, f  (1)  1. 2 z y y 2 y 【解1】  yf ( )  f  ( ) x x x x z z y y 1 x  y  2xyf ( )  xy ln f (x)  ln x x y x x 2 z y y  xf ( )  yf  ( ) y x x 【解2】26武忠祥考研 题型四 隐函数的偏导数与全微 z z 【例1】设 z  z( x, y) 是由方程 z  e z  xy 所确定,求 和 . x y z F z F 【解1】公式法   x ,   y ; x F y F z z 【解2】等式两边求导 【例3】利用微分形式不变性 x z z z 【例2】设方程 F( , )  0 可确定函数 z  z( x, y) ,求 和 . z y x y26武忠祥考研 【例4】设 u  f ( x, y, z), (x 2 ,e y , z)  0, y  sin x 确定了函数  du u  u( x) ,其中 f , 都有一阶连续偏导数,且  0，求 . z dx du f f f dz 【解1】   cos x  dx x y z dx (x 2 ,e y , z)  0 两端对 x 求导得 dz  2x  e y cos x   0 1 2 3 dx dz 1 解得   (2x  e y cos x) dx  1 2 3 f du f f z   cos x  (2x  e y cos x) dx x y  1 2 326武忠祥考研 【例4】设 u  f ( x, y, z), (x 2 ,e y , z)  0, y  sin x 确定了函数  du u  u( x) ,其中 f , 都有一阶连续偏导数,且  0，求 . z dx f f f 【解2】 u  f (x, y, z) du  dx  dy  dz x y z (x 2 ,e y , z)  0  2xdx  e y dy  dz  0 1 2 3 y  sin x dy  cos xdx 1 dz   ( 2x  e y cos x)dx  1 2 3 f f f z du  [  cos x  (2x  e y cos x)]dx x y  1 2 326武忠祥考研 【例5】设 y  f (x,t), 且方程 F ( x, y, t)  0 确定了函数 dy t  t( x, y), 求 . dx 【解1】由 y  f ( x,t) 得 dy f f t t dy   (  ) dx x t x y dx F F t x t y 由 F(x, y, t)  0 得   ,   x F y F t t F F F f F f  dy f f x y dy dy  t x x t   (  ) dx x t F F dx dx F F f  t t t y t26武忠祥考研 【例5】设 y  f (x,t), 且方程 F ( x, y, t)  0 确定了函数 dy t  t( x, y), 求 . dx f f 【解2】 y  f (x,t), dy  dx  dt x t F F F F(x, y, t)  0 dx  dy  dt  0 x y t F f F f  1 F F dy t x x t dt   ( dx  dy)  F x y dx F F f  t t y t26武忠祥考研 【例6】设 f ( x, y) 有二阶连续偏导数,且 f   0, 证明:对任意 y 常数 C, f ( x, y)  C 为一条直线  f 2 f  2 f f f  f 2 f  0. 2 11 1 2 12 1 22 dy dy f 【证】 f  f  0.   1 1 2 dx dx f 2 d 2 y d f   ( 1 ) 2 dx dx f 2 dy dy ( f  f ) f  ( f  f ) f 11 12 2 21 22 1 dx dx   2 f 2 f 2 f  2 f f f  f 2 f   2 11 1 2 12 1 22 3 f 2祝同学们 考研路上一路顺利！