(17)--1.5-1.6笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

高等数学精讲 主讲：武忠祥教授老师简介 主讲人 武忠祥老师 n 李永乐考研团队 核心成员 n 原西安交通大学数学系教授 n 美国爱荷华大学访问学者 n 面向二十一世纪国家级重点教材 《工科数学分析基础》主编 n 曾获国家优秀教材等奖 《考研数学复习全书》 《高等数学辅导讲义》等畅销书主编 n 拥有十余年考研辅导经验老 师 简 介 @武忠祥考研 公众号：武忠祥考研第一章 函数与极限 第三节 函数的极限 一、函数极限的定义 二 、函数极限的性质一、函数极限的定义 1.自变量趋于有限值时函数的极限 在点 的某个去心邻域有定义 定义1 设函数 f (x) x 0 若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  , 0 则称 为 x  x 时 f ( x) 的极限. 记作 lim f (x)  A A 0 xx 0 【注】 1） 的任意性，  与  的作用； 2） x  x ,但 x  x ； y 0 0 y  f (x) A  几何意义 A A    o x  x x  x 0 0 0x 2  1 【例1】用定义证明 lim  2 x1 x  1 若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  , 0极限 lim f (x)  A xx 0 若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  , 0 左极限 lim f (x)  f (x  )  f (x  0) 0 0  xx 0 若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  , 0 右极限 lim f (x)  f (x  )  f (x  0) 0 0  xx 0 若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  , 0 lim f (x)  A  lim f (x)  lim f (x)  A xx xx  xx  0 0 0sin x 【例2】用定义证明 lim  0 x x lim f (x)  A   0, X  0, 当 x  X 时,恒有 f (x)  A   x x 2  1 【例3】 x lim e ; lim arctan x; lim . x x x x二，函数极限的性质 lim f ( x)  A xx 0 1)唯一性： 2)局部有界性:  M  0 与   0 ,使得 x U(x ,) 有 f (x)  M 0 3)局部保号性：  如果 A  0 （或 A  0), 则存在   0 ,当 x U(x ,) 时， 0 f (x)  0 （或 f (x)  0 ）.  推论1 如果存在   0, 当 x U(x ,) 时, f (x)  0 0 （或 f (x)  0 ),那么 A  0 （或 A  0).  A 推论1 如果 A  0, 则存在   0 ,当 x U(x ,) 时， f (x)  . 0 24)函数极限与数列极限的关系： 若 lim f (x)  A, 且 lim x  x , x  x , 则 lim f (x )  A; n 0 n 0 n xx n n 0内容小结 1. 极限的统一定义 lim f (n)  A; n lim f ( x)  A; lim f ( x)  A; lim f ( x)  A; x x x lim f ( x)  A; lim f ( x)  A; lim f ( x)  A. xx xx  xx  0 0 0 lim f ( x)  A    0,时刻 , 从此时刻以后 , 恒有 f ( x)  A  . (见下表)过 程 n   x   x   x   时 刻 N 从此时刻以后 n  N x  N x  N x   N f ( x) f ( x)  A   过 程 x  x x  x  x  x  0 0 0 时 刻  从此时刻以后 0  x  x   0  x  x      x  x  0 0 0 0 f ( x) f ( x)  A  2. 极限的性质 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 作业 ； P33 4; 11 12.