(205)--高数强化03笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（3） 3 求极限常用方法，求极限常见类型 P16-P27 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 方法2. 利用基本极限求极限 常用的基本极限 1 sin x lim  1; lim(1  x) 1 x  e; lim(1  ) x  e; x0 x x0 x x a x  1 lim  ln a; lim n n  1. lim n a  1,(a  0), x0 x n n a n , n  m,  b a x n  a x n1    a x  a  m lim n n1 1 0   0, n  m, x b x m  b x m1    b x  b  m m1 1 0 , n  m.    0, x  1,   0, x  0,  , x  1, lim x n    n 1, x  1 lim e nx    , x  0  n    不存在， x  1.  1, x  0.26武忠祥考研 方法3.利用等价无穷小代换求极限 1.常用等价无穷小 当 x  0 时, 1) x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1  x) ~ e x  1;  (1  x)   1 ~ x, 1  cos  x ~ x 2 a x  1 ~ x lna, 2 3 3 x 2 x x 2) x  sin x ~ tan x  x ~ x  ln(1  x) ~ 6 3 2 x 3 x 3 arcsin x  x ~ x  arctan x ~ 6 3 f (x) 3)设 f ( x) 和 g( x) 在 x  0 的某邻域内连续,且 lim  1, x0 g(x) x x 则   f (t)dt ~ g(t)dt 0 026武忠祥考研 2. 等价无穷小代换的原则 1）乘、除关系可以换；     若 ~ , ~  , 则 lim  lim 1 lim  lim 1 1 1     1 1 2）加、减关系在一定条件下可以换；  (1) 若 ~ , ~  , 且 lim 1  A  1. 则   ~   . 1 1 1 1  1  (2) 若 ~ , ~  , 且 lim 1  A  1. 则   ~   . 1 1 1 1  126武忠祥考研 tan x  sin x 【例】求极限 lim 3 x0 x tan x  sin x tan x(1  cos x) 【解1】 lim  lim 3 3 x0 x x0 x 1 x  x 2 1 2  lim  3 x0 x 2 tan x  s i n x (tan x  x)  (sin x  x) 【解2】 lim  lim 3 3 x0 x x0 x 1 1 ( x 3 )  ( x 3 ) 3 6  lim 3 x0 x 1  226武忠祥考研 方法4. 利用洛必达法则求极限 若 1) lim f (x)  lim g(x)  0(); xx xx 0 0 2） f ( x) 和 g( x) 在 x 的某去心邻域内可导,且 g  ( x)  0; 0  f (x) 3） 存在（或 ); lim   xx g (x) 0  f (x) f (x) 则 lim  lim .  xx g(x) xx g (x) 0 0 0  【注】 ; ; 0  ;   ; 1  ; 0 ; 0 0 . 0     1   0  0     0 ,    0  0   0     26武忠祥考研 方法5 利用泰勒公式求极限 定理（泰勒公式）设 在 处 阶可导，则 f ( x) x  x n 0 (n) f (x ) f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  o(x  x ) n 0 0 0 0 0 n! 特别是当 x  0 时 0  (n) f (0) f (0) f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2    x n  o(x n ) 2! n!26武忠祥考研 几个常用的泰勒公式 2 n x x (1) e x  1  x     (x n ) 2! n! 3 2n1 x x (2) sin x  x     (1) n1 (x 2n ) x 3 3! (2n  1)! tan x  x ~ 3 x 2 x 2n x 3 (3) cos x  1     (1) n (x 2n ) x  arctan x ~ 2! (2n)! 3 3 x 2 n x x arcsin x  x ~ (4) ln(1  x)  x     (1) n1 (x n ) 6 2 n ( 1) ( 1)( n  1) (5) (1  x)   1 x  x 2    x n (x n ) 2! n!26武忠祥考研 2 x  1  1  x 2 【例】求极限 2 lim . 2 x0 (cos x  e x )sin 2 x 1 1 (  1) 1 【解1】由于 2 2 1  x 2  1  x 2  x 4 (x 4 ) 2 2! 1 cos x  1  x 2 (x 2 ) 2 2 e x  1  x 2 (x 2 ) 1 x 4 (x 4 ) 1 8 原式  lim   3 x0 12 [ x 2 (x 2 )]x 2 226武忠祥考研 2 x  1  1  x 2 2 【例】求极限 lim . 2 x0 (cos x  e x )sin 2 x 1 3 【解2】 cos x  e x 2  (cos x  1)  (e x 2  1) ～ ( x 2 )  x 2   x 2 2 2 x 2 x 1  1  1  x 2 x  x 2 原式 2 1  x 2 2 1  lim  lim  lim   x0 3 x0  6x 3 x0  6x 2 12  x 4 2 1 1 1 ( 1  x 2  1) 2 ( x 2 ) 2 1 【解3】 原式 2 2 2  lim  lim   3 3 x0 x0 12  x 4  x 4 2 226武忠祥考研 方法6 利用夹逼准则求极限  1 2 n  【例】求极限 lim       nn 2  1 n 2  2 n 2  n26武忠祥考研 方法7 利用定积分的定义求极限  1 1 1  【例】求极限 lim     .   nn  1 n  2 n  n     1 1 1 1 【解】 原式  lim       n n 1 2 n 1  1  1    n n n 1 1   dx  ln 2 0 1  x26武忠祥考研 方法8 利用单调有界准则求极限   1 1 【例】设 x  0, x    x   ， n  1,2,. 求极限 lim x . 1 n1 2 n x  n n n 【解】由题设知 x  0, 且 n     1 1 1 1 x   x    ( x ) 2  ( ) 2     n1 n n 2 x  2  x  n n 1 1   2 x   1 n 2 x n x 1  1  1  1 n1  1   1   1 (n  2)     2 x 2  x  2  1 n n 1 1  则极限 lim x 存在，设 lim x  a. a  a   a  1. n n n n 2 a 26武忠祥考研 二. 求极限常见的题型 （一）函数的极限 0  7 种不定式.即 0     1  0 0 0 0  0  重点 1 026武忠祥考研 0 1. ”型极限 “ 0 常用的方法有三种 1）洛必达法则 2）等价无穷小代换 3）泰勒公式 【原式化简】 1）极限非零的因子极限先求出 2）有理化 3）变量代换26武忠祥考研 1  tan x  1  sin x 【例1】求极限 lim . x0 x ln(1  x)  x 2  tan x  sin x 1  【解1】原式  lim  （有理化） x0 x[ln(1  x)  x] 1  tan x  1  sin x  1 tan x[1  cos x]  lim （极限非零因子极限先求） 2 x0 x[ln(1  x)  x] 1 x  x 2 1 2  lim 1 （等价代换） 2 x0 x( x 2 ) 2 1   226武忠祥考研 1  tan x  1  sin x 【例1】求极限 lim . x0 x ln(1  x)  x 2 1 [tan x  sin x] 2 1  【解2】原式  lim . （拉格朗日定理） x0 x[ln(1  x)  x] 1 tan x  sin x  lim 2 x0 x[ln(1  x)  x] tan x  sin x 1  sin x[ 1   1] 1  sin x 【解3】原式  lim . x0 x[ln(1  x)  x] 1 tan x  sin x  lim 2 x0 x[ln(1  x)  x]26武忠祥考研 e x 2  e 22cos x 【例2】求极限 lim . 4 x0 x e x 2  e 22cos x e 22cos x [e x 2 22cos x  1] 【解1】 lim  lim 4 4 x0 x x0 x x 2  2  2cos x  lim （非零因子极限先求，等价代换） 4 x0 x 2 4 x x x 2  2  2[1   (x 4 )] 1 2! 4!  lim  4 x0 x 12 e x 2  e 22cos x e  [x 2  2  2cos x] 【解2】 lim  lim （拉格朗日定理） 4 4 x0 x x0 x x 2  2  2cos x 2x  2sin x  lim  lim (洛必达法则) 4 3 x0 x x0 4x 1 3 x 1 1 1 6  lim  (x  sin x ~ x 3 ) 3 2 x0 x 12 626武忠祥考研 arcsin x  sin x 【例3】求极限 lim . x0 arctan x  tan x (arcsin x  x)  (sin x  x) 【解】原式  lim x0 (arctan x  x)  (tan x  x) 1 1 ( x 3 )  ( x 3 ) 1 6 6  lim   1 1 x0 2 ( x 3 )  ( x 3 ) 3 326武忠祥考研 x x  ln(1  t 2 )dt 【例4】求极限 0 lim . x0 x 2  sin 2 x 1 x  x 3 3 x x 1 【解1】 原式 lim (  ln(1  t 2 )dt ~  t 2 dt  x 3 ) x0 (x  sin x)(x  sin x) 0 0 3 1 x  x 3 1 3  lim (x  sin x ~ 2x; x  sin x ~ x 3 ) 1 x0 6 2x  x 3 6  1 【解2】 原式26武忠祥考研 xe x  sin x 【例5】求极限 lim . x0 (1  x) x  1 【分析】 (1 x) x  1  e xln(1x)  1 ~ x ln(1 x) ~ x 2 , xe x  sin x xe x  sin x 【解1】 lim  lim x0 (1  x) x  1 x0 x 2 e x  xe x  cos x  lim x0 2x 2e x  xe x  sin x  lim  1 x0 226武忠祥考研 【注】当 x  0 时， (1  x)   1 ~x. 这个结论推广可得: 若 (x)  0,(x)(x)  0, 则 (1   ( x )) (x)  1 ~ (x)(x) 由此可得 (1  x) x  1 ~ x 2 . xe x  sin x xe x  sin x 【解2】 li m  lim x0 (1  x) x  1 x0 x 2 xe x  x  x  sin x x(e x  1) x  sin x  lim  lim  lim  1 2 2 2 x0 x x0 x x0 x26武忠祥考研 2 x  cos x  e 2 【例6】求极限 lim   x0 x 2 x  ln(1  x) 2 x 【 解1】 l n (1  x)   x   o(x 2 ) 2 2 4 x x cos x  1    o(x 4 ) 2! 4! 2 x 2 4  x x e 2  1   o(x 4 ) 2 2 2 2! 1  x 4  o(x 4 ) 1 12 原式  lim  2 x0 x 6 x 2 [  o(x 2 )] 226武忠祥考研 2 x  cos x  e 2 【例6】求极限 lim   x0 x 2 x  ln(1  x) 2 x 【 解2】 x  ln(1  x)  ln(1  x)  ( x) ～  , 2 2 x  cos x  e 2 原式  lim 1 x0  x 4 2 2 x   sin x  xe 2  lim (洛必达法则) x0  2x 3 2 x  1 x  sin x x(e 2  1) 1   [lim  lim ]  3 3 2 x0 x x0 x 626武忠祥考研  2. “ ”型极限  常用的方法有两种 1）洛必达法则 2）分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大 x  (1  t 2 )e t 2x 2 dt 【例1】求极限 lim 0 . x x x 2  (1  t 2 )e t dt 2 2 e x  x 2 e x 【解】 原 式  l im 0  lim （洛必达法则） x xe x 2 x e x 2  2x 2 e x 2 1  1 2 1 x  lim  1 x 2  2 2 x26武忠祥考研 2 x  x 100 【例2】求极限 lim x 2e x  ln 10 x 100 2 x ( ) x  x e e 【解1】原式  lim （分子分母同除以 e x ） 10 x ln x 2  x e  026武忠祥考研 4x 2  x  1  x  1 【例3】求极限 lim x x 2  sin x 1 1 1 4    1  2 x x x 【解1】原式  lim （分子分母同除以  x ） x sin x 1  2 x  1 4x 2  x  1 x 1 【解2】原式  lim  lim  lim x x 2  sin x x x 2  sin x x x 2  sin x  2  1  0  126武忠祥考研    3. ”型极限 “ 常用的方法有三种 0 1）通分化为 （适用于分式差） 0 2）根式有理化（适用于根式差） 3）提无穷因子,然后等价代换或变量代换,泰勒公式 1 【例1】求极限 lim(  cot 2 x). 2 x0 x 1 1 tan 2 x  x 2 tan 2 x  x 2 【解】 原式  lim(  )  lim  lim x0 x 2 tan 2 x x0 x 2 tan 2 x x0 x 4 1 3 x tan x  x tan x  x 2 3  lim   2lim  3 3 x0 x x x0 x 326武忠祥考研 【例2】求极限 lim ( x  x  x  x) x x  x 【解1】 原式  lim （有理化） x x  x  x  x 1 1  x 1  lim  x 1 1 2 1    1 x x x 1 1 【解2】 原式  lim x( 1    1) x x x x 1 1 1 1 （等价无穷小代换）  lim x    x 2 x x x 226武忠祥考研   1  【例3】求极限 lim x  x 2 ln1   .   x  x  1 【解1】令 x  ，则 t 1 1  t  ln(1  t) 原式  lim  ln(1  t)  lim   2 2 t0 t t  t0 t 1 2 t 1 2  lim  . 2 t0 t 2 【解2】由泰勒公式得 1 1 1 原式  lim[x  x 2 (  ( ))] 2 2 x x 2x x 1  226武忠祥考研   1  【例3】求极限 lim x  x 2 ln1   .   x  x  1 1 【解3】 原式  lim x 2 [  ln(1  )] x x x 1 1  lim x 2 (  ) （等价无穷小代换） 2 x 2 x 1  226武忠祥考研  x 1 x x  【例4】求极限 lim      x (1  x) x e  1 x[e  (1  ) x ] x x x 【解1】原式  lim [  ]  lim x 1 e x 1 (1  ) x e(1  ) x x x 1 e  (1  ) x 1 1 x  lim (  t) e 2 x 1 x x 1 ln(1t)  1 (1  t)t  e  1 e t  e  lim  lim e 2 t0  t e 2 t0  t 1 ln(1t)t  t 2 1 e t  1 1 ln(1  t)  t 1 1 2   lim   lim   lim  2 2 e t0  t e t0  t e t0  t 2e26武忠祥考研  x 1 x x  【例4】求极限 lim      x (1  x) x e  1 x[e  (1  ) x ] x x x 【解2】原式  lim [  ]  lim x 1 e x 1 (1  ) x e(1  ) x x x  1  1 xln(1 )  lim x e  e x   2 e x   1  1    lim xe 1  x ln(1  )   2 e x  x  1 1 1 1 1 1 1  lim x 2 [  ln(1  )]  lim x 2 [ ( ) 2 ]  e x x x e x 2 x 2e26武忠祥考研   4. 0 ”型极限 “  0 常用的方法是化为 或  0 【 例1】求极限 lim ln x ln1  x x1 【解】 ln x  ln[1  (x  1)] ~ x  1 lim ln x ln1  x  lim(x  1)ln1  x x1 x1  1 ln1  x 1  x  lim  lim  0 1 1 x1 x1  x  1 (x  1) 226武忠祥考研 ln x 【例2】求极限 lim x(1  ) x x x ln x ln x ln x xln(1 ) ln xxln(1 ) 【解1】 lim x(1  ) x  lim e ln x  e x  lim e x x x x x ln x ln x ln x lim [ln x  x ln(1  )]  lim x[  ln(1  )] x x x x x 1 ln x  lim x[ ( ) 2 ] (等价无穷小代换) x 2 x 2 1 ln x   lim  0 2 x x ln x lim x(1  ) x  e 0  1 x x26武忠祥考研 ln x 【例2】求极限 lim x(1  ) x x x ln x ln x 【解2】令 y  x(1  ) x , 则 l n y  l n x  x ln(1  ) x x ln x 1 ln x ln x  ln x  x[  ( ) 2 ( ) 2 ] （泰勒公式） x 2 x x 2 1 ln x ln x    x ( ) 2 2 x x lim ln y  0 x ln x lim x(1  ) x  e 0  1 x x26武忠祥考研  x 2  1   e t dt  1  【例】（2021年1,2）求极限 lim 0  .   x0 e x  1 sin x    【解1】（评分标准）26武忠祥考研  x 2  1   e t dt  1  【例】（2021年1,2）求极限 lim 0  .   x0 e x  1 sin x    【解2】26武忠祥考研26武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！