(211)--高数强化09笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26武忠祥考研
26高数强化（9）
9 微分中值定理证明题方法举例 P86-P95
主讲 武 忠 祥 教授题型五 微分中值定理有关的证明题26武忠祥考研
（一）证明存在一个点  (a,b), 使 F[, f (), f  ()]  0
方法：构造辅助函数用罗尔定理.
u   v   (u  v) 
构造辅助函数的方法主要有两种
u  v  v  u  (uv) 
1.分析法(还原法）根据对欲证的结论 F[, f (), f  ()]  0 u  v  v  u u
 ( ) 
2
v v
的分析,确定 g( x), 使 g  (x)  F[x, f (x), f  (x)]

f (x)
 (ln f (x) ) 
2.微分方程法: 欲证： F[, f (), f  ()]  0 f (x)
1）求微分方程 F(x, y, y  )  0 的通解 H(x, y)  C
2）设辅助函数： g (x)  H(x, f (x))26武忠祥考研
【例1】设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导, f (a)  b, f (b)  a,
 f ()
a 与
b
同号, 求证:  (a,b), 使 f  ()  .

 f ()
1.分析法：欲证 f  ()  . 只要证  f  ()  f ()  0

则应构造辅助函数 g( x)  xf ( x)
 f ()  y
2.微分方程法: 欲证 f  ()  ，解微分方程 y   ,
 x
得其通解为 xy  C. 则应构造辅助函数 g(x)  xf (x)
【证】 令 g(x)  xf (x), 则
g(a)  af (a)  ab, g(b)  bf (b)  ab,
由罗尔定理知，  (a, b) 使 g  ()  0
即 f  ()  f ()  0 原题得证.26武忠祥考研
【例2】设 在 上连续,在 内可导且
f ( x) [1, 2] (1, 2)
1 2 f ()
f (1)  , f (2)  2. 求证:  (1, 2) 使 f  ()  .
2 
【证】只要证 f  ()  2 f ()  0
f (x)
令
F(x) 
2
x
1 f (2) 1
则
F(1)  f (1)  , F(2)  
2 4 2
由罗尔定理知 使
 (1,2), F  ()  0.
2 f  ()  2f ()
即
 0
4
从而有
f  ()  2 f ()  0 原题得证.26武忠祥考研
【注】
1) 欲证 f  ()  nf ()  0, 令 F(x)  x n f (x);
f (x)
2）欲证 f  ()  nf ()  0, 令 F(x)  ;
n
x26武忠祥考研
【例3】设 在 上连续,在 内可导，且
f ( x) [a, b] (a, b)
f (a)  f (b)  0. 求证:  (a,b), 使 f  ()  f ()  0.
【证】令 F(x)  e x f (x), 则 F(a)  F(b)  0,
由罗尔定理知， (a,b), 使 F  ()  0.
即 e  [ f  () f ()]  0
但 
e  0
则
f  ()  f ()  0
故原题得证.26武忠祥考研
【注】 1) 欲证 f  ()  nf ()  0, 令 F(x)  x n f (x);
f (x)
2）欲证 f  ()  nf ()  0, 令 F(x)  ;
n
x
1) 欲证 f  ()  f ()  0, 令 F(x)  e x f (x);
特别的 f  ()  f ()  0, 令 F(x)  e x f (x);
f  ()  f ()  0, 令 F(x)  e x f (x);

x
2）欲证 f  ()  f ()  0, 令 F(x)  e f (x);( 0)
3）欲证 f  ()  g  () f ()  0, 令 F(x)  e g(x) f (x);
 g(x)dx
4）欲证 f  ()  g() f ()  0, 令 F(x)  e f (x);26武忠祥考研
【例4】设 在 上连续,在(0,1)内可导,且
f ( x) [0,1]
 1 
f (0)  f (1)  0, f    1. 证明：
 2 
 1 
1) 存在   ,1 ,使 f () ;
 2 
2) 对任意实数 , 存在  (0,) ,使 f  () [ f () ]  1.
【证】 1) 令
F(x)  f (x)  x,
1 1 1 1
F( )  f ( )    0, F(1)  f (1)  1  1  0.
2 2 2 2
1
由零点定理知  ( ,1), 使 F()  0.
2
2) 令 (x)  e x [ f (x)  x] (0)  0,()  0
由罗尔定理知  (0,), 使  ()  0.26武忠祥考研
【例5】设奇函数 f ( x) 在 [1,1] 上具有2阶导数，且 f (1)  1.
证明：（1）存在  (0,1), 使得 f  ()  1;
（2）存在  (1,1), 使得 f  ()  f  ()  1.
【证1】（1）因为 是奇函数，所以
f ( x) f (0)  0.
根据微分中值定理，存在  (0,1) ,使得 f (1)  f (0)  f  ().
又 f (1)  1 ，所以 f  ()  1.
(2) 令 F(x)  e x [ f  (x)  1]
因为 f ( x) 是奇函数，所以 f  ( x) 是偶函数，故 f  ()  f  ()  1.
则 F(x) 可导，且 F()  F()  0 . 根据罗尔定理，存在
 (,)  (1,1) ，使得 F  ()  0.
即 F  ()  [ f  ()  f  ()  1]e 26武忠祥考研
【例5】设奇函数 f ( x) 在 [1,1] 上具有2阶导数，且 f (1)  1.
证明：（1）存在  (0,1), 使得 f  ()  1;
（2）存在  (1,1), 使得 f  ()  f  ()  1.
【证2】（1）因为 是奇函数，所以
f ( x) f (0)  0.
根据微分中值定理，存在  (0,1) ,使得 f (1)  f (0)  f  ().
又 f (1)  1 ，所以 f  ()  1.
(2) 令 F(x)  f  (x)  f (x)  x26武忠祥考研
【例6】设函数 f ( x), g( x) 在 [a,b] 上二阶可导,且 g  (x)  0
试证
f (a)  f (b)  g(a)  g(b)  0.
1) 在 (a, b) 内 g( x)  0;
f () f  ()
2) 在 内至少有一点 使
(a, b)
,
 .
g() g  ()
【证】1) 由于在[a,b] 上 g  ( x)  0, 则方程 g(x)  0 在 [a,b]内最
多两个根,又 g(a)  g(b)  0, 则当 x  (a,b) 时，g(x)  0
2) 只要证 g() f  ()  f ()g  ()  0
令 F(x)  g(x) f  (x)  f (x)g  (x)
则 由罗尔定理知， 使
F(a)  F(b)  0,  (a,b) F  ()  0
即 g() f  ()  f ()g  ()  026武忠祥考研
柯西定理
若 1）f (x), g(x) 在 [a,b] 上连续；
2） f (x), g(x) 在 (a,b) 内可导,且 g  ( x)  0;
f (b)  f (a) f  ()
则  (a,b), 使  .
g(b)  g(a) g  ()26武忠祥考研
拉格朗日定理
若 1） 在 上连续；
f (x) [a,b]
2） 在 内可导；
f (x) (a,b)
则  (a,b), 使
f (b)  f (a)
 f  ().
b  a26武忠祥考研
1
【例7】设 f ( x) 在 [0,1] 上连续,且  f (x)dx  0. 求证:
0

 (0,1), 使  f (x)dx  f ().
0

【证】只要证明
 f (x)dx f ()  0
0
x
令
F(x)  x  f (t)dt
0
则
F(0)  F(1)  0
由罗尔定理知  (0,1), 使 F  ()  0

即  f (x)dx f ()  0
026武忠祥考研
【例8】设 在 上连续,在 内可导,且
f ( x) [0,1] (0,1)
1
 f (x)dx  0. 求证:  (0,1) 使 f  ()  2 f ()  0.
0
【证】令 F(x)  x 2 f (x)
1
则 又 由积分中值定理知
F(0)  0,  f ( x)dx 0, c  (0,1)
0
1
使
 f (x)dx  f (c)  0
0
从而
F(c)  0
由罗尔定理知  (0,c), 使 F  ()  0
从而有 f  ()  2 f ()  026武忠祥考研
1
【例9】设 f ( x) 在 [0,1] 上连续, f (0)  0,  f (x)dx  0,
0

求证: 使
 (0,1),  f (x)dx f ().
0

【证】只要证  f (x)dx f ()  0
0
 x

f (t)dt

0
令 0  x  1
F(x)  
x

0 x  0
x

f (t)dt
f (x)
由于 lim F(x)  lim 0  lim  0
x0  x0  x x0  1
则 在 上满足罗尔定理条件，
F(0)  F(1)  0, F(x) [0,1]
故  (0,1), 使 F  ()  0

从而有  f (x)dx f ()  0
026武忠祥考研
二．证明存在两个点 , (a,b). 使
F[,, f (), f (), f  (), f  ()]  0
方法：(1）不要求  
在同一区间 上用两次中值定理（拉格朗日、
[a,b]
柯西中值定理)
（2）要求  
将区间 [a,b] 分为两个子区间，在两个子区间上分
别用拉格朗日中值定理26武忠祥考研
【例1】设 在 上连续, 内可导,且 同号,试
f ( x) [a,b] (a, b) a,b
a  b
证存在
, (a,b) .使 f  ()  f  ().
2
【证】 由拉格朗日中知定理知  (a, b) ,使
f (b)  f (a)
 f  ()
b  a
由柯希中值定理知，  (a,b),
f (b)  f (a) f  ()

b 2  a 2 2
a  b
从而有
f  ()  f  ().
226武忠祥考研
【例2】设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f  ( x)  0.
f  () e b  e a
证明存在 , (a,b) ,使得  e  .
f  () b  a
e b  e a f  ()
【证】只要证明 f  () 
b  a e 
f (b)  f (a)
由拉格朗日定理知 使
 (a,b).  f  ()
b  a
由柯希定理知  (a,b), 使
f (b)  f (a) f  ()

e b  e a e 
f  ()
从而有 f  ()(b  a)  (e b  e a )

e
f  () e b  e a
故  e 
f  () b  a26武忠祥考研
【例3】设 在 上连续,在 内可导,且
f ( x) [a,b] (a,b)
f (a)  f (b)  1, 试证存在 , (a,b), 使 e  [ f ()  f  ()]  1.
【证】 只要证明 e  [ f ()  f  ()]  e 
e b  e a
由拉格朗日中值定理得  (a,b), 使  e 
b  a
令 F(x)  e x f (x), 由拉格朗日中值定理得， (a, b)
F(b)  F(a)
 F  ()
b  a
e b  e a
即  e  [ f ()  f  ()]
b  a
从而有 e  [ f ()  f  ()]  e 26武忠祥考研
【例4】设 在 上连续，在 内可导，且
f ( x) [0,1] (0,1)
f (0)  0, f (1)  1.
证明：1) 存在  (0,1), 使得 f ()  1 ;
2) 存在两个不同的点 , (0,1), 使得 f  () f  ()  1.
【证】1) 令 F(x)  f (x)  1  x, 则 F(0)  1  0, F(1)  1  0
 (0,1), 使 F()  0 即 f ()  1 
f ()  f (0)
2)  f  ()  (0,)
 0
f (1)  f ()
 f  ()   (,1)
1 
f () 1  f ()
f  () f  ()    1
 1 26武忠祥考研
【例5】设 f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且
f (0)  0, f (1)  1, 试证对任意给定的正数 a,b, 在 (0,1)
a b
内一定存在互不相同的 ,, 使   a  b.
f  () f  ()
f (c)  f (0)
【分析】
 f  ()  (0,c)
c  0
f (1)  f (c)
 f  ()  (c,1)
1  c
c 1  c
a   b   a  b
f (c) 1  f (c)
a c b 1  c
即要证     1
a  b f (c) a  b 1  f (c)26武忠祥考研
（三）证明存在一个中值点  (a, b) ,使
F[  , f (n) (  )]  0 (n  2)
方法：用带拉格朗日余项的泰勒公式，其中
x
点选题目中
0
提供函数值和导数值信息多的点.26武忠祥考研
【例1】设 f ( x) 在 [a,b] 上二阶可导, f  (a)  f  (b)  0, 求证:
| f (b)  f (a) |
 (a,b), 使 | f  () | 4 .
(b  a) 2
【证】 由泰勒公式知
f  ( )
f (x)  f (a)  f  (a)(x  a)  1 (x  a) 2 （1）
2!
f  ( )
f (x)  f (b)  f  (b)(x  b)  2 (x  b ) 2 （2）
2!
a  b
令 x  得
2
a  b f  ( )
f ( )  f (a)  1 (b  a) 2
2 8
a  b f  ( )
f ( )  f (b)  2 (b  a) 2
2 8
(b  a) 2
f (b)  f (a)  ( f  ( )  f  ( ))
1 2
826武忠祥考研
1
【例2】设 f ( x) 在 [0,1] 上三阶可导, f (0)  0, f (1)  1, f  ( )  0
2
求证:  (0,1), 使 | f  () | 24.
【证】 由泰勒公式得
1

f ( )
1 1 1 1 f  () 1
2
f (x)  f ( )  f  ( )(x  )  (x  ) 2  (x  ) 3
2 2 2 2! 2 3! 2
在上式中令 x  0, 和 x  1 得
1

f ( )
1 1 f  ( )
2
0  f ( )   1
2 2! 4 48
1

f ( )
1 1 f  ( )
2
1  f ( )   2 48  f  ( )  f  ( )
1 2
2 2! 4 48
48  f  ( )  f  ( )  2max( f  ( ), f  ( ) )
1 2 1 226武忠祥考研
【例3】设 f ( x) 在 [0,1] 上有二阶连续导数,且 f (0)  f (1)  0
min f (x)  1, 证明：max f  (x)  8.
0x1 0x1
【证】 设 f (c)  min f (x)  1, 则 0  c  1, 且 f  (c)  0,
0x1
由泰勒公式知
f  ()
f (x)  f (c)  f  (c)(x  c)  (x  c) 2
2!
得
在上式中分别令 x  0 和 x  1
2   (0, c)
f  ( )  1
1 2
c
2   (c,1)
f  ( )  2
2 (1  c) 226武忠祥考研
（一） F[, f (), f  ()]  0
1.分析法(还原法）
辅助函数
2.微分方程法
3.常用辅助函数
（二） F[,, f (), f (), f  (), f  ()]  0
(1）不要求  
(2）要求  
（三） F[, f (n) ()]  0 (n  2)26武忠祥考研
祝同学们
考研路上一路顺利！