(226)--高数强化24笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（24）
24 曲面积分计算举例；多元积分应用（质量、质心、形心、转到惯量 P263-P276
，变力沿曲线做功，场论初步（散度，旋度）
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
【例8】计算 I   [( y)cos x y]dx  [ ( y)sin x ]dy

AMB

其中 为连结 与 的线段
AMB A(,2) B(3,4) AB
之下方的任意路线,且该路线与 所围图形面积为2.
AB
【解1】补线段 ,则
BA
I            
  
AMB AMB BA BA AMBA BA
Q P


Pdx  Qdy   (  )d  d
 2
AMBA
x y
D D
x
直线 BA 的方程为： y   1 ,则

 x x x 1
   [(  1)cos x (  1)]dx  [ (  1)sin x ] dx  2(1  3)
BA 3    
故 I  2 2(1  3)  6226武忠祥考研
【例8】计算 I   [( y)cos x y]dx  [ ( y)sin x ]dy

AMB

其中 为连结 与 的线段
AMB A(,2) B(3,4) AB
之下方的任意路线,且该路线与 所围图形面积为2.
AB
【解2】 I  ( y)cos xdx  ( y)sin xdy  ydx  dy
 
AMB AMB
( y)cos xdx  ( y)sin xdy ( y)sin x
(3,4)
 0
(,2)

AMB
 ydx  dy   ydx  dy   ydx  dy

AMBBA BA
AMB
2
  dxdy   (y  1)dy  6
4
D26武忠祥考研
【例9】设 L 是圆周 (x  a) 2  ( y  a) 2  1 (a  0) 的逆时针方向,
为连续正值函数,试证:
f (x)
y
 [x 2  xf ( y)dy  [ y 2  ]dx  2(1  2a)
f (x)
L
【证】由格林公式知
y 1
 [x 2  xf ( y)]dy  [ y 2  ]dx   [2x  2 y  f ( y)  ]dxdy
L f (x) f (x)
D
 (2x  2 y)dxdy  2xS  2 yS  2a 2a  4a
D
1 1 1
 [ f ( y)  ]dxdy   [ f (x)  ]dxdy  2  f (x) dxdy  2
f (x) f (x) f (x)
D D D26武忠祥考研
2
y
【例10】计算曲线积分 I   xz d x  xd y  d z, 其中 L 是柱面
L 2
x 2  y 2  1 与平面 z  x  y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向 看去为逆时针方向.
【解1】直接法 参数方程 x  cos t, y  sin t, z  cos t  sin t
2
 sin t
I   [cost(cost  sin t)(sin t)  cos 2 t  (sin t  cost)]dt
 2

  1 
  cos 2 tdt 2  cos 2 tdt  4  2 cos 2 tdt  4   
 0 0 2 2
cos cos cos
   1
【解2】 利用斯托克斯公式 I   dS   (1  x  y)dS
x y z 3
 
2
y
  (1  x  y)d
xz x
1 1 1
2
cos  ,cos   ,cos  , x 2  y 21
3 3 326武忠祥考研
2
y
【例10】计算曲线积分 I   xz d x  xd y  d z, 其中 L 是柱面
L 2
x 2  y 2  1 与平面 z  x  y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向 看去为逆时针方向.
【解3】 化为平面线积分
2
y
I   x(x  y)dx  xdy  (dx  dy) 降维打击
C 2
2 2
y y
  [x(x  y)  ]dx  [x  ]dy
C 2 2
  (1  x  y)d （格林公式）
x 2  y 21
 【例】(2024)已知有向曲线 L 为球面 x 2  y 2  z 2  2x 与平面 2x  z  1  0
的交线，从 z 轴正向往负向看去为逆时针方向，计算  (6xyz  yz 2 )dx  2x 2 zdy  xyzdz.
L
2
3 y 4
【解1】直接法 (x  ) 2  
5 5 25
3 2 2 1 4
x   cos t, y  sin t, z   cos t
5 5 5 5 5
【解2】 利用斯托克斯公式
原式   (xz  2x 2 )dydz  (6xy  3 yz)dzdx  (z 2  2xz)dxdy
 1 1 1
【解3】 化为平面线积分
  [2(xz  2x 2 )  (z 2  2xz)]dS   (2x  z) 2 dS   dS
5 5 5
  
原式   (6xy  y)(2x  1)dx  2x 2 (2x  1)dy
L
4 5
  [(12x 2  4x)  (6x  1)(2x  1)]dxdy   dxdy  
25
D D题型四 计算对面积的面积分 26武忠祥考研
【例1】设曲面  :| x |  | y |  | z | 1, 则  (x | y |)d S  ____ .

【解1】 原式  8  ydS

1
1 1x 3
方法1  ydS   y 3dxdy  3  dx  ydy 
0 0 6
 D
1
1 1 3
方法2  ydS   (x  y  z)dS   dS 
3 3 6
  
1
1 3
方法3  ydS  y  S  S 
3 6

1
1
【解2】 原式   ( x  | y |  z )d S
3
26武忠祥考研
dS
【例3】计算  , 其中  为柱面 x 2  y 2  R 2 夹在
x 2  y 2  z 2

z  0 和 z  H (H  0), 之间的部分.
【解1】
dS dS
【解2】   
x 2  y 2  z 2 R 2  z 2
 
dz
H
 2R 
0 R 2  z 2
H
 2arctan
R26武忠祥考研
【例4】计算  (ax  by  cz  d) 2 dS, 其中  为球面

x 2  y 2  z 2  R 2 .
【解】原式   (a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2 )dS  4R 2 d 2

 (a 2  b 2  c 2 )  x 2 dS  4R 2 d 2

a 2  b 2  c 2
  (x 2  y 2  z 2 )dS  4R 2 d 2
3

a 2  b 2  c 2
  R 2 dS  4R 2 d 2
3

4
 (a 2  b 2  c 2 )R 4  4R 2 d 2
326武忠祥考研
【例5】计算  (x 2  y 2  z 2 )dS, 其中  为球面 x 2  y 2  z 2  2az(a  0).

【解】
 (x 2  y 2  z 2 )dS   2azds  2a  zdS
  
1） zdS   [(z  a)  a]dS   adS  4a 3
  
2）  zdS  z  S  a  4a 2  4a 3

则  (x 2  y 2  z 2 )dS  8a 4
26武忠祥考研
题型五 计算对坐标的面积分
x d y d z  z 2 d x d y
【例1】计算曲面积分  ,其中 是由曲面
S
x 2  y 2  z 2
S
x 2  y 2  R 2 及两平面 z  R, z  R (R  0) 所围成立体表面
(如右图)的外侧.
【解】设 依次为 的上、下底和圆柱面部分，则
S , S , S
S
1 2 3
x d yd z x d yd z
    0.
x 2  y 2  z 2 x 2  y 2  z 2
S S
1 2
z 2 d x d y R 2 d x d y (R) 2 d x d y
      0.
x 2  y 2  z 2 x 2  y 2  R 2 x 2  y 2  R 2
S S D D
1 2 xy xy
2
z d x d y
  0,
x 2  y 2  z 2
S
326武忠祥考研
x d y d z R 2  y 2  R 2  y 2
   d y d z   d y d z
x 2  y 2  z 2 R 2  z 2 R 2  z 2
S D D
3 yz yz
R 2  y 2 R R d z
 2  d y d z  2  R 2  y 2 d y 
R 2  z 2 R R R 2  z 2
D
yz
2
 R.
2x d y d z  z 2 d x d y
【例1】计算曲面积分  ,其中 是由曲面
S
x 2  y 2  z 2
S
x 2  y 2  R 2 及两平面 z  R, z  R (R  0) 所围成立体表面
(如右图)的外侧.
【解】 若曲面 关于 平面对称,则
S xOy
 0, f (x, y,z)  f (x, y, z),

 R(x, y, z)dxdy   2  R(x, y, z)dxdy, f (x, y,z)   f (x, y, z).

S 
S
z026武忠祥考研
【例2】计算 I   2x 3 dydz  2 y 3 dzdx  3(z 2  1)dxdy, 其中 

是曲面 z  1  x 2  y 2 (z  0) 的上侧.
【解】
I    
 
1 1
 2x 3 dydz  2 y 3 dzdx  3(z 2  1)dxdy   (6x 2  6 y 2  6z)dV
 
1
2 1 1r 2
 6  d dr  (z  r 2 )rdz
0 0 0
1
1
 12 [ r(1  r 2 ) 2  r 3 (1  r 2 )]dr  2
0 2
 2x 3 dydz  2 y 3 dzdx  3(z 2  1)dxdy    (3)d  3
 x 2 y 21
1
故 I  2 3  26武忠祥考研
xdydz  ydzdx  zdxdy
【例3】计算 I   , 其中
(x 2  y 2  z 2 ) 3/2

1)  为 z  a 2  x 2  y 2 的上侧.
2 2 2
x y z
2)  为上半椭球面    1(z  0)
4 9 25
xdydz  ydzdx  zdxdy
【解】1)
I  
3
a

1 1 3 2
 [    ] [  3dV  0]   a 3  2
3 3 3
a a a 3
S S 
2)
I      
   
1 2 1 2
  0dV    0  2
 
1【例5】设  为曲面 z  x 2  y 2 (1  x 2  y 2  4) 的下侧, f (x) 是连续函数,计算
I   [xf (xy)  2x  y]dydz  [ yf (xy)  2 y  x]dzdx  [zf (xy)  z]dxdy


【解】
n  (x, y,z)
x y  z
（ cos,cos,cos)  ( , , )
x 2  y 2  z 2 x 2  y 2  z 2 x 2  y 2  z 2
x y  z
 ( , , )
2(x 2  y 2 ) 2(x 2  y 2 ) 2(x 2  y 2 )
1
I   [(x 2  y 2  z 2 ) f (xy)  2x 2  2 y 2  z 2 ]dS
2(x 2  y 2 )

2 2 2 14
  x 2  y 2 dS   x 2  y 2 dxdy   d r 2 dr 
2 0 1 3
 Dx  t
x  0 
【例】(25年)设  是由直线  绕直线  y  t ( t 为参数)旋转一周得到的
 y  0

z  t

曲面，  是介于平面 x  y  z  0 与 x  y  z  1 之间的部分的外侧,计算曲面积分
1
 xdydz  ( y  1)dzdx  (z  2)dxdy

1
【解】  为平面 x  y  z  1 包含在旋转面  内的上侧
2
1
原式       3dv   (x  y  1  z  2)dS
3
    
1 2 2 2
4 1 2 1 4 2 2 1
 3  dv   dS  3 ( ) 2  ( ) 2 r  ,h 
3 3 3 3 3 3 3 3
 
2
2
 
326武忠祥考研
第二节 多元积分应用
平面板 空间体 曲线段 曲面片
几何度量
S  d V  dV L  ds S  dS
D  C 
质量
m  (x,y)d m  (x,y,z)dV m   f(x,y,z)ds m  (x,y,z)dS
D  C 
质心
x(x,y)d x(x,y,z)dV x(x,y,z)ds x(x,y,z)dS
x  D x   x  C x  
(x,y)d (x,y,z)dV (x,y,z)ds (x,y,z)dS
D  C 
形心
xd xdV xds xdS
x  D x   x  C x  
d dV ds dS
D  C 
转动惯量
Ix  y2(x,y)d I
x
 (y2  z2)(x,y,z)dv Ix  (y2  z2)(x,y,z)ds Ix  (y2  z2)(x,y,z)dS
D  C 
1.变力作功:
W   Pdx  Qdy  Rdz

AB
2.通量:
   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy
题型一 求几何量 26武忠祥考研
【例1】计算曲面 z  R 2  x 2  y 2 和 z  x 2  y 2 所围立体体积.
【解1】利用二重积分计算
1
V   [ R 2  x 2  y 2  x 2  y 2 ]dxdy (D : x 2  y 2  R 2 )
2
D
R
2 R 3
  d 2[ R 2  r 2  r]rdr  (2  2)
0 0 3
【解2】利用三重积分

2 R
V   1 dv   d 4 d r 2 sindr
0 0 0

R 3
 (2  2)
326武忠祥考研
【例2】求柱面 x 2  y 2  a 2 夹在平面 x  z  0 与 z  0 之间部分的面积.
【解1】 x 2  y 2  a 2 y  a 2  x 2 ,
y  x y
 ,  0
x a 2  x 2 z
2
x a
dS  1  dzdx  dzdx
a 2  x 2 a 2  x 2
a
a x
S  4  dx  dz  4a 2
0 0 a 2  x 2
【解2】利用线积分

S   zds   xds   2 a 2 cosd a 2 则 S  4 a 2
1
L 0
L题型二 计算物理量
26武忠祥考研
【例3】设  是由锥面 x 2  ( y  z) 2  (1  z) 2 (0  z  1) 与平面
z  0 围成的锥体，求  的形心坐标.
【解】 x  0.
1
V   dxdydz   dz  dxdy   1 (1  z) 2 dz  
0
0 3
 D
z

1 1 2 1z 1
 ydxdydz   dz  ydxdy   dz  d (z  r sin)rdr   z(1  z) 2 dz 
0 0 0 0 0 12
 D
z
1 
1
 zdxdydz   dz  zdxdy   z(1  z) 2 dz 
0 0 12
 D
z
 
ydxdydz zdxdydz
1 1
所以 y    , z    .
V 4 V 426武忠祥考研
【例4】求底半径为 ,高为 ,密度为  的均匀柱体对底面圆直径的转动惯量.
R H
2 R H
【解1】 I   (x 2  z 2 )dv   d dr  (r 2 cos 2 z 2 )rdz
y
0 0 0

2 R 1 2 1 1
  d (Hr 3 cos 2 H 3 r)dr   ( HR 4 cos 2 H 3 R 2 )d
0 0 3 0 4 6
HR 2
 (3R 2  4H 2 )
12
，
【解2】 I   (x 2  z 2 )dv
y

1 1 2 R H HR 4
 x 2 dv   (x 2  y 2 )dv   d dr  r 3 dz 
2 2 0 0 0 4
 
R 2 H 2
H
 z 2 dV   R 2 z 2 dz  ,
0 3
第三节 场论初步 26武忠祥考研
1. 梯度:
1) 定义:
u u u
2) 计算 gradu  i  j k
x y z
2. 散度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R}
P Q R
divA   
x y z
3. 旋度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R}
i j k
  
rotA 
x y z
P Q R26武忠祥考研
题型一 梯度 散度 旋度计算
【例1】函数 u  ln(x 2  y 2  z 2 ) 在点 M(1,2  2) 处的梯度
gradu |  _______ .
M
【例2】向量场 u(x, y, z)  xy 2 i  ye z j x ln(1 z 2 )k 在点
处的散度
P(1,1,0) divu  ______ .
【例3】设数量场 有二阶连续偏导数,试证明
u(x, y, z)
rot(gradu)  0.
【例4】设 r  x 2  y 2  z 2 , f (u) 有二阶连续导数，
试求
div[gradf (r)]  0, f (u).26武忠祥考研
一.复习消化强化课内容（例题，学习包习题）
二.严选题
三.660题
四.330题祝同学们
考研路上一路顺利！