(218)--高数强化16笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（16）
16 多元函数微分法及举例（复合函数微分法；隐函数微分法） P165-P178
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
第二节 偏导数与全微分的计算
本节内容要点
一. 考试内容要点精讲
(一）复合函数求导法
（二）隐函数求导法26武忠祥考研
二. 常考题型方法与技巧
题型一 求一点处的偏导数与全微分
题型二 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
题型三 含有抽象函数的复合函数的偏导数与全微分
题型四 隐函数的偏导数与全微分26武忠祥考研
一. 考试内容要点精讲
（一）复合函数求导法
设 u  u( x, y),v  v( x, y) 可导, z  f (u,v) 在相应点有连续
一阶偏导数,则
z f u f v z f u f v
   
x u x v x y u y v y
全微分形式不变性
设 z  f (u,v), u  u( x, y),v  v( x, y) 都有连续一阶偏导数
z z z z
则 dz  dx  dy dz  du  dv
x y u v26武忠祥考研
（二） 隐函数求导法
1. 由一个方程所确定的隐函数
设 F ( x, y, z) 有连续一阶偏导数, F  0, z  z(x, y) 由
z
所确定.
F ( x, y, z)  0
z F z F
方法: (1) 公式   x ,   y ;
x F y F
z z
(2) 等式两边求导
z z
F  F  0, F  F  0,
x z x y z y
(3) 利用微分形式不变性
F dx  F dy  F dz  0
x y z26武忠祥考研
2. 由方程组所确定的隐函数（仅数一要求）
F ( x, y, u,v)  0
设 u  u(x, y),v  v(x, y) 由  所确定.
G( x, y, u,v)  0
方法:
 u v
F  F  F  0

x u v
x x
（1）等式两边求导

u v
 G  G  G  0
 x u x v x
 F dx  F dy  F du  F dv  0
x y u v
（2）微分形式不变性

G dx  G dy  G du  G dv  0

x y u v题型一 求一点处的偏导数与全微分
 | x |
 sin( x 2  y 2 ) (x, y)  (0,0)
【例1】设 f ( x, y)   x 2  y 2

 0 (x, y)  (0,0)
求 和
f (0,0) f (0,0).
x y
f (x,0)  f (0,0)
【解】由于
lim
x0
x
x
sin(x) 2
(x) 2 x
 lim  lim  .
x0
x
x0
x
则 f (0,0) 不存在；而
x
f (0, y)  f (0,0) 0  0
f (0,0)  lim  lim  0.
y
y0
y
y0
y26武忠祥考研
2x  3 y
【例2】设 f (x, y)  ,求 f (0,0) 和 f (0,0).
x y
1  xy x 2  y 2
d d
【解】
f (0,0)  f (x,0)  (2x)  2;
x
dx
x0
dx
x0
d d
f (0,0)  f (0, y)  (3 y)  3;
y
dy
y0
dy
y026武忠祥考研
2
z
【例3】设 z  ln(1  xy 2 ) ,则  ______.
xy
(0,1)
z y 2
【解】

x 1  xy 2
2 z d z(0, y) d
 ( )  ( y 2 )  2
xy dy x dy y1
(0,1)
y126武忠祥考研
x
【例4】设 f ( x, y, z)  z ,则 df (1,1,1)  .
y
d d
【解】 f (1,1,1)  f (x,1,1)  (x)  1
x
dx
x1
dx
x1
d d 1 1
f (1,1,1)  f (1, y,1)  ( )    1
y
dy
y1
dy y y
2
y1 y1
d d
f (1,1,1)  f (1,1, z)  (1)  0
z
dz dz
z1
z1
故 df (1,1,1)  dx  dy题型二 求已给出具体表达式函数的
偏导数与全微分
arctan
y z z
【例1】设 z  (x 2  y 2 )e x ,求 , 及 dz.
x y26武忠祥考研
z z
【例2】设 z  (1  x 2  y 2 ) xy,求 及 .
x y
【解1】 z  e xyln(1 x 2  y 2 )
【解2】
ln z  xy ln(1  x 2  y 2 )
【解3】 令 u  1 x 2  y 2 ,v  xy, 则 z  u v
z z u z v
   vu v1 2x  u v ln u  y
x u x v x
2
2x y
 (1  x 2  y 2 ) xy [  y ln(1  x 2  y 2 )]
1  x 2  y 2
z
同理可得
.
y2
z 26武忠祥考研
【例3】若函数 z  f ( x, y) 满足  2 ,且 f (x,1)  x  2 ,又
y 2
f (x,1)  x  1,则 f ( x, y) 等于
y
A) y 2  (x  1) y  2; B) y 2  (x  1) y  2;
C) y 2  (x  1) y  2; D) y 2  (x  1) y  2;
【解1】 容易验证（C）正确.
2
z
z
【解2】由  2 知   2dy  2 y (x)
y 2
y
由 f (x,1)  1  x 知
y
z
1  x  2 (x) (x)  x  1   2 y  x  1
y
z   (2 y  x  1)dy  y 2  y(x  1) (x)
由 f (x,1)  x  2 知
x  2  1  (x  1) (x) (x)  226武忠祥考研
 2 z
【例4】已知  1 ,且当 x  0 时, z  sin y; 当 y  0 时,
xy
z  sin x 则 z(x, y)  .
 2 z z 【解2】
【解1】由  1 知，   1dy  y (x)
xy
x
z   [ y (x)]dx  xy  (x)dx ( y)  xy  g(x) ( y)
由 x  0 时， z  sin y 知， s in y  g(0) ( y);
由 y  0 时，z  sin x 知， s in x  g(x) (0)
z  xy  sin x  sin y  g(0) (0)
g(0) (0)  0
故 z(x, y)  xy  sin x  sin y26武忠祥考研
【例5】已知 (axy 3  y 2 cos x)dx  (1  by sin x  3x 2 y 2 )dy
是某一函数的全微分,则 取值分别为:
a,b
（A） - 2 和 2； （B） 2 和 - 2； （ C） - 3 和 3； （D）3 和 - 3；
【解】 df (x, y)  (axy 3  y 2 cos x)dx  (1  bysin x  3x 2 y 2 )dy
f f
则  axy 3  y 2 cos x,  1  by sin x  3x 2 y 2
x y
2
f
2
f
从而有  3axy 2  2 ycos x,  by cos x  6xy 2
xy yx
2 f 2 f  2 f 2 f
由于 和 都连续,从而有 即

xy yx xy yx
3axy 2  2 y cos x  by cos x  6xy 2
3a  6,  a  2
则 即 故应选（B）.
  ,
b  2, b  226武忠祥考研
【注】若 P(x, y) 和 Q(x, y) 有一阶连续偏导数,且
P(x, y)dx  Q(x, y)dy 是某一函数的全微分,则
P Q

y x26武忠祥考研
【例6】设 有连续一阶导数，
f ( x)
(xy  yf (x))dx  ( f (x)  y 2 )dy  du(x, y),
求 f ( x) 及 u(x, y), 其中 f (0)  1.
【解】由题设知 x  f ( x)  f  (x)
f  (x)  f (x)  x
f (x)  (x  1)  Ce
x
由
f (0)  1 知， C  0, f ( x)  x  1
du(x, y)  ydx [(x  1)  y 2 ]dy
1
u(x, y)  y(x  1)  y 3  C
326武忠祥考研
题型三 含有抽象函数的复合函数
偏导数与全微分
【例1】设函数 f (x, y) 可微且， f (x  1,e x )  x(x  1) 2 , f (x, x 2 )  2x 2 ln x, 则 df (1,1) 
（ A ） d x  d y （B）dx  dy （C） dy （D） dy
【解1】直接法 f  (x  1,e x )  e x f  (x  1,e x )  (x  1) 2  2x(x  1)
1 2
f  (x, x 2 )  2xf  (x, x 2 )  4x ln x  2x
1 2
f  (1,1)  f  (1,1)  1 f  (1,1)  2 f  (1,1)  2
1 2 1 2
f  (1,1)  0 f  (1,1)  1
1 2
【解2】排除法 f (x, y)  x 2 ln y26武忠祥考研
z 2 z
【例3】设 z  f (xy, x 2  y 2 ), 求 , . 其中 f (u,v) 有二阶
x xy
连续偏导数.
z
【解】
 yf 2xf
x 1 2
2
z
 f  y[xf  2 yf ]  2x[ f x  f  2 y]
xy 1 11 12 21 22
 f  xy[ f  4 f ]  2(x 2  y 2 ) f
1 11 22 1226武忠祥考研
【例4】设 可微,又 且
f ( x, y) f (0,0)  0, f (0,0)  a, f (0,0)  b
x y
g(t)  f [t, f (t, t 2 )] ,求 g  (0).
【解】 g  (t)  f [t, f (t,t 2 )] f [t, f (t,t 2 )][ f (t,t 2 )  f (t,t 2 )  2t]
1 2 1 2
g  (0)  a  b[a  0 b]  a(1  b)26武忠祥考研
【例5】设 u  f ( x, y, z), y  ( x,t),t ( x, z) ,其中 f ,,
u u
可微,求
, .
x z
u f f  f 
【解】
  
x x y x y t x
u f  f
 
z y t z z 2 u  2 u 2 u
【例7】设函数 u  f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且满足 4 + 12  5  0.
x 2 xy y 2
 2 u
确定 a,b 的值，使等式在变换  x  ay, x  by 下简化为  0.

u u u  2 u  2 u  2 u  2 u
【解1】  
  2 
x   x 2 2  2
u u u  2 u  2 u  2 u  2 u
 a  b  a 2  2ab  b 2
y   y 2 2  2
2
u
2
u
2
u
2
u
 a  (a  b)  b
xy 2  2
2
u
2
u
2
u
(5a 2  12a  4)  [10ab  12(a  b)  8]  (5b 2  12b  4)  0
2  2
 5a 2  12a  4  0
 10ab  12(a  b)  8  0
5b 2  12b  4  0 2 u  2 u 2 u
【例7】设函数 u  f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且满足 4 + 12  5  0.
x 2 xy y 2
 2 u
确定 a,b 的值，使等式在变换  x  ay, x  by 下简化为  0.

 a b
x  ,

【解2】 由  x  ay, x  by 解得 a  b


 y  ,
u  b u 1 u  a  b
 
 a  b x a  b y
 2 u  ab  2 u a  b  2 u  1  2 u
  
 (a  b) 2 x 2 (a  b) 2 xy (a  b) 2 y 2
2
u
2
u
2
u
2
u
欲使  0, 即  a b  (a  b)   0
 x 2 xy y 2
 ab a  b  1
 
4 12 526武忠祥考研
【例8】设 f (u) 具有二阶连续导数,而 z  f (e x sin y) 满足方程
2
z
2
z
  ze 2x . 求 f ( x).
x 2 y 2
【解】令 u  e x sin y, 则
z 2
z
 f  (u)e x sin y,  f  (u)e 2x sin 2 y  f  (u)e x sin y
x x 2
z 2
z
 f  (u)e x cos y,  f  (u)e 2x cos 2 y  f  (u)e x sin y
y y 2
f  (u)  f (u)
f  (u)  f (u)  0
f (u)  c e u  c e u
1 226武忠祥考研
【例9】设 (r,) 为极坐标, u  u(r,) 具有二阶连续偏导数,
u
2
u
2
u
并满足
 0
,且
  0
,求 u(r,).
 x 2 y 2
u
【解】由  0 知， u 仅为 r 的函数,令 u (r), r  x 2  y 2

u x x
  (r)   (r)
x x 2  y 2 r
2
x
r 
 2 u x 2 x 2 1 x 2
r
  (r)  (r)   (r)  (r)(  )
x 2 r 2 r 2 r 2 r r 3
 2 u y 2 1 y 2
  (r)  (r)(  )
y 2 r 2 r r 3
2
u
2
u 1
  (r)  (r)  0 (r)  C lnr  C
x 2 y 2 r 1 226武忠祥考研
【例10】若对任意 t  0 有 f (tx,ty)  t n f (x, y) ,则称函数 f ( x, y)
是 n 次齐次函数,试证:若 f ( x, y) 可微,则 f ( x, y) 是
f f
n 次齐次函数  x  y  nf (x, y)
x y
【证】必要性 由 f (tx,ty)  t n f (x, y) 得
xf (tx,ty)  yf (tx,ty)  nt n1 f (x, y)
1 2
令 t  1 得 x f ( x , y)  yf (x, y)  nf (x, y)
1 2
f f
即
x  y  nf (x, y)
x y
dF
充分性 令 F(t)  f (tx,ty)(t  0) 则  xf (tx,ty)  yf (tx,ty)
1 2
dt
dF
t  txf (tx, ty)  tyf (tx, ty)  nf (tx, ty)  nF (t)
1 2
dt
dF n
 dt, F(t)  Ct n , F(1)  C, F(1)  f (x, y)
F t26武忠祥考研
y z z
【例】设 z  xyf ( ), 且 f (u) 可导，若 x  y  xy(ln y  ln x), 则（ ）
x x y
1 1
（A）f (1)  , f  (1)  0. （B）f (1)  0, f  (1)  .
2 2
1
（C）f (1)  , f  (1)  1. （D） f (1)  0, f  (1)  1.
2
z y y 2 y
【解1】  yf ( )  f  ( )
x x x x
z z y y 1
x  y  2xyf ( )  xy ln f (x)  ln x
x y x x 2
z y y
 xf ( )  yf  ( )
y x x
【解2】26武忠祥考研
题型四 隐函数的偏导数与全微
z z
【例1】设 z  z( x, y) 是由方程 z  e z  xy 所确定,求 和 .
x y
z F z F
【解1】公式法   x ,   y ;
x F y F
z z
【解2】等式两边求导
【例3】利用微分形式不变性
x z
z z
【例2】设方程 F( , )  0 可确定函数 z  z( x, y) ,求 和 .
z y
x y26武忠祥考研
【例4】设 u  f ( x, y, z), (x 2 ,e y , z)  0, y  sin x 确定了函数
 du
u  u( x) ,其中 f , 都有一阶连续偏导数,且  0，求 .
z dx
du f f f dz
【解1】
  cos x 
dx x y z dx
(x 2 ,e y , z)  0 两端对 x 求导得
dz
 2x  e y cos x   0
1 2 3
dx
dz 1
解得   (2x  e y cos x)
dx  1 2
3
f
du f f z
  cos x  (2x  e y cos x)
dx x y  1 2
326武忠祥考研
【例4】设 u  f ( x, y, z), (x 2 ,e y , z)  0, y  sin x 确定了函数
 du
u  u( x) ,其中 f , 都有一阶连续偏导数,且  0，求 .
z dx
f f f
【解2】 u  f (x, y, z) du  dx  dy  dz
x y z
(x 2 ,e y , z)  0  2xdx  e y dy  dz  0
1 2 3
y  sin x dy  cos xdx
1
dz   ( 2x  e y cos x)dx
 1 2
3
f
f f
z
du  [  cos x  (2x  e y cos x)]dx
x y  1 2
326武忠祥考研
【例5】设 y  f (x,t), 且方程 F ( x, y, t)  0 确定了函数
dy
t  t( x, y), 求 .
dx
【解1】由 y  f ( x,t) 得
dy f f t t dy
  (  )
dx x t x y dx
F
F
t
x
t y
由 F(x, y, t)  0 得   ,  
x F y F
t t
F
F F f F f

dy f f
x
y dy dy

t x x t
  (  )
dx x t F F dx dx
F F f

t t
t y t26武忠祥考研
【例5】设 y  f (x,t), 且方程 F ( x, y, t)  0 确定了函数
dy
t  t( x, y), 求 .
dx
f f
【解2】 y  f (x,t), dy  dx  dt
x t
F F F
F(x, y, t)  0 dx  dy  dt  0
x y t
F f F f

1 F F dy t x x t
dt   ( dx  dy) 
F x y dx F F f

t t y t26武忠祥考研
【例6】设 f ( x, y) 有二阶连续偏导数,且 f   0, 证明:对任意
y
常数 C, f ( x, y)  C 为一条直线  f 2 f  2 f f f  f 2 f  0.
2 11 1 2 12 1 22
dy dy f
【证】
f  f  0.   1
1 2
dx dx f
2
d
2
y d f
  ( 1 )
2
dx dx f
2
dy dy
( f  f ) f  ( f  f ) f
11 12 2 21 22 1
dx dx
 
2
f
2
f 2 f  2 f f f  f 2 f
  2 11 1 2 12 1 22
3
f
2祝同学们
考研路上一路顺利！