(206)--高数强化04笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26武忠祥考研 26高数强化（4） 4 求极限常用方法，求极限常见类型 P28-P37 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研  5. 1 ”型极限 “ 常用的方法有三种 1 1）凑基本极限 lim[1 (x)] (x)  e; 其中 lim(x)  0 ((x)  0). 2）改写成指数 lim[ f (x)] g(x)  lime g(x)ln f (x) 用洛必达法则； 3）利用结论：若 且 lim(x)  0,lim(x)  , lim(x)(x)  A. 则 lim(1 (x)) (x)  e A 可以归纳为以下三步: 1)写标准形式 原式  lim[1 (x)] (x) ; 2)求极限 lim(x)(x)  A; 3)写结果 原式  e A .26武忠祥考研 1 【例1】求极限 lim (cos x)x .  x0 cos x1 1  1    x 【解1】 lim (cos x)x  lim  1  (cos x  1) cos x1 x0  x0    1  ( x) 2 cos x  1 1 2 lim  lim   x0  x x0  x 2 1 1  lim (cos x)x  e 2 .  x026武忠祥考研 1 lncos x 【解2】 lim (cos x) x  lim e x   x0 x0  sin x 1  ln cos x cos x 2 x lim  lim  x  1 x0 x0 1 tan x 1   lim   2  x 2 x  0 1 1   【解3】由于 (cos x)x  1  (cos x  1) x 1  ( x) 2 cos x  1 1 2 lim  lim    x  x 2 x0 x0 1 1  则 lim (cos x)x  e 2 .  x026武忠祥考研 1 arcsin x 【例2】 求极限 lim( )1cos x . x0 x 1 1  arcsin x  1cos x  arcsin x  x  1cos x 【解】 由于    1    x   x  1 3 x arcsin x  x 1 而 6 lim  lim (arcsin x  x ~ x 3 ) x0 x(1  cos x) x0 1 6 3 x 2 1  3 1 则 原式  e 326武忠祥考研 x  x 2  【例3】极限 lim     x (x  a)(x  b) ab ba (A) 1 (B) e (C) e (D) e x x x  x 2   x   x  【解1】直接法 lim    lim      x (x  a)(x  b) x x  a   x  b  x  a  b  lim1   (1  ) x x x  x  e a  e b  e ab26武忠祥考研 x  x 2  【例3】极限 lim     x (x  a)(x  b) ab ba (A) 1 (B) e (C) e (D) e 【解2】排除法26武忠祥考研 1 【例4】求极限 lim(cos 2x  2x sin x)x 4 . x0 1 ln(cos2x2xsin x) lim 【解1】(标准答案)因为 lim(cos 2x  2x sin x)x 4  ex0 x 4 x0 ln(cos 2x  2x sin x) 1  2sin 2x  2sin x  2x cos x lim  lim  x0 x 4 x0 cos 2x  2x sin x 4x 3  2cos 2x  2cos x  x sin x  lim 2 x0 6x 4sin 2x  3sin x  x cos x  lim x0 12x 1  3 1 1 所以 lim(cos 2x  2x sin x)x 4  e3 . x026武忠祥考研 1 【例4】求极限 lim(cos 2x  2x sin x)x 4 . x0 1 【解2】 原式  lim[1  2sin 2 x  2x sin x]x 4 x0 3 x 2x   2sin 2 x  2x sin x 2sin x(x  sin x) 1 6 lim  lim  lim  x0 x 4 x0 x 4 x0 x 4 3 1 原式  e 326武忠祥考研 6. “ 0 ,0 0 ”型极限 lim[ f (x)] g(x)  lim e g(x)ln f (x) 【例1】求极限 (x x1) lim x .  x0 【解1】 lim x (x x1)  lim e (x x1)ln x   x0 x0 lim (x x  1)ln x  lim (e xln x  1)ln x   x0 x0 1 1 2ln x  2 ln x ln x x x  lim x ln 2 x  lim  lim  2 lim  2 lim  0 x0  x0  1 x0  1 x0  1 x0  1   x x 2 x x 2 原式  126武忠祥考研 1 1 【例2】求极限 lim (x x  1)ln x . x 1 ln x 1 1 ln( x x  1) ln(e x  1) 【解1】令 y  (x x  1)ln x , 则 l n y   ln x ln x ln x xe x 1  ln x lim ln y  lim  （洛必达法则） ln x 2 x x x e x  1 ln x 由于 lim  0, 则 x x ln x xe x 1  ln x 1  ln x lim ln y  lim   lim  1 x x ln x x 2 x ln x x 1 1 故 lim (x x  1)ln x  e 1 x26武忠祥考研 1 1 【例2】求极限 lim (x x  1)ln x . x 1 ln x lnx ln( x x  1) ln(e x  1) ln(e x  e 0 ) 【解2】 ln y    ln x ln x ln x ln x  ln(e ) x  （拉格朗日中值定理） ln x  ln ln x  ln x  ln x 1 1 则 lim ln y  1, lim (x x  1)ln x  e 1 . x x26武忠祥考研 1 1 【例2】求极限 lim (x x  1)ln x . x lnx ln(e x  1) 【解3】 lim ln y  lim x x ln x   ln x   e x  1 ln x ln    ln  ln x  x    x  ln ln x  ln x  lim  lim  1 x ln x x ln x 1 1 则 lim (x x  1)ln x  e 1 . x26武忠祥考研 （二）数列的极限 1. 不定式的极限   【例1】求极限 lim n arctan n  .   n  2   arctan n  2 【解】原式  lim 1 n n  arctan x  2  lim （改写成函数极限） 1 x x 1 1  x 2  lim  1 1 x  2 x26武忠祥考研 n  1  (1  ) n   n 【例2】求极限 lim .   n e     n  1  1 nln(1 ) n 2 ln(1 )  e n  e n n 2 ln(1 1 )n 【解】原式  lim  lim  lim e n   n n e n e n      1  lim n  n 2 ln(1  )   n n  1 1  1 1 1  lim n 2  ln(1  )  lim n 2  ( ) 2    n n n  n 2 n 2 1  则 原式  e 2 .26武忠祥考研 【例3】求下列极限 n 100  ln 10 n 2 n  (n!) ln 10 n （1） （2） lim ; lim . n n n 2 n n 【解】（1）由于当 n   时, ln  n  n   a n  n! n n,其中  0,  0,a  1. n 100  ln 10 n n 100 ln 10 n 则 lim  lim  lim  0 n （ ）n n n 2 n 2 n ( 2 ) x 2 n  (n!)  ln 10 n 若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim x  0. （ 2 ） 令 x  , n n n n x n n n 1 ln n  ln(1  ) x 2n n ln(n  1) 2 2 则 li m n1  lim [ ] 10  lim [ n ] 10  n x n (n  1) n ln n n 1 ln n e n (1  ) n n 2 n  (n!) ln 10 n 则 lim  0. n n n26武忠祥考研 2.n 项和的数列极限 常用方法: 1）夹逼原理 2）定积分定义 3）级数求和  n n n  【例1】求极限 lim       nn 2  1 n 2  2 n 2  n 2 2 n  n n n  n 【解】由于         n 2  n n 2  1 n 2  2 n 2  n n 2  1 2 2 n n 且 l im  lim  1 n n 2  n n n 2  1  n n n  则 l im      1   nn 2  1 n 2  2 n 2  n26武忠祥考研  n n n  【例2】求极限 lim       nn 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2   n n n  【解】 li m       nn 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2      1 1 1 1  lim       n n 1 2 n 1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2   n n n  1  1   dx  01  x 2 4 1 【注】先提“可爱因子” n 1 n k 1 一种常见的极限式 li m  f ( )   f (x)dx n n n 0 k126武忠祥考研 小结： 1.变化部分是主体次量级，用夹逼原理. 2.变化部分与主体同量级，用定积分定义；  n n n  【例1】求极限 lim       nn 2  1 n 2  2 n 2  n  n n n  【例2】求极限 lim       nn 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 26武忠祥考研   2 n  sin sin sin  n n n 【例3】求极限 lim       ; n n  1 1 1   n  n    2 n    2 n  sin sin sin  1   2 n n n n 【解】 sin  sin    sin         n  1 n n n   n  1 1 1   n  n    2 n  1   2 n  1   2 n   sin  sin    sin  sin  sin    sin  1  n n n  n  n n n  n  n 1   2 n  2 1 原式  lim sin  sin    sin    sin(x)dx  n n  n n n  0  1 n n  1  【例4】求极限  lim k ln(n  k)  ln n   2 nn 2n  k1 1  n k n  1  【解】原式   lim ln(n  k)  ln n   n n  n 2  k1 1  n k n k     lim ln(n  k)  ln n   n n  n n  k1 k1 n 1 k k   lim ln(1  ) n n n n k1 1 1   x ln(1  x)dx  0 426武忠祥考研 2 3 n 【例5】设 x  1      , 则 lim x  _______. n 2 2 2 2 n1 n n  n 【分析】由级数定义知 lim x   , 考虑幂级数 n n1 n 2 n1   n 1 S(x)   nx n1 , 则 lim x    S( ), n n1 n 2 2 n1 n1 所以，先求 S(x).        1  1 【解】 S(x)   nx n1    x n         1  x  (1  x) 2 n1 n0  n 1 1 则 l im x    S( )   4 n n1 1 n 2 2 n1 (1  ) 2 2 【注】本题数学二不要求.26武忠祥考研 【例6】 证明 lim n a n  a n    a n  maxa , 其中 1 2 m i n 1im a  0 (i  1,2,,m) ，并利用该结论求下列极限 i 1） lim n 1  2 n  3 n n 1 2） lim(a n  b n )n (0  a  b) n 2 x 3） lim n 1  x n  ( ) n ,(x  0) n 226武忠祥考研 n 3. 项连乘的数列极限 常用方法: 1）夹逼原理 2）取对数化为n项和 1 3 2n  1 【例1】设 a  n   , 求 lim a ; n n 2 4 2n n 【解】显然 a  1, 又 n n 1 3 2n  1 n 3 5 2n  1 1 n 1 a         n 2 4 2n 2 4 2n  2 2n 2n n 1 1 lim  lim  1 n 2n n n 2  n n 则 lim a  1 n n26武忠祥考研 1 【例2】求极限 lim n (n  1) (n  2)(n  n) n n 1 【解】令 y  n (n  1)(n  2)(2n), 则 n n 1  lim ln y  lim [ln(n  1)  ln(n  2)    ln(2n)]  ln n   n n nn  1    lim ln(n  1)  ln(n  2)    ln(2n)  nln n n n 1  1 2 n   lim ln(1  )  ln(1  )    ln(1  )   n n  n n n  1   ln(1  x)dx  2ln 2  1 0 4 则 原式  e 2ln21  e n n! 1 【注】同样的方法可求得 lim  . n n e26武忠祥考研 4.递推关系 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 定义的数列 1 n1 n 常用方法: 方法1：先证   收敛（单调有界准则），然后等式 x n x  f (x ) 两端取极限得 A  f ( A) ，由此求得极限 A n1 n 方法2：先令 lim x  A, 然后等式 x  f (x ) 两端取极限 n n1 n n 解得 A, 最后再证明 lim x  A. n n 单调性判定常用三种方法 x 1) x  x  0 ( 0), 2）若  x  不变号，且 n1  1 ( 1), n1 n n x n   3）设数列 x 由 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 所确定 n 1 n1 n （1）若 单调增，则 f ( x) 当 x  x 时， x  单调增； 当 x  x 时， x  单调减； 1 2 n 1 2 n   （2）若 单调减，则 不单调； f ( x) x n26武忠祥考研 有界性判定常用三种方法 常用不等式 1）归纳法 1) 2ab  a 2  b 2 2）若数列递增（减） 2) sin x  x  tan x 则极限为上（下）界. x 3)  ln(1  x)  x 3）常用不等式 1  x 4) 1  x  e x 关于几个网传结论：   1）若 x  f (x ), 且 f  (x)  k  1, 则数列 x 收敛. n1 n n 2）若 x  f (x ),a  f (a), 且 f  (x)  k  1, 则 lim x  a. n1 n n n26武忠祥考研 【例1】设 0  x  3, x  x (3  x ), (n  1,2,), 1 n1 n n 证明：数列 {x } 极限存在并求此极限。 n 【证】由 0  x  3, x  x (3  x ) 知， 0  x  3, 1 n1 n n n 1 3 从而有 x  x (3  x )  [( x ) 2  ( 3  x ) 2 ]  . n1 n n n n 2 2 x (3  x )  x 2 而 x  x  x (3  x )  x  n n n n1 n n n n x (3  x )  x n n n x (3  2x )  n n  0 x (3  x )  x n n n x 3 3 则  x  单调增，或者由 n1   1   1  1 n x x 3 n n 226武忠祥考研 知  递增,又   上有界，则 存在， x x lim x n n n n 设 lim x  a, 则 a  a(3  a), n n 3 由此解得 a  或 a  0, （舍去) 2 3 则 lim x  n n 226武忠祥考研 【例2】设 x  6,x  6  6,, x  6  6  6    6 , 求极限 lim x . 1 2 n n n 【解1】 令 由于 x  6  x , f (x)  6  x, n1 n 1 f  (x)   0, 则 f ( x) 单调增，又 x  x , 1 2 2 6  x 则 单调增. {x } n x  6  3, 若 x  3, 则 x  6  x  3, 1 n1 n n1   从而, 数列 x 上有界，则 lim x 存在，设 lim x  a. 则 n n n n n a  6  a 解得 a  3 或 a   2 （舍去）则 lim x  3. n n26武忠祥考研 【例2】设 x  6,x  6  6,, x  6  6  6    6 , 1 2 n 求极限 lim x . n n 【解2】直接证明 lim x  3 n n 由 知 x  6  x n n1 x  3 1 x  3  6  x  3  n1  x  3 n n1 6  x  3 3 n1 n1 1    x  3  0,(n  ), n1 1 3 则 l im x  3. n n26武忠祥考研 【例3】设 x  0, x  1  e x n , n  1,2,. 1 n1   (1)证明数列 收敛,并求极限 x lim x . n n n x x (2)求极限 lim n n1 . n x  x n n1 【证】(1)由于 x  0, x  1  e x n , 由归纳法可知 x  0. 1 n1 n x 1  e x n e 0  e x n n1    e   1 x x x n n n x  x  (1  x )  e x n  0 (1  x  e x ) n1 n n   f (x)  1  e x , f  (x)  e x  0, x 单调, 0  x  1 n n lim x 存在，令 lim x  a, 则 a  1  e a ,a  0. n n n n26武忠祥考研 【例3】设 x  0, x  1  e x n , n  1,2,. 1 n1   (1)证明数列 收敛,并求极限 x lim x . n n n x x (2)求极限 lim n n1 . n x  x n n1 x x x (1  e x n ) x(1  e x ) 【 解 】 (2) lim n n1  lim n  lim n x  x n x  1  e x n x0 x  1  e x n n1 n 2 x 2x  lim  lim  2 x0 x  1  e x x0 1  e x26武忠祥考研 1 【例4】设 x  2, x  2  (n  1,2,), 求极限 lim x . 1 n1 x n n n 1 【分析】令 f (x)  2  , 则 x  f (x ) ，显然 f ( x) 在 x  0 x n1 n   处单调减，则 不具有单调性，因此用方法2. x n 1 1 【解】令 lim x  a. 则 lim x  lim(2  ), 即 a  2  , n n1 n n n x a n 则 a  1  2, 由于 x  2, n 则 a  1  2. 以下证明 lim x  1  2. n n 1 1 x  a x  a x  a  (2  )  (2  )  n1  n1 n x a ax 2a n1 n1 x  a x  a x  a  n1  n2    1  0 (n  ) 2 2 n1 2 226武忠祥考研 1 【例5】设 f (x) 可微，且 0  f  (x)  , 数列 x  A, x  f (x ),n  1,2. 0 n n1 2  x 2 证明 lim x 存在且是方程 f (x)  x 的唯一实根. n n   【证1】由于 f  (x)  0, 则数列 x 单调，又 n x x x  f (x )  f (x )   n1 f  (x)dx  f (x )   n1 f  (x)dx n n1 0 0 x x 0 0  dx  f (x )   0  2  x 2 则极限 lim x 存在,设 lim x  a, 则 a  f (a). n n n n 又设 (x)  x  f (x), 则  (x)  1  f  (x)  0, (x) 单调增， a 是方程 x  f (x) 的唯一实根.26武忠祥考研 1 【例5】设 f (x) 可微，且 0  f  (x)  , 数列 x  A, x  f (x ),n  1,2. 2  x 2 0 n n1 证明 lim x 存在且是方程 f (x)  x 的唯一实根. n n  【证2】（数学二不要求）数列  x  收敛等价于级数  (x  x ) 收敛. n n n1 n1 x  x  f (x )  f (x ) n n1 n1 n2  f  ( ) x  x （拉格朗日定理） n1 n1 n2 n1 1  1   x  x     x  x n1 n2 1 0 2  2  则  (x  x ) 收敛. n n1 n126武忠祥考研26武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！