(215)--高数强化13笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（13） 13 定积分应用（几何；物理），导数在经济学中的应用 P132-P141 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第四节 定积分应用 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 （一）几何应用 （二）物理应用 二. 常考题型方法与技巧 题型一 几何应用 题型二 物理应用26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）几何应用 1.平面域的面积 设有平面域 ，则该平面域 的面积为 D D S   1d D 1）若平面域 由曲线 y  f (x), y  g(x) ( f (x)  g(x)), D x  a, x  b (a  b) 所围成，则 b f (x) S   1d   dx  dy a g(x) D b   [ f (x)  g(x)]dx a26武忠祥考研 2）若平面域 D 由曲线曲 r  r(),  ,   ( ) 所围成，则其面积为  r() S   1d   d rdr  0 D 1    r 2 ()d. 2  2．空间体的体积26武忠祥考研 1）旋转体的体积 平面域 绕直线 （该直线不穿过区域 D L : ax  by  c  0 旋转所得旋转体体积记为 D) V . dV  2 r(x, y)d ax  by  c V  2 r(x, y)d r(x, y)  . a 2  b 2 D b f (x) V  2 y d  2 dx  ydy x a 0 D b   f 2 (x)d x a b f (x) V  2 x d  2 dx  xdy y a 0 D b  2 xf (x)d x a26武忠祥考研 2）已知横截面面积的体积 b V   S(x)dx a 3.曲线弧长（数三不要求） b 1） C : y  y(x), a  x  b. s   1  y 2 dx a x  x(t)  2） C :   t  . s   x 2  y 2 dt  y  y(t)   3） C : r  r(),  . s   r 2  r 2 d  4.旋转体侧面积（数三不要求） b S  2 f (x) 1  f 2 (x)dx a26武忠祥考研 (二)物理应用（数三不要求） 1.压力 2.变力做功 3.引力26武忠祥考研 题型一 几何应用 x 【例1】设 f (x)   (1 | t |)d t(x  1), 求曲线 y  f ( x) 与 x 1 轴所围图形的面积.  x  (1  t)dt,  1  x  0  【解】 1 f (x)   0 x  (1  t)dt   (1  t)dt, x  0  1 0 1 (1  x) 2  1  x  0  2   1  (1  2x  x 2 ) x  0  2 令 1  2x  x 2  0 得 x  1 2 1,2 1 1 2 0 1 2 S   (1  x) 2 dx   (1  2x  x 2 )dx  1  2 1 2 0 2 326武忠祥考研 【例2】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 与 y  x 所确定,求图 形 A 绕 x  2 旋转一周所得旋转体的体积。 【解1】 dV  2( 2x  x 2  x)(2  x)dx 1 V  2 ( 2x  x 2  x)(2  x)dx 0 2 2   . 2 3 【解2】 dV  [(2  x) 2 (2  y) 2 ]dy  [(2  (1  1  y 2 )) 2 (2  y) 2 ]dy 1 2 2 V   [(2  (1  1  y 2 )) 2 (2  y) 2 ]dy   . 0 2 326武忠祥考研 【例3】过点 (1,0) 作曲线 y  x 2 的切线，该切线与曲线 y  x 2 及 x 轴围成平面图形 D （1）求 的面积 D A （2）求 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 D V （3）求 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 D V （4）求 D 绕直线 y  4 旋转一周所得旋转体的体积 V 【解】（1）设过点 (1,0) 的 y  x 2 的切线方程为 y  k( x  1), 其切点为 (x , y ), 则 0 0 x 2  k(x  1) x  2,k  4. 0 0 0   2x  k y  4( x  1), 0 y 4 1 2 A   1d   dy  4 dx  0 y 3 D y 4 1 16 （2） V  2 r(x, y)d  2 yd  2 dy  4 ydx   x 0 y 15 D D26武忠祥考研 【例3】过点 (1,0) 作曲线 y  x 2 的切线，该切线与曲线 y  x 2 及 x 轴围成平面图形 D （1）求 的面积 D A （2）求 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 D V （3）求 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 D V （4）求 D 绕直线 y  4 旋转一周所得旋转体的体积 V 【解】(3） V  2 r(x, y)d  2 xd y D D y 4 1 8  2 dy  4 xdx   0 y 3 （4） V  2 r(x, y)d  2 (4  y)d y4 D D y 4 1 64  2 dy  4 (4  y)dx   0 y 1526武忠祥考研 【例4】设对数螺线 r  e  (0 ) 及射线   0 和    围成平面图形 D （1）求 的面积 D A （2）求 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积 D V   e 【 解 】 （1） S   1d   d rdr 0 0 D 1  (e 2  1) 4 （2） V  2 r(x, y)d  2 yd D D   e  2 d r sinrdr 0 0 2     e 3 sind  (e 3  1) 3 0 15x  acos 3 t 【例5】设星形线 求 1）它所围的面积； 2）它的周长；  .  y  asin 3 t 2 2 2 3）它绕 x 轴旋转而成旋转体的体积和表面积. y 1）星形线 x3  y3  a3 2）心形线 r  a(1  cos) 【解】1）面积 x O a 0 A  4  y d x  4  a sin 3 t(3a sin t  cos 2 t)d t 3）摆线  0  x  a(t  sin t) 2   3a 2  y  a(1  cos t)  12  2 a 2 (sin 4 t  sin 6 t)d t  0 8 4）双纽线   2）弧长 L  4  2 x 2  y 2 d t  4  2 3asin t  cos t d t  6a (x 2  y 2 ) 2  a 2 (x 2  y 2 ) 0 0 3）体积 a 32 0 V  2  y 2 d x  2 a 2 sin 8 t(3a sin t cos 2 t)d t  a 3 x  0 105 226武忠祥考研 旋转体侧面积   12 S  2  2 2y x 2  y 2 d t  12a 2  2 sin 4 t cos t d t  a 2 0 0 526武忠祥考研 题型二 物理应用26武忠祥考研 【例1】(2002年2）某闸门的形状与大小如图 所示，其中 y 轴为对称轴，闸门的上部为 矩形 ,DC=2m,下部由二次抛物线与线段 ABCD 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使 AB 闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受 的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高 h 压强 p  gh 应为多少 h1 压力 P  p  A h1  y 2  【解】 P  2  g(h  1  y)d y  2g (h  1) y   gh 2 ,   1 1  2  1 1  3 5  1 2 2 P  2  g(h  1  y) y d y  2g (h  1) y2  y2   2 0 3 5   0 2 h 5  1 2  1  4g h  .  . h  2 h    1 2  4  3 15  4 h   3  3 15 26武忠祥考研 【例1】(2002年2）某闸门的形状与大小如图 所示，其中 y 轴为对称轴，闸门的上部为 矩形 ,DC=2m,下部由二次抛物线与线段 ABCD 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使 AB 闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受 的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高 h 压强 p  gh 应为多少 压力 P  p  A 【解2】 dP  gh( y)d P   gh( y)d D26武忠祥考研 【例2】 一容器的内侧是由曲线 y  x 2 绕 y 轴旋转而成的 曲面,其容积为 72 m 3 , 其中盛满水, 若将容器中的水从容 器的顶部抽出 64 m 3 , 至少需做多少功? （长度单位： m 重力加速度为 g m / s 2 , 水的密度 10 3 kg / m 3 ） 【解】设容器深度为 h  h dV x 2 dy ydy V   ydy  h 2 0 2  当 时， V  72 72  h 2 , h  12 2  当 时， V  72 64  8 8  h 2 , h  4 2 dW  10 3 g(12  y)ydy 64010 3 12 W  10 3 g y(12  y)dy  g 4 3【例3】设单位质点 分别位于点 和 处， 从点 P,Q (0,0) (0,1) P (0,0) 出发沿 x 轴正向移动，记 为引力常数，则当点 移动到点 G P (l,0) 时,克服质点 的引力所做的功为（ ） Q l G l Gx （A） dx （B） dx 0 x 2  1 0 (x 2  1) 3 2 l G l G(x  1) （C） dx （D） dx 3 3 0 (x 2  1) 2 0 (x 2  1) 2  【解】设质点 P 移动到点 (x,0) (0  x  l) 所受质点 Q 的引力为 F(x)  G  G x Gx F(x)  F (x)    x 2  1 x x 2  1 x 2  1 (x 2  1) 3 2 Gx l W   dx 3 0 (x 2  1) 2【例4】一根长为 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度 1 x [0,1]   x 2  2x  1, 则该细棒的质心坐标 x  _______ . 【解】细棒质心坐标为 1 1  x(x)dx  x( x 2  2x  1)dx 11 11 x  0  0  12  1 1  (x)dx  ( x 2  2x  1)dx 5 3 20 0 0第五节 导数在经济学中的应用 26武忠祥考研 1.经济学中常见的函数 1）需求函数： x ( p) 2）供给函数： x  ( p) 3）成本函数： C  C(x)  C  C (x). 1 2 C C C (x) 平均成本 AC  C   1  2 x x x 4）收益函数 R  R(x)  px 5）利润函数 L  L(x)  R(x)  C(x) 2.边际函数与边际分析 （a）边际成本 MC  C  (q) q 是产量 （b）边际收益 MR  R  (q) q 是产量 （c）边际利润 ML  L  (q) q 是销售量26武忠祥考研 3.弹性函数与弹性分析 ①弹性函数的有关概念 设 y  f ( x) 可导， y / y x f  (x)  lim  f  (x)  x x0 x / x y f (x) ②经济学中常用的弹性分析 p （a）需求的价格弹性    ( p) (  0) d ( p) d p     ( p) (  0) d ( p) d p （b）供给的价格弹性    ( p) s ( p)【例1】（2019年）以 P , P 分别表示 两个商品的价格,设商品 A, B A B A 的需求函数 Q  500  P 2  P P  2P 2 , 则当 P  10, P  20 A A A B B A B 时,商品 A 的需求量对自身价格弹性  (  0) 为 ___________ . AA AA P Q 【解】    A  A AA Q P A A P   A  (2P  P ) 500  P 2  P P  2P 2 A B A A B B P (2P  P )  A A B 500  P 2  P P  2P 2 A A B B 400 将 P  10, P  20 代入上式得    0.4 A B AA 100026武忠祥考研 【例2】(2020年）设厂家生产某产品的产量为 Q ，成本 C(Q) 800  100  13Q ， 设该产品的单价为 需求量 Q(P)   2 ， P, P  3 则该厂家获得最大利润时的产量为 ______ . 800 800 【解】由 Q(P)   2 ， 得 P   3 ， P  3 Q  2 利润为 L(Q)  PQ  C(Q) 800 （  3)Q  (100  13Q) Q  2祝同学们 考研路上一路顺利！