(202)--高数强化02笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

26高数强化（2） 2 极限概念、性质、存在准则(举例)，无穷小及无穷大,极限有理运算 P10-P16 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第二节 极 限 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）极限的概念 （二）极限性质 （三）极限存在准则 （四）无穷小 （五）无穷大26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 题型一 极限的概念性质及存在准则 题型二 求极限 题型三 确定极限式中参数 题型四 无穷小量阶的比较 26武忠祥考研26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）极限的概念 1.数列极限: lim a  A : n n  0, N  0, 当 n  N 时， | a  A | . n 【注】 (1) 几何意义;   （2）数列 的极限与前有限项无关; x n （3） lim x  a  lim x  lim x  a. n 2k1 2k n k k 26武忠祥考研26武忠祥考研 (1) n   【例】(2022年3) 已知 a  n n  (n  1,2,) ，则 a n n n （A）有最大值，有最小值. （B）有最大值，没有最小值. （C）没有最大值，有最小值. （D）没有最大值，没有最小值. 【解】 有最大值. lim a  1, a  2  1, n 1 n 1 有最小值. a  2   1, 2 2 【注】 若 lim a  a, 则  a  有最大值 存在 a  a. n n n n 若 lim a  a, 则  a  有最小值的充要条件是存在 a  a. n n n n26武忠祥考研 2.函数极限: 1) lim f ( x)  A :   0, X  0 ,当 x  X 时， | f ( x)  A | . x lim f (x)  A :   0, X  0 ,当 x   X 时， | f ( x)  A | . x lim f (x)  A :   0, X  0 ,当 x  X 时， | f ( x)  A | . x 定理 lim f ( x)  A  lim f ( x)  lim f (x)  A x x x 26武忠祥考研26武忠祥考研 2) lim f (x)  A : xx 0   0, ()  0 ,当 0 | x  x | 时， | f ( x)  A | . 0 【注】1） lim f (x) 与 f (x ) 无关 (x  x , x  x ) xx 0 0 0 0 2） lim f (x) 存在 xx 0 f (x) 在 x 在某去心邻域有定义 026武忠祥考研 【例】(2020年1）设函数 f ( x) 在区间 (1,1) 内有定义,且 lim f ( x)  0, 则 x0 f ( x) （A）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导； x0 x f ( x) （B）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导； 2 x0 x f ( x) （C）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0 ； x0 x f ( x) （D）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0. 2 x0 x26武忠祥考研 左极限：  lim f ( x)  f (x ); 0  xx 0 右极限： lim f ( x)  f (x  );  0 xx 0 定理 lim f (x)  A  lim f (x)  lim f (x)  A xx xx  xx  0 0 0 需要分左、右极限求极限的问题常见有三种 （1）分段函数在分界点处的极限 1 （2）  型极限 （如 lim e x , lim e x , lime x ) e x0 x x 1 （3） arctan 型极限 （如 lim arctan , limarctan x) x0 x x26武忠祥考研 （二）极限性质 1）局部有界性 若 lim f ( x) 存在, 则 f ( x) 在点 x 某去心邻域内有界； 0 xx 0 2）保号性 设 lim f ( x)  A x x 0  （1）若 A  0, 则   0, 当 x U(x ,) 时， f ( x)  0; 0  （2）如果当 x U( x ,) 时, f ( x)  0, 那么 A  0. 0 【注】由保号性不难得到保序性： 设 lim f ( x)  A, lim g( x)  B, 则 xx xx 0 0  (1)若 A  B     0 ,当 x U(x ,) 时， f (x)  g(x). 0  (2)若    0, 当 x U(x ,) 时, f (x)  g(x)  A  B. 026武忠祥考研 3）函数值与极限值之间的关系 lim f ( x)  A  f ( x)  A ( x) 其中 lim( x)  0. (三）极限存在准则 1）夹逼准则 若 y  x  z , 且 lim y  lim z  a, 则 lim x  a. n n n n n n n n n 2）单调有界准则 单调有界数列必有极限。 单调增、有上界的数列必有极限； 单调减、有下界的数列必有极限；26武忠祥考研 （四）无穷小 1) 无穷小的概念: 若 lim f ( x)  0, 称 f ( x) 为无穷小 (x  x 或 x  ). 0 2) 无穷小的比较: 设 lim( x)  0, lim ( x)  0. ( x) （ 1 ）高阶： 若 lim  0 ； 记为 (x) ((x)); ( x) (x) （2）同阶：若 lim  C  0; (x) (x) （3）等价：若 ；记为 lim  1 (x) ~ (x); (x) (x) （4）无穷小的阶: 若 lim  C  0 ，称 ( x) 是 ( x) 的 k 阶无穷小. [(x)] k26武忠祥考研 3) 无穷小的性质: （1）有限个无穷小的和仍是无穷小. （2）有限个无穷小的积仍是无穷小. （3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小. 26武忠祥考研26武忠祥考研 （五）无穷大 1) 无穷大的概念: 若 lim f ( x)  , 称 f ( x) 为 x  x 时的无穷大. 0 xx 0 2）常用的一些无穷大的比较 （1）当 x   时 ln  x  x   a x 其中  0, 0,a  1. （2）当 n   时 ln  n  n   a n  n! n n 其中  0, 0,a  1.26武忠祥考研 3）无穷大与无界变量的关系： 数列 是无穷大： {x } n M  0, N  0, 当 n  N 时，恒有 x  M. n 数列 {x } 是无界变量： n M  0, N  0, 使 x  M . N 无穷大  无界变量 4）无穷大量与无穷小量的关系： 1 在同一极限过程中, 如果 是无穷大, 则 是无穷小；反之, f ( x) f (x) 1 如果 f ( x) 是无穷小, 且 f (x)  0, 则 是无穷大； f (x)二. 常考题型的方法与技巧 题型一 极限的概念、性质及存在准则 【例1】设 lim a  a, 且 a  0 ,则当 n 充分大时有 n n a a (A) a  (B) a  n n 2 2 1 1 (C) a  a  (D) a  a  n n n n 【解1】直接法 由 lim a  a, 且 a  0 知, lim a  a  0, n n n n a 则当 n 充分大时有 a  故 应 选 （A）. n 2 【解2】排除法 2 若取 a  2  , 显然 a  2, 且（B）和（D）都不正确； n n 2 若取 a  2  , 显然 a  2, 且（C）不正确； 故应选（A） n n26武忠祥考研 【例2】设  a  ,{b },{c } 均为非负数列,且 lima  0, limb  1, n n n n n n n lim c  , 则必有 n n (A) a  b 对任意 n 成立. （B）b  c 对任意 n 成立. n n n n (C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在. lim a c lim b c n n n n n n 【解1】直接法 由 limb  1, lim c   知， li m b c   n n n n n n n 故选（D） 【解2】排除法 26武忠祥考研26武忠祥考研 【例3】设数列   与   满足 lim x y  0, 则下列断言 x y n n n n n 正确的是 (A) 若 发散,则 必发散; (B)若 无界,则 必有界; x y x y n n n n (C) 若 有界，则 必为无穷小； x y n n 1 (D) 若 为无穷小，则 必为无穷小. y n x n 【解1】 直接法 1 由于 y  (x y ) , 则 n n n x n 1 lim y  lim(x y ) lim  0  0  0 故应选（D） n n n n n n x n 【解2】 排除法26武忠祥考研 【例4】设 a  0(n  1,2,), S  a  a    a ,则数列 n n 1 2 n 有界是数列 收敛的 {S } {a } n n （A）充分必要条件. （B）充分非必要条件. （C）必要非充分条件. （D）既非充分也非必要条件. 【解】 显然数列 {S } 单调增，若 {S } 有界，则 {S } 收敛，又 n n n a  S  S n n n1 lim a  lim S  lim S  0 n n n1 n n n 则数列 收敛. {a } n 26武忠祥考研26武忠祥考研 【例5】证明： a 2 n n! 3 n n! （I）若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim a  0; （II） lim  0, lim  . n a n n n n n n n n n a a 【证】(1)由 lim n1  a 可知， lim n1  a , 又 a  1, 取常数 b, 使得 a  b  1, n a n a n n a 则存在 N  0, 当 n  N 时， n1  b a n a  b a N2 N1 a  b a  b 2 a N3 N2 N1 . a  b m1 a Nm N1 由此可知，当 m   时， a  0, 则 lim a  0, 从而有 lim a  0. Nm n n n n26武忠祥考研 【例5】证明： a 2 n n! 3 n n! （I）若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim a  0; （II） lim  0, lim  . n a n n n n n n n n n a a 【证】(1)由 lim n1  a 可知， lim n1  a , 又 a  1, n a n a n n   a 收敛 lim a  0 lim a  0 （数二不要求） n n n n n n11 1 1 【例6】（I）证明：对任意的正整数 n ,都有  ln(1  )  成立. n  1 n n 1 1   （II）设 a  1      ln n(n  1,2,) ,证明数列 a 收敛. n n 2 n 1 1 【证】(I) ln(1  )  ln(n  1)  ln n  n  1 1 1 1 所以  l n ( 1  )   . n  1 n  n 1 1 （II） a  a   ln(1  )  0, n1 n n  1 n 1 1 且 a  1      ln n n 2 n 1 1  ln(1  1)  ln(1  )    ln(1  )  ln n 2 n  3 n  1  ln 2    ln n  ln(1  n)  ln n  0,    2 n 26武忠祥考研 题型二 求 极 限 一.求极限的常用方法 方法1. 利用有理运算法则求极限 若 那么: lim f (x)  A, lim g(x)  B. lim[ f (x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x)  A  B lim[ f (x) g(x)]  lim f (x) lim g(x)  AB  f (x) lim f (x) A lim    (B  0)  g(x)  lim g(x) B 26武忠祥考研26武忠祥考研 推论：1)若 lim f (x)  A  0, 则 lim f (x)g(x)  Alim g(x) (即:极限非零的因子极限可先求出来) f (x) 2)若 存在， lim lim g(x)  0  lim f (x)  0; g(x) f (x) 3)若 lim  A  0,lim f (x)  0  lim g(x)  0; g(x) f (x) (2022年1) 设 lim  1, 则（ ） x1 ln x （A） f (1)  0 . （B） lim f (x)  0. x1 （C） f  (1)  1. （D） lim f  (x)  1. x126武忠祥考研 【注】 存在  不存在=不存在 不存在  不存在=不一定     【例】已知数列 a 单调减， b 单调增，且 lim(a  b )  0, 则（ ） n n n n n     （A） a 收敛， b 不收敛； n n     （B） 收敛， 不收敛； b a n n     （C） a , b 都收敛，但 lim a  lim b ; n n n n n n     （D） a , b 都收敛，且 lim a  lim b . n n n n n n 26武忠祥考研26武忠祥考研 26武忠祥考研26武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！