(225)--高数强化23笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（23）
23 三重积分、线积分的计算方法及举例 P254-P262
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
(四) 对面积的面积分（第一类面积分）
n
1. 定义  f (x, y, z)dS  lim  f ( ,, )S
i i i i
0
 i1
2. 性质  f (x, y, z)dS   f (x, y, z)dS
 
（与积分曲面的方向无关）
3.计算方法
1 . 直接法:  : z  z(x, y), (x, y) D
 f (x, y, z)dS   f (x, y, z(x, y)) 1  z 2  z 2 d
x y
 D26武忠祥考研
2. 利用奇偶性
若曲面 关于 面对称,则
 xoy
 2  f (x, y, z)dS, f (x, y,z)  f (x, y, z)

 f (x, y, z)dS  

z0
   0, f (x, y,z)   f (x, y, z)
3.利用对称性
(五) 对坐标的面积分（第二类面积分）
n
1. 定义  R(x, y, z)dxdy  lim  R( ,, )(S )
i i i i xy
0
 i1
2. 性质  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy
 
（与积分曲面的方向有关）26武忠祥考研
3. 计算方法
1) 直接法:
设曲面： z  z(x, y), (x, y) D
 R(x, y, z)dxdy   R(x, y, z(x, y))d
 D
2) 高斯公式:
 P Q R 
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy      dV

x y z

 
外
3) 补面用高斯公式.
4.两类面积分的联系
 (P cos Q cos Rcos)dS   (Pdydz  Qdzdx  Rdxdy)
 【例】(24年1）设 P  P(x, y, z),Q  Q(x, y, z) 均为连续函数,  为曲面
z  1  x 2  y 2 (x  0, y  0) 的上侧，则  Pdydz  Qdzdx （ ）

 x y   x y 
（A）  P  Q  d x d y . （B）   P  Q dxdy.
 z z   z z 
 
 x y   x y 
（C）   P  Q  d x d y . （D）   P  Q dxdy.
 z z   z z 
 
【解1】直接法  (P cos Q cos Rcos)dS   (Pdydz  Qdzdx  Rdxdy)
 
cosdS  dydz, cosdS  dzdx, cosdS  dxdy (cos,cos,cos)  (x, y, z)
cos x cos y
dydz  dxdy  dxdy dzdx  dxdy  dxdy
cos z cos z
【解2】排除法题型一 计算三重积分 26武忠祥考研
【例1】计算  z 2 dV , 其中  由

所确定.
x 2  y 2  z 2  R 2 , x 2  y 2  z 2  2Rz(R  0)
R
R
【解】 原式   2 dz  z 2 dxdy   dz  z 2 dxdy
R
0
x
2
y
22Rzz 2
2
x
2
y
2R 2z 2
R
R
  2z 2 (2Rz  z 2 )dz   z 2 (R 2  z 2 )dz
R
0
2
59
 R 5
48026武忠祥考研
【例2】计算  zdV , 其中  由 x 2  y 2  z 2  z 和 x 2  y 2  z 2  2z 所确定.


2 2cos 5
【解1】原式   d 2 d r cosr 2 sindr  
0 0 cos 4
【解2】设  : x 2  y 2  z 2  z, : x 2  y 2  z 2  2z
1 2
 zdV   zdV   zdV
  
2 1
方法1 (先二后一）
4
2
 zdV   dz zdxdy   2 z(2z  z 2 )dz  
0
0 3
 D
2 z
4 4
方法2（形心公式）  zdV  z V  1   
3 3

2
4
方法3（奇偶性）  zdV   [(z  1)  1]dV  
3
 
2 226武忠祥考研
 y 2  2z
【例3】计算 I   (x 2  y 2 )dV , 其中  由曲线  , 绕
 x  0

oz 轴旋转一周而成的曲面和平面 z  2, z  8 所围的立体
【解1】 2 2 8 2 4 8
I   d dr  r 3 dz   d dr  r 3 dz
2
r
0 0 2 0 2
2
 336
8 2 2z
【解2】 I   dz  d r 3 dr  336
2 0 026武忠祥考研
【例4】计算  (mx  ly  nz) 2 dV , : x 2  y 2  z 2  a 2 .

【解】  (mx  ly  nz) 2 dV  : x 2  y 2  z 2  a 2 .

  (m 2 x 2  l 2 y 2  n 2 z 2 )dV

l 2  m 2  n 2
  (x 2  y 2  z 2 )dV
3

4a 5
 (m 2  l 2  n 2 )
1526武忠祥考研
【例5】设 f (t) 连续, F (t)  [z 2  f ( x 2  y 2 )]dv, 其中  由

dF F(t)
x 2  y 2  t 2 ,0  z  h, 所确定. 求 , lim .
2
dt
t0
 t
2 t h
【解】 F(t)   d dr  [z 2  f (r 2 )]rdz
0 0 0
1
t
 2 [ h 3  hf (r 2 )]rdr
0 3
2h 3
F  (t)  t  2htf (t 2 )
3
F(t) F  (t) 
lim  lim  h 3 hf (0)
2
t0  t t0  2t 326武忠祥考研
sin z
1 x y
【例6】计算
I   dx  dy  dz
0 0 0 (1  z) 2
sin z
1 x x
【解】 I   dx  dz  dy 降维打击
0 0 z (1  z) 2
(x  z)sin z
1 x
  dx  dz
0 0 (1  z) 2
(x  z)sin z
1 1
  dz  dx
0 z (1  z) 2
1 1
1
  sin zdz  (1  cos1)
2 0 2题型二 计算对弧长的线积分 26武忠祥考研
2 2
x y
【例1】设 L 是椭圆   1, 其周长为 a, 则
4 3
 (2xy  3x 2  4 y 2 )ds  _____ .
L
【解】  (2xy  3x 2  4 y 2 )ds   (3x 2  4 y 2 )ds
L L
2 2
x y
 12  (  )ds
L 4 3
 12a26武忠祥考研
【例2】计算 I   [x 2  ( y  1) 2 ]ds, 其中 L 为 x 2  y 2  Rx(R  0).
L
【解】
I   (x 2  y 2  2 y  1)ds
L
 R  xds R
L
R 3
 R
2
R R R R 2
方法1 
xds   [(x  )  ]ds   ds 
L L 2 2 2 L 2
方法2 
R 2
xds  x  l 
L
226武忠祥考研
【例3】计算 I   | y | ds, 其中 C 为双纽线 (x 2  y 2 ) 2  a 2 (x 2  y 2 )(a  0).
C
【解】 r 2  a 2 cos 2.

I  4  4 r sin r 2  r 2 d
0

2
 4a 2  4 sind  4a 2 (1  )
0 226武忠祥考研
x 2  y 2  z 2  R 2
【例4】计算 I   x 2 ds, 其中 L 为 
x  y  z  0
L
2 2
R 3 x R
【解1】直接法 x 2  xy  y 2  x 2  ( y  ) 2 
2 4 2 2
2 R R
参数方程为：
x  Rcos t, y  sin t  cos t,
3 2 6
R R
z   sin t  cos t,
2 6
2R 3 2 2
I   x 2 ds   cos 2 tdt  R 3
3 0 3
L
【解2】对称性.
1 1 2
I   x 2 ds   ( x 2  y 2  z 2 )ds   R 2 ds  R 3
3 L 3 L 3
L26武忠祥考研
题型三 计算对坐标的线积分
【例1】计算 I   ye y 2 dx  (xe y 2  2xy 2 e y 2 )dy 其中 L 为 y  3 x
L
从 到 的曲线段.
O(0,0) A(1,1)
P Q
分析 2 2
  e y  2 y 2 e y
y x
【解1】 改换路径
1
原式  0   (e y 2  2 y 2 e y 2 )dy  e
0
1
原式
 0   edx  e
0
【解2】 利用原函数 ye y 2 dx  (xe y 2  2xy 2 e y 2 )dy 
2 2 2
( ye y )dx  xd( ye y )  d(xye y )
(1,1)
2 2 2 2
 ye y dx  (xe y  2xy 2 e y )dy  x ye y  e
L (0,0)26武忠祥考研
【例3】计算 I   [e x sin y  b(x  y)]dx  [e x cos y  ax]dy 其中
L
a,b 为正常数, L 为从点 A(2a,0) 沿曲线 y  2ax  x 2 到点
的弧.
O(0,0)
【解】补线段
OA
I    
LOA OA
2a
  (b  a)d  (bx)dx
0
D
a 2
2a
  (b  a)d b  xdx  (b  a)  2a 2 b
0 2
D26武忠祥考研
ydx  xdy
【例4】计算 I   , 其中
x 2  y 2
C
1
(1) C 为 x 2  y 2  2 y   沿逆时针方向;
2
(2)
C 为 4x 2  y 2  8x  4 沿逆时针方向.
1
【解】（1）
C : x 2  ( y  1) 2 
2
Q P
I   (  )d
x y
D
x 2  y 2 x 2  y 2
  (  )d  0
(x 2  y 2 ) 2 (x 2  y 2 ) 2
D
(x  1) 2 y 2
（2） C :   1, L : x 2  y 2  2 ( 0) 且取顺时针方向，
2 8
ydx  xdy x 2  y 2 x 2  y 2
   (  )d  0
LC x 2  y 2 (x 2  y 2 ) 2 (x 2  y 2 ) 2
D26武忠祥考研
xdx  xdy ydx  xdy
    0
L x 2  y 2 C x 2  y 2
ydx  xdy ydx  xdy
I    
C x 2  y 2 L x 2  y 2
1
   ydx  xdy
2
L
1
  (1 1)d
2
D
1
 1
 22  2
226武忠祥考研
ydx  xdy y  x
注：对线积分  , P  ,Q  , 除原点
x 2  y 2 x 2  y 2 x 2  y 2
P Q
(0,0) 外， P,Q 有连续一阶偏导数,且  ,(x, y)  (0,0)
y x
此时有以下结论：
1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积
分为零.
2）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分
均相等.
(x  y)dx  (x  y)dy (x  y)dx  (x  y)dy
 
, ,
L x 2  y 2 L x 2  y 2
xdy ydx xdy  ydx
 
L 4x 2  y 2 L x 2  y 226武忠祥考研
xdy  ydx
【例5】计算 I   , 其中 L 是以 (1,0) 为中心, R
4x 2  y 2
L
为半径的圆周 取逆时针方向.
(R  1)
P Q y 2  4x 2
【解】
  , (x, y)  (0,0)
y x (4x 2  y 2 ) 2
（1）若 R  1, 则 (0,0) 点不在 L 曲线围成区域内,则
I  0
（2）若 R  1, 则 (0,0) 点在曲线 L 所围区域内,选
为椭圆 且取逆时针方向,则
L 4x 2  y 2  1
xdy  ydx
I     xdy  ydx   (1  1)d  
4x 2  y 2
L
L D4x  y x  y
【例】(2020年） 计算曲线积分 I   dx  dy, 其中
4x 2  y 2 4x 2  y 2
L
L 是 x 2  y 2  2 ,方向为逆时针方向.
P Q y 2  4x 2  8xy
【解】   , (x, y)  (0,0)
y x (4x 2  y 2 ) 2
L 是 4x 2  y 2  1 ,方向为逆时针方向.
1
4x  y x  y
I   dx  dy
4x 2  y 2 4x 2  y 2
L
1
I   (4x  y)dx  ( x  y)dy   (1  1)dxdy  
L D
1【例】(2021年）设 D  R 2 是有界单连通封闭区域, I(D)   (4  x 2  y 2 )dxdy
D
取得最大值的积分区域记为
D
1
（1）求 的值；
I(D )
1
(xe x
24y 2
 y)dx  (4 ye x
24y 2
 x)dy
（2）计算  ,其中 D 是 D 的正向边界.
x 2  4 y 2 1 1
D
1
【解】（ 1 ） I(D )   (4  x 2  y 2 )dxdy  8
1
x
2
y
24
P Q
（2）  , (x, y)  (0,0)
y x
(xe x
24y 2
 y)dx  (4 ye x
24y 2
 x)dy
   (xe x 24y 2  y)dx  (4 ye x 24y 2  x)dy
x 2  4 y 2
D
1 x
24y 21
  (1  1)d  
x
24y 2126武忠祥考研
xdy  ydx
【例6】 已知曲线积分   A (常数),其中 ( x) 有连
L ( x)  y 2
续导数且 (1)  1. L 是绕(0,0)一周的任一分段光滑正
向闭曲线,试求 (x) 及 A.
P Q
【解】  (x, y)  (0,0).
y x
x (x)  2(x)
(x)  Cx 226武忠祥考研
【例7】设 f (x) 有二阶连续导数, f (1)  f  (1)  1 ,且
2
y y y
 [  xf ( )]dx  [ y  xf  ( )]dy  0
x x x
L
其中 L 是右半平面 x  0 内任一分段光滑简单闭曲线,求 f (x).
【解】由题设条件知，在 x  0 处
 y 2 y  y
[  xf ( )]  [ y  xf  ( )]
y x x x x
y y y y y
2  f  ( )   f  ( )  f  ( )
x x x x x
y 2
令  t ，则 tf  (t)  2 f  (t)  2t f  (t)  f  (t)  2
x t
2
f  (t)  t 2 [  C ]  2t  C t 2 f (x)  x 3  x 2  1
1 1
t祝同学们
考研路上一路顺利！