(226)--高数强化24笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（24） 24 曲面积分计算举例；多元积分应用（质量、质心、形心、转到惯量 P263-P276 ，变力沿曲线做功，场论初步（散度，旋度） 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 【例8】计算 I   [( y)cos x y]dx  [ ( y)sin x ]dy  AMB  其中 为连结 与 的线段 AMB A(,2) B(3,4) AB 之下方的任意路线,且该路线与 所围图形面积为2. AB 【解1】补线段 ,则 BA I                AMB AMB BA BA AMBA BA Q P   Pdx  Qdy   (  )d  d  2 AMBA x y D D x 直线 BA 的方程为： y   1 ,则   x x x 1    [(  1)cos x (  1)]dx  [ (  1)sin x ] dx  2(1  3) BA 3     故 I  2 2(1  3)  6226武忠祥考研 【例8】计算 I   [( y)cos x y]dx  [ ( y)sin x ]dy  AMB  其中 为连结 与 的线段 AMB A(,2) B(3,4) AB 之下方的任意路线,且该路线与 所围图形面积为2. AB 【解2】 I  ( y)cos xdx  ( y)sin xdy  ydx  dy   AMB AMB ( y)cos xdx  ( y)sin xdy ( y)sin x (3,4)  0 (,2)  AMB  ydx  dy   ydx  dy   ydx  dy  AMBBA BA AMB 2   dxdy   (y  1)dy  6 4 D26武忠祥考研 【例9】设 L 是圆周 (x  a) 2  ( y  a) 2  1 (a  0) 的逆时针方向, 为连续正值函数,试证: f (x) y  [x 2  xf ( y)dy  [ y 2  ]dx  2(1  2a) f (x) L 【证】由格林公式知 y 1  [x 2  xf ( y)]dy  [ y 2  ]dx   [2x  2 y  f ( y)  ]dxdy L f (x) f (x) D  (2x  2 y)dxdy  2xS  2 yS  2a 2a  4a D 1 1 1  [ f ( y)  ]dxdy   [ f (x)  ]dxdy  2  f (x) dxdy  2 f (x) f (x) f (x) D D D26武忠祥考研 2 y 【例10】计算曲线积分 I   xz d x  xd y  d z, 其中 L 是柱面 L 2 x 2  y 2  1 与平面 z  x  y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向 看去为逆时针方向. 【解1】直接法 参数方程 x  cos t, y  sin t, z  cos t  sin t 2  sin t I   [cost(cost  sin t)(sin t)  cos 2 t  (sin t  cost)]dt  2    1    cos 2 tdt 2  cos 2 tdt  4  2 cos 2 tdt  4     0 0 2 2 cos cos cos    1 【解2】 利用斯托克斯公式 I   dS   (1  x  y)dS x y z 3   2 y   (1  x  y)d xz x 1 1 1 2 cos  ,cos   ,cos  , x 2  y 21 3 3 326武忠祥考研 2 y 【例10】计算曲线积分 I   xz d x  xd y  d z, 其中 L 是柱面 L 2 x 2  y 2  1 与平面 z  x  y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向 看去为逆时针方向. 【解3】 化为平面线积分 2 y I   x(x  y)dx  xdy  (dx  dy) 降维打击 C 2 2 2 y y   [x(x  y)  ]dx  [x  ]dy C 2 2   (1  x  y)d （格林公式） x 2  y 21  【例】(2024)已知有向曲线 L 为球面 x 2  y 2  z 2  2x 与平面 2x  z  1  0 的交线，从 z 轴正向往负向看去为逆时针方向，计算  (6xyz  yz 2 )dx  2x 2 zdy  xyzdz. L 2 3 y 4 【解1】直接法 (x  ) 2   5 5 25 3 2 2 1 4 x   cos t, y  sin t, z   cos t 5 5 5 5 5 【解2】 利用斯托克斯公式 原式   (xz  2x 2 )dydz  (6xy  3 yz)dzdx  (z 2  2xz)dxdy  1 1 1 【解3】 化为平面线积分   [2(xz  2x 2 )  (z 2  2xz)]dS   (2x  z) 2 dS   dS 5 5 5    原式   (6xy  y)(2x  1)dx  2x 2 (2x  1)dy L 4 5   [(12x 2  4x)  (6x  1)(2x  1)]dxdy   dxdy   25 D D题型四 计算对面积的面积分 26武忠祥考研 【例1】设曲面  :| x |  | y |  | z | 1, 则  (x | y |)d S  ____ .  【解1】 原式  8  ydS  1 1 1x 3 方法1  ydS   y 3dxdy  3  dx  ydy  0 0 6  D 1 1 1 3 方法2  ydS   (x  y  z)dS   dS  3 3 6    1 1 3 方法3  ydS  y  S  S  3 6  1 1 【解2】 原式   ( x  | y |  z )d S 3 26武忠祥考研 dS 【例3】计算  , 其中  为柱面 x 2  y 2  R 2 夹在 x 2  y 2  z 2  z  0 和 z  H (H  0), 之间的部分. 【解1】 dS dS 【解2】    x 2  y 2  z 2 R 2  z 2   dz H  2R  0 R 2  z 2 H  2arctan R26武忠祥考研 【例4】计算  (ax  by  cz  d) 2 dS, 其中  为球面  x 2  y 2  z 2  R 2 . 【解】原式   (a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2 )dS  4R 2 d 2   (a 2  b 2  c 2 )  x 2 dS  4R 2 d 2  a 2  b 2  c 2   (x 2  y 2  z 2 )dS  4R 2 d 2 3  a 2  b 2  c 2   R 2 dS  4R 2 d 2 3  4  (a 2  b 2  c 2 )R 4  4R 2 d 2 326武忠祥考研 【例5】计算  (x 2  y 2  z 2 )dS, 其中  为球面 x 2  y 2  z 2  2az(a  0).  【解】  (x 2  y 2  z 2 )dS   2azds  2a  zdS    1） zdS   [(z  a)  a]dS   adS  4a 3    2）  zdS  z  S  a  4a 2  4a 3  则  (x 2  y 2  z 2 )dS  8a 4 26武忠祥考研 题型五 计算对坐标的面积分 x d y d z  z 2 d x d y 【例1】计算曲面积分  ,其中 是由曲面 S x 2  y 2  z 2 S x 2  y 2  R 2 及两平面 z  R, z  R (R  0) 所围成立体表面 (如右图)的外侧. 【解】设 依次为 的上、下底和圆柱面部分，则 S , S , S S 1 2 3 x d yd z x d yd z     0. x 2  y 2  z 2 x 2  y 2  z 2 S S 1 2 z 2 d x d y R 2 d x d y (R) 2 d x d y       0. x 2  y 2  z 2 x 2  y 2  R 2 x 2  y 2  R 2 S S D D 1 2 xy xy 2 z d x d y   0, x 2  y 2  z 2 S 326武忠祥考研 x d y d z R 2  y 2  R 2  y 2    d y d z   d y d z x 2  y 2  z 2 R 2  z 2 R 2  z 2 S D D 3 yz yz R 2  y 2 R R d z  2  d y d z  2  R 2  y 2 d y  R 2  z 2 R R R 2  z 2 D yz 2  R. 2x d y d z  z 2 d x d y 【例1】计算曲面积分  ,其中 是由曲面 S x 2  y 2  z 2 S x 2  y 2  R 2 及两平面 z  R, z  R (R  0) 所围成立体表面 (如右图)的外侧. 【解】 若曲面 关于 平面对称,则 S xOy  0, f (x, y,z)  f (x, y, z),   R(x, y, z)dxdy   2  R(x, y, z)dxdy, f (x, y,z)   f (x, y, z).  S  S z026武忠祥考研 【例2】计算 I   2x 3 dydz  2 y 3 dzdx  3(z 2  1)dxdy, 其中   是曲面 z  1  x 2  y 2 (z  0) 的上侧. 【解】 I       1 1  2x 3 dydz  2 y 3 dzdx  3(z 2  1)dxdy   (6x 2  6 y 2  6z)dV   1 2 1 1r 2  6  d dr  (z  r 2 )rdz 0 0 0 1 1  12 [ r(1  r 2 ) 2  r 3 (1  r 2 )]dr  2 0 2  2x 3 dydz  2 y 3 dzdx  3(z 2  1)dxdy    (3)d  3  x 2 y 21 1 故 I  2 3  26武忠祥考研 xdydz  ydzdx  zdxdy 【例3】计算 I   , 其中 (x 2  y 2  z 2 ) 3/2  1)  为 z  a 2  x 2  y 2 的上侧. 2 2 2 x y z 2)  为上半椭球面    1(z  0) 4 9 25 xdydz  ydzdx  zdxdy 【解】1) I   3 a  1 1 3 2  [    ] [  3dV  0]   a 3  2 3 3 3 a a a 3 S S  2) I           1 2 1 2   0dV    0  2   1【例5】设  为曲面 z  x 2  y 2 (1  x 2  y 2  4) 的下侧, f (x) 是连续函数,计算 I   [xf (xy)  2x  y]dydz  [ yf (xy)  2 y  x]dzdx  [zf (xy)  z]dxdy   【解】 n  (x, y,z) x y  z （ cos,cos,cos)  ( , , ) x 2  y 2  z 2 x 2  y 2  z 2 x 2  y 2  z 2 x y  z  ( , , ) 2(x 2  y 2 ) 2(x 2  y 2 ) 2(x 2  y 2 ) 1 I   [(x 2  y 2  z 2 ) f (xy)  2x 2  2 y 2  z 2 ]dS 2(x 2  y 2 )  2 2 2 14   x 2  y 2 dS   x 2  y 2 dxdy   d r 2 dr  2 0 1 3  Dx  t x  0  【例】(25年)设  是由直线  绕直线  y  t ( t 为参数)旋转一周得到的  y  0  z  t  曲面，  是介于平面 x  y  z  0 与 x  y  z  1 之间的部分的外侧,计算曲面积分 1  xdydz  ( y  1)dzdx  (z  2)dxdy  1 【解】  为平面 x  y  z  1 包含在旋转面  内的上侧 2 1 原式       3dv   (x  y  1  z  2)dS 3      1 2 2 2 4 1 2 1 4 2 2 1  3  dv   dS  3 ( ) 2  ( ) 2 r  ,h  3 3 3 3 3 3 3 3   2 2   326武忠祥考研 第二节 多元积分应用 平面板 空间体 曲线段 曲面片 几何度量 S  d V  dV L  ds S  dS D  C  质量 m  (x,y)d m  (x,y,z)dV m   f(x,y,z)ds m  (x,y,z)dS D  C  质心 x(x,y)d x(x,y,z)dV x(x,y,z)ds x(x,y,z)dS x  D x   x  C x   (x,y)d (x,y,z)dV (x,y,z)ds (x,y,z)dS D  C  形心 xd xdV xds xdS x  D x   x  C x   d dV ds dS D  C  转动惯量 Ix  y2(x,y)d I x  (y2  z2)(x,y,z)dv Ix  (y2  z2)(x,y,z)ds Ix  (y2  z2)(x,y,z)dS D  C  1.变力作功: W   Pdx  Qdy  Rdz  AB 2.通量:    Pdydz  Qdzdx  Rdxdy 题型一 求几何量 26武忠祥考研 【例1】计算曲面 z  R 2  x 2  y 2 和 z  x 2  y 2 所围立体体积. 【解1】利用二重积分计算 1 V   [ R 2  x 2  y 2  x 2  y 2 ]dxdy (D : x 2  y 2  R 2 ) 2 D R 2 R 3   d 2[ R 2  r 2  r]rdr  (2  2) 0 0 3 【解2】利用三重积分  2 R V   1 dv   d 4 d r 2 sindr 0 0 0  R 3  (2  2) 326武忠祥考研 【例2】求柱面 x 2  y 2  a 2 夹在平面 x  z  0 与 z  0 之间部分的面积. 【解1】 x 2  y 2  a 2 y  a 2  x 2 , y  x y  ,  0 x a 2  x 2 z 2 x a dS  1  dzdx  dzdx a 2  x 2 a 2  x 2 a a x S  4  dx  dz  4a 2 0 0 a 2  x 2 【解2】利用线积分  S   zds   xds   2 a 2 cosd a 2 则 S  4 a 2 1 L 0 L题型二 计算物理量 26武忠祥考研 【例3】设  是由锥面 x 2  ( y  z) 2  (1  z) 2 (0  z  1) 与平面 z  0 围成的锥体，求  的形心坐标. 【解】 x  0. 1 V   dxdydz   dz  dxdy   1 (1  z) 2 dz   0 0 3  D z  1 1 2 1z 1  ydxdydz   dz  ydxdy   dz  d (z  r sin)rdr   z(1  z) 2 dz  0 0 0 0 0 12  D z 1  1  zdxdydz   dz  zdxdy   z(1  z) 2 dz  0 0 12  D z   ydxdydz zdxdydz 1 1 所以 y    , z    . V 4 V 426武忠祥考研 【例4】求底半径为 ,高为 ,密度为  的均匀柱体对底面圆直径的转动惯量. R H 2 R H 【解1】 I   (x 2  z 2 )dv   d dr  (r 2 cos 2 z 2 )rdz y 0 0 0  2 R 1 2 1 1   d (Hr 3 cos 2 H 3 r)dr   ( HR 4 cos 2 H 3 R 2 )d 0 0 3 0 4 6 HR 2  (3R 2  4H 2 ) 12 ， 【解2】 I   (x 2  z 2 )dv y  1 1 2 R H HR 4  x 2 dv   (x 2  y 2 )dv   d dr  r 3 dz  2 2 0 0 0 4   R 2 H 2 H  z 2 dV   R 2 z 2 dz  , 0 3 第三节 场论初步 26武忠祥考研 1. 梯度: 1) 定义: u u u 2) 计算 gradu  i  j k x y z 2. 散度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R} P Q R divA    x y z 3. 旋度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R} i j k    rotA  x y z P Q R26武忠祥考研 题型一 梯度 散度 旋度计算 【例1】函数 u  ln(x 2  y 2  z 2 ) 在点 M(1,2  2) 处的梯度 gradu |  _______ . M 【例2】向量场 u(x, y, z)  xy 2 i  ye z j x ln(1 z 2 )k 在点 处的散度 P(1,1,0) divu  ______ . 【例3】设数量场 有二阶连续偏导数,试证明 u(x, y, z) rot(gradu)  0. 【例4】设 r  x 2  y 2  z 2 , f (u) 有二阶连续导数， 试求 div[gradf (r)]  0, f (u).26武忠祥考研 一.复习消化强化课内容（例题，学习包习题） 二.严选题 三.660题 四.330题祝同学们 考研路上一路顺利！