(202)--高数强化02笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

26高数强化（2）
2 极限概念、性质、存在准则(举例)，无穷小及无穷大,极限有理运算 P10-P16
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
第二节 极 限
本节内容要点
一. 考试内容要点精讲
(一）极限的概念
（二）极限性质
（三）极限存在准则
（四）无穷小
（五）无穷大26武忠祥考研
二. 常考题型方法与技巧
题型一 极限的概念性质及存在准则
题型二 求极限
题型三 确定极限式中参数
题型四 无穷小量阶的比较
26武忠祥考研26武忠祥考研
一. 考试内容要点精讲
（一）极限的概念
1.数列极限: lim a  A :
n
n
 0, N  0, 当 n  N 时， | a  A | .
n
【注】 (1) 几何意义;
 
（2）数列 的极限与前有限项无关;
x
n
（3） lim x  a  lim x  lim x  a.
n 2k1 2k
n k k
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(1) n
 
【例】(2022年3) 已知 a  n n  (n  1,2,) ，则 a
n n
n
（A）有最大值，有最小值. （B）有最大值，没有最小值.
（C）没有最大值，有最小值. （D）没有最大值，没有最小值.
【解】 有最大值.
lim a  1, a  2  1,
n 1
n
1
有最小值.
a  2   1,
2
2
【注】 若 lim a  a, 则  a  有最大值 存在 a  a.
n n n
n
若 lim a  a, 则  a  有最小值的充要条件是存在 a  a.
n
n n
n26武忠祥考研
2.函数极限:
1) lim f ( x)  A :   0, X  0 ,当 x  X 时， | f ( x)  A | .
x
lim f (x)  A :   0, X  0 ,当 x   X 时， | f ( x)  A | .
x
lim f (x)  A :   0, X  0 ,当 x  X 时， | f ( x)  A | .
x
定理 lim f ( x)  A  lim f ( x)  lim f (x)  A
x x x
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2) lim f (x)  A :
xx
0
  0, ()  0 ,当 0 | x  x | 时， | f ( x)  A | .
0
【注】1）
lim f (x) 与 f (x ) 无关 (x  x , x  x )
xx 0 0 0
0
2） lim f (x) 存在
xx
0
f (x) 在 x 在某去心邻域有定义
026武忠祥考研
【例】(2020年1）设函数 f ( x) 在区间 (1,1) 内有定义,且 lim f ( x)  0, 则
x0
f ( x)
（A）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导；
x0 x
f ( x)
（B）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导；
2
x0 x
f ( x)
（C）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0 ；
x0 x
f ( x)
（D）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0.
2
x0 x26武忠祥考研
左极限： 
lim f ( x)  f (x );
0

xx
0
右极限： lim f ( x)  f (x  );
 0
xx
0
定理 lim f (x)  A  lim f (x)  lim f (x)  A
xx xx  xx 
0 0 0
需要分左、右极限求极限的问题常见有三种
（1）分段函数在分界点处的极限
1
（2）  型极限 （如 lim e x , lim e x , lime x )
e
x0 x x
1
（3） arctan 型极限 （如 lim arctan , limarctan x)
x0 x x26武忠祥考研
（二）极限性质
1）局部有界性 若 lim f ( x) 存在, 则 f ( x) 在点 x 某去心邻域内有界；
0
xx
0
2）保号性 设
lim f ( x)  A
x x
0

（1）若 A  0, 则   0, 当 x U(x ,) 时， f ( x)  0;
0

（2）如果当 x U( x ,) 时, f ( x)  0, 那么 A  0.
0
【注】由保号性不难得到保序性：
设 lim f ( x)  A, lim g( x)  B, 则
xx xx
0 0

(1)若 A  B     0 ,当 x U(x ,) 时， f (x)  g(x).
0

(2)若    0, 当 x U(x ,) 时, f (x)  g(x)  A  B.
026武忠祥考研
3）函数值与极限值之间的关系
lim f ( x)  A  f ( x)  A ( x) 其中 lim( x)  0.
(三）极限存在准则
1）夹逼准则
若 y  x  z , 且 lim y  lim z  a, 则 lim x  a.
n n n n n n
n n n
2）单调有界准则 单调有界数列必有极限。
单调增、有上界的数列必有极限；
单调减、有下界的数列必有极限；26武忠祥考研
（四）无穷小
1) 无穷小的概念: 若 lim f ( x)  0, 称 f ( x) 为无穷小
(x  x 或 x  ).
0
2) 无穷小的比较: 设 lim( x)  0, lim ( x)  0.
( x)
（ 1 ）高阶： 若
lim  0
； 记为 (x) ((x));
( x)
(x)
（2）同阶：若 lim  C  0;
(x)
(x)
（3）等价：若 ；记为
lim  1 (x) ~ (x);
(x)
(x)
（4）无穷小的阶: 若 lim  C  0 ，称 ( x) 是 ( x) 的 k 阶无穷小.
[(x)] k26武忠祥考研
3) 无穷小的性质:
（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.
（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.
（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.
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（五）无穷大
1) 无穷大的概念:
若 lim f ( x)  , 称 f ( x) 为 x  x 时的无穷大.
0
xx
0
2）常用的一些无穷大的比较
（1）当 x   时
ln  x  x   a x
其中  0, 0,a  1.
（2）当 n   时
ln  n  n   a n  n! n n
其中  0, 0,a  1.26武忠祥考研
3）无穷大与无界变量的关系：
数列 是无穷大：
{x }
n
M  0, N  0, 当 n  N 时，恒有 x  M.
n
数列 {x } 是无界变量：
n
M  0, N  0, 使 x  M .
N
无穷大  无界变量
4）无穷大量与无穷小量的关系：
1
在同一极限过程中, 如果 是无穷大, 则 是无穷小；反之,
f ( x)
f (x)
1
如果 f ( x) 是无穷小, 且 f (x)  0, 则 是无穷大；
f (x)二. 常考题型的方法与技巧
题型一 极限的概念、性质及存在准则
【例1】设 lim a  a, 且 a  0 ,则当 n 充分大时有
n
n
a a
(A)
a  (B) a 
n n
2 2
1 1
(C) a  a  (D) a  a 
n n
n n
【解1】直接法 由 lim a  a, 且 a  0 知, lim a  a  0,
n n
n n
a
则当 n 充分大时有 a  故 应 选 （A）.
n
2
【解2】排除法
2
若取 a  2  , 显然 a  2, 且（B）和（D）都不正确；
n
n
2
若取 a  2  , 显然 a  2, 且（C）不正确； 故应选（A）
n
n26武忠祥考研
【例2】设  a  ,{b },{c } 均为非负数列,且 lima  0, limb  1,
n n n n n
n n
lim c  , 则必有
n
n
(A) a  b 对任意 n 成立. （B）b  c 对任意 n 成立.
n n n n
(C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在.
lim a c lim b c
n n n n
n n
【解1】直接法
由 limb  1, lim c   知， li m b c  
n n n n
n n n
故选（D）
【解2】排除法
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【例3】设数列   与   满足 lim x y  0, 则下列断言
x y
n n
n n n
正确的是
(A) 若 发散,则 必发散; (B)若 无界,则 必有界;
x y x y
n n n n
(C) 若 有界，则 必为无穷小；
x y
n n
1
(D) 若 为无穷小，则 必为无穷小.
y
n
x
n
【解1】 直接法
1
由于 y  (x y ) , 则
n n n
x
n
1
lim y  lim(x y ) lim  0  0  0 故应选（D）
n n n
n n n x
n
【解2】 排除法26武忠祥考研
【例4】设 a  0(n  1,2,), S  a  a    a ,则数列
n n 1 2 n
有界是数列 收敛的
{S } {a }
n n
（A）充分必要条件. （B）充分非必要条件.
（C）必要非充分条件. （D）既非充分也非必要条件.
【解】 显然数列 {S } 单调增，若 {S } 有界，则 {S } 收敛，又
n n n
a  S  S
n n n1
lim a  lim S  lim S  0
n n n1
n n n
则数列 收敛.
{a }
n
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【例5】证明：
a 2 n n! 3 n n!
（I）若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim a  0; （II） lim  0, lim  .
n a n n n n n n n n
n
a a
【证】(1)由 lim n1  a 可知， lim n1  a , 又 a  1, 取常数 b, 使得 a  b  1,
n a n a
n n
a
则存在 N  0, 当 n  N 时， n1  b
a
n
a  b a
N2 N1
a  b a  b 2 a
N3 N2 N1
. a  b m1 a
Nm N1
由此可知，当 m   时， a  0, 则 lim a  0, 从而有 lim a  0.
Nm n n
n n26武忠祥考研
【例5】证明：
a 2 n n! 3 n n!
（I）若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim a  0; （II） lim  0, lim  .
n a n n n n n n n n
n
a a
【证】(1)由 lim n1  a 可知， lim n1  a , 又 a  1,
n a n a
n n

 a 收敛 lim a  0 lim a  0 （数二不要求）
n n n
n n
n11 1 1
【例6】（I）证明：对任意的正整数 n ,都有  ln(1  )  成立.
n  1 n n
1 1
 
（II）设 a  1      ln n(n  1,2,) ,证明数列 a 收敛.
n n
2 n
1 1
【证】(I) ln(1  )  ln(n  1)  ln n 
n 
1 1 1 1
所以  l n ( 1  )   .
n  1 n  n
1 1
（II） a  a   ln(1  )  0,
n1 n
n  1 n
1 1
且 a  1      ln n
n
2 n
1 1
 ln(1  1)  ln(1  )    ln(1  )  ln n
2 n
 3 n  1
 ln 2    ln n  ln(1  n)  ln n  0,
 
 2 n 26武忠祥考研
题型二 求 极 限
一.求极限的常用方法
方法1. 利用有理运算法则求极限
若 那么:
lim f (x)  A, lim g(x)  B.
lim[ f (x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x)  A  B
lim[ f (x) g(x)]  lim f (x) lim g(x)  AB
 f (x) lim f (x) A
lim    (B  0)
 g(x)  lim g(x) B
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推论：1)若
lim f (x)  A  0,
则
lim f (x)g(x)  Alim g(x)
(即:极限非零的因子极限可先求出来)
f (x)
2)若 存在，
lim lim g(x)  0  lim f (x)  0;
g(x)
f (x)
3)若 lim  A  0,lim f (x)  0  lim g(x)  0;
g(x)
f (x)
(2022年1) 设 lim  1, 则（ ）
x1 ln x
（A） f (1)  0 . （B） lim f (x)  0.
x1
（C） f  (1)  1. （D） lim f  (x)  1.
x126武忠祥考研
【注】 存在  不存在=不存在 不存在  不存在=不一定
   
【例】已知数列 a 单调减， b 单调增，且 lim(a  b )  0, 则（ ）
n n n n
n
   
（A） a 收敛， b 不收敛；
n n
   
（B） 收敛， 不收敛；
b a
n n
   
（C） a , b 都收敛，但 lim a  lim b ;
n n n n
n n
   
（D） a , b 都收敛，且 lim a  lim b .
n n n n
n n
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祝同学们
考研路上一路顺利！