(225)--高数强化23笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（23） 23 三重积分、线积分的计算方法及举例 P254-P262 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 (四) 对面积的面积分（第一类面积分） n 1. 定义  f (x, y, z)dS  lim  f ( ,, )S i i i i 0  i1 2. 性质  f (x, y, z)dS   f (x, y, z)dS   （与积分曲面的方向无关） 3.计算方法 1 . 直接法:  : z  z(x, y), (x, y) D  f (x, y, z)dS   f (x, y, z(x, y)) 1  z 2  z 2 d x y  D26武忠祥考研 2. 利用奇偶性 若曲面 关于 面对称,则  xoy  2  f (x, y, z)dS, f (x, y,z)  f (x, y, z)   f (x, y, z)dS    z0    0, f (x, y,z)   f (x, y, z) 3.利用对称性 (五) 对坐标的面积分（第二类面积分） n 1. 定义  R(x, y, z)dxdy  lim  R( ,, )(S ) i i i i xy 0  i1 2. 性质  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   （与积分曲面的方向有关）26武忠祥考研 3. 计算方法 1) 直接法: 设曲面： z  z(x, y), (x, y) D  R(x, y, z)dxdy   R(x, y, z(x, y))d  D 2) 高斯公式:  P Q R   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy      dV  x y z    外 3) 补面用高斯公式. 4.两类面积分的联系  (P cos Q cos Rcos)dS   (Pdydz  Qdzdx  Rdxdy)  【例】(24年1）设 P  P(x, y, z),Q  Q(x, y, z) 均为连续函数,  为曲面 z  1  x 2  y 2 (x  0, y  0) 的上侧，则  Pdydz  Qdzdx （ ）   x y   x y  （A）  P  Q  d x d y . （B）   P  Q dxdy.  z z   z z     x y   x y  （C）   P  Q  d x d y . （D）   P  Q dxdy.  z z   z z    【解1】直接法  (P cos Q cos Rcos)dS   (Pdydz  Qdzdx  Rdxdy)   cosdS  dydz, cosdS  dzdx, cosdS  dxdy (cos,cos,cos)  (x, y, z) cos x cos y dydz  dxdy  dxdy dzdx  dxdy  dxdy cos z cos z 【解2】排除法题型一 计算三重积分 26武忠祥考研 【例1】计算  z 2 dV , 其中  由  所确定. x 2  y 2  z 2  R 2 , x 2  y 2  z 2  2Rz(R  0) R R 【解】 原式   2 dz  z 2 dxdy   dz  z 2 dxdy R 0 x 2 y 22Rzz 2 2 x 2 y 2R 2z 2 R R   2z 2 (2Rz  z 2 )dz   z 2 (R 2  z 2 )dz R 0 2 59  R 5 48026武忠祥考研 【例2】计算  zdV , 其中  由 x 2  y 2  z 2  z 和 x 2  y 2  z 2  2z 所确定.   2 2cos 5 【解1】原式   d 2 d r cosr 2 sindr   0 0 cos 4 【解2】设  : x 2  y 2  z 2  z, : x 2  y 2  z 2  2z 1 2  zdV   zdV   zdV    2 1 方法1 (先二后一） 4 2  zdV   dz zdxdy   2 z(2z  z 2 )dz   0 0 3  D 2 z 4 4 方法2（形心公式）  zdV  z V  1    3 3  2 4 方法3（奇偶性）  zdV   [(z  1)  1]dV   3   2 226武忠祥考研  y 2  2z 【例3】计算 I   (x 2  y 2 )dV , 其中  由曲线  , 绕  x  0  oz 轴旋转一周而成的曲面和平面 z  2, z  8 所围的立体 【解1】 2 2 8 2 4 8 I   d dr  r 3 dz   d dr  r 3 dz 2 r 0 0 2 0 2 2  336 8 2 2z 【解2】 I   dz  d r 3 dr  336 2 0 026武忠祥考研 【例4】计算  (mx  ly  nz) 2 dV , : x 2  y 2  z 2  a 2 .  【解】  (mx  ly  nz) 2 dV  : x 2  y 2  z 2  a 2 .    (m 2 x 2  l 2 y 2  n 2 z 2 )dV  l 2  m 2  n 2   (x 2  y 2  z 2 )dV 3  4a 5  (m 2  l 2  n 2 ) 1526武忠祥考研 【例5】设 f (t) 连续, F (t)  [z 2  f ( x 2  y 2 )]dv, 其中  由  dF F(t) x 2  y 2  t 2 ,0  z  h, 所确定. 求 , lim . 2 dt t0  t 2 t h 【解】 F(t)   d dr  [z 2  f (r 2 )]rdz 0 0 0 1 t  2 [ h 3  hf (r 2 )]rdr 0 3 2h 3 F  (t)  t  2htf (t 2 ) 3 F(t) F  (t)  lim  lim  h 3 hf (0) 2 t0  t t0  2t 326武忠祥考研 sin z 1 x y 【例6】计算 I   dx  dy  dz 0 0 0 (1  z) 2 sin z 1 x x 【解】 I   dx  dz  dy 降维打击 0 0 z (1  z) 2 (x  z)sin z 1 x   dx  dz 0 0 (1  z) 2 (x  z)sin z 1 1   dz  dx 0 z (1  z) 2 1 1 1   sin zdz  (1  cos1) 2 0 2题型二 计算对弧长的线积分 26武忠祥考研 2 2 x y 【例1】设 L 是椭圆   1, 其周长为 a, 则 4 3  (2xy  3x 2  4 y 2 )ds  _____ . L 【解】  (2xy  3x 2  4 y 2 )ds   (3x 2  4 y 2 )ds L L 2 2 x y  12  (  )ds L 4 3  12a26武忠祥考研 【例2】计算 I   [x 2  ( y  1) 2 ]ds, 其中 L 为 x 2  y 2  Rx(R  0). L 【解】 I   (x 2  y 2  2 y  1)ds L  R  xds R L R 3  R 2 R R R R 2 方法1  xds   [(x  )  ]ds   ds  L L 2 2 2 L 2 方法2  R 2 xds  x  l  L 226武忠祥考研 【例3】计算 I   | y | ds, 其中 C 为双纽线 (x 2  y 2 ) 2  a 2 (x 2  y 2 )(a  0). C 【解】 r 2  a 2 cos 2.  I  4  4 r sin r 2  r 2 d 0  2  4a 2  4 sind  4a 2 (1  ) 0 226武忠祥考研 x 2  y 2  z 2  R 2 【例4】计算 I   x 2 ds, 其中 L 为  x  y  z  0 L 2 2 R 3 x R 【解1】直接法 x 2  xy  y 2  x 2  ( y  ) 2  2 4 2 2 2 R R 参数方程为： x  Rcos t, y  sin t  cos t, 3 2 6 R R z   sin t  cos t, 2 6 2R 3 2 2 I   x 2 ds   cos 2 tdt  R 3 3 0 3 L 【解2】对称性. 1 1 2 I   x 2 ds   ( x 2  y 2  z 2 )ds   R 2 ds  R 3 3 L 3 L 3 L26武忠祥考研 题型三 计算对坐标的线积分 【例1】计算 I   ye y 2 dx  (xe y 2  2xy 2 e y 2 )dy 其中 L 为 y  3 x L 从 到 的曲线段. O(0,0) A(1,1) P Q 分析 2 2   e y  2 y 2 e y y x 【解1】 改换路径 1 原式  0   (e y 2  2 y 2 e y 2 )dy  e 0 1 原式  0   edx  e 0 【解2】 利用原函数 ye y 2 dx  (xe y 2  2xy 2 e y 2 )dy  2 2 2 ( ye y )dx  xd( ye y )  d(xye y ) (1,1) 2 2 2 2  ye y dx  (xe y  2xy 2 e y )dy  x ye y  e L (0,0)26武忠祥考研 【例3】计算 I   [e x sin y  b(x  y)]dx  [e x cos y  ax]dy 其中 L a,b 为正常数, L 为从点 A(2a,0) 沿曲线 y  2ax  x 2 到点 的弧. O(0,0) 【解】补线段 OA I     LOA OA 2a   (b  a)d  (bx)dx 0 D a 2 2a   (b  a)d b  xdx  (b  a)  2a 2 b 0 2 D26武忠祥考研 ydx  xdy 【例4】计算 I   , 其中 x 2  y 2 C 1 (1) C 为 x 2  y 2  2 y   沿逆时针方向; 2 (2) C 为 4x 2  y 2  8x  4 沿逆时针方向. 1 【解】（1） C : x 2  ( y  1) 2  2 Q P I   (  )d x y D x 2  y 2 x 2  y 2   (  )d  0 (x 2  y 2 ) 2 (x 2  y 2 ) 2 D (x  1) 2 y 2 （2） C :   1, L : x 2  y 2  2 ( 0) 且取顺时针方向， 2 8 ydx  xdy x 2  y 2 x 2  y 2    (  )d  0 LC x 2  y 2 (x 2  y 2 ) 2 (x 2  y 2 ) 2 D26武忠祥考研 xdx  xdy ydx  xdy     0 L x 2  y 2 C x 2  y 2 ydx  xdy ydx  xdy I     C x 2  y 2 L x 2  y 2 1    ydx  xdy 2 L 1   (1 1)d 2 D 1  1  22  2 226武忠祥考研 ydx  xdy y  x 注：对线积分  , P  ,Q  , 除原点 x 2  y 2 x 2  y 2 x 2  y 2 P Q (0,0) 外， P,Q 有连续一阶偏导数,且  ,(x, y)  (0,0) y x 此时有以下结论： 1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积 分为零. 2）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分 均相等. (x  y)dx  (x  y)dy (x  y)dx  (x  y)dy   , , L x 2  y 2 L x 2  y 2 xdy ydx xdy  ydx   L 4x 2  y 2 L x 2  y 226武忠祥考研 xdy  ydx 【例5】计算 I   , 其中 L 是以 (1,0) 为中心, R 4x 2  y 2 L 为半径的圆周 取逆时针方向. (R  1) P Q y 2  4x 2 【解】   , (x, y)  (0,0) y x (4x 2  y 2 ) 2 （1）若 R  1, 则 (0,0) 点不在 L 曲线围成区域内,则 I  0 （2）若 R  1, 则 (0,0) 点在曲线 L 所围区域内,选 为椭圆 且取逆时针方向,则 L 4x 2  y 2  1 xdy  ydx I     xdy  ydx   (1  1)d   4x 2  y 2 L L D4x  y x  y 【例】(2020年） 计算曲线积分 I   dx  dy, 其中 4x 2  y 2 4x 2  y 2 L L 是 x 2  y 2  2 ,方向为逆时针方向. P Q y 2  4x 2  8xy 【解】   , (x, y)  (0,0) y x (4x 2  y 2 ) 2 L 是 4x 2  y 2  1 ,方向为逆时针方向. 1 4x  y x  y I   dx  dy 4x 2  y 2 4x 2  y 2 L 1 I   (4x  y)dx  ( x  y)dy   (1  1)dxdy   L D 1【例】(2021年）设 D  R 2 是有界单连通封闭区域, I(D)   (4  x 2  y 2 )dxdy D 取得最大值的积分区域记为 D 1 （1）求 的值； I(D ) 1 (xe x 24y 2  y)dx  (4 ye x 24y 2  x)dy （2）计算  ,其中 D 是 D 的正向边界. x 2  4 y 2 1 1 D 1 【解】（ 1 ） I(D )   (4  x 2  y 2 )dxdy  8 1 x 2 y 24 P Q （2）  , (x, y)  (0,0) y x (xe x 24y 2  y)dx  (4 ye x 24y 2  x)dy    (xe x 24y 2  y)dx  (4 ye x 24y 2  x)dy x 2  4 y 2 D 1 x 24y 21   (1  1)d   x 24y 2126武忠祥考研 xdy  ydx 【例6】 已知曲线积分   A (常数),其中 ( x) 有连 L ( x)  y 2 续导数且 (1)  1. L 是绕(0,0)一周的任一分段光滑正 向闭曲线,试求 (x) 及 A. P Q 【解】  (x, y)  (0,0). y x x (x)  2(x) (x)  Cx 226武忠祥考研 【例7】设 f (x) 有二阶连续导数, f (1)  f  (1)  1 ,且 2 y y y  [  xf ( )]dx  [ y  xf  ( )]dy  0 x x x L 其中 L 是右半平面 x  0 内任一分段光滑简单闭曲线,求 f (x). 【解】由题设条件知，在 x  0 处  y 2 y  y [  xf ( )]  [ y  xf  ( )] y x x x x y y y y y 2  f  ( )   f  ( )  f  ( ) x x x x x y 2 令  t ，则 tf  (t)  2 f  (t)  2t f  (t)  f  (t)  2 x t 2 f  (t)  t 2 [  C ]  2t  C t 2 f (x)  x 3  x 2  1 1 1 t祝同学们 考研路上一路顺利！