(206)--高数强化04笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26武忠祥考研
26高数强化（4）
4 求极限常用方法，求极限常见类型 P28-P37
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研

5. 1 ”型极限
“
常用的方法有三种
1
1）凑基本极限 lim[1 (x)] (x)  e; 其中 lim(x)  0 ((x)  0).
2）改写成指数 lim[ f (x)] g(x)  lime g(x)ln f (x) 用洛必达法则；
3）利用结论：若 且
lim(x)  0,lim(x)  , lim(x)(x)  A.
则 lim(1 (x)) (x)  e A
可以归纳为以下三步:
1)写标准形式 原式  lim[1 (x)] (x) ;
2)求极限 lim(x)(x)  A;
3)写结果 原式  e A .26武忠祥考研
1
【例1】求极限
lim (cos x)x .

x0
cos x1
1
 1 
  x
【解1】
lim (cos x)x  lim  1  (cos x  1) cos x1
x0  x0   
1
 ( x) 2
cos x  1 1
2
lim  lim  
x0  x x0  x 2
1 1

lim (cos x)x  e 2 .

x026武忠祥考研
1 lncos x
【解2】
lim (cos x) x  lim e x
 
x0 x0
 sin x 1

ln cos x
cos x 2 x
lim  lim
 x  1
x0 x0
1 tan x 1
  lim  
2  x 2
x  0
1
1
 
【解3】由于
(cos x)x  1  (cos x  1) x
1
 ( x) 2
cos x  1 1
2
lim  lim  
 x  x 2
x0 x0
1 1

则 lim (cos x)x  e 2 .

x026武忠祥考研
1
arcsin x
【例2】 求极限 lim( )1cos x .
x0 x
1 1
 arcsin x  1cos x  arcsin x  x  1cos x
【解】 由于
   1  
 x   x 
1
3
x
arcsin x  x
1
而 6
lim  lim (arcsin x  x ~ x 3 )
x0 x(1  cos x)
x0
1
6
3
x
2
1

3
1
则 原式  e 326武忠祥考研
x
 x 2 
【例3】极限 lim  
 
x (x  a)(x  b)
ab ba
(A) 1 (B) e (C) e (D) e
x x x
 x 2   x   x 
【解1】直接法 lim    lim   
 
x (x  a)(x  b) x x  a   x  b 
x
 a  b
 lim1   (1  ) x
x x  x
 e a  e b  e ab26武忠祥考研
x
 x 2 
【例3】极限 lim  
 
x (x  a)(x  b)
ab ba
(A) 1 (B) e (C) e (D) e
【解2】排除法26武忠祥考研
1
【例4】求极限 lim(cos 2x  2x sin x)x 4 .
x0
1 ln(cos2x2xsin x)
lim
【解1】(标准答案)因为 lim(cos 2x  2x sin x)x 4  ex0 x 4
x0
ln(cos 2x  2x sin x) 1  2sin 2x  2sin x  2x cos x
lim  lim 
x0 x 4 x0 cos 2x  2x sin x 4x 3
 2cos 2x  2cos x  x sin x
 lim
2
x0 6x
4sin 2x  3sin x  x cos x
 lim
x0 12x
1

3
1 1
所以 lim(cos 2x  2x sin x)x 4  e3 .
x026武忠祥考研
1
【例4】求极限 lim(cos 2x  2x sin x)x 4 .
x0
1
【解2】 原式  lim[1  2sin 2 x  2x sin x]x 4
x0
3
x
2x 
 2sin 2 x  2x sin x 2sin x(x  sin x)
1
6
lim  lim  lim 
x0 x 4 x0 x 4 x0 x 4 3
1
原式  e 326武忠祥考研
6.
“
0
,0
0 ”型极限
lim[ f (x)] g(x)  lim e g(x)ln f (x)
【例1】求极限 (x x1)
lim x .

x0
【解1】 lim x (x x1)  lim e (x x1)ln x
 
x0 x0
lim (x x  1)ln x  lim (e xln x  1)ln x
 
x0 x0
1 1
2ln x 
2
ln x ln x
x x
 lim x ln 2 x  lim  lim  2 lim  2 lim  0
x0  x0  1 x0  1 x0  1 x0  1
 
x x 2 x x 2
原式  126武忠祥考研
1 1
【例2】求极限 lim (x x  1)ln x .
x
1 ln x
1 1
ln( x x  1) ln(e x  1)
【解1】令 y  (x x  1)ln x , 则 l n y  
ln x ln x
ln x
xe x 1  ln x
lim ln y  lim  （洛必达法则）
ln x 2
x x x
e x  1
ln x
由于 lim  0, 则
x x
ln x
xe x 1  ln x 1  ln x
lim ln y  lim   lim  1
x x ln x x 2 x ln x
x
1 1
故
lim (x x  1)ln x  e
1
x26武忠祥考研
1 1
【例2】求极限 lim (x x  1)ln x .
x
1 ln x lnx
ln( x x  1) ln(e x  1) ln(e x  e 0 )
【解2】
ln y   
ln x ln x ln x
ln x

ln(e )
x
 （拉格朗日中值定理）
ln x
 ln ln x  ln x

ln x
1 1
则 lim ln y  1, lim (x x  1)ln x  e 1 .
x x26武忠祥考研
1 1
【例2】求极限 lim (x x  1)ln x .
x
lnx
ln(e x  1)
【解3】
lim ln y  lim
x x ln x
 
ln x
 
e x  1 ln x
ln    ln
 ln x  x
 
 x  ln ln x  ln x
 lim  lim  1
x ln x x ln x
1 1
则 lim (x x  1)ln x  e 1 .
x26武忠祥考研
（二）数列的极限
1. 不定式的极限
 
【例1】求极限 lim n arctan n  .
 
n  2 

arctan n 
2
【解】原式  lim
1
n
n

arctan x 
2
 lim （改写成函数极限）
1
x
x
1
1  x 2
 lim  1
1
x

2
x26武忠祥考研
n
 1 
(1  ) n
 
n
【例2】求极限
lim .
 
n e
 
 
n
 1  1
nln(1 ) n 2 ln(1 )
 e n  e n n 2 ln(1 1 )n
【解】原式  lim  lim  lim e n
  n
n e n e n
 
 
 1 
lim n  n 2 ln(1  )
 
n n 
1 1 
1 1 1
 lim n 2  ln(1  )  lim n 2  ( ) 2 
 
n n n 
n 2 n 2
1

则 原式  e 2 .26武忠祥考研
【例3】求下列极限
n 100  ln 10 n 2 n  (n!) ln 10 n
（1） （2）
lim ; lim .
n n
n 2 n n
【解】（1）由于当 n   时, ln  n  n   a n  n! n n,其中  0,  0,a  1.
n 100  ln 10 n n 100 ln 10 n
则
lim  lim  lim  0
n （ ）n n
n 2 n 2 n ( 2 )
x
2 n  (n!)  ln 10 n 若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim x  0.
（ 2 ） 令 x  , n
n n
n x n
n n
1
ln n  ln(1  )
x 2n n ln(n  1) 2 2
则 li m n1  lim [ ] 10  lim [ n ] 10 
n x n (n  1) n ln n n 1 ln n e
n (1  ) n
n
2 n  (n!) ln 10 n
则
lim  0.
n
n n26武忠祥考研
2.n 项和的数列极限
常用方法: 1）夹逼原理 2）定积分定义 3）级数求和
 n n n 
【例1】求极限
lim    
 
nn 2  1 n 2  2 n 2  n
2 2
n  n n n  n
【解】由于     

 
n 2  n n 2  1 n 2  2 n 2  n n 2  1
2 2
n n
且 l im  lim  1
n n 2  n n n 2  1
 n n n 
则 l im      1
 
nn 2  1 n 2  2 n 2  n26武忠祥考研
 n n n 
【例2】求极限 lim    
 
nn 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 
 n n n 
【解】 li m    
 
nn 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 
 
 
1 1 1 1
 lim    
 
n n 1 2 n
1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2 
 n n n 
1 
1
  dx 
01  x 2 4
1
【注】先提“可爱因子”
n
1 n k
1
一种常见的极限式 li m  f ( )   f (x)dx
n n n 0
k126武忠祥考研
小结：
1.变化部分是主体次量级，用夹逼原理.
2.变化部分与主体同量级，用定积分定义；
 n n n 
【例1】求极限
lim    
 
nn 2  1 n 2  2 n 2  n
 n n n 
【例2】求极限 lim    
 
nn 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 26武忠祥考研
  2 n
 sin sin sin 
n n n
【例3】求极限 lim       ;
n n  1 1 1 
 n  n  
 2 n 
  2 n
 sin sin sin 
1   2 n
n n n
【解】 sin  sin    sin        
n  1 n n n   n  1 1 1 
 n  n  
 2 n 
1   2 n  1   2 n 
 sin  sin    sin  sin  sin    sin 
1  n n n  n  n n n 
n 
n
1   2 n  2
1
原式  lim sin  sin    sin    sin(x)dx 
n n  n n n  0  1 n n  1 
【例4】求极限 
lim k ln(n  k)  ln n
 
2
nn 2n 
k1
1  n k n  1 
【解】原式 
 lim ln(n  k)  ln n
 
n n  n 2 
k1
1  n k n k 
 
 lim ln(n  k)  ln n
 
n n  n n 
k1 k1
n
1 k k

 lim ln(1  )
n n n n
k1
1 1
  x ln(1  x)dx 
0 426武忠祥考研
2 3 n
【例5】设 x  1      , 则 lim x  _______.
n 2 2 2 2 n1 n
n

n
【分析】由级数定义知 lim x   , 考虑幂级数
n n1
n 2
n1
 
n 1
S(x)   nx n1 , 则 lim x    S( ),
n n1
n 2 2
n1 n1
所以，先求
S(x).
 
     1  1
【解】 S(x)   nx n1    x n     
   1  x  (1  x) 2
n1 n0

n 1 1
则 l im x    S( )   4
n n1 1
n 2 2
n1 (1  ) 2
2
【注】本题数学二不要求.26武忠祥考研
【例6】 证明 lim n a n  a n    a n  maxa , 其中
1 2 m i
n 1im
a  0 (i  1,2,,m) ，并利用该结论求下列极限
i
1） lim n 1  2 n  3 n
n
1
2） lim(a n  b n )n (0  a  b)
n
2
x
3） lim n 1  x n  ( ) n ,(x  0)
n 226武忠祥考研
n
3. 项连乘的数列极限
常用方法: 1）夹逼原理 2）取对数化为n项和
1 3 2n  1
【例1】设 a  n   , 求 lim a ;
n
n
2 4 2n n
【解】显然 a  1, 又
n
n 1 3 2n  1 n 3 5 2n  1 1 n 1
a        
n
2 4 2n 2 4 2n  2 2n 2n
n 1 1
lim  lim  1
n 2n n n 2  n n
则 lim a  1
n
n26武忠祥考研
1
【例2】求极限
lim n (n  1) (n  2)(n  n)
n n
1
【解】令 y  n (n  1)(n  2)(2n), 则
n
n
1 
lim ln y  lim [ln(n  1)  ln(n  2)    ln(2n)]  ln n
 
n
n nn 
1
 
 lim ln(n  1)  ln(n  2)    ln(2n)  nln n
n n
1  1 2 n 
 lim ln(1  )  ln(1  )    ln(1  )
 
n n  n n n 
1
  ln(1  x)dx  2ln 2  1
0
4
则 原式  e 2ln21 
e
n n! 1
【注】同样的方法可求得 lim  .
n n e26武忠祥考研
4.递推关系 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 定义的数列
1 n1 n
常用方法: 方法1：先证   收敛（单调有界准则），然后等式
x
n
x  f (x ) 两端取极限得 A  f ( A) ，由此求得极限 A
n1 n
方法2：先令 lim x  A, 然后等式 x  f (x ) 两端取极限
n n1 n
n
解得 A, 最后再证明 lim x  A.
n
n
单调性判定常用三种方法
x
1) x  x  0 ( 0), 2）若  x  不变号，且 n1  1 ( 1),
n1 n n
x
n
 
3）设数列 x 由 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 所确定
n 1 n1 n
（1）若 单调增，则
f ( x)
当 x  x 时， x  单调增； 当 x  x 时， x  单调减；
1 2 n 1 2 n
 
（2）若 单调减，则 不单调；
f ( x) x
n26武忠祥考研
有界性判定常用三种方法 常用不等式
1）归纳法
1) 2ab  a 2  b 2
2）若数列递增（减）
2) sin x  x  tan x
则极限为上（下）界.
x
3)  ln(1  x)  x
3）常用不等式
1  x
4) 1  x  e x
关于几个网传结论：
 
1）若 x  f (x ), 且 f  (x)  k  1, 则数列 x 收敛.
n1 n n
2）若 x  f (x ),a  f (a), 且 f  (x)  k  1, 则 lim x  a.
n1 n n
n26武忠祥考研
【例1】设
0  x  3, x  x (3  x ), (n  1,2,),
1 n1 n n
证明：数列 {x } 极限存在并求此极限。
n
【证】由 0  x  3, x  x (3  x ) 知， 0  x  3,
1 n1 n n n
1 3
从而有 x  x (3  x )  [( x ) 2  ( 3  x ) 2 ]  .
n1 n n n n
2 2
x (3  x )  x 2
而 x  x  x (3  x )  x  n n n
n1 n n n n
x (3  x )  x
n n n
x (3  2x )
 n n  0
x (3  x )  x
n n n
x 3 3
则  x  单调增，或者由 n1   1   1  1
n
x x 3
n n
226武忠祥考研
知  递增,又   上有界，则 存在，
x x lim x
n n n
n
设 lim x  a, 则 a  a(3  a),
n
n
3
由此解得 a  或 a  0, （舍去)
2
3
则 lim x 
n
n 226武忠祥考研
【例2】设 x  6,x  6  6,, x  6  6  6    6 , 求极限 lim x .
1 2 n n
n
【解1】 令 由于
x  6  x , f (x)  6  x,
n1 n
1
f  (x)   0, 则 f ( x) 单调增，又 x  x ,
1 2
2 6  x
则 单调增.
{x }
n
x  6  3, 若 x  3, 则 x  6  x  3,
1 n1 n n1
 
从而, 数列 x 上有界，则 lim x 存在，设 lim x  a. 则
n n n
n n
a  6  a
解得 a  3 或 a   2 （舍去）则 lim x  3.
n
n26武忠祥考研
【例2】设 x  6,x  6  6,, x  6  6  6    6 ,
1 2 n
求极限
lim x .
n
n
【解2】直接证明
lim x  3
n
n
由 知
x  6  x
n n1
x  3
1
x  3  6  x  3  n1  x  3
n n1
6  x  3 3 n1
n1
1
   x  3  0,(n  ),
n1 1
3
则 l im x  3.
n
n26武忠祥考研
【例3】设 x  0, x  1  e x n , n  1,2,.
1 n1
 
(1)证明数列 收敛,并求极限
x lim x .
n n
n
x x
(2)求极限 lim n n1 .
n x  x
n n1
【证】(1)由于 x  0, x  1  e x n , 由归纳法可知 x  0.
1 n1 n
x 1  e x n e 0  e x n
n1    e   1
x x x
n n n
x  x  (1  x )  e x n  0 (1  x  e x )
n1 n
n
 
f (x)  1  e x , f  (x)  e x  0, x 单调, 0  x  1
n n
lim x 存在，令 lim x  a, 则 a  1  e a ,a  0.
n n
n n26武忠祥考研
【例3】设 x  0, x  1  e x n , n  1,2,.
1 n1
 
(1)证明数列 收敛,并求极限
x lim x .
n n
n
x x
(2)求极限 lim n n1 .
n x  x
n n1
x x x (1  e x n ) x(1  e x )
【 解 】 (2) lim n n1  lim n  lim
n x  x n x  1  e x n x0 x  1  e x
n n1 n
2
x
2x
 lim  lim  2
x0 x  1  e
x
x0 1  e x26武忠祥考研
1
【例4】设 x  2, x  2  (n  1,2,), 求极限 lim x .
1 n1 x n
n
n
1
【分析】令 f (x)  2  , 则 x  f (x ) ，显然 f ( x) 在 x  0
x
n1 n
 
处单调减，则 不具有单调性，因此用方法2.
x
n
1 1
【解】令 lim x  a. 则 lim x  lim(2  ), 即 a  2  ,
n n1
n n n x a
n
则 a  1  2, 由于 x  2,
n
则 a  1  2. 以下证明 lim x  1  2.
n
n
1 1 x  a x  a
x  a  (2  )  (2  )  n1  n1
n
x a ax 2a
n1 n1
x  a x  a x  a
 n1  n2    1  0 (n  )
2 2 n1
2 226武忠祥考研
1
【例5】设 f (x) 可微，且 0  f  (x)  , 数列 x  A, x  f (x ),n  1,2.
0 n n1
2  x 2
证明 lim x 存在且是方程 f (x)  x 的唯一实根.
n
n
 
【证1】由于 f  (x)  0, 则数列 x 单调，又
n
x x
x  f (x )  f (x )   n1 f  (x)dx  f (x )   n1 f  (x)dx
n n1 0 0
x x
0 0
 dx
 f (x )  
0  2  x 2
则极限 lim x 存在,设 lim x  a, 则 a  f (a).
n n
n n
又设 (x)  x  f (x), 则  (x)  1  f  (x)  0, (x) 单调增，
a 是方程 x  f (x) 的唯一实根.26武忠祥考研
1
【例5】设 f (x) 可微，且 0  f  (x)  , 数列 x  A, x  f (x ),n  1,2.
2  x 2 0 n n1
证明 lim x 存在且是方程 f (x)  x 的唯一实根.
n
n

【证2】（数学二不要求）数列  x  收敛等价于级数  (x  x ) 收敛.
n n n1
n1
x  x  f (x )  f (x )
n n1 n1 n2
 f  ( ) x  x （拉格朗日定理）
n1 n1 n2
n1
1  1 
 x  x     x  x
n1 n2 1 0
2  2

则  (x  x ) 收敛.
n n1
n126武忠祥考研26武忠祥考研
祝同学们
考研路上一路顺利！