(213)--高数强化11笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（11）
11 常考题型举例(定积分的概念、性质、计算、变上限积分) P110-P123
主讲 武 忠 祥 教授题型一 定积分的概念、性质及几何意义
1
 1 2   2 2   n 2 n
【例1】求 lim   1       1       1     ;
2 2 2
n n   n   n 
1
 1 2 2 2 n 2  n
【解】令 y  (1  )(1  )(1  )
 
n 2 2 2
 n n n 
1  1 2 2 2 n 2 
则
ln y  ln(1  )  ln(1  )    ln(1  )
 
n 2 2 2
n  n n n 
1
lim ln y   ln(1  x 2 )dx
n
n 0
2x 2 
1 1
 x ln(1 x 2 )   dx  ln 2  2(1  )
0 01  x 2 4
 
ln22(1 ) 2
原式  e 4  2e 226武忠祥考研
【例2】设 f ( x) 连续,且 lim f ( x)  1 ,则
x
x2 3
lim  t sin f (t)dt  ____ .
x x t
x2 3
【解】 
lim t sin f (t)dt
x x t
3
 lim 2c sin f (c) (x  c  x  2)
x c
=626武忠祥考研
1
【例3】求极限 lim  x n 1  x 2 dx.
n 0
2
【解1】 0   1 x n 1  x 2 dx  2 1 x n dx 
0 0 n  1
2
lim  0
n n  1
1
则 lim  x n 1  x 2 dx  0
n 0
【解2】由积分中值定理得
1 1
 x n 1  x 2 dx  1  c 2  x n dx
n
0 0【例4】如图，连续函数 y  f (x) 在区间 [3,2], [2,3] 上的图形
上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 [2,0],[0,2]
x
上的图形分别是直径为2的下、上半圆周(图),设
F(x)   f (t)dt
0
则下列结论正确的是.
3
（A） F(3)   F(2)
4
5
（B）
F(3)  F(2)
4
【解】由图可知 是奇函数，则
3 f ( x)
（C）
F(3)  F(2)
4
x
（D） 5 F(x)   f (t)d t 是偶函数，则
F(3)   F(2)
0
4
F(2)  F(2) F(3)  F(3)26武忠祥考研
题型二 定积分计算
2x 2  sin x
1
【例1】 I   dx;
1 1  1  x 2
2
x
1
【解】
I  4  dx
0 1  1  x 2
1
 4  [1  1  x 2 ]dx
0
1
 4  4  1  x 2 dx
0
 4 
 
a a
【注】  a 2  x 2 dx  a 2 ;  2ax  x 2 dx  a 2 ;
0 4 0 4

2a
 2ax  x 2 dx  a 2 ;
0 226武忠祥考研
n
【例2】 I   1  sin 2x dx;
0

【解1】 原式  n 1  sin 2xdx
0

 n  (cos x  sin x) 2 dx
0

 n  cos x  sin xdx
0


 n  4 (cos x  sin x)dx  (sin x  cos x)  2 2n

0
4
5
【解2】 原式
 n 4 1  sin 2xdx

4
5 5
 n  4 (cos x  sin x) 2 dx  n  4 (sin x  cos x)dx  2 2n
 
4 426武忠祥考研

【例3】 I   xsin n xdx .
0


【解】 I    x sin n x dx  sin n x dx  2  2 sin n x dx
0 0
0


  sin n x dx  0, n 为奇数，

2 0 
 cos n xdx   
 0 2  2 cos n xdx, n 为偶数 .

 2 sin n x dx 0
0
n  1 n  3 1 
   , n 为偶数

 n n  2 2 2


n  1 n  3 2

  , n 为奇数

 n n  2 326武忠祥考研
【例4】设 n 为正整数，证明：
为奇数，
 0, n

2 2
 cos n xdx   sin n xdx   
0 0 4  2 sin n xdx, n 为偶数 .

0

x t


2 2 2 2 2
【证】 cos n xdx   sin n (x  )dx   2 sin n tdt   sin n xdx

0 0 2 0
2
2 
当 n 为奇数时，  sin n xdx   sin n xdx  0
0 
2   
当 n 为偶数时，  sin n xdx   sin n xdx  2  sin n xdx
0  0
 
 2  2 sin n xdx  4  2 sin n xdx

 0
226武忠祥考研
sin t 
x
【例6】 设 f (x)   dt, 计算  f (x)dx.
0  t 0
  x sin x
【解1】  
f (x)dx  xf (x)   dx
0 0 0  x
 sin t  x sin x
  dt   dx
0  t 0  x

  si n xdx  2
0
 
【解2】  f ( x)dx   f (x)d(x )
0 0

(x )sin x

 (x ) f (x)   dx   sin xdx  2
0 0  x 0
  x sin t
【解3】  f (x)dx   dx  dt
0 0 0  t
  sin t 
  dt  dx   sin xdx  2.
0 t  t 026武忠祥考研
【例7】设连续函数 f (x) 在 (,) 内满足 f (x)  f (x )  sin x ，且
2
 3
 f (x)dx  , 则  f (x)dx  ________ .
0 2 
x
【解】令 F(x)   f (t)dt, 则 F  (x)  f (x)  f (x )  sin x
x
F(x)   cos x  C

2
F()   f (x)dx 
0 2
2
F(x)   cos x   1
2
3 2 3
 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx  F(2)  F(3) 2  2
  2a sin x  bcos x A(c cos x  d sin x)  B(c sin x  d cos x)
 dx   dx
 c sin x  d cos x c sin x  d cos x
sin x
【例8】
I   2 dx
0 sin x  cos x
sin x A(cos x  sin x)  B(sin x  cos x)
【解1】 令
 dx   dx
sin x  cos x sin x  cos x
1   A  B
1 1
则  , 解得 A   , B 
0  A  B 2 2
1  (sin x  cos x)  (sin x  cos x) 1  
I   2 dx  [ ln(sin x  cos x)  x] 2 
2 0 sin x  cos x 2 0 4

【解2】 令 x   t, 则
2
 
sin x cost
I   2 dx  2 dt
0 sin x  cos x 0 sin t  cost
1   sin x  cos x  1  
  2 dx   2 dx   2 dx 
 
2  0 sin x  cos x 0 sin x  cos x  2 0 4区间不变
 x
e
【例9】 I   2 sin 4 xdx ; b x  a  b  t b
  1  e x  f (x)dx  f (a  b  t)dt
2 a a
 x  t
e e
I   2 sin 4 x dx   2 sin 4 t dt (x  t)
  1  e x   1  e t
2 2

1
  2 sin 4 t dt
  1  e t
2
  x  
1 e 1
  2 sin 4 x dx   2 sin 4 x dx
 
2    1  e x   1  e x 
2 2

1
  2 sin 4 x dx

2 
2

3 1  3
  2 sin 4 x dx    
0 4 2 2 1626武忠祥考研

x
【例10】 已知 f ( x) 连续，  tf (x  t)dt  1  cos x, 求  2 f (x)dx 的值.
0 0
【解】令 x  t  u, 得
x x
 tf (x  t)dt  (x  u) f (u)du
0 0
x x
 x  f (u)du  uf (u)du
0 0
d
x x x
 tf (x  t)dt   f (u)du  xf (x)  xf (x)   f (u)du
dx 0 0 0
x
从而有  f (u)du  sin x
0
  
令 x  得  2 f (u)du  sin  1
2
0 226武忠祥考研
1
【例11】设 f  (x)  arcsin(x  1) 2 , f (0)  0, 求  f ( x)dx.
0
1 1
【解1】  f (x)dx  xf (x) 1   xarcsin( x  1) 2 dx
0
0 0
1
 f (1)   x arcsin( x  1) 2 dx
0
1 1
  f  (x)dx  x arcsin( x  1) 2 dx
0 0
1
  (1  x)arcsin( x  1) 2 dx
0
1
1
  arcsin udu ((x  1) 2  u)
2 0
1 1 u  1
1
1
 uarcsin u   du  
2 0 2 0 1  u 2 4 2
1 1
【解2】  f (x)dx  f (x)d(x  1)
0 0
1
 (x  1) f (x) 1   (x  1)arcsin( x  1) 2 dx
0
0
1
  (1  x)arcsin( x  1) 2 dx
026武忠祥考研
x 
【例12】若 f (x)    f (x)sin xdx ,求 f ( x).
1  cos 2 x 
  x sin x
【解】  f (x)sin xdx   dx
 1  cos 2 x
 x sin x
 2  dx
0 1  cos 2 x
 sin x

  dx  arctancos x
0 1  cos 2 x 0
2

2题型三 变上限积分函数及其应用 26武忠祥考研
x
1) 连续性 设 f (x) 在 [a,b] 上可积, 则  f (t)d t 在 [a,b] 上连续.
a
x
2) 可导性  f (t)d t 是 f (x) 在 [a,b] 上的原函数
a
x x
定理 设 f (x) 在 [a,b] 上连续, 则  f (t)d t 在 [a,b] 上可导且 (  f (t)d t)   f (x).
a
a
x
有关 F ( x)   f (t)dt 在一点处的可导性的结论
a
如果 f (x) 在 [a,b] 上除点 x  x (a,b) 外均连续,则在点 x  x 处
0 0
x
f (x) F(x)   f (t)dt
a
1) 连续  可导,且 F  (x )  f (x )
0 0
2) 可去  可导,且 F  (x )  lim f (x)
0
xx
0
3) 跳跃  连续但不可导,且 F  (x )  f (x  ) F  (x )  f (x  )
 0 0  0 026武忠祥考研
3) 奇偶性 设 连续，则
f (x)
x
1）若 f ( x) 为奇函数，则  f (t)dt 为偶函数.
0
x
2）若 f ( x) 为偶函数，则  f (t)dt 为奇函数.
026武忠祥考研
【例1】设 f ( x) 是奇函数,除 x  0 外处处连续，
x
x  0 是第一类间断点，则  f (t)d t 是： .
0
(A)连续的奇函数; (B)在 x  0 间断的奇函数;
(C)连续的偶函数; (D)在 x  0 间断的偶函数.26武忠祥考研
x
【例2】设 g(x)   f (u)du, 其中
0
1
(x 2  1), 若 0  x  1,


2
f (x)  
1

(x  1), 若 1  x  2,


3
则 g( x) 在区间（0,2）内
（A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续26武忠祥考研
【例3】设 f ( x) 是连续函数， F(x) 是 f ( x) 的原函数，则
（A） f ( x) 是奇函数  F(x) 必是偶函数；
（B） f ( x) 是偶函数  F(x) 必是奇函数；
（C） f ( x) 是周期函数  F(x) 必是周期函数；
（D） f ( x) 是单调函数  F(x) 必是单调函数；26武忠祥考研
【例4】设 是连续函数 的一个原函数，“
F(x) f ( x) M  N
”表示“ M 的充分必要条件是 N ”，则必有
（A） 是偶函数 是奇函数
F(x)  f (x)
（B） F(x) 是奇函数  f (x) 是偶函数
（C） F(x) 是周期函数  f (x) 是周期函数
（D） F(x) 是单调函数  f (x) 是单调函数26武忠祥考研
sin x, 0  x  ,
x
【例5】设函数 f (x)   F(x)   f (t)dt, 则
 2,   x  2, 0
（A） x  是函数 F(x) 的跳跃间断点；
（B） x  是函数 F(x) 的可去间断点；
（C） F(x) 在 x  处连续但不可导；
（D） F(x) 在 x  处可导；
 x
 sin tdt, 0  x  ,

x
【解1】
F(x)   f (t)dt   0
 x
0   sin tdt   2dt,   x  2

0 
 1  cos x, 0  x  ,


2  2x  2,   x  2
【解2】
x  是 f (x) 的跳跃间断点， F (x) 在 x  处连续但不可导；x
 (x  t) f (t)dt
【例6】设函数 f ( x) 连续，且 f (0)  0, 求极限 lim 0 .
x
x0 x  f (x  t)dt
0
x x
【解1】 f (x  t)dt   f (u)du (x  t  u)
0 0
x x
x  f ( t )d t   tf (t)dt
原式= 0 0
lim
x
x0 
x f (t)dt
0
x
 f (t) d t  x f ( x )  x f (x )
 lim
0
x
x0  f (t)dt  xf (x)
0
x

f (t)dt
xf (c) f (0) 1
0
 lim  lim  
x
x0  f (t)dt  xf (x) x0 xf (c)  xf (x) f (0)  f (0) 2
0x
 (x  t) f (t)dt
【例6】设函数 f ( x) 连续，且 f (0)  0, 求极限 lim 0 .
x
x0 x  f (x  t)dt
0
x x
【解2】 f (x  t)dt   f (u)du (x  t  u)
0 0
x x
x  f ( t )d t   tf (t)dt
原式  lim 0 0
x
x0 
x f (t)dt
0
x

tf (t)dt
 1  lim 0
x
x0 
x f (t)dt
0
2
x
x
 tf (0)dt f (0)
1
2
 1  lim 0  1  lim 
x 2
x0
x

f (0)dt
x0 x f (0) 2
0x
 (x  t) f (t)dt
【例6】设函数 f ( x) 连续，且 f (0)  0, 求极限 lim 0 .
x
x0 x  f (x  t)dt
0
x
f ()  (x  t)dt  b f (x)g(x)d x  f (c)  b g(x)d x
【解3】 原 式  lim 0 a a
x0 x 2 f (x  c)
b
 f (x)d x  f (c)(b  a)
a
1
2
x
2
 lim
2
x0 x
1

226武忠祥考研
x2
【例7】设 F(x)   e sint  sintdt ,则 F ( x)
x
A)为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数
【解1】由于 F  (x)  e sin(x2) sin(x  2)  e sinx sin x  0 知 F(x)  C
x2 2
F(x)   e sint sin t dt   e sint sin t dt  C
x 0
2
F(0)   e sint sin t dt
0
2
  e sint d cos t
0
2
 e sint cos t
2
  e sint cos 2 t dt
0
0
2
  e sint cos 2 t dt  0
026武忠祥考研
【例9】设 f ( x) 在区间 [0,) 上可导, f (0)  0,
f (x)
且其反函数为 若  g(t)dt  x 2 e x , 求
g(x). f ( x).
0
f (x)
【解】等式  g(t)dt  x 2 e x 两端对 x 求导得
0
g[ f (x)] f  (x)  2xe x  x 2 e x
而 g[ f ( x)]  x
则 xf  (x)  2xe x  x 2 e x
即 f  (x)  2e x  xe x (x  0)
f (x)   (2e x  xe x )dx  (x  1)e x  C (x  0)
0  f (0)  lim f (x)  lim [(x  1)e x  C]  1  C
 
x0 x0
C  0  1  126武忠祥考研
【例11】设 f (t) 连续, f (t)  0, f (t)  f (t). 令
a
F(x)   | x  t | f (t)dt.  a  x  a
a
1) 试证曲线 y  F ( x) 在 [a,a] 上是凹的.
2) 当 为何值时, 取得最小值.
x F ( x)
3) 若 F ( x) 的最小值可表示为 f (a)  a 2  1. 试求 f (t).
a x a
【解】1)
F(x)   x  t f (t)dt   (x  t) f (t)dt   (t  x) f (t)dt
a a x
x x a a
 x  f (t)dt   tf (t)dt   tf (t)dt  x  f (t)dt
a a x x
x a
F  (x)   f (t)dt  xf (x)  xf (x)  xf (x)  xf (x)   f (t)dt
a x
x a
  f (t)dt   f (t)dt
a x26武忠祥考研
F  (x)  f (x)  f (x)  2 f (x)  0
x a
2) 令 F  (x)   f (t)dt   f (t)dt  0
a x
得 F  (0)  0 , 又 F  (x)  0,
F(x) 在 x  0 取最小值.
a a
3) F(0)   t f (t)dt  2  tf (t)dt
a 0
a
2  tf (t)dt  f (a)  a 2  1
0
2af (a)  f  (a)  2a
2
f (a)  Ce a  1
又 则
f (0)  1, C  2
2
从而 f (t)  2e t  126武忠祥考研
祝同学们
考研路上一路顺利！