(22)--1.12笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第一章 函数与极限
第八节 函数连续性与间断点
主讲 武忠祥 教授一、函数的连续性
定义（连续）若 l i m  y  0 , 或 lim f (x)  f (x ),
0
x0 xx
0
则称 在 处连续.
f ( x) x
0
左连续：
lim f (x)  f (x )
0

xx
0
右连续： lim f (x)  f (x )
0

xx
0
连续 左连续且右连续

在区间上连续 ；
f ( x)
【例1】试证： 在区间 上连续.
sin x
(,)二、函数的间断点 间断点
在 处连续 在 某去心邻域有定义
f ( x) x f ( x) x
0 0
1） f ( x) 在 x 有定义
0
2） lim f (x) 存在
xx
0
3）
lim f (x)  f (x )
0
xx
0
间断点分类：
第一类间断点： （左、右极限都存在）
1）可去间断点: f (x  0)  f (x  0)
0 0
2）跳跃间断点: f (x  0)  f (x  0)
0 0
第二类间断点 （左、右极限至少有一个不存在）【例2】判断下列函数的间断点 的类型
x  0
sin x （可去）
1) f ( x) 
x
（跳跃）
2) f (x)  sgn x
1
3) f (x)  sin （振荡）
x
1
4) f (x)  （无穷）
2
x内容小结
在点 连续的等价形式
1. f (x) x
0
lim f (x)  f (x ) lim [ f (x  x)  f (x )]  0
0 0 0
xx x0
0
 
f (x )  f (x )  f (x )
0 0 0
左连续 右连续
在点 间断的类型
2. f (x) x
0
可去间断点
第一类间断点 左右极限都存在
跳跃间断点
无穷间断点
左右极限至少有一
第二类间断点
个不存在
振荡间断点作业 ： ；
P61 3; 4; 5 6..