(227)--P51_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

 1  1
【证明】令(x) f(x) f x ，由于 f(x)在[0,1]上连续，故(x)在

0,1

上
 n  n
 1
连续，所以(x)在 0,1 上必存在最大值和最小值.
 
 n
令(x)  M ，(x) m，则有
max min
 i 
m M (i  0,1,,n1)
n
1 n1  i 
故 m  M
n n
i0
 1
由介值定理，存在x  0,1 ，使得
n   n  
1 n1  i 
(x )  
n n n
i0
1  n1
(0)  
n  n 
1 1 2  n1
 f(0) f    f    f    f    f(1)
n n n  n 
 f(0) f(1)0
 1
即 f(x ) f x  
n  n n