函数与导数——2025届高考数学二轮复习易错重难提升新高考版（含解析）_2025年新高考资料_二轮复习_新高考版2025届高考数学二轮复习易错重难提升训练（含解析）

（2）函数与导数 ——2025 届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】 易混重难知识 1.函数的奇偶性 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （2）确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称. （3）对于偶函数而言，有 . 2.幂函数的性质 幂函数 定义域 R R R 值域 R R 在 上 在 上 单调递增， 单调递增， 单调性 增 增 增 在 上 在 上 单调递减 单调递减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 都经过点 3.指数函数的图象和性质 图象 定义域 R 值域 性 质 过定点 ，即 时， 单调性 减函数 增函数 奇偶性 非奇非偶4.对数函数的图象和性质 图象 定义域 值域 R 单调性 减函数 增函数 过定点 过定点 ，即 时， 5.函数零点存在定理：如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的解. 6.用导数求函数的单调区间的方法： （1）当不等式 或 可解时，确定函数的定义域，解不等式 或 求出单调区间. （2）当方程 可解时，确定函数的定义域，解方程 ，求出实数根，把函数 的间断点（即 的无定义点）的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域 分成若干个小区间，确定 在各个区间内的符号，从而确定单调区间.（3）不等式 或 及方程 均不可解时求导数并化简，根据 的结 构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定 的符号，得单调区间. 7.已知函数单调性，求参数范围的方法： （1）利用集合间的包含关系处理： 在 上单调，则区间 是相应单调区间的 子集. （2）转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递 减，则 ”. （3）可导函数在区间 上存在单调区间，实际上就是 （或 ）在该区间 上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围. 8.已知函数求极值：求 求方程 的根，列表检验 在 的根的附近 两侧的符号，下结论. 9.求函数 在 上的最大值和最小值的步骤： （1）若所给的闭区间 不含参数， ①求函数在 内的极值； ②求函数在区间端点的函数值 ， ； ③将函数 的极值与 ， 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若所给的闭区间 含有参数，则需对函数 求导，通过对参数分类讨论，判断函 数的单调性，从而得到函数 的最值.易错试题提升 1.定义在R上的函数 为奇函数，且 为偶函数，当 时， ，则 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. 3.若 ， ， ，则( ) A. B. C. D. 4.若函数 有4个零点，则正数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知点 在幂函数 的图象上，设 ， ， ， 则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D.6.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为 ，则经过一 定时间t（单位：分钟）后的温度 满足 ，其中 是环境温度，h为常数， 现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温 为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要 等待（参考数据： ， ， ， .）( ) A.4分钟 B.5分钟 C.6分钟 D.7分钟 7.若存在正实数x，使得不等式 成立（e是自然对数的底数），则实数a 的最大值为( ) A. B. C. D. 8.设函数 的导函数为 ，若 在其定义域内存在 ，使得 ，则称 为“有源”函数.已知 是“有源”函数，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.（多选）奇函数 与偶函数 的定义域均为R，且满足 ，则下列判 断正确的是( ) A. B. C. 在R上单调递增 D. 的值域为 f(x)(x1)ex 10.（多选）给定函数 .下列说法正确的是( )f(x) (,2) A.函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 B.函数 的图象与x轴有两个交点 C.当 时，方程 有两个不同的根 D.若方程 只有一个根，则a0 11.已知函数 则 的值为__________. 12.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些 高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自 主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子” 问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯 片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增 长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是_______年.参 考数据： . 13.对任意 ，函数 恒成立，求a的取值范围 ______________. 14.已知函数 . f(x)0 （1）若 ，求a的取值范围； x x x 1 （2）证明：若 有两个零点 1， ，则 1 2 . 15.已知函数 ，其中实数 . （1）当 时，求函数 的单调性；（2）若函数 有唯一零点，求实数a的值.答案以及解析 1.答案：A 解析：因为 为奇函数，所以 ， 因为 为偶函数，所以 ，即 ， 从而 ，得 ， 所以 以4为周期的周期函数， ， ， 所以 . 故选：A. 2.答案：B 解析： ，则 的定义域为R， 又 ， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD， 当 时， ，故排除A. 故选：B. 3.答案：C 解析：因为 ， ，所以只需比较a与b的大小即可. 因为 ， 所以 故选：C 4.答案：B 解析：当 时，令 ，即 ，即 ， 因为函数 与 的图象仅有一个公共点，如图所示， 所以 时，函数 只有一个零点， 又由函数 有4个零点， 所以 时，方程 有三个零点，如图所示， 因为 ，可得 ，则满足 ， 解得 ，即实数 的取值范围为 .故选：B. 5.答案：D 解析： 点 在幂函数 的图象上， ， ， ，在 上单调递减， ， ， ， ， ，即 故选：D. 6.答案：C 解析：根据题意可知 ， ， ， 因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即 ， ， 所以 ，解得 ，则 ， 所以要使得该茶降至 ，即 ，则有 ， 得 ，故 ， 所以大约需要等待6分钟. 故选：C. 7.答案：C 解析：当 时， . 设 ，则 对 恒成立， 则 在 上单调递增，则 . 设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则当 时， 取得最大值 ，故 ，因此实数a的最大值为 .故选C. 8.答案：A 解析： ， ， 由是“有源”函数定义知，存在 ，使得 ，即 有解，记 ，所以a的取值范围是就是函数 的值域， 则 ， 当 时， ，此时 单调递增， 当 时， ，此时 单调递减， 所以 ，所以 ， 即a的取值范围是 . 故选：A 9.答案：BCD 解析：因为 为奇函数， 为偶函数，所以 ， 因为 ①，所以 ，即 ②， 所以由①②解得 ， 故B正确； ，故A错误； 在R上单调递增， 在R上单调递减，则 在R上单调递增，故C正确； 因为 ，当且仅当 时取等号， 所以 的值域为 ，所以D正确. 故选：BCD. 10.答案：AC 解析： .当 时， ， 单调递淢，当 时， ，单调递增，故A正确. ， ， 时， ，因 此 只在 上有一个点，即 的图象与x轴只有一个交点，故B不正确.上面讨论 知，当 时， 单调递减， ，当 时， 单调递增， 作出 的大致图象和直线 （如图），知当 时，方程 有两个不同的根，故C正确. 若方程 只有一个根，则 或 ，故D不正确. 11.答案：3 解析： ， ， 所以 . 12.答案：2026 解析：设还需要n年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，根据题意可得 ， 故 ，所以 ，解得 ， 所以还需要6年，即2026年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 故答案为：2026 13.答案： 解析：由题意得 ， 因为 ，所以 ， 即 ， 令 ，则 恒成立， ， 令 得， ， 单调递增， 令 得， ， 单调递减， 且当 时， 恒成立，当 时， 恒成立， 因为 ， ，所以 恒成立，故 ， 当 时， ，此时满足 恒成立， 当 ，即 时，由于 在 上单调递增， 由 得 ，令 ， ， 则 ，当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 故 在 处取得极大值，也是最大值， ， 故 ， ， a的取值范围是 . 故答案为： . 14.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1） ，令 ，则 . 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增. 所以 在 处取得最小值e，故 . 于是 等价于 在 上恒成立，即 在 上恒成立.又显然 是增函数，故 . 所以实数a的取值范围为 . （2）证明：由（1）可得 有两个零点 ， 等价于 在 上有一个零点 ，即 ， 此时， 有两个解 ， ，不妨设 ，则 ， 所以 两式相除，可得 ， 故 ，即 ， 故 . 令 ，故 . 因为 恒大于0，故只需考虑 的正负. 记 ，故 ， 故 在 上单调递增. 又当 时， ，所以 ，故 ，故 .15.答案：（1）在 上单调递减，在 上单调递增 （2） 解析：（1） ， ， . 令 ， ， 在 上单调递增，即 在 上单调递增. ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 在 上单调递减，在 上单调递增. （2） ， ，令 ， 则 ， 在 上单调递增，即 在 上单调递增. 设 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减，， ，即 ， ， 又 ， 存在唯一的 ，使得 ，即 ①. 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增， . 又 函数 有唯一的零点， ，即 ②. 由①②得 ，即 . 令 ， 则 . ， 函数 在 上单调递减，在 上单调递增，而 ，则 . 代入①得 .综上， .