文档内容
2025 年高考考前信息必刷卷 04（江苏专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A B A B C D D C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ACD ABD BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．38
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）取 中点 ，连接 、 ，（1分）
因为 、 、 为圆锥三条母线， ，所以 ，（2分）又因为 平面 平面 ，所以 平面 ，（3分）
因为 平面 ，所以 .（4分）
（2）因为 为直径，故 为底面圆的圆心，故 平面 ，而 ，（5分）
故以 为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为圆锥侧面积为 为底面直径， ，所以底面半径为1，母线长为 ，（7分）
所以 ，则可得 ，
故 ，（8分）
设 为面 的一个法向量，
则 ，令 ，则 ，所以 ，（10分）
设 为面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，所以 ，（12分）
则 ，所以平面 和平面 所成角的余弦值为 .（13分）
16．（15分）【答案】(1) (2)（i） 或 ；（ii）
【详解】（1）根据题意有 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 .（3
分）
（2）（i）若直线 的斜率不存在，其垂直平分线与 轴重合，不符合题意；（4分）
不妨设直线 的方程为 的中点为 ，设 ，与椭圆方程联立有 ，整理得 ，（6分）
直线过椭圆焦点，必有 ，则 ，（7分）
所以 ，（8分）
由题意知 ，即 ，解得 ，（9分）
即 ，整理得直线 的方程为 或 （10分）
（ii）由弦长公式可知
，（13分）
由直线的对称性，知点 到两条直线 的距离相同，即 ，
所以 的面积为 .（15分）
17．（15分）【答案】(1)① ， ， ；②分布列见解析； .(2)
【详解】（1）①两次移动的所有路径可能如下：
； ； ； .
所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有： ， ， .（3分）②棋子两次移动后，最终停留在 时，得1分，对应概率为： ；
棋子两次移动后，最终停留在 时，得1分，对应概率为： ；
棋子两次移动后，最终停留在 时，得3分，对应概率为： .
所以 ， .所以最终得分 的分布列为：
1 3
所以 .（6分）
（2）将棋盘按如图所示编号：
将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做 ；从8可以连接3或1，记
做 ；然后将它们串联起来： .依次类推，可以串联处环状回路：
，如下图所示：
则棋子等价于在这个环状回路中运动. （8分）
问题（2）可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率均为 .
为了转化问题，现规定： “两棋子之间的最短节点数”，例如：
特别规定两棋子重合时， .并统计四种运动模式下 会如何变化.（10分）
假设3号棋子顺时针走过 个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过 个节点也可以与之重合.
为了简化问题，不妨假设 ，于是有下表：
（逆，
（顺，顺） （顺，逆） （逆，逆）
顺）
设 “ 回合后， 的概率”， “ 回合后， 的概率”， “ 回合后， 的概率”，
（12分）
则有： ，所以 ，（14分）
显然： ， ，所以 ，所以 .（15分）
18．（17分）【答案】(1) 的最小值为 ； 的最小值为 .(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）设 ， ，则 ，（1分）
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即 的最小值为： ，（2分）
当 时，
，
表示点 到点(0,2)和 的距离之和，所以 .
综上， 的最小值为： .（4分）
（2）（i）因为 ，（5分）
所以
（6分）
（7分）
，证毕.（8分）
（ii）因为 ，故 ，故 ，同理 .
若 ，（9分）当 为三角形内角时，由（i）可得： ，（10分）
若 有一个为零或 ，不妨设 或 ，
若 ，则 ，（11分）
若 ，则 ，（12分）
若（i）中可以推广为：若 ，则 .
在（i）中，令 ，则 且 ，（13分）
因为 ，设 ， ，所以
可得 （ ），（14分）
则
（16分）
其表示点 到点 和(1,0)的距离之差再加上 ，
所以 ，当且仅当 ，
即 时等号取得，此时满足 .（17分）
19．（17分）【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) .
【详解】（1）由题意，可设 ，且 ，则 ，（1分）而 ， ，且 ，则 ，所以 .（3分）
（2）当 时，恒有 ，令 ，且 ，则 ，（4分）
当 时， ，即 在 上递增；当 时， ，即 在 上递减；（5
分）
所以 ，故 ，得证.（6分）
（3）令 在 处的 阶帕德近似为 ，
由 ，则 ，故 ，（8分）
由 ， ，而 ，则 ，（9分）
所以 ，故 ，（10分）
由 ，而 ，则 ，综上， ，且 ，（11分）
令 ，则 恒成立，
所以 在R上递增，即 ，故 时 ， 时 ，
所以 时 ， 时 ，
此时， 时 不是 极值点；（12分）
以 为界，讨论如下：由连续函数 ，当 ，则 ，而 ，
在 上 ， 递减，在 上 ， 递增，则 ，
所以，在 两侧 恒成立， 是极小值点；（13分）
当 ，则 ，而 ，
在 上 ， 递增，在 上 ， 递减，则 ，
所以，在 两侧 恒成立， 为极大值点；（14分）
当 ，有 ，在 上 ， 递增，在 上 ， 递减，则
，
所以，在 两侧 恒成立， 为极大值点；（15分）
当 ，则 ，而 ，（16分）
在 上 ， 递增，在 上 ， 递减，则 ，
所以，在 两侧 恒成立， 为极大值点；综上， .（17分）
