(217)--高数强化15笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（15） 15 多元微分学的概念及举例（重极限、连续、偏导数及全微分） P156-P165 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第五章 多元函数微分学 第一节 重极限 连续 偏导数 全微分 第二节 偏导数与全微分的计算 第三节 极值与最值26武忠祥考研 第一节 重极限 连续 偏导数 全微分 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）重极限 （二）连续 （三）偏导数 （四）全微分 （五）连续、可导、可微的关系26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 讨论连续性、可导性、可微性26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）重极限 lim f ( x, y)  A (x,y)(x ,y ) 0 0 注 ） ” 1 (x, y)  (x , y ) 是以“任意方式 0 0 ） 2 （ 1）局部有界性 (2) 保号性 (3) 有理运算 （4）极限与无穷小的关系 （5）夹逼性26武忠祥考研 【例1】求下列极限 2 x 2  y 2 x y 2) lim 1) lim . (x,y)(0,0) x 2  y 2 (x,y)(0,0) x  y 2 xy sin( xy) 3) lim (x,y)(0,0) x 2  y 4 2 x y 【解】1）  y x 2  y 2 x 2  y 2 x x y y 2) 0     x  y x  y x  y x  y x 2  y 2 则 lim  0 (x,y)(0,0) x  y26武忠祥考研 2 xy 1 3．方法1 由于 ，即为有界量，而  x 2  y 4 2 lim sin xy  0. 即为无穷小量，则原式  0. (x,y)(0,0) 2 xy sin xy 1 方法2 0   sin xy  0 x 2  y 4 2 xy 2 sin( xy) x 2 y 3 x 2 y 3 方法3 lim  lim 0   y 3 (x,y)(0,0) x 2  y 4 (x,y)(0,0) x 2  y 4 x 2  y 4 常用方法 1.利用极限性质（四则运算法则,夹逼原理） 2.消去分母中极限为零的因子(有理化,等 价无穷小代换) 3.利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量.26武忠祥考研 【例2】证明下列重极限不存在 2 xy xy 1) lim ; 2) lim ; (x,y)(0,0) x 2  y 2 (x,y)(0,0) x 2  y 4 xy 2 kx k 【证】1） lim  lim  ykx x 2  y 2 x0 x 2  k 2 x 2 1 k 2 x0 xy 则重极限 lim 不存在. x0 x 2  y 2 y0 xy 2 k 2 x 3 k 2 x 2） lim  lim  lim  0 ykx x 2  y 4 x0 x 2  k 4 x 4 x0 1  k 4 x 2 x0 2 4 xy y 1 lim  lim  x y 2 x 2  y 4 y0 y 4  y 4 2 y0 常用方法 沿两种不同路径极限不同（通常可取过点 (x , y ) 的直线） 0 026武忠祥考研 （二） 连 续 1）定义 lim f (x, y)  f (x , y ) 0 0 (x,y)(x ,y ) 0 0 2）性质 （1）多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合 仍为连续函数. （2）多元基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义 区域内连续. （3）有界闭区域上连续函数的性质 （a）有界性：若 在有界闭区域 上连续,则 f (x, y) f (x, y) D 在 上有界. D（b）最值性: 若 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续,则 f (x, y) 在 上必有最大值和最小值. D （c）介值性: 若 在有界闭区域 上连续,则 f (x, y) D f (x, y) 上可取到介于最小值与最大值之间的任何值. 在 D  xy  (x, y)  (0,0) 【例3】判断函数 f (x, y)   x 2  y 2 的连续性.   a (x, y)  (0,0) xy xy 【解】因为 0   y , 则 lim  0. x 2  y 2 (x,y)(0,0) x 2  y 2 若 a  0, f (x, y) 处处连续；若 a  0, f (x, y) 除点 (0,0) 外处处连续.26武忠祥考研 （3）偏导数 1) 定义 f (x  x, y )  f (x , y ) d f (x , y )  lim 0 0 0 0  f (x, y ) x 0 0 x0 x dx 0 xx 0 f (x , y  y)  f (x , y ) d f (x , y )  lim 0 0 0 0  f (x , y) y 0 0 y0 y dy 0 y y 0 x 【例4】设 f (x, y)  x  2 y  ( y  1)arcsin , 求 f (0,1), f (0,1). x y 1  xy d d 【解】 f (0,1)  f (x,1)  (x  2)  1 x dx x0 dx x0 d d f (0,1)  f (0, y)  (2 y)  2; y dy y1 dy y126武忠祥考研 z 2) 几何意义 M 0 T T x y y 0 y O x 0 (x , y ) 0 0 x26武忠祥考研 3) 高阶偏导数 设 z  f (x, y) 2 z   z  2 z   z   f  (x, y)   ,  f  (x, y)   , x 2 xx x  x  xy xy y  x  2 z   z  2 z   z   f  (x, y)   ,  f  (x, y)   , yx yx  x  y  y 2 yy y  y  定理 如果函数 z  f (x, y) 的两个二阶混合偏导数 f  (x, y) xy 及  在区域 内连续，则在区域 内恒有 f (x, y) D D yx f  (x , y )  f  ( x, y) xy yx26武忠祥考研 （四）全微分 1) 定义: 若 z  f (x  x, y  y)  f (x , y )  Ax  By  o() 0 0 0 0  (x) 2  (y) 2 【注】以下4条等价 （1） z  f (x  x, y  y)  f (x , y )  Ax  By  o(); 0 0 0 0 [ f (x  x, y  y)  f (x , y )] [Ax  By] （2） lim 0 0 0 0  0; x0 (x) 2  (y) 2 y0 （3） z  f (x, y)  f (x , y )  A(x  x )  B( y  y )  o(); 0 0 0 0 [ f (x, y)  f (x , y )]  [A(x  x )  B( y  y )] （4） lim 0 0 0 0  0. xx (x  x ) 2  ( y  y ) 2 0 0 0 yy 026武忠祥考研 2) 判定: z  f (x  x, y  y)  f (x , y )  Ax  By  o() 0 0 0 0 (1) 必要条件 f (x , y ) 与 f ( x , y ) 都存在; x 0 0 y 0 0 (2) 充分条件 和 在 连续; f ( x, y) f ( x, y) (x , y ) x y 0 0 (3) 用定义判定 a) f (x , y ) 与 f ( x , y ) 是否都存在? x 0 0 y 0 0 z  [ f (x , y )x  f (x y )y] 是否为零? x 0 0 y 0, 0 b) lim (x,y)(0,0) (x) 2  (y) 2 f f 3) 计算: 若 f ( x, y) 可微, 则 dz  dx  dy x y26武忠祥考研 （五）连续、可导、可微的关系 多元函数 一元函数 连续 可导 连续 可导 可微 可微 一阶偏导数连续26武忠祥考研 题型一 讨论连续性、可导性、可微性 x 2 y  , (x, y)  (0,0) 【例1】设 f (x, y)   x 2  y 2 , 则 f ( x, y) 在 (0,0)   0, (x, y)  (0,0) A）不连续； B）连续但不可导； C）可导但不可微； D）可微. 2 x y 【解】 lim f (x, y)  lim  0  f (0,0) (x,y)(0,0) (x,y)(0,0) x 2  y 2 f (x,0)  f (0,0) 0  0 f (0,0)  lim  lim  0 x x0 x x0 x f (0,y)  f (0,0) 0  0 f (0,0)  lim  lim  0 y y0 y y0 y [ f (x,y)  f (0,0)][ f (0,0)x  f (0,0)y] x y lim  (x,y)(0,0) y(x) 2 不存在  lim 3 (x,y)(0,0) [(x) 2  (y) 2 ]226武忠祥考研 【例2】考虑二元函数下面四条性质 ① 在点 处连续; f ( x, y) (x , y ) 0 0 ② f ( x, y) 在点 (x , y ) 处两个偏导数连续; 0 0 ③ 在点 f ( x, y) (x , y ) 处可微; 0 0 ④ f ( x, y) 在点 (x , y ) 处两个偏导数都存在.则 0 0 （A) ③  ①  ④. （B) ③  ②  ①; （C) ③  ④  ①; （D) ②  ③  ①;26武忠祥考研 【例3】二元函数 在点 处可微的一个充分条件是 f ( x, y) (0,0) （A） lim [ f (x, y)  f (0,0)]  0 (x,y)(0,0) f (x,0)  f (0,0)] f (0, y)  f (0,0)] 且 （B） lim  0, lim  0; x0 x y0 y f (x, y)  f (0,0) （C） lim  0; (x,y)(0,0) x 2  y 2 （D） lim[ f (x,0)  f (0,0)]  0, 且 lim[ f (0, y)  f (0,0)]  0. x x y y x0 y0 【解1】排除法 （A）(B) 显然不正确， 0, xy  0 令 f (x, y)   1, xy  0 lim[ f (x,0)  f (0,0)]  0, 且 lim[ f (0, y)  f (0,0)]  0 x x y y x0 y0 但 在 在点不连续,因此不可微，(D )不正确. f (x, y) (0,0)26武忠祥考研 f (x, y)  f (0,0) 【解2】直接法 由 lim  0 知 (x,y)(0,0) x 2  y 2 f (x,0)  f (0,0) f (x,0)  f (0,0) lim  lim x0 x 2 x0 x f (x,0)  f (0,0) x  lim   0 x0 x x f (x,0)  f (0,0) f (0,0)  lim  0 x x0 x 同理 f (0,0)  0. y f (x, y)  f (0,0)  [ f (0,0)x  f (0,0) y] x y lim (x,y)(0,0) x 2  y 2 f (x, y)  f (0,0)  lim  0 (x,y)(0,0) x 2  y 2 则 f ( x, y) 在 (0,0) 点处可微，故 应选（C）。26武忠祥考研 f (x, y)  f (0,0) 【解3】直接法 由 知 lim  0 (x,y)(0,0) x 2  y 2 [ f (x, y)  f (x , y )]  [A(x  x )  B( y  y )] lim 0 0 0 0  0. xx (x  x ) 2  ( y  y ) 2 0 0 0 yy 026武忠祥考研 【例4】如果函数 f ( x, y) 在 (0,0) 处连续，那么下列 命题正确的是 f ( x, y) （A）若极限 存在，则 在 处可微. lim f ( x, y) (0,0) x0 x  y y0 f (x, y) （B）若极限 lim 存在，则 f ( x, y) 在 (0,0) 处可微. x0 x 2  y 2 y0 f ( x, y) （C）若 f ( x, y) 在 (0,0) 处可微，则极限 lim 存在. x0 x  y y0 f (x, y) （D）若 f ( x, y) 在 (0,0) 处可微，则极限 lim 存在. x0 x 2  y 2 y026武忠祥考研 【例5】 设连续函数 z  f ( x, y) 满足 f (x, y)  2x  y  2 lim  0 ，则 dz  ______ . (0,1) x0 x 2  ( y  1) 2 y1 f (x, y)  2x  y  2 【解1】由 lim  0 得， x0 x 2  ( y  1) 2 y1 f (0,1)  1 ，且 [ f (x, y)  f (0,1)] [2x  ( y  1)] lim  0 x0 x 2  ( y  1) 2 y1 [ f (x, y)  f (x , y )]  [A(x  x )  B( y  y )] lim 0 0 0 0  0. xx (x  x ) 2  ( y  y ) 2 0 0 0 yy 026武忠祥考研 【例5】 设连续函数 z  f ( x, y) 满足 f (x, y)  2x  y  2 lim  0 ，则 dz  ______ . (0,1) x0 x 2  ( y  1) 2 y1 【解2】26武忠祥考研 【例6】设 f (x, y) | x  y |(x, y) ,其中 ( x, y) 在点 (0,0) 的邻域 内连续,问 1) ( x, y) 应满足什么条件才能使 f (0,0) 和 f (0,0) 都存在? x y 2) 在上述条件下 在(0,0)点是否可微? f ( x, y) f (x,0)  f (0,0) x(x,0) (0,0), 当x  0  , 【解】1）由于 lim  lim   x0 x x0 x  (0,0), 当x  0  , 由此可知,当 (0,0)  0 时， f (0,0) 和 f (0,0) 都存在,且为零. x y 2）当 (0,0)  0 时， [ f (x,y)  f (0,0)] [ f (0,0)x  f (0,0)y] x y lim  (x,y)(0,0) x  y  lim (x, y)  0 (x,y)(0,0) (x) 2  (y) 226武忠祥考研 【例7】设 f (x , y ) 存在, f ( x, y) 在点 (x , y ) 处连续,证明 x 0 0 y 0 0 在点 处可微. f ( x, y) (x , y ) 0 0 【分析】只要证 z  f (x , y )x  f (x , y )y () x 0 0 y 0 0 【证】 z  f (x  x, y  y)  f (x , y ) 0 0 0 0  f (x  x, y  y)  f (x  x, y )  f (x  x, y )  f (x , y ) 0 0 0 0 0 0 0 0 由拉格朗日中值定理得 f (x  x, y  y)  f (x  x, y )  f  (x  x, y y)y 0 0 0 0 y 0 0 由  存在可知 f (x , y ) x 0 0 f (x  x, y )  f (x , y )  f  (x , y )x  x 0 0 0 0 x 0 0 2 则 z  f (x  x, y y)y  f (x , y )x  x y 0 0 x 0 0 226武忠祥考研 又由  在点 处连续可知 f (x, y) (x , y ) y 0 0 lim f  (x  x, y y)  f  (x , y ) y 0 0 y 0 0 x0 y0 f  (x  x, y y)  f  (x , y )  y 0 0 y 0 0 1 z  f (x , y )y y  f (x , y )x  x y 0 0 1 x 0 0 2 y  x  y   x 1 2  1 2      0. 1 2 (x) 2  (y) 2 (x) 2  (y) 2 z  f (x , y )x  f (x , y )y () x 0 0 y 0 0祝同学们 考研路上一路顺利！