(211)--高数强化09笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26武忠祥考研 26高数强化（9） 9 微分中值定理证明题方法举例 P86-P95 主讲 武 忠 祥 教授题型五 微分中值定理有关的证明题26武忠祥考研 （一）证明存在一个点  (a,b), 使 F[, f (), f  ()]  0 方法：构造辅助函数用罗尔定理. u   v   (u  v)  构造辅助函数的方法主要有两种 u  v  v  u  (uv)  1.分析法(还原法）根据对欲证的结论 F[, f (), f  ()]  0 u  v  v  u u  ( )  2 v v 的分析,确定 g( x), 使 g  (x)  F[x, f (x), f  (x)]  f (x)  (ln f (x) )  2.微分方程法: 欲证： F[, f (), f  ()]  0 f (x) 1）求微分方程 F(x, y, y  )  0 的通解 H(x, y)  C 2）设辅助函数： g (x)  H(x, f (x))26武忠祥考研 【例1】设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导, f (a)  b, f (b)  a,  f () a 与 b 同号, 求证:  (a,b), 使 f  ()  .   f () 1.分析法：欲证 f  ()  . 只要证  f  ()  f ()  0  则应构造辅助函数 g( x)  xf ( x)  f ()  y 2.微分方程法: 欲证 f  ()  ，解微分方程 y   ,  x 得其通解为 xy  C. 则应构造辅助函数 g(x)  xf (x) 【证】 令 g(x)  xf (x), 则 g(a)  af (a)  ab, g(b)  bf (b)  ab, 由罗尔定理知，  (a, b) 使 g  ()  0 即 f  ()  f ()  0 原题得证.26武忠祥考研 【例2】设 在 上连续,在 内可导且 f ( x) [1, 2] (1, 2) 1 2 f () f (1)  , f (2)  2. 求证:  (1, 2) 使 f  ()  . 2  【证】只要证 f  ()  2 f ()  0 f (x) 令 F(x)  2 x 1 f (2) 1 则 F(1)  f (1)  , F(2)   2 4 2 由罗尔定理知 使  (1,2), F  ()  0. 2 f  ()  2f () 即  0 4 从而有 f  ()  2 f ()  0 原题得证.26武忠祥考研 【注】 1) 欲证 f  ()  nf ()  0, 令 F(x)  x n f (x); f (x) 2）欲证 f  ()  nf ()  0, 令 F(x)  ; n x26武忠祥考研 【例3】设 在 上连续,在 内可导，且 f ( x) [a, b] (a, b) f (a)  f (b)  0. 求证:  (a,b), 使 f  ()  f ()  0. 【证】令 F(x)  e x f (x), 则 F(a)  F(b)  0, 由罗尔定理知， (a,b), 使 F  ()  0. 即 e  [ f  () f ()]  0 但  e  0 则 f  ()  f ()  0 故原题得证.26武忠祥考研 【注】 1) 欲证 f  ()  nf ()  0, 令 F(x)  x n f (x); f (x) 2）欲证 f  ()  nf ()  0, 令 F(x)  ; n x 1) 欲证 f  ()  f ()  0, 令 F(x)  e x f (x); 特别的 f  ()  f ()  0, 令 F(x)  e x f (x); f  ()  f ()  0, 令 F(x)  e x f (x);  x 2）欲证 f  ()  f ()  0, 令 F(x)  e f (x);( 0) 3）欲证 f  ()  g  () f ()  0, 令 F(x)  e g(x) f (x);  g(x)dx 4）欲证 f  ()  g() f ()  0, 令 F(x)  e f (x);26武忠祥考研 【例4】设 在 上连续,在(0,1)内可导,且 f ( x) [0,1]  1  f (0)  f (1)  0, f    1. 证明：  2   1  1) 存在   ,1 ,使 f () ;  2  2) 对任意实数 , 存在  (0,) ,使 f  () [ f () ]  1. 【证】 1) 令 F(x)  f (x)  x, 1 1 1 1 F( )  f ( )    0, F(1)  f (1)  1  1  0. 2 2 2 2 1 由零点定理知  ( ,1), 使 F()  0. 2 2) 令 (x)  e x [ f (x)  x] (0)  0,()  0 由罗尔定理知  (0,), 使  ()  0.26武忠祥考研 【例5】设奇函数 f ( x) 在 [1,1] 上具有2阶导数，且 f (1)  1. 证明：（1）存在  (0,1), 使得 f  ()  1; （2）存在  (1,1), 使得 f  ()  f  ()  1. 【证1】（1）因为 是奇函数，所以 f ( x) f (0)  0. 根据微分中值定理，存在  (0,1) ,使得 f (1)  f (0)  f  (). 又 f (1)  1 ，所以 f  ()  1. (2) 令 F(x)  e x [ f  (x)  1] 因为 f ( x) 是奇函数，所以 f  ( x) 是偶函数，故 f  ()  f  ()  1. 则 F(x) 可导，且 F()  F()  0 . 根据罗尔定理，存在  (,)  (1,1) ，使得 F  ()  0. 即 F  ()  [ f  ()  f  ()  1]e 26武忠祥考研 【例5】设奇函数 f ( x) 在 [1,1] 上具有2阶导数，且 f (1)  1. 证明：（1）存在  (0,1), 使得 f  ()  1; （2）存在  (1,1), 使得 f  ()  f  ()  1. 【证2】（1）因为 是奇函数，所以 f ( x) f (0)  0. 根据微分中值定理，存在  (0,1) ,使得 f (1)  f (0)  f  (). 又 f (1)  1 ，所以 f  ()  1. (2) 令 F(x)  f  (x)  f (x)  x26武忠祥考研 【例6】设函数 f ( x), g( x) 在 [a,b] 上二阶可导,且 g  (x)  0 试证 f (a)  f (b)  g(a)  g(b)  0. 1) 在 (a, b) 内 g( x)  0; f () f  () 2) 在 内至少有一点 使 (a, b) ,  . g() g  () 【证】1) 由于在[a,b] 上 g  ( x)  0, 则方程 g(x)  0 在 [a,b]内最 多两个根,又 g(a)  g(b)  0, 则当 x  (a,b) 时，g(x)  0 2) 只要证 g() f  ()  f ()g  ()  0 令 F(x)  g(x) f  (x)  f (x)g  (x) 则 由罗尔定理知， 使 F(a)  F(b)  0,  (a,b) F  ()  0 即 g() f  ()  f ()g  ()  026武忠祥考研 柯西定理 若 1）f (x), g(x) 在 [a,b] 上连续； 2） f (x), g(x) 在 (a,b) 内可导,且 g  ( x)  0; f (b)  f (a) f  () 则  (a,b), 使  . g(b)  g(a) g  ()26武忠祥考研 拉格朗日定理 若 1） 在 上连续； f (x) [a,b] 2） 在 内可导； f (x) (a,b) 则  (a,b), 使 f (b)  f (a)  f  (). b  a26武忠祥考研 1 【例7】设 f ( x) 在 [0,1] 上连续,且  f (x)dx  0. 求证: 0   (0,1), 使  f (x)dx  f (). 0  【证】只要证明  f (x)dx f ()  0 0 x 令 F(x)  x  f (t)dt 0 则 F(0)  F(1)  0 由罗尔定理知  (0,1), 使 F  ()  0  即  f (x)dx f ()  0 026武忠祥考研 【例8】设 在 上连续,在 内可导,且 f ( x) [0,1] (0,1) 1  f (x)dx  0. 求证:  (0,1) 使 f  ()  2 f ()  0. 0 【证】令 F(x)  x 2 f (x) 1 则 又 由积分中值定理知 F(0)  0,  f ( x)dx 0, c  (0,1) 0 1 使  f (x)dx  f (c)  0 0 从而 F(c)  0 由罗尔定理知  (0,c), 使 F  ()  0 从而有 f  ()  2 f ()  026武忠祥考研 1 【例9】设 f ( x) 在 [0,1] 上连续, f (0)  0,  f (x)dx  0, 0  求证: 使  (0,1),  f (x)dx f (). 0  【证】只要证  f (x)dx f ()  0 0  x  f (t)dt  0 令 0  x  1 F(x)   x  0 x  0 x  f (t)dt f (x) 由于 lim F(x)  lim 0  lim  0 x0  x0  x x0  1 则 在 上满足罗尔定理条件， F(0)  F(1)  0, F(x) [0,1] 故  (0,1), 使 F  ()  0  从而有  f (x)dx f ()  0 026武忠祥考研 二．证明存在两个点 , (a,b). 使 F[,, f (), f (), f  (), f  ()]  0 方法：(1）不要求   在同一区间 上用两次中值定理（拉格朗日、 [a,b] 柯西中值定理) （2）要求   将区间 [a,b] 分为两个子区间，在两个子区间上分 别用拉格朗日中值定理26武忠祥考研 【例1】设 在 上连续, 内可导,且 同号,试 f ( x) [a,b] (a, b) a,b a  b 证存在 , (a,b) .使 f  ()  f  (). 2 【证】 由拉格朗日中知定理知  (a, b) ,使 f (b)  f (a)  f  () b  a 由柯希中值定理知，  (a,b), f (b)  f (a) f  ()  b 2  a 2 2 a  b 从而有 f  ()  f  (). 226武忠祥考研 【例2】设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f  ( x)  0. f  () e b  e a 证明存在 , (a,b) ,使得  e  . f  () b  a e b  e a f  () 【证】只要证明 f  ()  b  a e  f (b)  f (a) 由拉格朗日定理知 使  (a,b).  f  () b  a 由柯希定理知  (a,b), 使 f (b)  f (a) f  ()  e b  e a e  f  () 从而有 f  ()(b  a)  (e b  e a )  e f  () e b  e a 故  e  f  () b  a26武忠祥考研 【例3】设 在 上连续,在 内可导,且 f ( x) [a,b] (a,b) f (a)  f (b)  1, 试证存在 , (a,b), 使 e  [ f ()  f  ()]  1. 【证】 只要证明 e  [ f ()  f  ()]  e  e b  e a 由拉格朗日中值定理得  (a,b), 使  e  b  a 令 F(x)  e x f (x), 由拉格朗日中值定理得， (a, b) F(b)  F(a)  F  () b  a e b  e a 即  e  [ f ()  f  ()] b  a 从而有 e  [ f ()  f  ()]  e 26武忠祥考研 【例4】设 在 上连续，在 内可导，且 f ( x) [0,1] (0,1) f (0)  0, f (1)  1. 证明：1) 存在  (0,1), 使得 f ()  1 ; 2) 存在两个不同的点 , (0,1), 使得 f  () f  ()  1. 【证】1) 令 F(x)  f (x)  1  x, 则 F(0)  1  0, F(1)  1  0  (0,1), 使 F()  0 即 f ()  1  f ()  f (0) 2)  f  ()  (0,)  0 f (1)  f ()  f  ()   (,1) 1  f () 1  f () f  () f  ()    1  1 26武忠祥考研 【例5】设 f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0)  0, f (1)  1, 试证对任意给定的正数 a,b, 在 (0,1) a b 内一定存在互不相同的 ,, 使   a  b. f  () f  () f (c)  f (0) 【分析】  f  ()  (0,c) c  0 f (1)  f (c)  f  ()  (c,1) 1  c c 1  c a   b   a  b f (c) 1  f (c) a c b 1  c 即要证     1 a  b f (c) a  b 1  f (c)26武忠祥考研 （三）证明存在一个中值点  (a, b) ,使 F[  , f (n) (  )]  0 (n  2) 方法：用带拉格朗日余项的泰勒公式，其中 x 点选题目中 0 提供函数值和导数值信息多的点.26武忠祥考研 【例1】设 f ( x) 在 [a,b] 上二阶可导, f  (a)  f  (b)  0, 求证: | f (b)  f (a) |  (a,b), 使 | f  () | 4 . (b  a) 2 【证】 由泰勒公式知 f  ( ) f (x)  f (a)  f  (a)(x  a)  1 (x  a) 2 （1） 2! f  ( ) f (x)  f (b)  f  (b)(x  b)  2 (x  b ) 2 （2） 2! a  b 令 x  得 2 a  b f  ( ) f ( )  f (a)  1 (b  a) 2 2 8 a  b f  ( ) f ( )  f (b)  2 (b  a) 2 2 8 (b  a) 2 f (b)  f (a)  ( f  ( )  f  ( )) 1 2 826武忠祥考研 1 【例2】设 f ( x) 在 [0,1] 上三阶可导, f (0)  0, f (1)  1, f  ( )  0 2 求证:  (0,1), 使 | f  () | 24. 【证】 由泰勒公式得 1  f ( ) 1 1 1 1 f  () 1 2 f (x)  f ( )  f  ( )(x  )  (x  ) 2  (x  ) 3 2 2 2 2! 2 3! 2 在上式中令 x  0, 和 x  1 得 1  f ( ) 1 1 f  ( ) 2 0  f ( )   1 2 2! 4 48 1  f ( ) 1 1 f  ( ) 2 1  f ( )   2 48  f  ( )  f  ( ) 1 2 2 2! 4 48 48  f  ( )  f  ( )  2max( f  ( ), f  ( ) ) 1 2 1 226武忠祥考研 【例3】设 f ( x) 在 [0,1] 上有二阶连续导数,且 f (0)  f (1)  0 min f (x)  1, 证明：max f  (x)  8. 0x1 0x1 【证】 设 f (c)  min f (x)  1, 则 0  c  1, 且 f  (c)  0, 0x1 由泰勒公式知 f  () f (x)  f (c)  f  (c)(x  c)  (x  c) 2 2! 得 在上式中分别令 x  0 和 x  1 2   (0, c) f  ( )  1 1 2 c 2   (c,1) f  ( )  2 2 (1  c) 226武忠祥考研 （一） F[, f (), f  ()]  0 1.分析法(还原法） 辅助函数 2.微分方程法 3.常用辅助函数 （二） F[,, f (), f (), f  (), f  ()]  0 (1）不要求   (2）要求   （三） F[, f (n) ()]  0 (n  2)26武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！