(213)--高数强化11笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（11） 11 常考题型举例(定积分的概念、性质、计算、变上限积分) P110-P123 主讲 武 忠 祥 教授题型一 定积分的概念、性质及几何意义 1  1 2   2 2   n 2 n 【例1】求 lim   1       1       1     ; 2 2 2 n n   n   n  1  1 2 2 2 n 2  n 【解】令 y  (1  )(1  )(1  )   n 2 2 2  n n n  1  1 2 2 2 n 2  则 ln y  ln(1  )  ln(1  )    ln(1  )   n 2 2 2 n  n n n  1 lim ln y   ln(1  x 2 )dx n n 0 2x 2  1 1  x ln(1 x 2 )   dx  ln 2  2(1  ) 0 01  x 2 4   ln22(1 ) 2 原式  e 4  2e 226武忠祥考研 【例2】设 f ( x) 连续,且 lim f ( x)  1 ,则 x x2 3 lim  t sin f (t)dt  ____ . x x t x2 3 【解】  lim t sin f (t)dt x x t 3  lim 2c sin f (c) (x  c  x  2) x c =626武忠祥考研 1 【例3】求极限 lim  x n 1  x 2 dx. n 0 2 【解1】 0   1 x n 1  x 2 dx  2 1 x n dx  0 0 n  1 2 lim  0 n n  1 1 则 lim  x n 1  x 2 dx  0 n 0 【解2】由积分中值定理得 1 1  x n 1  x 2 dx  1  c 2  x n dx n 0 0【例4】如图，连续函数 y  f (x) 在区间 [3,2], [2,3] 上的图形 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 [2,0],[0,2] x 上的图形分别是直径为2的下、上半圆周(图),设 F(x)   f (t)dt 0 则下列结论正确的是. 3 （A） F(3)   F(2) 4 5 （B） F(3)  F(2) 4 【解】由图可知 是奇函数，则 3 f ( x) （C） F(3)  F(2) 4 x （D） 5 F(x)   f (t)d t 是偶函数，则 F(3)   F(2) 0 4 F(2)  F(2) F(3)  F(3)26武忠祥考研 题型二 定积分计算 2x 2  sin x 1 【例1】 I   dx; 1 1  1  x 2 2 x 1 【解】 I  4  dx 0 1  1  x 2 1  4  [1  1  x 2 ]dx 0 1  4  4  1  x 2 dx 0  4    a a 【注】  a 2  x 2 dx  a 2 ;  2ax  x 2 dx  a 2 ; 0 4 0 4  2a  2ax  x 2 dx  a 2 ; 0 226武忠祥考研 n 【例2】 I   1  sin 2x dx; 0  【解1】 原式  n 1  sin 2xdx 0   n  (cos x  sin x) 2 dx 0   n  cos x  sin xdx 0    n  4 (cos x  sin x)dx  (sin x  cos x)  2 2n  0 4 5 【解2】 原式  n 4 1  sin 2xdx  4 5 5  n  4 (cos x  sin x) 2 dx  n  4 (sin x  cos x)dx  2 2n   4 426武忠祥考研  【例3】 I   xsin n xdx . 0   【解】 I    x sin n x dx  sin n x dx  2  2 sin n x dx 0 0 0     sin n x dx  0, n 为奇数，  2 0   cos n xdx     0 2  2 cos n xdx, n 为偶数 .   2 sin n x dx 0 0 n  1 n  3 1     , n 为偶数   n n  2 2 2   n  1 n  3 2    , n 为奇数   n n  2 326武忠祥考研 【例4】设 n 为正整数，证明： 为奇数，  0, n  2 2  cos n xdx   sin n xdx    0 0 4  2 sin n xdx, n 为偶数 .  0  x t   2 2 2 2 2 【证】 cos n xdx   sin n (x  )dx   2 sin n tdt   sin n xdx  0 0 2 0 2 2  当 n 为奇数时，  sin n xdx   sin n xdx  0 0  2    当 n 为偶数时，  sin n xdx   sin n xdx  2  sin n xdx 0  0    2  2 sin n xdx  4  2 sin n xdx   0 226武忠祥考研 sin t  x 【例6】 设 f (x)   dt, 计算  f (x)dx. 0  t 0   x sin x 【解1】   f (x)dx  xf (x)   dx 0 0 0  x  sin t  x sin x   dt   dx 0  t 0  x    si n xdx  2 0   【解2】  f ( x)dx   f (x)d(x ) 0 0  (x )sin x   (x ) f (x)   dx   sin xdx  2 0 0  x 0   x sin t 【解3】  f (x)dx   dx  dt 0 0 0  t   sin t    dt  dx   sin xdx  2. 0 t  t 026武忠祥考研 【例7】设连续函数 f (x) 在 (,) 内满足 f (x)  f (x )  sin x ，且 2  3  f (x)dx  , 则  f (x)dx  ________ . 0 2  x 【解】令 F(x)   f (t)dt, 则 F  (x)  f (x)  f (x )  sin x x F(x)   cos x  C  2 F()   f (x)dx  0 2 2 F(x)   cos x   1 2 3 2 3  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx  F(2)  F(3) 2  2   2a sin x  bcos x A(c cos x  d sin x)  B(c sin x  d cos x)  dx   dx  c sin x  d cos x c sin x  d cos x sin x 【例8】 I   2 dx 0 sin x  cos x sin x A(cos x  sin x)  B(sin x  cos x) 【解1】 令  dx   dx sin x  cos x sin x  cos x 1   A  B 1 1 则  , 解得 A   , B  0  A  B 2 2 1  (sin x  cos x)  (sin x  cos x) 1   I   2 dx  [ ln(sin x  cos x)  x] 2  2 0 sin x  cos x 2 0 4  【解2】 令 x   t, 则 2   sin x cost I   2 dx  2 dt 0 sin x  cos x 0 sin t  cost 1   sin x  cos x  1     2 dx   2 dx   2 dx    2  0 sin x  cos x 0 sin x  cos x  2 0 4区间不变  x e 【例9】 I   2 sin 4 xdx ; b x  a  b  t b   1  e x  f (x)dx  f (a  b  t)dt 2 a a  x  t e e I   2 sin 4 x dx   2 sin 4 t dt (x  t)   1  e x   1  e t 2 2  1   2 sin 4 t dt   1  e t 2   x   1 e 1   2 sin 4 x dx   2 sin 4 x dx   2    1  e x   1  e x  2 2  1   2 sin 4 x dx  2  2  3 1  3   2 sin 4 x dx     0 4 2 2 1626武忠祥考研  x 【例10】 已知 f ( x) 连续，  tf (x  t)dt  1  cos x, 求  2 f (x)dx 的值. 0 0 【解】令 x  t  u, 得 x x  tf (x  t)dt  (x  u) f (u)du 0 0 x x  x  f (u)du  uf (u)du 0 0 d x x x  tf (x  t)dt   f (u)du  xf (x)  xf (x)   f (u)du dx 0 0 0 x 从而有  f (u)du  sin x 0    令 x  得  2 f (u)du  sin  1 2 0 226武忠祥考研 1 【例11】设 f  (x)  arcsin(x  1) 2 , f (0)  0, 求  f ( x)dx. 0 1 1 【解1】  f (x)dx  xf (x) 1   xarcsin( x  1) 2 dx 0 0 0 1  f (1)   x arcsin( x  1) 2 dx 0 1 1   f  (x)dx  x arcsin( x  1) 2 dx 0 0 1   (1  x)arcsin( x  1) 2 dx 0 1 1   arcsin udu ((x  1) 2  u) 2 0 1 1 u  1 1 1  uarcsin u   du   2 0 2 0 1  u 2 4 2 1 1 【解2】  f (x)dx  f (x)d(x  1) 0 0 1  (x  1) f (x) 1   (x  1)arcsin( x  1) 2 dx 0 0 1   (1  x)arcsin( x  1) 2 dx 026武忠祥考研 x  【例12】若 f (x)    f (x)sin xdx ,求 f ( x). 1  cos 2 x    x sin x 【解】  f (x)sin xdx   dx  1  cos 2 x  x sin x  2  dx 0 1  cos 2 x  sin x    dx  arctancos x 0 1  cos 2 x 0 2  2题型三 变上限积分函数及其应用 26武忠祥考研 x 1) 连续性 设 f (x) 在 [a,b] 上可积, 则  f (t)d t 在 [a,b] 上连续. a x 2) 可导性  f (t)d t 是 f (x) 在 [a,b] 上的原函数 a x x 定理 设 f (x) 在 [a,b] 上连续, 则  f (t)d t 在 [a,b] 上可导且 (  f (t)d t)   f (x). a a x 有关 F ( x)   f (t)dt 在一点处的可导性的结论 a 如果 f (x) 在 [a,b] 上除点 x  x (a,b) 外均连续,则在点 x  x 处 0 0 x f (x) F(x)   f (t)dt a 1) 连续  可导,且 F  (x )  f (x ) 0 0 2) 可去  可导,且 F  (x )  lim f (x) 0 xx 0 3) 跳跃  连续但不可导,且 F  (x )  f (x  ) F  (x )  f (x  )  0 0  0 026武忠祥考研 3) 奇偶性 设 连续，则 f (x) x 1）若 f ( x) 为奇函数，则  f (t)dt 为偶函数. 0 x 2）若 f ( x) 为偶函数，则  f (t)dt 为奇函数. 026武忠祥考研 【例1】设 f ( x) 是奇函数,除 x  0 外处处连续， x x  0 是第一类间断点，则  f (t)d t 是： . 0 (A)连续的奇函数; (B)在 x  0 间断的奇函数; (C)连续的偶函数; (D)在 x  0 间断的偶函数.26武忠祥考研 x 【例2】设 g(x)   f (u)du, 其中 0 1 (x 2  1), 若 0  x  1,   2 f (x)   1  (x  1), 若 1  x  2,   3 则 g( x) 在区间（0,2）内 （A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续26武忠祥考研 【例3】设 f ( x) 是连续函数， F(x) 是 f ( x) 的原函数，则 （A） f ( x) 是奇函数  F(x) 必是偶函数； （B） f ( x) 是偶函数  F(x) 必是奇函数； （C） f ( x) 是周期函数  F(x) 必是周期函数； （D） f ( x) 是单调函数  F(x) 必是单调函数；26武忠祥考研 【例4】设 是连续函数 的一个原函数，“ F(x) f ( x) M  N ”表示“ M 的充分必要条件是 N ”，则必有 （A） 是偶函数 是奇函数 F(x)  f (x) （B） F(x) 是奇函数  f (x) 是偶函数 （C） F(x) 是周期函数  f (x) 是周期函数 （D） F(x) 是单调函数  f (x) 是单调函数26武忠祥考研 sin x, 0  x  , x 【例5】设函数 f (x)   F(x)   f (t)dt, 则  2,   x  2, 0 （A） x  是函数 F(x) 的跳跃间断点； （B） x  是函数 F(x) 的可去间断点； （C） F(x) 在 x  处连续但不可导； （D） F(x) 在 x  处可导；  x  sin tdt, 0  x  ,  x 【解1】 F(x)   f (t)dt   0  x 0   sin tdt   2dt,   x  2  0   1  cos x, 0  x  ,   2  2x  2,   x  2 【解2】 x  是 f (x) 的跳跃间断点， F (x) 在 x  处连续但不可导；x  (x  t) f (t)dt 【例6】设函数 f ( x) 连续，且 f (0)  0, 求极限 lim 0 . x x0 x  f (x  t)dt 0 x x 【解1】 f (x  t)dt   f (u)du (x  t  u) 0 0 x x x  f ( t )d t   tf (t)dt 原式= 0 0 lim x x0  x f (t)dt 0 x  f (t) d t  x f ( x )  x f (x )  lim 0 x x0  f (t)dt  xf (x) 0 x  f (t)dt xf (c) f (0) 1 0  lim  lim   x x0  f (t)dt  xf (x) x0 xf (c)  xf (x) f (0)  f (0) 2 0x  (x  t) f (t)dt 【例6】设函数 f ( x) 连续，且 f (0)  0, 求极限 lim 0 . x x0 x  f (x  t)dt 0 x x 【解2】 f (x  t)dt   f (u)du (x  t  u) 0 0 x x x  f ( t )d t   tf (t)dt 原式  lim 0 0 x x0  x f (t)dt 0 x  tf (t)dt  1  lim 0 x x0  x f (t)dt 0 2 x x  tf (0)dt f (0) 1 2  1  lim 0  1  lim  x 2 x0 x  f (0)dt x0 x f (0) 2 0x  (x  t) f (t)dt 【例6】设函数 f ( x) 连续，且 f (0)  0, 求极限 lim 0 . x x0 x  f (x  t)dt 0 x f ()  (x  t)dt  b f (x)g(x)d x  f (c)  b g(x)d x 【解3】 原 式  lim 0 a a x0 x 2 f (x  c) b  f (x)d x  f (c)(b  a) a 1 2 x 2  lim 2 x0 x 1  226武忠祥考研 x2 【例7】设 F(x)   e sint  sintdt ,则 F ( x) x A)为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数 【解1】由于 F  (x)  e sin(x2) sin(x  2)  e sinx sin x  0 知 F(x)  C x2 2 F(x)   e sint sin t dt   e sint sin t dt  C x 0 2 F(0)   e sint sin t dt 0 2   e sint d cos t 0 2  e sint cos t 2   e sint cos 2 t dt 0 0 2   e sint cos 2 t dt  0 026武忠祥考研 【例9】设 f ( x) 在区间 [0,) 上可导, f (0)  0, f (x) 且其反函数为 若  g(t)dt  x 2 e x , 求 g(x). f ( x). 0 f (x) 【解】等式  g(t)dt  x 2 e x 两端对 x 求导得 0 g[ f (x)] f  (x)  2xe x  x 2 e x 而 g[ f ( x)]  x 则 xf  (x)  2xe x  x 2 e x 即 f  (x)  2e x  xe x (x  0) f (x)   (2e x  xe x )dx  (x  1)e x  C (x  0) 0  f (0)  lim f (x)  lim [(x  1)e x  C]  1  C   x0 x0 C  0  1  126武忠祥考研 【例11】设 f (t) 连续, f (t)  0, f (t)  f (t). 令 a F(x)   | x  t | f (t)dt.  a  x  a a 1) 试证曲线 y  F ( x) 在 [a,a] 上是凹的. 2) 当 为何值时, 取得最小值. x F ( x) 3) 若 F ( x) 的最小值可表示为 f (a)  a 2  1. 试求 f (t). a x a 【解】1) F(x)   x  t f (t)dt   (x  t) f (t)dt   (t  x) f (t)dt a a x x x a a  x  f (t)dt   tf (t)dt   tf (t)dt  x  f (t)dt a a x x x a F  (x)   f (t)dt  xf (x)  xf (x)  xf (x)  xf (x)   f (t)dt a x x a   f (t)dt   f (t)dt a x26武忠祥考研 F  (x)  f (x)  f (x)  2 f (x)  0 x a 2) 令 F  (x)   f (t)dt   f (t)dt  0 a x 得 F  (0)  0 , 又 F  (x)  0, F(x) 在 x  0 取最小值. a a 3) F(0)   t f (t)dt  2  tf (t)dt a 0 a 2  tf (t)dt  f (a)  a 2  1 0 2af (a)  f  (a)  2a 2 f (a)  Ce a  1 又 则 f (0)  1, C  2 2 从而 f (t)  2e t  126武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！