(228)--第一章：函数极限连续_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

《高等数学辅导》讲义习题讲解 武 忠 祥MO O C 练习题精选 中国大学 t 兰哭兰二．是（ 函数/(x)= ）． (A)单调函数 (B)周期函数 .. /co> (C)偶函数 元界函数【解】 f (x) 在 x  1,0,1 处没定义， x x  1 e xln x  1 lim f (x)  lim  lim x1 x1 x(x  1)ln x x1 x(x  1)ln x x ln x 1  lim  lim   x1 x(x  1)ln x x1 x  1 x x  1 e xln x  1 lim f (x)  lim  lim x0 x0 x(x  1)ln x x0 x(x  1)ln x x ln x 1  lim  lim  1 x0 x(x  1)ln x x0 x  1 x x  1 e xln x  1 lim f (x)  lim  lim x1 x1 x(x  1)ln x x1 x(x  1)ln x x ln x 1 1  lim  lim  x1 x(x  1)ln x x1 x  1 2【解】应选（C） 由题设可知， 否则 只有一个间断点 b  0, f ( x) x  0. 显然 x  0 是 f ( x) 的一个间断点,而另一个间断点只能是 而 x  1. b  e. 2 a (x 2  a 2 )(x  1) lim f (x)  , lim f (x)  0. lim f (x)  lim x0  e x0  x1 x1 1 e x  e (x  1) 1 1  a 2  (1  a 2 )lim  (1  a 2 )lim   x1 1 x1 1 1 e e x  e  e x 2 x 0, x  1  0, x  0   , x  1 【解】 lim e nx    1, x  0 , lim x n   . n 1, x  1  n    , x  0   不存在， x  1 1 2e x  2e (n1)x  1 nx e 当 x  0 时 f (x)  lim  lim  2e x n e nx  x n  1 n x 1 1  ( ) n  x nx e e  0, x  1,  f (x)   1,  1  x  0, 故应选（D）.  2e x , x  01 2 n 【解】 ln x  ln(1  )  ln(1  )  ln(1  ) n 2 2 2 n n n x 当 时， 则 x  0  ln(1  x)  x, 1  x k k k 2 k k n    ln(1  )  n 2  n n 2  k k n 2 n 2 1  2 n n n k k    ln x  n 2  n n n 2 k1 k1 1 1 n(n  1) n(n  1) n k 1 n k 1  2  2 lim  lim  lim  lim  n n 2 n n 2 2 n n 2  n n n 2  n 2 k1 k1 1 1 则 li m ln x  lim x  e2 . n n n 2 n1  2    n 1  2    n 【解】 lim  lim n n(1  2    n) n n 2 (n  1) 2 n 1 1 2 n  2 lim  (     ) n n  1 n n n n 2 2 1  2  xdx  0 31 ln(1sin2x 2 ) (1  sin 2x 2 )x 2  e 2 e x 2  e 2 【解1】 lim  lim n n x0 x x0 x ln(1sin2x 2 )2x 2 e x 2  1  e 2 lim n x0 x ln(1  sin 2x 2 )  2x 2  e 2 lim n2 x0 x 2 4x cos 2x  4x 1  sin 2x 2  e 2 lim x0 (n  2)x n1 4e 2 cos2x 2  1  sin 2x 2  lim  a  0 n  2 x0 x n n  2, a  2e 2ln(1  sin 2x 2 )  2x 2 【解2】 左端  e 2 lim n2 x0 x 2 2 sin 2x sin 2x 2  (sin 2 2x 2 )  2x 2 2  e 2 lim n2 x0 x  a  0 2 2 sin 2x  2  n  2, a  e 2 lim  2e 2 4 x0 xln(1  sin 2x 2 )  2x 2 【解3】 左端  e 2 lim n2 x0 x [ln(1  sin 2x 2 )  sin 2x 2 ]  [2x 2  sin 2x 2 ]  e 2 lim n2 x0 x 1 1 [ (sin 2x 2 ) 2 ]  [ (2x 2 ) 3 ] 2 6  e 2 lim n2 x0 x 1 1 (x  ln(1  x) ~ x 2 , x  sin x ~ x 3 ) 2 6  2x 4  n  2, a  e 2 lim  2e 2 4 x0 x．一0 M O O C 中国大学 ax-smx 30 ..确 定常数a b,c 的值 ，使 lim .,. 咄「 ln(l+13 ) dt = c (c :})- t>' o 。 + l D 从一 l 止 斗一彴义 一句义 ＝吐 一 o : 灼 兰 卧 X 1. 二红、二包立＿ 二 购炉 七ln(1  x 2 )  ln(1  sin 2 x) ln(1  x 2 )  ln(1  sin 2 x) 【解1】 原式  lim  lim x0 ln(1  x 2 )ln(1  sin 2 x) x0 x 4  x 2  sin 2 x     ln 1   x 2  sin 2 x 1  sin 2 x    lim  lim 4 x0 x 4 (1  sin 2 x) x0 x x  sin x x  sin x  lim  lim 3 x0 x x0 x 1 3 x 1 6  2 lim  3 x0 x 3ln(1  x 2 )  ln(1  sin 2 x) 【解2】 原式  lim x0 ln(1  x 2 )ln(1  sin 2 x) ln(1  x 2 )  ln(1  sin 2 x)  lim 4 x0 x 1 ( x 2  sin 2 x)  1  (拉格朗日中值定理) lim 4 x0 x ( x  sin x)( x  sin x) 1   lim 4 x0 x 3sin x x x [( ) x  1] x 【解1】 原式   lim ( lim x x  1) 3 x0  x x0  sin x xln e x  1   lim 3  x x0 sin x sin x  x ln ln(1  ) x x   lim   lim x0  x 2 x0  x 2 1  x 3 sin x  x 6   lim   lim 3 3 x0  x x0  x 1  . 6【解2】 原式1 lnx 1 1 ln(xx1) ln(e x 1) 【解】 lim (x x  1)ln x  lim e ln x  lim e ln x x x x ln x ln x ln(e x  1) xe x 1  ln x 因为 lim  lim  , ln x 2 x ln x x x e x  1 ln x 而当 x    时，  0 x ln x ln x ln(e x  1) e x 1  ln x 1  ln x 所以 lim  lim   lim  1. x ln x x ln x x x ln x x 1 1 故 lim (x x  1)ln x  e 1 . x1 1 1 1 【解】 [     ] 1 2 n n 1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2 n n n 1 1 n  n  n  1 2 n     [  ] 1 2  n 2 2 2  n 2 n 2  n 2 n  1 1 1 1     [  ] n 2 1 2 n  2  2  2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) n n n 1 1 1 1 1  1 lim [     ]   dx  n n 1  ( 1 ) 2 1  ( 2 ) 2 1  ( n ) 2 0 1  x 2 4 n n nx x  1 【解】 则 为无穷间断点. x  1, lim   x  1 x1 ln | x |  (x  1)  1 x  1, lim  lim  1 x(1)  ln | x | x(1)  1 x x  1 1 lim  lim  1 x(1)  ln | x | x(1)  1 x 为跳跃间断点. x  1 x x  1 为可去间断点. x  0, lim  0 x  0 x0 ln | x |