(205)--高数强化03笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（3）
3 求极限常用方法，求极限常见类型 P16-P27
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
方法2. 利用基本极限求极限
常用的基本极限
1
sin x
lim  1; lim(1  x) 1 x  e; lim(1  ) x  e;
x0 x x0 x x
a x  1
lim  ln a; lim n n  1. lim n a  1,(a  0),
x0 x n n
a
n , n  m,

b
a x n  a x n1    a x  a  m
lim n n1 1 0   0, n  m,
x b x m  b x m1    b x  b

m m1 1 0 , n  m.


 0, x  1,
  0, x  0,
 , x  1,
lim x n  

n 1, x  1 lim e nx    , x  0

n

  不存在， x  1.  1, x  0.26武忠祥考研
方法3.利用等价无穷小代换求极限
1.常用等价无穷小 当 x  0 时,
1) x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1  x) ~ e x  1;

(1  x)   1 ~ x, 1  cos  x ~ x 2 a x  1 ~ x lna,
2
3
3 x 2
x x
2) x  sin x ~ tan x  x ~ x  ln(1  x) ~
6 3 2
x 3 x 3
arcsin x  x ~ x  arctan x ~
6 3
f (x)
3)设 f ( x) 和 g( x) 在 x  0 的某邻域内连续,且 lim  1,
x0 g(x)
x x
则  
f (t)dt ~ g(t)dt
0 026武忠祥考研
2. 等价无穷小代换的原则
1）乘、除关系可以换；
   
若 ~ , ~  , 则 lim  lim 1 lim  lim 1
1 1
   
1 1
2）加、减关系在一定条件下可以换；

(1) 若 ~ , ~  , 且 lim 1  A  1. 则   ~   .
1 1 1 1

1

(2) 若 ~ , ~  , 且 lim 1  A  1. 则   ~   .
1 1 1 1

126武忠祥考研
tan x  sin x
【例】求极限
lim
3
x0 x
tan x  sin x tan x(1  cos x)
【解1】
lim  lim
3 3
x0 x x0 x
1
x  x 2
1
2
 lim 
3
x0 x 2
tan x  s i n x (tan x  x)  (sin x  x)
【解2】
lim  lim
3 3
x0 x x0 x
1 1
( x 3 )  ( x 3 )
3 6
 lim
3
x0 x
1

226武忠祥考研
方法4. 利用洛必达法则求极限
若 1) lim f (x)  lim g(x)  0();
xx xx
0 0
2） f ( x) 和 g( x) 在 x 的某去心邻域内可导,且 g  ( x)  0;
0

f (x)
3） 存在（或 );
lim 

xx g (x)
0

f (x) f (x)
则 lim  lim .

xx g(x) xx g (x)
0 0
0 
【注】
; ; 0  ;   ; 1  ; 0 ; 0 0 .
0 
  
1
 
0  0     0
,  

0  0
  0

  
26武忠祥考研
方法5 利用泰勒公式求极限
定理（泰勒公式）设 在 处 阶可导，则
f ( x) x  x n
0
(n)
f (x )
f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  o(x  x ) n
0 0 0 0 0
n!
特别是当 x  0 时
0
 (n)
f (0) f (0)
f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2    x n  o(x n )
2! n!26武忠祥考研
几个常用的泰勒公式
2 n
x x
(1) e x  1  x     (x n )
2! n!
3 2n1
x x
(2) sin x  x     (1) n1 (x 2n ) x 3
3! (2n  1)! tan x  x ~
3
x 2 x 2n x 3
(3) cos x  1     (1) n (x 2n ) x  arctan x ~
2! (2n)! 3
3
x
2 n
x x arcsin x  x ~
(4) ln(1  x)  x     (1) n1 (x n )
6
2 n
( 1) ( 1)( n  1)
(5) (1  x)   1 x  x 2    x n (x n )
2! n!26武忠祥考研
2
x
 1  1  x 2
【例】求极限 2
lim .
2
x0 (cos x  e x )sin 2 x
1 1
(  1)
1
【解1】由于 2 2
1  x 2  1  x 2  x 4 (x 4 )
2 2!
1
cos x  1  x 2 (x 2 )
2
2
e x  1  x 2 (x 2 )
1
x 4 (x 4 )
1
8
原式  lim  
3
x0 12
[ x 2 (x 2 )]x 2
226武忠祥考研
2
x
 1  1  x 2
2
【例】求极限 lim .
2
x0 (cos x  e x )sin 2 x
1 3
【解2】 cos x  e x 2  (cos x  1)  (e x 2  1) ～ ( x 2 )  x 2   x 2
2 2
x 2 x 1
 1  1  x 2 x  x 2
原式 2 1  x 2 2 1
 lim  lim  lim  
x0 3 x0  6x 3 x0  6x 2 12
 x 4
2
1 1 1
( 1  x 2  1) 2 ( x 2 ) 2
1
【解3】 原式 2 2 2
 lim  lim  
3 3
x0 x0 12
 x 4  x 4
2 226武忠祥考研
方法6 利用夹逼准则求极限
 1 2 n 
【例】求极限 lim    
 
nn 2  1 n 2  2 n 2  n26武忠祥考研
方法7 利用定积分的定义求极限
 1 1 1 
【例】求极限 lim     .
 
nn  1 n  2 n  n
 
 
1 1 1 1
【解】 原式  lim    
 
n n 1 2 n
1  1  1  
 n n n
1
1
  dx  ln 2
0 1  x26武忠祥考研
方法8 利用单调有界准则求极限
 
1 1
【例】设 x  0, x 

 x 

， n  1,2,. 求极限
lim x .
1 n1 2 n x  n n
n
【解】由题设知 x  0, 且
n
   
1 1 1 1
x   x    ( x ) 2  ( ) 2
   
n1 n n
2 x  2  x 
n n
1 1
  2 x   1
n
2 x
n
x 1  1  1  1
n1  1   1   1 (n  2)
 
 
2
x 2  x  2  1
n n
1 1 
则极限
lim x
存在，设
lim x  a. a  a   a  1.
n n
n n 2 a 26武忠祥考研
二. 求极限常见的题型
（一）函数的极限
0 
7 种不定式.即
0     1  0 0 0
0 
0

重点 1
026武忠祥考研
0
1. ”型极限
“
0
常用的方法有三种
1）洛必达法则
2）等价无穷小代换
3）泰勒公式
【原式化简】
1）极限非零的因子极限先求出
2）有理化
3）变量代换26武忠祥考研
1  tan x  1  sin x
【例1】求极限
lim .
x0 x ln(1  x)  x 2
 tan x  sin x 1 
【解1】原式  lim  （有理化）
x0 x[ln(1  x)  x] 1  tan x  1  sin x 
1 tan x[1  cos x]
 lim （极限非零因子极限先求）
2 x0 x[ln(1  x)  x]
1
x  x 2
1
2
 lim
1 （等价代换）
2 x0
x( x 2 )
2
1
 
226武忠祥考研
1  tan x  1  sin x
【例1】求极限
lim .
x0 x ln(1  x)  x 2
1
[tan x  sin x]
2 1 
【解2】原式
 lim . （拉格朗日定理）
x0 x[ln(1  x)  x]
1 tan x  sin x
 lim
2 x0 x[ln(1  x)  x]
tan x  sin x
1  sin x[ 1   1]
1  sin x
【解3】原式
 lim .
x0 x[ln(1  x)  x]
1 tan x  sin x
 lim
2 x0 x[ln(1  x)  x]26武忠祥考研
e x 2  e 22cos x
【例2】求极限
lim .
4
x0 x
e x 2  e 22cos x e 22cos x [e x 2 22cos x  1]
【解1】
lim  lim
4 4
x0 x x0 x
x 2  2  2cos x
 lim （非零因子极限先求，等价代换）
4
x0 x
2 4
x x
x 2  2  2[1   (x 4 )]
1
2! 4!
 lim 
4
x0 x 12
e x 2  e 22cos x e  [x 2  2  2cos x]
【解2】 lim  lim （拉格朗日定理）
4 4
x0 x x0 x
x 2  2  2cos x 2x  2sin x
 lim  lim (洛必达法则)
4 3
x0 x x0 4x
1
3
x
1 1 1
6
 lim  (x  sin x ~ x 3 )
3
2 x0 x 12 626武忠祥考研
arcsin x  sin x
【例3】求极限
lim .
x0 arctan x  tan x
(arcsin x  x)  (sin x  x)
【解】原式  lim
x0 (arctan x  x)  (tan x  x)
1 1
( x 3 )  ( x 3 )
1
6 6
 lim  
1 1
x0 2
( x 3 )  ( x 3 )
3 326武忠祥考研
x
x  ln(1  t 2 )dt
【例4】求极限 0
lim .
x0 x 2  sin 2 x
1
x  x 3
3 x x 1
【解1】 原式
lim (  ln(1  t 2 )dt ~  t 2 dt  x 3 )
x0 (x  sin x)(x  sin x)
0 0 3
1
x  x 3
1
3
 lim (x  sin x ~ 2x; x  sin x ~ x 3 )
1
x0 6
2x  x 3
6
 1
【解2】 原式26武忠祥考研
xe x  sin x
【例5】求极限
lim .
x0 (1  x) x  1
【分析】 (1 x) x  1  e xln(1x)  1 ~ x ln(1 x) ~ x 2 ,
xe x  sin x xe x  sin x
【解1】
lim  lim
x0 (1  x) x  1 x0 x 2
e x  xe x  cos x
 lim
x0 2x
2e x  xe x  sin x
 lim  1
x0 226武忠祥考研
【注】当 x  0 时， (1  x)   1 ~x. 这个结论推广可得:
若 (x)  0,(x)(x)  0,
则
(1   ( x ))
(x)
 1 ~ (x)(x)
由此可得
(1  x) x  1 ~ x 2 .
xe x  sin x xe x  sin x
【解2】 li m  lim
x0 (1  x) x  1 x0 x 2
xe x  x  x  sin x x(e x  1) x  sin x
 lim  lim  lim  1
2 2 2
x0 x x0 x x0 x26武忠祥考研
2
x

cos x  e 2
【例6】求极限
lim
 
x0 x 2 x  ln(1  x)
2
x
【 解1】 l n (1  x)   x   o(x 2 )
2
2 4
x x
cos x  1    o(x 4 )
2! 4!
2
x 2 4
 x x
e 2  1   o(x 4 )
2
2 2 2!
1
 x 4  o(x 4 )
1
12
原式  lim 
2
x0 x 6
x 2 [  o(x 2 )]
226武忠祥考研
2
x

cos x  e 2
【例6】求极限
lim
 
x0 x 2 x  ln(1  x)
2
x
【 解2】 x  ln(1  x)  ln(1  x)  ( x) ～  ,
2
2
x

cos x  e 2
原式  lim
1
x0
 x 4
2
2
x

 sin x  xe 2
 lim (洛必达法则)
x0  2x 3
2
x

1 x  sin x x(e 2  1) 1
  [lim  lim ] 
3 3
2 x0 x x0 x 626武忠祥考研

2. “ ”型极限

常用的方法有两种
1）洛必达法则
2）分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
x
 (1  t 2 )e t
2x 2
dt
【例1】求极限
lim 0 .
x x
x
2
 (1  t 2 )e t dt 2 2
e x  x 2 e x
【解】 原 式  l im 0  lim （洛必达法则）
x xe x 2 x e x 2  2x 2 e x 2
1
 1
2 1
x
 lim 
1
x 2
 2
2
x26武忠祥考研
2 x  x 100
【例2】求极限
lim
x 2e x  ln 10 x
100
2 x
( ) x 
x
e e
【解1】原式  lim （分子分母同除以 e x ）
10
x ln x
2 
x
e
 026武忠祥考研
4x 2  x  1  x  1
【例3】求极限
lim
x x 2  sin x
1 1 1
4    1 
2
x x x
【解1】原式  lim （分子分母同除以  x ）
x sin x
1 
2
x
 1
4x 2  x  1 x 1
【解2】原式  lim  lim  lim
x x 2  sin x x x 2  sin x x x 2  sin x
 2  1  0  126武忠祥考研
  
3. ”型极限
“
常用的方法有三种
0
1）通分化为 （适用于分式差）
0
2）根式有理化（适用于根式差）
3）提无穷因子,然后等价代换或变量代换,泰勒公式
1
【例1】求极限
lim(  cot 2 x).
2
x0 x
1 1 tan 2 x  x 2 tan 2 x  x 2
【解】 原式  lim(  )  lim  lim
x0 x 2 tan 2 x x0 x 2 tan 2 x x0 x 4
1
3
x
tan x  x tan x  x 2
3
 lim   2lim 
3 3
x0 x x x0 x 326武忠祥考研
【例2】求极限
lim ( x  x  x  x)
x
x  x
【解1】 原式  lim （有理化）
x x  x  x  x
1
1 
x 1
 lim 
x 1 1 2
1    1
x x x
1 1
【解2】 原式  lim x( 1    1)
x x x x
1 1 1 1
（等价无穷小代换）
 lim x   
x 2 x x x 226武忠祥考研
  1 
【例3】求极限 lim x  x 2 ln1   .
 
x  x 
1
【解1】令 x  ，则
t
1 1  t  ln(1  t)
原式  lim  ln(1  t)  lim
 
2 2
t0 t t  t0 t
1
2
t
1
2
 lim  .
2
t0 t 2
【解2】由泰勒公式得
1 1 1
原式  lim[x  x 2 (  ( ))]
2 2
x x 2x x
1

226武忠祥考研
  1 
【例3】求极限 lim x  x 2 ln1   .
 
x  x 
1 1
【解3】 原式  lim x 2 [  ln(1  )]
x x x
1 1
 lim x 2 (  ) （等价无穷小代换）
2
x 2 x
1

226武忠祥考研
 x 1 x x 
【例4】求极限 lim   
 
x (1  x) x e 
1
x[e  (1  ) x ]
x x
x
【解1】原式  lim [  ]  lim
x 1 e x 1
(1  ) x e(1  ) x
x x
1
e  (1  ) x
1 1
x
 lim (  t)
e 2 x 1 x
x
1 ln(1t)
 1 (1  t)t  e  1 e t  e
 lim  lim
e
2
t0  t e 2
t0
 t
1
ln(1t)t
 t 2
1 e t  1 1 ln(1  t)  t 1 1
2
  lim   lim   lim 
2 2
e t0  t e t0  t e t0  t 2e26武忠祥考研
 x 1 x x 
【例4】求极限 lim   
 
x (1  x) x e 
1
x[e  (1  ) x ]
x x
x
【解2】原式  lim [  ]  lim
x 1 e x 1
(1  ) x e(1  ) x
x x
 1 
1 xln(1 )
 lim x e  e x
 
2
e x
 
1  1 

 lim xe 1  x ln(1  )
 
2
e x  x 
1 1 1 1 1 1 1
 lim x 2 [  ln(1  )]  lim x 2 [ ( ) 2 ] 
e x x x e x 2 x 2e26武忠祥考研
 
4. 0 ”型极限
“

0
常用的方法是化为 或

0
【 例1】求极限 lim ln x ln1  x
x1
【解】 ln x  ln[1  (x  1)] ~ x  1
lim ln x ln1  x  lim(x  1)ln1  x
x1 x1
 1
ln1  x
1  x
 lim  lim  0
1 1
x1 x1

x  1 (x  1) 226武忠祥考研
ln x
【例2】求极限 lim x(1  ) x
x x
ln x ln x
ln x xln(1 ) ln xxln(1 )
【解1】 lim x(1  ) x  lim e ln x  e x  lim e x
x x x x
ln x ln x ln x
lim [ln x  x ln(1  )]  lim x[  ln(1  )]
x x x x x
1 ln x
 lim x[ ( ) 2 ] (等价无穷小代换)
x 2 x
2
1 ln x
  lim  0
2 x x
ln x
lim x(1  ) x  e 0  1
x x26武忠祥考研
ln x
【例2】求极限 lim x(1  ) x
x x
ln x ln x
【解2】令 y  x(1  ) x , 则 l n y  l n x  x ln(1  )
x x
ln x 1 ln x ln x
 ln x  x[  ( ) 2 ( ) 2 ] （泰勒公式）
x 2 x x
2
1 ln x ln x
   x ( ) 2
2 x x
lim ln y  0
x
ln x
lim x(1  ) x  e 0  1
x x26武忠祥考研
 x 2 
1   e t dt
 1 
【例】（2021年1,2）求极限 lim 0  .
 
x0 e x  1 sin x 
 
【解1】（评分标准）26武忠祥考研
 x 2 
1   e t dt
 1 
【例】（2021年1,2）求极限 lim 0  .
 
x0 e x  1 sin x 
 
【解2】26武忠祥考研26武忠祥考研
祝同学们
考研路上一路顺利！