(207)--高数强化05笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（5）
5 确定极限式中参数,无穷小量阶的比较及函数连续性题型举例 P40-P51
主讲 武 忠 祥 教授题型三 确定极限式中的参数 26武忠祥考研
2
t
x

dt
【例1】若 0 a 2  t 2 求 其中 为正数.
lim  1, a,b, a,b
x0 bx  sin x
2 2
t x
x

dt
0 a 2  t 2 a 2  x 2
【解1】
lim  lim
x0 bx  sin x x0 b  cos x
2
1 x
 lim (b  1)
a x0 1  cos x
2
1 x 2
 lim 
a x0 1 a
2
x
2
则 a  2,b  1.26武忠祥考研
2
t
x

dt
【例1】若 0 a 2  t 2 求 其中 为正数.
lim  1, a,b, a,b
x0 bx  sin x
2 2
t t
【解2】由于当 时， 则
t  0 ~ ,
a 2  t 2 a
2
x t t 2
x

dt 
dt
0 a 2  t 2 0 a 1 x 3
1  lim  lim  lim
x0 bx  sin x x0 bx  sin x 3a x0 bx  sin x
3
1 x
 lim (b  1)
3a x0 x  sin x
3
1 x 2
则
 lim  a  2,b  1.
3
3a x0 x a
626武忠祥考研
 
【例2】若 lim x 2  x  1  ax  b  0 , 求 a,b.
x
 
【解1】由 lim x 2  x  1  ax  b  0 可知， a  0.
x
(x 2  x  1)  (ax  b) 2
原式  lim （有理化）
x x 2  x  1  (ax  b)
(1  a 2 )x 2  (1  2ab)x  (1  b 2 )
 lim  0
x x 2  x  1  (ax  b)
则 1  a 2  0,1  2ab  0,
1
由此可得 a  1,b  .
226武忠祥考研
 
【例2】若 lim x 2  x  1  ax  b  0 , 求 a,b.
x
 1 1 b 
【解2】 原式  lim ( x) 1    a    0
2
x  x x x 
 1  a  0, a  1
  x  1 1
b   lim x 2  x  1  x   lim 
x x x 2  x  1  x 2
x 2  x  1  ax  b x 2  x  1
【解3】
lim  0 a   lim  1
x x x x
 
b   lim x 2  x  1  x
x
1 1 1 1 1 1
 lim x( 1    1)  lim x  (  ) 
x x x 2 x 2 x x 2 226武忠祥考研
【例3】若 lim[(x n  7x 4  1) m  x]  b,(n  4,b  0, 求 n, m,b.
x
1
【解】 则
m  ,
n
1
lim [(x n  7x 4  1) m  x]  lim [(x n  7x 4  1)n  x]
x x
4
7x 1
 lim x[ n 1    1]
n n
x x x
4
1 7x 1
 lim x  (  )  b  0
n n
x n x x
7 1
则
n  5,b  ,m  .
5 526武忠祥考研
题型四 无穷小量阶的比较
1）洛必达法则（求导定阶）
若 x  0 时 f ( x) 是无穷小量，且 f  ( x) 是 x 的 k (k  0)
阶无穷小，则 f ( x) 是 k  1 阶无穷小量.
2) 等价无穷小代换
若 x  0 时 f ( x) 是无穷小量，且 f (x) ~ Ax k (A  0,k  0),
则 f ( x) 是 x  0 时的 k 阶无穷小量.
3）泰勒公式x x 2 x
【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt
0 0 0
进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是
(A) ,, (B) ,,
(C) ,, (D) ,,
【解1】（用定义直接比较）
 2
cos x
lim  lim  
x0   x0  2tan x  x
 2tan x  x x 2
lim  lim  4 lim  0
x0   x0  3 1 x0  x
sin x2 
2 x
则正确的排序是 ,,.26武忠祥考研
x x 2 x
【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt
0 0 0
进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是
(A) ,, (B) ,,
(C) ,, (D) ,,
【解2】（确定 ,, 是 x 的几阶无穷小）
x
 2
cos t dt
2
cos x
由 lim 0  lim  a  0 ( k =1)
k k1
x0  x x0  kx
2
x

tan tdt
2x tan x
（k =3)
lim 0  lim  a  0
k k1
x0  x x0  kx
1 3 1
x
 sin t 3 dt sin x 2 x
2 x 2 （k=2)
lim 0  lim  lim  a  0
x0  x k x0  kx k1 x0  kx k126武忠祥考研
x x 2 x
【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt
0 0 0
进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是
(A) ,, (B) ,,
(C) ,, (D) ,,
d
【解3】由于  cos x 2  1 (x  0  )
dx
d
 2x tan x ~ 2x 2 (x  0  )
dx
3
d 1 1

 sin x 2 ~ x (x  0 )
dx 2 x 2
则正确的排序是 ,,.x x 2 x
【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt
0 0 0
进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是
(A) ,, (B) ,,
(C) ,, (D) ,,
f (x) (x) (x)
【解4】(利用若 lim  1, 则  f (t)dt ~  g(t)dt，其中 lim(x)  0 ）
x0 g(x) 0 0 x0
x x
  cos t 2 dt ~  1dt  x
0 0
x 2 2 2
x
   tan tdt ~  tdt  x 3
0 3
0
x x 1
   sin t 3 dt ~  t 3 dt  x 2
0 0 4
则正确的排序是 ,,26武忠祥考研
x x 2 x
【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt
0 0 0
进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是
(A) ,, (B) ,,
(C) ,, (D) ,,
【解5】（利用结论：若 f (x) 在 x  0 的某邻域内连续，且当
x  0 时 f (x) 是 x 的 m 阶无穷小，(x) 是 x 的 n 阶无穷小，
则当 x  0 时， F(x)  
(x)
f (t)dt 是 x 的 n(m  1) 阶无穷小）
0
x x 2 x
  cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt
0 0 026武忠祥考研
【例2】当 x  0 时，下列无穷小中最高阶的是（ ）
1
（A) (2  tan x ) x  2 x （B) (cos x 2 )x  1
1cos x 1 cos x
（C)  e xt sin t 2 dt （D)  ln(1  t 3 )dt
0 sin x
1 1 1 1
【解】 (2  tan x) x  2 x  2 x [(1  tan x) x  1] ～ [(1  tan x) x  1] ～ ( tan x)x ～ x 2
2 2 2 2
1
 x 4
1 1 cos x 2  1
2
(cos x 2 )x  1  [1  (cos x 2  1)]x  1 ～ ～
x x
1cos x 1cosx 1cosx
 e xt sin t 2 dt  e x sin t 2 dt ～  sin t 2 dt
0 0 0
1 cos x 1 cosx sin x
 ln(1  t 3 )dt   ln(1  t 3 )dt   ln(1  t 3 )dt
sin x 0 026武忠祥考研
【例3】 当 x  0 时，f (x)  x  sin ax 与 g(x)  x 2 ln(1  bx)
是等价无穷小, 则
1 1
（A） a  1,b   （B） a  1,b 
6 6
1 1
（C） （D）
a  1,b   a  1,b 
6 6
f (x) x  sinax 1  acosax
【解1】 1  lim  lim  lim (a  1)
x0 g(x) x0  bx 3 x0  3bx 2
1
2
x
1
1
 lim 2   则 b  
x0  3bx 2 6b 6
3
(ax)
x  [ax  (x 3 )]
f (x) x  sin ax
3!
【解2】 1  lim  lim  lim
x0 g(x) x0  bx 3 x0  bx 3
3
(ax)
(1  a)x  (x 3 )]
1
 lim 3! 则 a  1,b  
x0  bx 3 626武忠祥考研
【例3】 当 x  0 时， f (x)  x  sin ax 与 g(x)  x 2 ln(1  bx)
是等价无穷小, 则
1 1
（A） a  1,b   （B） a  1,b 
6 6
1 1
（C） （D）
a  1,b   a  1,b 
6 6
f (x) x  sin ax
【解3】 1  lim  lim
x0 g(x) x0  bx 326武忠祥考研
【例4】设 p(x)  a  bx  cx 2  dx 3 . 当 x  0 时,若 p(x)  tan x
是比 x 3 高阶的无穷小，则下列结论中错误的是
（A）a  0 （B）
b  1
1
（C） c  0 （D） d 
6
1
1
【解1】由 x  0 时, tan x  x ~ x 3 知, tan x  x  x 3 (x 3 )
3
3
1
从而得 的泰勒 公式 又
tan x tan x  x  x 3 (x 3 )
3
1
a  (b  1)x  cx 2  (d  )x 3 (x 3 )
P(x)  tan x
3
lim  lim  0
3 3
x0 x x0 x
1
则 a  0,b  1,c  0,d  ,
326武忠祥考研
【例4】设 p(x)  a  bx  cx 2  dx 3 . 当 x  0 时,若 p(x)  tan x
是比 x 3 高阶的无穷小，则下列结论中错误的是
（A）a  0 （B）
b  1
1
（C） c  0 （D） d 
6
P(x)  tan x
【解2】由 【解3】 tan x  p(x) (x 3 )
0  lim
3
x0 x
tan x  p(x) (x 3 )
P(x)  x tan x  x
 lim  lim
3 3
x0 x x0 x
tan x 奇函数 a  0 c  0
tan x ~ x b  1【例5】已知 x  0 时, e x 2  cos 2x 与 ax n 是等价无穷小,则( )
1 1
（A）n  2,a  （B）n  3,a 
4 2
1 1
（C）n  4,a  （D）n  5,a 
3 6
4
x
【解1】直接法 由 e x 2  1  x 2  (x 4 )
2!
2 4
2x 4x
cos 2x  1   (x 4 )
2! 4!
1
x 4 (x 4 )
e x 2  cos 2x
3
lim  lim  1
n n
x0 ax x0 ax
1
知， a  , n  4.
3【例5】已知 x  0 时, e x 2  cos 2x 与 ax n 是等价无穷小,则( )
1 1
（A）n  2,a  （B）n  3,a 
4 2
1 1
（C）n  4,a  （D）n  5,a 
3 6
【解2】排除法 e x 2  cos 2x 是偶函数， 则排除B,D.1
【例6】已知  x  ,  y  满足： x  y  , x  sin x , y  y 2 (n  1,2,),
n n 1 1 n1 n n1 n
2
则当 n   时，（ ）
A. x 是 y 的高阶无穷小； B. y 是 x 的高阶无穷小；
n n n n
C. x 与 y 是等价无穷小； D.
x 与 y 是同阶但不等价的无穷小.
n n
n n
y
【解】令 z  n x
n 若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim x  0.
x n
n x n
n
n
z y x
lim n1  lim( n1  n )
n z n x y
n n1 n
2
y x x
 lim( n  n )  lim( y  n )  0
n sin x y n n sin x
n n n
则
lim z  0.
n
n26武忠祥考研
第三节 连 续
本节内容要点
一. 考试内容要点精讲
(一）连续的概念
（二）间断点及其分类
（三）连续函数的性质26武忠祥考研
二. 常考题型方法与技巧
题型一 讨论连续性及间断点的类型
题型二 介值定理、最值定理及零点定理的
证明题26武忠祥考研
一. 考试内容要点精讲
(一）连续的概念
若 lim f (x)  f (x ) ,称 f (x) 在 x 处连续.
0 0
xx
0
左连续: lim f ( x)  f ( x )
0

xx
0
右连续： lim f ( x)  f ( x )
0

xx
0
定理 f ( x) 连续  f ( x) 左连续且右连续
（二）间断点及其类型
1.间断点的概念
若 在 某去心邻域有定义, 但在 x 处不连续，则
f ( x) x
0
0
称 x 为 f ( x) 的间断点.
026武忠祥考研
2. 间断点的分类
1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点
可去间断点: 左极限= 右极限
跳跃间断点: 左极限  右极限
2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在
1
无穷间断点：
lim  
x0 x
1
振荡间断点：
limsin
x0 x26武忠祥考研
（三）连续函数性质
1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复
合仍为连续函数；
2) 初等函数在其定义区间内处处连续；
3）闭区间上连续函数的性质
（1）有界性 若 在 上连续,则 在 上有界.
f ( x) [a,b] f ( x) [a,b]
上必有
（2）最值性 若 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 则 f ( x) 在 [a,b]
最大值和最小值.
（3）介值性 若 f ( x) 在 [a,b] 上连续,且 f (a)  f (b), 则对
f (a) 与 f (b) 之间任一数C, 至少存在一个
 (a,b), 使得 f ()  C.26武忠祥考研
推论：若 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 则 f ( x) 在 [a,b] 上可取
到介于它在 上最小值与最大值之间的一切值.
[a,b]
（4）零点定理 若 f ( x) 在 [a,b] 上连续,且 f (a)  f (b)  0 ,则必
，使
 (a,b) f ()  0.26武忠祥考研
二. 常考题型的方法与技巧
题型一 讨论连续性及间断点类型
x
【例1】设函数 f (x)  在 (,) 内连续,且
a  e bx
则常数 应满足
lim f (x)  0, a,b
x
(A) a  0,b  0. (B) a  0,b  0.
(C) a  0,b  0. (D) a  0,b  0.
x
【解】 由 f ( x)  在 (,) 内连续知， a  e bx  0,
a  e bx
由 lim f (x)  0 知， lim e bx  , 则 b  0.
x x
从而有 故应选(D).
a  0.1
xarctan
26武忠祥考研
x  1
【例3】讨论函数 f (x)  的连续性并指出间断

sin x
点类型.
2
【解】由于 f ( x) 为初等函数，则除 x  1, x  2k(k  0,1,2)
外处处连续.
 
在 x  1 处， f (1  )   ; f (1  ) 
2 2
则 x  1 为跳跃间断点.
1
x arctan
1
x  1
在 x  0 处， lim f (x)  lim  

x0 x0 2
x
2
则 为可去间断点.
x  0
在 x  2k (k  1,2) 处, lim f (x)  
x2k
则 为无穷间断点.
x  2k26武忠祥考研
(x  1) x  1
【例4】函数 f (x)  的可去间断点的个数为（ ）
1
e x2 ln x
(A) (B) (C) (D)
1 2 3 4
【解】 显然 x  0, x  1, x  2 为 f (x) 的间断点，其余点处都连续.
lim f (x)  0
x0
x  1 x  1  2e, x  1  ,
lim f (x)
 2e lim  2e lim 

x1 x1 ln x x1 x  1   2e, x  1  .
(x  1) 1
lim f (x)  2 3 e lim  2 3 e lim  2 3 e
x1 x1 ln x x1 1
x
lim f (x)  0 lim f (x)  
 
x2 x226武忠祥考研
x
n2
 x
n
【例6】求函数 f (x)  lim 的间断点并指出其类型。
n x n  x n
 1 0  x  1
x
2n2
 1 
【解】 f (x)  lim  x 2 x  1
n x 2n  1

0 x  1

显然 无意义，而
f (0) lim f (x)  1,
x0
则 为可去间断点.由于
x  0
f (1  )  lim f (x)  lim(1)  1
 
x1 x1
f (1  )  lim f (x)  lim x 2  1
 
x1 x1
则 为跳跃间断点.
x  1
而 f ( x) 是偶函数,故 x  1 也是跳跃间断点。26武忠祥考研
题型二 介值定理、最值定理及
零点定理的证明题
【例1】 设 在 内非负连续，且
f ( x) (a,b) x , x , x  (a,b),
1 2 n
证明存在  (a,b), 使 f ()  n f (x ) f (x ) f (x ).
1 2 n
【证】令 c  min x , d  max x , 则 [ c ,d]  (a,b), 且 f ( x) 在闭区间
i i
1in 1in
[c,d] 上连续，设 f ( x) 在 [c,d] 上的最大值为 M , 最小值为
m,
则 m  n m n  n f (x ) f (x ) f (x )  n M n  M ,
1 2 n
由介值定理知存在 [c,d], 使
f ()  n f (x ) f (x ) f (x )
1 2 n26武忠祥考研
【例2】设 f ( x) 在 [0,1] 连续,非负， f (0)  f (1)  0, 求证:
[0,1], 使 f ( l)  f (). 其中 0  l  1.
【证】 令
F ( x)  f ( x  l)  f ( x) x [0, 1  l]
 F (0)  f (l)  f (0)  0,
F(1  l)  f (1)  f (1  l)  0
使
 [0,1  l], F ()  0.
即 f ( l)  f ().26武忠祥考研
【例3】设 f ( x) 在 [0,1] 连续, f (0)  f (1), 求证: [0, 1],
1
使 f ( )  f ().
4
1 3
【证1】令
F(x)  f (x  )  f (x) x [0, ]
4 4
1 1 1 1
 F(0)  f ( )  f (0), F( )  f ( )  f ( ),
4 4 2 4
1 3 1
3 3
F( )  f ( )  f ( ) F( )  f (1)  f ( )
2 4 2
4 4
1 1 3
 F(0)  F( )  F( )  F( )  f (1)  f (0)  0
4 2 4
3
若 在 上无零点,则由 的连续性知
F ( x) [0, ] F(x) F(x)
4
3
恒正或恒负,矛盾.故 F ( x) 在 [0, ] 必有零点，即 [0, 1]
4
1
使 f ( )  f ().
426武忠祥考研
【例3】设 f ( x) 在 [0,1] 连续, f (0)  f (1), 求证: [0, 1],
1
使 f ( )  f ().
4
1 3
【证2】反证法 令
F(x)  f (x  )  f (x) x [0, ]
4 4
3 3
若 在 上没有零点，由 的连续性可知在 上
F(x) [0, ] F(x) [0, ]
4 4
1
F(x)  0, 或 F(x)  0, 不妨设 F(x)  0, 即 f (x  )  f (x). 则
4
3 1 3 2 1
f (1)  f (  )  f ( )  f ( )  f ( )  f (0)
4 4 4 4 4
这与题设 矛盾，原题得证.
f (0)  f (1)26武忠祥考研
f (x)
【例4】设 f ( x) 在 (,) 上连续,且 lim  0, 试证存在
x x
 (,), 使 f ()  0.
F(x)
存在
【证】令 F(x)  f (x)  x, 则 lim  1  0, X  0,
x x
F(x)
当 x  X 时，  0, 取 a  X ,
x
F(a) F(a)
则
 0,  0.
a  a
从而有 F(a)  0, F(a)  0.
故存在  (a,a), 使
F()  0,
即
f ()   026武忠祥考研
函 题型一 复合函数
数
题型二 函数性态
题型一 极限的概念、性质及存在准则
题型二 求 极 限
极
限
题型三 已知极限确定参数
题型四 无穷小量阶的比较
题型一 讨论连续性及间断点类型
连
续
题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题26武忠祥考研26武忠祥考研
祝同学们
考研路上一路顺利！