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2025 年高考考前信息必刷卷 04（江苏专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：考生应改变原有的应考观念，走出“多刷题、算得快”的误区，通过选择行之有效的方法简
化计算，让考生能够有充分的时间进行思考，这将是今后新高考数学改革的坚持方向。即真正的掌握知识，
学会去灵活运用，不断的提高自身的思维能力，凭借对知识的灵活运用，来获得更加理想的分数。
高考·新情境：要求学生在深刻掌握和理解新概念、原理、方法的基础上能够灵活变通。通过合理创设新颖
的问题情境，考查学生独立思考、提出观点、推理论证的能力，考查学生敢于质疑和批判的思维能力，考
查学生的数学创新思维能力和创新性意识，引导高中数学复习要淡化解题技巧、规避答题套路，注重培养
学生良好的思维品质和创新意识。
命题·大预测：2025年新高考会延续2024年高考数学改革的整体思路，明确高考将继续依据数学学科的特
点，通过科学合理的试题设计，既让勤奋的学生获得成就感，又让思维能力强的学生得以脱颖而出，充分
发挥选拔人才的功能.试卷坚持考查知识、能力和素养，进一步落实考教衔接，引导教学在夯实学生知识基
础的同时，注重培养学生的探索性和创新性思维品质，有效发挥导向作用，助推教育改革的持续深入。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，若 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】易知 ， ，由 得 ，则 ，
所以 ， ，故选：A．
2．已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，即 ，解得 ，
设 与 的夹角为 ，则 ，又 ，所以 ，
即 与 的夹角等于 .故选：B
3．在 中，角 所对的边分别为 .则“ 成等比数列”是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】当 成等比数列时， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，所以 ，所以 ，充分性满足；
当 时， ，而当 时， 为最长的边，不满足 成等比数列，必要性不满足.则“ 成等比数列”是 的充分不必要条件.故选：A.
4．高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会
给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是 ，那么一年后是 ，如果每天的落后率都
是 ，那么一年后是 ，一年后“进步”是“落后”的 230万倍，现张三
同学每天进步 ，李四同学每天落后 ，假设开始两人相当，则大约（ ）天后，张三超过李四
的100倍（参考数据： ）
A．7 B．17 C．27 D．37
【答案】B
【详解】经过 天后，张三超过李四的100倍，所以 ，
两边取以10为底的对数得 ，所以 ，
又 ，所以 ,
所以大约17天后，张三超过李四的100倍. 故选：B
5．函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A．
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在 上单调递减
D．函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度后，所得的图象关于 轴对称
【答案】C
【详解】由 得 ， ，所以 ，又 ，所以 ，故A错
误；
时， ，所以 ， ，故B错误；
，令 ，则 ， 时， ，此时 单调递增，
单调递减，故 在 上单调递减，故C正确；
的图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到 ，图象关于原点对
称，故D错误.故选：C.
6．如图，已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别为 ， ， 的中点，以下说法不正确的是（ ）
A．三棱锥
在RtΔPAC中tan∠ACP=
√6
=√3
的体积为 B． 平面
√2
C． 平面 D．二面角 的余弦值为
【答案】D
【详解】如图，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， 分别为 ， ， 的中点，则 ， ， ，
， ，易知 ，所以 共面，
又 平面 ，所以 面 ，C正确；
，A正确；
， ，同理 ，
所以 是平面 的一个法向量，即 平面 ，B正确；平面 的一个法向量是 ，
，因此二面角 的余弦值为 ，D不正确．故选：D．7．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞
机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，
则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到
达终点时投掷骰子的次数为 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】玩家投掷1次即可到达终点的方法是掷出3点，故 .
玩家投掷2次即可到达终点的方法是掷出 ， ， ， ， ，故 .
玩家投掷3次即可到达终点的方法是掷出 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，故 .
设玩家投掷 次即可到达终点，那么第 次掷得的点数可以为 ，分别记作 ， ， ，
， ，则玩家投掷 次的基本事件是投掷 次的 倍，能到达终点的掷法：之前的 对应
， ， ， ， ； 对应 ， ， ， ，
； 对应 ， ， ， ， ； 对应 ， ，
， ， ； 对应 ， ， ， ， .是投掷 次
即可到达终点的 倍.所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列.所以 .
所以 即
两边同乘以 得：
两式相减得： .故选：D
8．函数结构是值得关注的对象 为了研究 的结构，两边取对数，可得 ，即 ，
两边取指数，得 ，即 ，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型 结合上述材料，
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为 ，两边取对数，可得 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
∴ ，∴ ， ， 的最小值为 ，故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一
般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工
程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是 两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是（ ）
A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大
B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大
C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大
D．这年上半年A地月降雨量的 分位数比B地月平均降雨量的 分位数大
【答案】ACD
【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得： ，
B地月降雨量按升序排列可得： ，
对于选项A：可知A地月平均降雨量为 ，B地月平均降雨量为 ，
因为 ，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确；
对于选项B：A地月降雨量的中位数为 ，B地月降雨量的中位数为 ，
因为 ，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误；
对于选项C：A地月降雨量的极差为 ，B地月降雨量的极差为 ，
因为 ，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确；
对于选项D：因为 ，可知A地月降雨量的 分位数为42，B地月降雨量的 分位数为
40，
且 ，所以A地月降雨量的 分位数比B地月平均降雨量的 分位数大，故D正确；故选：
ACD.
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 的直线 交双曲线 的右支于
两点，其中点 在第一象限． 的内心为 与 轴的交点为 ，记 的内切圆
的半径为 的内切圆 的半径为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为2或
B．若 ，且 ，则双曲线的离心率为
C．若 ，则 的取值范围是
D．若直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为
【答案】ABD
【详解】对于A，双曲线渐近线的夹角为 ，则 或者故 或 ．对于B，设 ，则 ．
故 ，解得 ．又 ，故 ．
对于C， 令圆 切 分别为点 ，则 ，
，令点 ，而 ，
因此 ，解得 ，又 ，则点 横坐标为 ，同理点 横坐标为 ，
即直线 的方程为 ，设直线 的倾斜角为 ，那么 ，
在 中， 在 中， ，渐近线的斜率为 ．
因为 均在右支上，故 ．
如图所求， ．
对于D， ，故 ，而 ．
故 ，
由余弦定理可知 ，故 ．故选：ABD.11．在平面直角坐标系 中有一点 ， 到定点 与 轴距离之积为一常数 ， 点构成的集合为曲
线 ，已知 在 或 分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）.
A．曲线 关于直线 对称
B．若 ，则 时 到 轴距离的最大值为
C．若 ， 如图，则
D．若 与 轴正半轴交于(1,0)，则与 轴负半轴的交点横坐标在区间 内
【答案】BCD
【详解】设点 ，则 ，
对于A选项，点 关于直线 的点为 ，
因为 ，
即点 不在曲线 上，所以，曲线 不关于直线 对称，A错；
对于B选项，当 时，曲线 的方程为 ，
当 时，则 ，则 ，
所以， ，可得 ，可得 ，
对于不等式 ，即 ，显然该不等式恒成立，
对于不等式 ，即 ，解得 ，因为 ，则 ，此时，若 ，则 时 到 轴距离的最大值为 ，B对；
对于C选项，点 关于直线 的对称点为 ，
因为 ，即点 在曲线 上，故曲线 关于直线 对称，
如下图所示，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
当 时，在曲线 的方程中，令 ，可得 ，可得 ，
所以，曲线 与 在 上的图象有两个公共点，如下图所示：
显然，曲线 与射线 在 上的图象有一个公共点，
则曲线 与线段 相切，由 ，可得 ，则 ，可得 ，
且当 时，方程为 ，解得 ，合乎题意，综上所述， ，C对；
对于D选项，若曲线 与 轴正半轴交于(1,0)，则 ，则有 ，
当 时，令 可得 ，整理可得 ，即 ，
令 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，因为 ， ，则
，
所以，曲线 与 轴负半轴的交点横坐标在区间 内，D对.故选：BCD.第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知数列 满足 ，其前100项中某项正负号写错，得前100项和为 ，则写错的
是数列中第 项.
【答案】38
【详解】 ，设写错项为x，则其前100项和为
.
即 ，某项正负号写错后得前100项和为 ，则
又 .
故写错的数为75，令 ，解得 .故写错的是数列中第38项. 故答案为：38
13．在一次抽奖活动中，抽奖箱里有编号为 到 的 个相同小球.每次抽奖从箱中随机抽取一
个球，记录编号后放回. 连续抽奖 次，设抽到编号为 的小球的次数为 ，已知 服从二
项分布 . 若 展开式中的 系数是 的概率的 倍，则 的值为
（结果用含 的式子表示）
【答案】
【详解】由于 ，故 .
再根据二项式定理， 展开式中的 系数是 .
所以根据条件有，得 ，即 .故答案为： .
14．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点， ， 与平
面 所成的角为 ，则三棱锥 外接球的表面积为
【答案】
【详解】 为 的中点， ， ，即 为等腰三角形，
， ， 均为边长为 的等边三角形，
，又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，
平面 平面 ， 为 在平面 内的射影，
即为 与平面 所成的角，即 ，
， ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 .
设三棱锥 外接球的球心为 ， 外接圆的圆心为 ， 外接圆的圆心为 ，
连接 ，则 平面 ， 平面 ，均为边长为 的等边三角形， ， ，
， 三棱锥 外接球的半径 ，
三棱锥 外接球的表面积 .故答案： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
如图， 、 、 为圆锥三条母线， .
(1)证明： ；
(2)若圆锥侧面积为 为底面直径， ，求平面 和平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）取 中点 ，连接 、 ，（1分）因为 、 、 为圆锥三条母线， ，所以 ，（2分）
又因为 平面 平面 ，所以 平面 ，（3分）
因为 平面 ，所以 .（4分）
（2）因为 为直径，故 为底面圆的圆心，故 平面 ，而 ，（5分）
故以 为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为圆锥侧面积为 为底面直径， ，所以底面半径为1，母线长为 ，（7分）
所以 ，则可得 ，
故 ，（8分）
设 为面 的一个法向量，
则 ，令 ，则 ，所以 ，（10分）
设 为面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，所以 ，（12分）
则 ，所以平面 和平面 所成角的余弦值为 .（13分）
16．（15分）
已知椭圆 的焦点为 ， 为椭圆上一点且 的周长为.
(1)求椭圆 的方程.
(2)若直线 过点 交椭圆 于 两点，且线段 的垂直平分线与 轴的交点 .
（i）求直线 的方程；（ii）已知点 ，求 的面积.
【答案】(1) (2)（i） 或 ；（ii）
【详解】（1）根据题意有 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 .（3
分）
（2）（i）若直线 的斜率不存在，其垂直平分线与 轴重合，不符合题意；（4分）
不妨设直线 的方程为 的中点为 ，设 ，
与椭圆方程联立有 ，整理得 ，（6分）
直线过椭圆焦点，必有 ，则 ，（7分）
所以 ，（8分）
由题意知 ，即 ，解得 ，（9分）即 ，整理得直线 的方程为 或 （10分）
（ii）由弦长公式可知
，（13分）
由直线的对称性，知点 到两条直线 的距离相同，即 ，
所以 的面积为 .（15分）
17．（15分）
如图：一张 的棋盘，横行编号 ：竖排编号 .一颗棋子目前位于棋盘的 处，它的移动
规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从 移动到
或 .棋子每次移动到不同目的地间的概率均为 .
(1)①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置.②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，
分别能获得 分，设得分为 ，求 的分布列和数学期望.
(2)现在于棋盘左下角 处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动 次后，
两棋子位于同一格的概率为 ，求 的通项公式.【答案】(1)① ， ， ；②分布列见解析； .(2)
【详解】（1）①两次移动的所有路径可能如下：
； ； ； .
所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有： ， ， .（3分）
②棋子两次移动后，最终停留在 时，得1分，对应概率为： ；
棋子两次移动后，最终停留在 时，得1分，对应概率为： ；
棋子两次移动后，最终停留在 时，得3分，对应概率为： .
所以 ， .所以最终得分 的分布列为：
1 3
所以 .（6分）
（2）将棋盘按如图所示编号：
将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做 ；从8可以连接3或1，记
做 ；然后将它们串联起来： .依次类推，可以串联处环状回路：
，如下图所示：则棋子等价于在这个环状回路中运动. （8分）
问题（2）可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模
式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率均为 .
为了转化问题，现规定： “两棋子之间的最短节点数”，例如：
特别规定两棋子重合时， .并统计四种运动模式下 会如何变化.（10分）
假设3号棋子顺时针走过 个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过 个节点也可以与之重合.
为了简化问题，不妨假设 ，于是有下表：
（逆，
（顺，顺） （顺，逆） （逆，逆）
顺）
设 “ 回合后， 的概率”， “ 回合后， 的概率”， “ 回合后， 的概率”，
（12分）则有： ，所以 ，（14分）
显然： ， ，所以 ，所以 .（15分）
18．（17分）
“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出
非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.
(1)利用恒等式 和 ，求函数 和
的最小值.
(2)在 中，角 对应的边为 .（i）求证：
.（ii）已知实数 满足 求二元函数
的最大值.
【答案】(1) 的最小值为 ； 的最小值为 .(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）设 ， ，则 ，（1分）
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即 的最小值为： ，（2分）
当 时，，
表示点 到点(0,2)和 的距离之和，所以 .
综上， 的最小值为： .（4分）
（2）（i）因为 ，（5分）
所以
（6分）
（7分）
，证毕.（8分）
（ii）因为 ，故 ，故 ，同理 .
若 ，（9分）
当 为三角形内角时，由（i）可得： ，（10分）
若 有一个为零或 ，不妨设 或 ，
若 ，则 ，（11分）
若 ，则 ，（12分）
若（i）中可以推广为：若 ，则 .
在（i）中，令 ，则 且 ，（13分）
因为 ，设 ， ，所以可得 （ ），（14分）
则
（16分）
其表示点 到点 和(1,0)的距离之差再加上 ，
所以 ，当且仅当 ，
即 时等号取得，此时满足 .（17分）
19．（17分）
帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定
义函数 在 处的 阶帕德近似为 ，该函数满足
．
注： ．
设函数 在 处的 阶帕德近似为 ．
(1)求 的解析式；
(2)证明：当 时， ；(3)设函数 ，若 是 的极大值点，求k的取值范围．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) .
【详解】（1）由题意，可设 ，且 ，则 ，（1分）
而 ， ，且 ，则 ，所以 .（3分）
（2）当 时，恒有 ，令 ，且 ，则 ，（4分）
当 时， ，即 在 上递增；当 时， ，即 在 上递减；（5
分）
所以 ，故 ，得证.（6分）
（3）令 在 处的 阶帕德近似为 ，
由 ，则 ，故 ，（8分）
由 ， ，而 ，则 ，（9分）
所以 ，故 ，（10分）
由 ，而 ，则 ，综上， ，且 ，（11分）
令 ，则 恒成立，
所以 在R上递增，即 ，故 时 ， 时 ，所以 时 ， 时 ，
此时， 时 不是 极值点；（12分）
以 为界，讨论如下：由连续函数 ，
当 ，则 ，而 ，
在 上 ， 递减，在 上 ， 递增，则 ，
所以，在 两侧 恒成立， 是极小值点；（13分）
当 ，则 ，而 ，
在 上 ， 递增，在 上 ， 递减，则 ，
所以，在 两侧 恒成立， 为极大值点；（14分）
当 ，有 ，在 上 ， 递增，在 上 ， 递减，则
，
所以，在 两侧 恒成立， 为极大值点；（15分）
当 ，则 ，而 ，（16分）
在 上 ， 递增，在 上 ， 递减，则 ，
所以，在 两侧 恒成立， 为极大值点；综上， .（17分）
