(215)--高数强化13笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（13）
13 定积分应用（几何；物理），导数在经济学中的应用 P132-P141
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
第四节 定积分应用
本节内容要点
一. 考试内容要点精讲
（一）几何应用
（二）物理应用
二. 常考题型方法与技巧
题型一 几何应用
题型二 物理应用26武忠祥考研
一. 考试内容要点精讲
（一）几何应用
1.平面域的面积
设有平面域 ，则该平面域 的面积为
D D
S   1d
D
1）若平面域 由曲线 y  f (x), y  g(x) ( f (x)  g(x)),
D
x  a, x  b (a  b) 所围成，则
b f (x)
S   1d   dx  dy
a g(x)
D
b
  [ f (x)  g(x)]dx
a26武忠祥考研
2）若平面域 D 由曲线曲 r  r(),  ,   ( )
所围成，则其面积为
 r()
S   1d   d rdr
 0
D
1 
  r 2 ()d.
2 
2．空间体的体积26武忠祥考研
1）旋转体的体积
平面域 绕直线 （该直线不穿过区域
D L : ax  by  c  0
旋转所得旋转体体积记为
D) V .
dV  2 r(x, y)d
ax  by  c
V  2 r(x, y)d
r(x, y)  .
a 2  b 2
D
b f (x)
V  2 y d  2 dx  ydy
x
a 0
D
b
  f 2 (x)d x
a
b f (x)
V  2 x d  2 dx  xdy
y
a 0
D
b
 2 xf (x)d x
a26武忠祥考研
2）已知横截面面积的体积
b
V   S(x)dx
a
3.曲线弧长（数三不要求）
b
1）
C : y  y(x), a  x  b. s   1  y 2 dx
a
x  x(t)

2）
C :   t  . s   x 2  y 2 dt
 y  y(t) 

3）
C : r  r(),  . s   r 2  r 2 d

4.旋转体侧面积（数三不要求）
b
S  2 f (x) 1  f 2 (x)dx
a26武忠祥考研
(二)物理应用（数三不要求）
1.压力
2.变力做功
3.引力26武忠祥考研
题型一 几何应用
x
【例1】设 f (x)   (1 | t |)d t(x  1), 求曲线 y  f ( x) 与 x
1
轴所围图形的面积.
 x
 (1  t)dt,  1  x  0

【解】
1
f (x)  
0 x
 (1  t)dt   (1  t)dt, x  0

1 0
1
(1  x) 2  1  x  0

2


1

(1  2x  x 2 ) x  0

2
令 1  2x  x 2  0 得 x  1 2
1,2
1 1 2
0 1 2
S   (1  x) 2 dx   (1  2x  x 2 )dx  1  2
1 2 0 2 326武忠祥考研
【例2】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 与 y  x 所确定,求图
形 A 绕 x  2 旋转一周所得旋转体的体积。
【解1】 dV  2( 2x  x 2  x)(2  x)dx
1
V  2 ( 2x  x 2  x)(2  x)dx
0
2 2
  .
2 3
【解2】 dV  [(2  x) 2 (2  y) 2 ]dy
 [(2  (1  1  y 2 )) 2 (2  y) 2 ]dy
1
2 2
V   [(2  (1  1  y 2 )) 2 (2  y) 2 ]dy   .
0 2 326武忠祥考研
【例3】过点 (1,0) 作曲线 y  x 2 的切线，该切线与曲线 y  x 2
及 x 轴围成平面图形 D
（1）求 的面积
D A
（2）求 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
D V
（3）求 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积
D V
（4）求 D 绕直线 y  4 旋转一周所得旋转体的体积 V
【解】（1）设过点 (1,0) 的 y  x 2 的切线方程为 y  k( x  1),
其切点为
(x , y ),
则
0 0
x 2  k(x  1) x  2,k  4.
0
0 0


2x  k y  4( x  1),
0
y
4 1 2
A   1d   dy  4 dx 
0 y 3
D y
4 1 16
（2） V  2 r(x, y)d  2 yd  2 dy  4 ydx  
x
0 y 15
D D26武忠祥考研
【例3】过点 (1,0) 作曲线 y  x 2 的切线，该切线与曲线 y  x 2
及 x 轴围成平面图形 D
（1）求 的面积
D A
（2）求 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
D V
（3）求 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积
D V
（4）求 D 绕直线 y  4 旋转一周所得旋转体的体积 V
【解】(3） V  2 r(x, y)d  2 xd
y
D D
y
4 1 8
 2 dy  4 xdx  
0 y 3
（4）
V  2 r(x, y)d  2 (4  y)d
y4
D D
y
4 1 64
 2 dy  4 (4  y)dx  
0 y 1526武忠祥考研
【例4】设对数螺线 r  e  (0 ) 及射线   0 和   
围成平面图形
D
（1）求 的面积
D A
（2）求 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积
D V

 e
【 解 】 （1）
S   1d   d rdr
0 0
D
1
 (e 2  1)
4
（2） V  2 r(x, y)d  2 yd
D D

 e
 2 d r sinrdr
0 0
2


  e 3 sind  (e 3  1)
3 0 15x  acos 3 t
【例5】设星形线 求 1）它所围的面积； 2）它的周长；
 .
 y  asin 3 t
2 2 2
3）它绕 x 轴旋转而成旋转体的体积和表面积. y 1）星形线 x3  y3  a3
2）心形线 r  a(1  cos)
【解】1）面积
x
O
a 0
A  4  y d x  4  a sin 3 t(3a sin t  cos 2 t)d t 3）摆线

0  x  a(t  sin t)
2

 3a 2
 y  a(1  cos t)
 12  2 a 2 (sin 4 t  sin 6 t)d t 
0 8 4）双纽线
 
2）弧长 L  4  2 x 2  y 2 d t  4  2 3asin t  cos t d t  6a (x 2  y 2 ) 2  a 2 (x 2  y 2 )
0 0
3）体积
a 32
0
V  2  y 2 d x  2 a 2 sin 8 t(3a sin t cos 2 t)d t  a 3
x 
0 105
226武忠祥考研
旋转体侧面积
 
12
S  2  2 2y x 2  y 2 d t  12a 2  2 sin 4 t cos t d t  a 2
0 0 526武忠祥考研
题型二 物理应用26武忠祥考研
【例1】(2002年2）某闸门的形状与大小如图
所示，其中 y 轴为对称轴，闸门的上部为
矩形
,DC=2m,下部由二次抛物线与线段
ABCD
所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使
AB
闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受
的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高
h 压强 p  gh
应为多少
h1 压力 P  p  A
h1  y 2 
【解】 P  2  g(h  1  y)d y  2g (h  1) y   gh 2 ,
 
1
1  2 
1
1
 3 5 
1 2 2
P  2  g(h  1  y) y d y  2g (h  1) y2  y2
 
2
0 3 5
 
0
2
h 5
 1 2 
1
 4g h  .  . h  2 h  
 1 2  4
 3 15 
4 h   3
 3 15 26武忠祥考研
【例1】(2002年2）某闸门的形状与大小如图
所示，其中 y 轴为对称轴，闸门的上部为
矩形
,DC=2m,下部由二次抛物线与线段
ABCD
所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使
AB
闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受
的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高
h 压强 p  gh
应为多少
压力 P  p  A
【解2】
dP  gh( y)d
P   gh( y)d
D26武忠祥考研
【例2】 一容器的内侧是由曲线 y  x 2 绕 y 轴旋转而成的
曲面,其容积为 72 m 3 , 其中盛满水, 若将容器中的水从容
器的顶部抽出 64 m 3 , 至少需做多少功?
（长度单位： m 重力加速度为 g m / s 2 , 水的密度 10 3 kg / m 3 ）
【解】设容器深度为
h

h
dV x 2 dy ydy V   ydy  h 2
0 2

当 时，
V  72 72  h 2 , h  12
2

当 时，
V  72 64  8 8  h 2 , h  4
2
dW  10 3 g(12  y)ydy
64010 3
12
W  10 3 g y(12  y)dy  g
4 3【例3】设单位质点 分别位于点 和 处， 从点
P,Q (0,0) (0,1) P (0,0)
出发沿 x 轴正向移动，记 为引力常数，则当点 移动到点
G P (l,0)
时,克服质点 的引力所做的功为（ ）
Q
l G l Gx
（A）
dx
（B）
dx
0 x 2  1 0 (x 2  1) 3 2
l G l G(x  1)
（C） dx （D） dx
3 3
0 (x 2  1) 2 0 (x 2  1) 2

【解】设质点 P 移动到点 (x,0) (0  x  l) 所受质点 Q 的引力为 F(x)
 G  G x Gx
F(x)  F (x)   
x 2  1 x x 2  1 x 2  1 (x 2  1) 3 2
Gx
l
W   dx
3
0 (x 2  1) 2【例4】一根长为 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度
1 x [0,1]
  x 2  2x  1, 则该细棒的质心坐标 x  _______ .
【解】细棒质心坐标为
1 1
 x(x)dx  x( x 2  2x  1)dx 11
11
x  0  0  12 
1 1
 (x)dx  ( x 2  2x  1)dx 5 3 20
0 0第五节 导数在经济学中的应用
26武忠祥考研
1.经济学中常见的函数
1）需求函数： x ( p)
2）供给函数： x  ( p)
3）成本函数：
C  C(x)  C  C (x).
1 2
C C C (x)
平均成本 AC  C   1  2
x x x
4）收益函数
R  R(x)  px
5）利润函数
L  L(x)  R(x)  C(x)
2.边际函数与边际分析
（a）边际成本
MC  C  (q) q 是产量
（b）边际收益 MR  R  (q) q 是产量
（c）边际利润
ML  L  (q) q 是销售量26武忠祥考研
3.弹性函数与弹性分析
①弹性函数的有关概念 设 y  f ( x) 可导，
y / y x f  (x)
 lim  f  (x)  x
x0 x / x y f (x)
②经济学中常用的弹性分析
p
（a）需求的价格弹性    ( p) (  0)
d ( p) d
p
    ( p) (  0)
d ( p) d
p
（b）供给的价格弹性    ( p)
s
( p)【例1】（2019年）以
P , P 分别表示 两个商品的价格,设商品
A, B
A B
A 的需求函数 Q  500  P 2  P P  2P 2 , 则当 P  10, P  20
A A A B B A B
时,商品 A 的需求量对自身价格弹性  (  0) 为 ___________ .
AA AA
P Q
【解】    A  A
AA
Q P
A A
P
  A  (2P  P )
500  P 2  P P  2P 2 A B
A A B B
P (2P  P )
 A A B
500  P 2  P P  2P 2
A A B B
400
将 P  10, P  20 代入上式得    0.4
A B AA
100026武忠祥考研
【例2】(2020年）设厂家生产某产品的产量为 Q ，成本 C(Q)
800
 100  13Q ， 设该产品的单价为 需求量 Q(P)   2 ，
P,
P  3
则该厂家获得最大利润时的产量为 ______ .
800 800
【解】由 Q(P)   2 ， 得 P   3 ，
P  3 Q  2
利润为 L(Q)  PQ  C(Q)
800
（  3)Q  (100  13Q)
Q  2祝同学们
考研路上一路顺利！