(224)--高数强化22笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（22） 22 方向导数与梯度，三重积分、线面积分的概念与性质 P246-P253 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第五节 方向导数与梯度 1. 方向导数 f f (x  t cos, y  t cos)  f (x , y ) 1) 定义:  lim 0 0 0 0 l t0  t (x ,y ) 0 0 2) 计算: 若 可微,则 z  f ( x, y) f f f  cos cos l x y 2. 梯度 1) 定义: gradz f f 2) 计算: gradz  i  j x y26武忠祥考研 题型一 方向导数与梯度的计算 【例1】 函数 u  ln( x  y 2  z 2 ) 在点 A(1,0,1) 处沿 A 指向 B(3,2,2) 方向的方向导数为 . u, 1 u u, 1 【解】  ,  0  , x 2 y z 2 (1,0,1) (1,0,1) (1,0,1) AB  {2,2,1} 则所求的方向导数为： 1 2  2 1 1 1   0     2 3 3 2 3 2 u 【例】(2025)已知函数 u(x, y, z)  xy 2 z 3，向量 n （ 2 ， 2 ， 1 ） , 则  __________ . n (1,1,1) （1）26武忠祥考研 【例2】 函数 z  x 2  y 2 在点(0,0)处. A) 不连续; B) 偏导数存在; C) 沿任一方向的方向导数不存在; D) 沿任一方向的方向导数均存在;26武忠祥考研 【例3】设 f (0,0)  1, f (0,0)  2, 则 x y A) 在(0,0)点连续; f (x, y) B) df (x, y) |  dx  2dy; (0,0) f 其中 为任一方向 C)  cos 2cos, cos,cos l (0,0) 的方向余弦. l D） f ( x, y) 在 (0,0) 点沿 x 轴负方向的方向导数为  1.26武忠祥考研 【例4】 在椭球面 上求一点,使函数 2x 2  2 y 2  z 2  1 . u  x 2  y 2  z 2 在该点沿 l  (1,1,0) 方向的方向导数最大. u 1 1 【解】  2x   2 y  ( )  2(x  y) l 2 2 F(x, y, z,)  x  y  (2x 2  2 y 2  z 2  1) F   1  4x  0, x  1  1  F   1  4y  0, x  , x   ,    1 2 y 2 2    F   2z  0,  1 1 z   y   , y  ,   F   2x 2  2 y 2  z 2  1  0,  1 2  2 2  u u  2,   2 l l 1 1 1 1 ( , ,0) ( , ,0) 2 2 2 226武忠祥考研 【例5】设 f ( x, y) 是 R 2 上的一个可微函数,且 f f lim (x  y )   0 其中  x 2  y 2 ,  为常数,试证  x y 明 在 上有最小值. f ( x, y) R 2 f f 【证】 因为 lim (x  y )  0, 存在 R  0, 当  R  x y 时（即 x 2  y 2  R 2 时 ） f f x  y  0 x y x f y f 从而有   0 x y x f y f f    0 x y r26武忠祥考研 第九章 多元积分学及其应用 第一节 三重积分与线面积分 第二节 多元积分应用 第三节 场论初步26武忠祥考研 第一节 三重积分与线面积分 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）三重积分 （二）对弧长的线积分（第一型线积分） （三）对坐标的线积分（第二型线积分） （四）对面积的面积分（第一型面积分） （五）对坐标的面积分（第二型面积分）26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 题型一 计算三重积分 题型二 计算对弧长的线积分 题型三 计算对坐标的线积分 题型四 计算对面积的面积积分 题型五 计算对坐标的面积分第一节 三 重 积 分与线面积分 26武忠祥考研 (一) 三重积分 n 1. 定义  f (x, y, z)dV  lim  f (  , )v k, k k k 0  k1 2. 性质 3. 计算 1) 直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2) 柱坐标: dV  rdrddz 3) 球坐标: dV  r 2 sindrdd 4) 利奇偶性: 若积分域  关于 xoy 坐标面对称  2  f (x, y, z)dV f (x, y,z)  f (x, y, z).   f (x, y, z)dV    z0    0 f (x, y,z)   f (x, y, z).26武忠祥考研 5)利用变量的对称性. 【例1】(2009年）设   {(x, y, z) | x 2  y 2  z 2  1} ，则 4  z 2 d x d y d z  ________ . [ ] 15  【解1】 【解2】(二) 对弧长的线积分（第一类线积分） n 1 定义  f (x, y)ds  lim  f ( , )s i i i L 0 i1 2 性质  f (x, y)ds   f (x, y )d s（与路径方向无关）   L(AB) L(BA) 3 计算方法： x  x(t) 1. 直接法：1) 若  t   C :   y  y(t)  则  f (x, y)ds   f (x(t), y(t)) x 2 (t)  y 2 (t)dt C  2) 若 C : y  y(x), a  x  b b 则  f (x, y)ds   f (x, y(x)) 1  y 2 (x)dx C a26武忠祥考研 3) 若 C : r  r()    则  f (x, y)ds   f (r()cos, r()sin) r 2 ()  r 2 ()d C  2. 利用奇偶性 i) 若积分曲线关于 轴对称, 则. y  2  f (x, y)ds, f ( x, y)  f (x, y)  f (x, y)ds   C x0 C  0, f ( x, y)   f (x, y) ii)若积分曲线关于 轴对称,则 x   2  f (x, y)ds, f (x, y)  f (x, y)  f (x, y)ds   C y0 C   0, f (x, y)   f (x, y)26武忠祥考研 3.利用对称性 若积分曲线关于直线 y  x 对称,则  f (x, y)ds  f ( y, x)ds C C 特别的  f (x)ds   f ( y)ds C C 设空间曲线 的方程为： L x  x(t), y  y(t), z  z(t) ( t  ) 则   f (x, y, z)ds   f (x(t), y(t), z(t)) x 2 (t)  y 2 (t)  z 2 (t)dt L 【例2】(2018年1）设 为球面 x 2  y 2  z 2  1 与平面 x  y  z  0 L 的交线,则  xyds  ________ . L 1 【解1】由变量对称性知  xyds   (xy  yz  xz)ds L 3 L 1   (2xy  2 yz  2xz)ds 6 L 1   [(x  y  z) 2  (x 2  y 2  z 2 )]ds 6 L 1 1    [0 2  1]ds    2   6 L 6 3 【解2】26武忠祥考研 (三) 对坐标的线积分（第二类线积分）    引例 变力沿曲线做功 F(x, y)  P(x, y)i  Q(x, y) j  W  F  AB  W  F( , ) M M  P( , )x  Q( , )y i i i i1 i i i i i i i n   W  F( , ) M M i i i1 i i1 n  n W  lim  F( , )M M  lim  [P( , )x  Q( , )y ] i i i1 i i i i i i i 0 0 k1 i1 n 1. 定义  P(x, y)dx  Q(x, y)dy  lim  [P( , )x  Q( , )y ] i i i i i i L 0 i12. 性质  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   L(AB) L(BA) （与积分路径方向有关） 3. 计算方法 (平面) x  x(t) 1)直接法; 设 L :  , t [,], 则  y  y(t)   Pdx  Qdy   [P( x(t), y(t))x  (t)  Q( x(t), y(t)) y  (t)]dt L 26武忠祥考研  Q P  2)格林公式  Pdx  Qdy     d L  x y  D 3)补线用格林公式 4)利用线积分与路径无关 P Q i) 判定: （区域 单连通）  D y x ii)计算: a) 改换路径; (x ,y ) b) 利用原函数  2 2 Pdx  Qdy  F(x , y )  F(x , y ) 2 2 1 1 (x ,y ) 1 1 Pdx  Qdy  dF(x, y) 求原函数方法:①偏积分;②凑微分. 4.两类线积分的联系:  Pdx  Qdy   (P cos Q cos)ds L L26武忠祥考研 5.计算方法(空间) 1)直接法 设曲线 L 由参数方程 x  x(t), y  y(t), z  z(t), t [,]  P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz L    {P[x(t), y(t), z(t)]x  (t)  Q[x(t), y(t), z(t)]y  (t)}dt   R[x(t), y(t), z(t)]z  (t)dt 2)斯托克斯公式 cos cos cos     P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz   dS L x y z  P Q R  R Q   P R   Q P      dydz    dzdx    dxdy  y z   z x   x y  【例3】(2025)已知有向曲线 L 是沿抛物线 y  1  x 2 从点 (1,0) 到点 (1,0) 的一段，则曲线积分  ( y  cos x)dx  (2x  cos y)dy  _________ . L 1 【解1】原式   [1  x 2  cos x]dx  [2x  cos(1  x 2 )](2x)dx 1 1 4   [1  5x 2  cos x]dx   2sin1 1 3 1 1 1x 2 4 【解2】原式   [2  1]dxdy   cos xdx   dx  dy  2sin1   2sin1 1 1 0 3 D 【解2】原式   ( y  cos x)dx  (x  cos y)dy   xdy L L 1 1 4   cos xdx   x(2x)dx   2sin1 1 1 326武忠祥考研 x 【例4】(2019年1) 设函数 Q(x, y)  , 如果对上半平面 ( y  0) 2 y 内的任意有向光滑闭曲线 C 都有  P(x, y)dx  Q(x, y)dy  0, C 那么 可取为 P(x, y) 2 2 x 1 x A. y  B.  3 3 y y y 1 1 1 C.  D. x  x y y祝同学们 考研路上一路顺利！