(219)--高数强化17笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（17） 17 多元函数的极值、最大最小值及举例，二重积分概念、计算 P178-P190 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第三节 极值与最值 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）无条件极值 （二）条件极值与拉格朗日乘数法 （三）最大最小值26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 题型一 求无条件极值 题型二 求最大最小值一. 考试内容要点精讲 26武忠祥考研 （一）无条件极值 1)定义: 极大： f (x , y )  f (x, y); 0 0 极小： f (x , y )  f (x, y); 0 0 2)极值的必要条件 f (x , y )  0, f (x , y )  0 （可导） x 0 0 y 0 0 极值点 驻点 3)极值的充分条件 设 f (x , y )  0, 且 f ( x , y )  0 x 0 0 y 0 0 A  0 ; 极小值 （1）当 时,有极值 AC  B 2  0  A  0 . 极大值 （2）当 AC  B 2  0 时,无极值. （3）当 AC  B 2  0 时,不一定(一般用定义判定).26武忠祥考研 （二）条件极值与拉格朗日乘数法 1) 函数 f ( x, y) 在条件 ( x, y)  0 条件下的极值. 令 F ( x, y,)  f ( x, y)  ( x, y) F  f  (x, y)   (x, y)  0, x x x  F  f  (x, y)   (x, y)  0, y y y   F  x, y  0,  2) 函数 f ( x, y, z) 在条件 (x, y, z)  0,(x, y, z)  0 条件下的条件极值. 令 F ( x, y, z,,)  f ( x, y, z)  ( x, y, z)  ( x, y, z)26武忠祥考研 （三）最大最小 值 1. 求连续函数 f ( x, y) 在有界闭域 D 上的最大最小值 1) 求 在 内部可能的极值点. f ( x, y) D 2) 求 在 的边界上的最大最小值. f ( x, y) D 3) 比较 2. 应用题26武忠祥考研 题型一 求无条件极值 【例1】求函数 z  x 3  y 3  3x 2  3 y 2 的极值. 【例2】求函数 f ( x, y)  xy(a  x  y) 的极值.26武忠祥考研 【例3】求由方程 x 2  y 2  z 2  2x  2 y  4z  10  0 所确定函数 的极值. z  z(x, y) 2x  2zz  2  4z  0, x x 【解1】  2 y  2zz  2  4z  0.  y y 令 z  0, z  0 得 x  1, y  1 驻点为 (1,1,6) 和 (1,1,2). x y 2  2(z ) 2  2zz  4z  0 x xx xx 2z z  2zz  4z  0 y x xy xy 1  (z ) 2 z  z z  x , z  x y xx xy 2  z 2  z 1  (z ) 2 y 2  2(z ) 2  2zz  4z  0 z  y yy yy yy 2  z26武忠祥考研 【例3】求由方程 x 2  y 2  z 2  2x  2 y  4z  10  0 所确定函数 的极值. z  z(x, y) 【解2】 (x  1) 2  ( y  1) 2  (z  2) 2  16 z  2  16  (x  1) 2  ( y  1) 226武忠祥考研 【例4】设 f ( x, y) 有二阶连续导数， g(x, y)  f (e xy , x 2  y 2 ) f (x, y)  x  y  1 且 lim  0, 证明 g(x, y) 在 点取得 (0,0) x1 (x  1) 2  y 2 y0 极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值. f (x, y)  x  y  1 【解】由题设 知 lim  0 x1 (x  1) 2  y 2 y0 f (x, y)  (x  1)  y  o (  ) 其中  (x  1) 2  y 2 则 f (1 , 0 )  0 f  (1,0)  f  (1,0)  1 x y g   f  e xy y  f  2x g   f  e xy x  f  2 y, g  (0,0)  0, g  (0,0)  0. x 1 2 y 1 2 x y g   ( f   e xy y  f   2x)e xy y  f  e xy y 2  ( f   e xy y  f   2x)2x  2 f  , x 2 11 12 1 21 22 2 g   ( f   e xy x  f   2 y)e xy y  f  (e xy xy  e xy )  ( f   e xy x  f   2 y)2x, xy 11 12 1 21 22 g   ( f   e xy x  f   2 y)e xy x  f  e xy x 2  ( f   e xy x  f   2 y)2 y  2 f  , y 2 11 12 1 21 22 2 A  2 f  (1,0)  2, B  f  (1,0)  1, C  2 f  (1,0)  2, 2 1 226武忠祥考研 【例4】设 f ( x, y) 有二阶连续导数， g(x, y)  f (e xy , x 2  y 2 ) f (x, y)  x  y  1 且 lim  0, 证明 g(x, y) 在 点取得 (0,0) x1 (x  1) 2  y 2 y0 极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值. f (x, y)  x  y  1 【解】由题设 知 lim  0 x1 (x  1) 2  y 2 y0 f (x, y)  (x  1)  y  o (  ) 其中  (x  1) 2  y 2 则 f (1 , 0 )  0 f  (1,0)  f  (1,0)  1 x y g   f  e xy y  f  2x g   f  e xy x  f  2 y, g  (0,0)  0, g  (0,0)  0. x 1 2 y 1 2 x y26武忠祥考研 f (x, y) 【例5】设 在点 处连续,且 则 z  f ( x, y) (0,0) lim  1 (x,y)(0,0) sin( x 2  y 2 ) A) 不存在; B) 存在但不为零; f (0,0) f (0,0) x x C) f ( x, y) 在点(0,0)处取极小值; D) 在点(0,0)处取极大值; f ( x, y) f (x, y) 【解1】直接法. 由 lim  1  0 知， f (0,0)  0 (x,y)(0,0) sin( x 2  y 2 ) 且存在 点的去心邻域，使 (0,0) f (x, y) 从而  0, f ( x, y)  0 sin(x 2  y 2 ) 【解2】排除法 取 f (x, y)  (x 2  y 2 ) f (0,0)  0 xf (x, y)  xy 【例6】已知函数 在点(0,0)的某个邻域内连续,且 则 f ( x, y) lim  1 (x,y)(0,0) (x 2  y 2 ) 2 A) 点(0,0)不是 的极值点; f ( x, y) B) 点(0,0)是 的极大值点; f ( x, y) C) 点(0,0)是 的极小值点; f ( x, y) D)根据所给条件无法判断点 (0,0)是否是 的极值点; f ( x, y) f (x, y)  xy 【解】由 知 且 lim  1 f (0,0)  0 (x,y)(0,0) (x 2  y 2 ) 2 f (x, y)  xy  1  lim 0 (x 2  y 2 ) 2 x0 y0 则 f (x, y)  xy  (1)(x 2  y 2 ) 2 令 y  x 得： f (x, x)  x 2  4x 4  4x 4  x 2  o(x 2 ) 令 y   x 得： f (x, x)   x 2  4x 4  4x 4   x 2  o(x 2 )f (x, y)  xy 【例6】已知函数 在点(0,0)的某个邻域内连续,且 则 f ( x, y) lim  1 (x,y)(0,0) (x 2  y 2 ) 2 A) 点(0,0)不是 的极值点; f ( x, y) B) 点(0,0)是 的极大值点; f ( x, y) C) 点(0,0)是 的极小值点; f ( x, y) D)根据所给条件无法判断点 (0,0)是否是 的极值点; f ( x, y)26武忠祥考研 题型二 求最大最小值 【例1】求函数 z  x 2 y(4  x  y) 在直线 x  y  6, x 轴和 y 轴所围成的区域 上的最大值和最小值. D z 【解】  2xy(4  x  y)  x 2 y  xy(8  3x  2 y) x z  x 2 (4  x  y)  x 2 y  x 2 (4  x  2 y) y 3x  2 y  8, 由 可得 且  (2,1) z(2,1)  4 x  2 y  4, 在边界 x  y  6(0  x  6) 上，z ( x , y)  2(x 3  6x 2 )(0  x  6) 令 (x)  2(x 3  6x 2 ), 由  (x)  0, 得 x  4 (0)  0,(4)  64.(6)  026武忠祥考研 【例2】求函数 z  x 2  y 2  12x  16y 在 x 2  y 2  25 上的最大值与最小值. z  2x  12  0,  x 【解1】 由  得 x  6, y  8. z   2 y  16  0,   y F(x, y,)  x 2  y 2  12x  16y (x 2  y 2  25)  25  12x  16 y (x 2  y 2  25)  F  12  2x  0,  x x  3, x  3, 由 解得 1 2 F  16  2y  0,   y  y  4;  y  4.  1 2  F  x 2  y 2  25  0,  z(3,4)  75, z(3,4)  12526武忠祥考研 【例2】求函数 z  x 2  y 2  12x  16y 在 x 2  y 2  25 上的最大值与最小值. x  5cos, 【解2】 x 2  y 2  25,  0  2  y  5sin, z  25  60cos 80sin26武忠祥考研 【例2】求函数 z  x 2  y 2  12x  16y 在 x 2  y 2  25 上的最大值与最小值. 【解3】 z  x 2  y 2  12x  16 y  (x  6) 2  ( y  8) 2  100 4 过原点和点 (6,8) 的直线为 y   x. 3 x 2  y 2  25,   x  3, x  3 由 得 1 2    4 y   x,  y  4, y  4  1 2  3 z(3,4)  75, z(3,4)  12526武忠祥考研 【例3】求函数 u  xy  2 yz 在约束条件 x 2  y 2  z 2  10 下的最大值与最小值. 【解】令 F (x, y, z,)  xy  2 yz (x 2  y 2  z 2  10)  F   y  2x  0 x   F   x  2z  2y  0 y  F   2 y  2z  0  z   F   x 2  y 2  z 2  10  0  1）当  0 时， 2x  z,5x 2  y 2 , P (1, 5,2); P (1, 5,2); P (1, 5,2); P (1, 5,2); 1 2 3 4 2）当  0 时， y  0, x  2z  0, P (2 2,0, 2); P (2 2,0, 2); 5 6 u(P )  u(P )  5 5; u(P )  u(P )  5 5; u(P )  u(P )  0; 5 6 1 4 2 326武忠祥考研 【例4】 在椭圆 x 2  4 y 2  4 上求一点,使其到直线 的距离最短. 2x  3 y  6  0 2x  3 y  6 (2x  3 y  6) 2 【解1】 d  , d 2  13 13 F(x, y,)  (2x  3 y  6) 2 (x 2  4 y 2  4)  F  4(2x  3 y  6)  2x  0, x  F  6(2x  3 y  6)  8y  0, y   F  x 2  4 y 2  4  0,   8  8 x  , x   ,    1  2 1 11 5 5 从而得   d  , d  (x ,y ) (x ,y ) 3 3 1 1 13 2 2 13   y  , y   ,    1  2 5 5 8 3 由本题实际意义知最短距离存在，则点 为所求的点. ( , ) 5 526武忠祥考研 2 【解2】 直线 的斜率为 2x  3 y  6  0 k   3 x 由 x 2  4 y 2  4 知 2x  8 yy   0, y    4 y 2 x 即    8 y  3x 3 4 y 将 8 y  3x 与 x 2  4 y 2  4 联立得  8  8 x  , x   ,    1  2 5 5   3 3   y  , y   .    1  2 5 5 8 3 由几何意义知，点 应为所求的点. ( , ) 5 526武忠祥考研 【例5】 已知三角形周长为 ,求使它绕自己的一边旋转 2 p 时所构成旋转体体积最大的三角形.  【解】 V  h 2 y 3 1 S  p( p  x)( p  y)( p  z)  yh 2 4 ( p  x)( p  y)( p  z) V  p , ( x  y  z  2 p) 3 y F ( x, y, z,)  ln( p  x)  ln( p  y)  ln( p  z)  ln y  ( x  y  z  2 p) 3 p p x  z  , y  4 2  V  p 3 max 1226武忠祥考研 【例6】设某厂生产甲乙两种产品,产量分别为 x, y (千只), 其利润函数为 L(x, y)   x 2  4 y 2  8x  24y  15 如果现有原料15000公斤(不要求用完),生产两种产品每 千只都需要原料2000公斤,求 1) 使利润最大的 x, y 和最大利润. 2) 如果原料降至12000公斤,求这时利润最大的产量 和最大利润.  L  2x  8  0  【解】1）由 x 得 x  4, y  3  L   8 y  24  0  y 点 为 唯一可能取得极值的点,由该问题已知 (4,3) L( x, y) 最大值存在，则最大值只能在点 取到， L( x, y) (4,3) L(4,3)  3726武忠祥考研 2 ） F(x, y,)   x 2  4 y 2  8x  24 y  15  (x  y  6)  F  2x  8   0 x  由 F  8 y  24   0 得 x  3.2, y  2.8 y   F  x  y  6  0  点 为 在条件 下唯一可能取得极 (3.2,2.8) L( x, y) x  y  6 值的点，由该问题已知该最大值存在，则最大值只能在点 取到， (3.2,2.8) L(3.2,2.8)  36.227 【例7】利用条件极值的方法证明:对任意正数 a,b,c ,有 abc 3  (a  b  c) 5 5 5 【证1】 只要证明对任意正数 k, 函数 xyz 3 在条件 x  y  z  k 27 下的最大值不超过 5 即可 k 5 5 令 F(x, y, z,)  xyz 3 (x  y  z  k) F  yz 3   0, x  F  xz 3   0, k 3k 由  y 得 x  y  , z  . F  3xyz 2   0, 5 5 z   F  x  y  z  k  0,  由于可能的极值点唯一,所求最大值存在,则最大值在 k 3k k k 3k 27 27 x  y  , z  时取到， xyz 3    ( ) 3  k 5  (x  y  z) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 526武忠祥考研 【证2】 只要证明对任意正数 函数 3 在条件 x  y  z  k k, xyz 27 下的最大值不超过 5 即可 k 5 5 z z z xyz 3  3 3 x  y    , 3 3 3 z z z x  y    3 3 3  x  y  z  k,26武忠祥考研 第六章 二重积分 本章内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）二重积分的概念 （二）二重积分的几何意义 （三）二重积分的性质 （四）二重积分计算26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 题型一 计算二重积分 题型二 累次积分交换次序及计算 题型三 与二重积分有关的综合题 题型四 与二重积分有关的不等式问题26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）二重积分的概念 n  f (x, y)d  lim  f ( , ) k k k d0 D k1 （二）二重积分的几何意义 （三）二重积分的性质 1. 不等式性质 (1) 若 f (x, y)  g(x, y), 则  f (x, y)d   g(x, y)d D D26武忠祥考研 （2) 若 f ( x, y) 在 D 上连续，则 mS   f (x, y)d  MS. D （3)  f (x, y)d   f (x, y)d. D D 2. 积分中值定理 若 在 上连续,则 f ( x, y) D  f (x, y)d  f (,)S D26武忠祥考研 （四）二重积分的计算 1. 利用直角坐标计算 1）先 y 后 x b y (x)  f (x, y)d   dx  2 f (x, y)dy a y (x) 1 D 2）先 后 x y d x ( y)  f (x, y)d   dy  2 f (x, y)dx c x ( y) 1 D 2. 利用极坐标计算  r ()  f (x, y)d   d 2 f (r cos,r sin)rdr  r () 1 D26武忠祥考研 【注】i) 适合用极坐标计算的被积函数: y x f ( x 2  y 2 ), f ( ), f ( ); x y ii)适合用极坐标的积分域: x 2  y 2  R 2 ; r 2  x 2  y 2  R 2 ; x 2  y 2  2ax; x 2  y 2  2by; 3.利用对称性和奇偶性计算 ①若积分域 关于 y 轴对称, 则: D  2  f (x, y)d; f ( x, y)  f (x, y)   f (x, y)d   D x0 D   0; f ( x, y)   f (x, y) ② 若积分域关于 轴对称, 则 x  2  f (x, y)d f (x, y)  f (x, y)   f (x, y)d   D y0  D  0 f (x, y)   f (x, y)26武忠祥考研 4.利用变量对称性计算 b b  f (x)dx   f (t)dt a a  f (x, y)dxdy   f (u,v)dudv   f ( y, x)dydx D D D (x,y) (u,v) (y,x) 若 D 关于 y  x 对称, 则 D  D  D (x,y) ( y,x)  f (x, y)d   f ( y, x)d D D 1  f (x, y)d  [  f (x, y)d  f ( y, x)d] 2 D D D 特别的：  f (x)d   f ( y)d D D26武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！