(207)--高数强化05笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（5） 5 确定极限式中参数,无穷小量阶的比较及函数连续性题型举例 P40-P51 主讲 武 忠 祥 教授题型三 确定极限式中的参数 26武忠祥考研 2 t x  dt 【例1】若 0 a 2  t 2 求 其中 为正数. lim  1, a,b, a,b x0 bx  sin x 2 2 t x x  dt 0 a 2  t 2 a 2  x 2 【解1】 lim  lim x0 bx  sin x x0 b  cos x 2 1 x  lim (b  1) a x0 1  cos x 2 1 x 2  lim  a x0 1 a 2 x 2 则 a  2,b  1.26武忠祥考研 2 t x  dt 【例1】若 0 a 2  t 2 求 其中 为正数. lim  1, a,b, a,b x0 bx  sin x 2 2 t t 【解2】由于当 时， 则 t  0 ~ , a 2  t 2 a 2 x t t 2 x  dt  dt 0 a 2  t 2 0 a 1 x 3 1  lim  lim  lim x0 bx  sin x x0 bx  sin x 3a x0 bx  sin x 3 1 x  lim (b  1) 3a x0 x  sin x 3 1 x 2 则  lim  a  2,b  1. 3 3a x0 x a 626武忠祥考研   【例2】若 lim x 2  x  1  ax  b  0 , 求 a,b. x   【解1】由 lim x 2  x  1  ax  b  0 可知， a  0. x (x 2  x  1)  (ax  b) 2 原式  lim （有理化） x x 2  x  1  (ax  b) (1  a 2 )x 2  (1  2ab)x  (1  b 2 )  lim  0 x x 2  x  1  (ax  b) 则 1  a 2  0,1  2ab  0, 1 由此可得 a  1,b  . 226武忠祥考研   【例2】若 lim x 2  x  1  ax  b  0 , 求 a,b. x  1 1 b  【解2】 原式  lim ( x) 1    a    0 2 x  x x x   1  a  0, a  1   x  1 1 b   lim x 2  x  1  x   lim  x x x 2  x  1  x 2 x 2  x  1  ax  b x 2  x  1 【解3】 lim  0 a   lim  1 x x x x   b   lim x 2  x  1  x x 1 1 1 1 1 1  lim x( 1    1)  lim x  (  )  x x x 2 x 2 x x 2 226武忠祥考研 【例3】若 lim[(x n  7x 4  1) m  x]  b,(n  4,b  0, 求 n, m,b. x 1 【解】 则 m  , n 1 lim [(x n  7x 4  1) m  x]  lim [(x n  7x 4  1)n  x] x x 4 7x 1  lim x[ n 1    1] n n x x x 4 1 7x 1  lim x  (  )  b  0 n n x n x x 7 1 则 n  5,b  ,m  . 5 526武忠祥考研 题型四 无穷小量阶的比较 1）洛必达法则（求导定阶） 若 x  0 时 f ( x) 是无穷小量，且 f  ( x) 是 x 的 k (k  0) 阶无穷小，则 f ( x) 是 k  1 阶无穷小量. 2) 等价无穷小代换 若 x  0 时 f ( x) 是无穷小量，且 f (x) ~ Ax k (A  0,k  0), 则 f ( x) 是 x  0 时的 k 阶无穷小量. 3）泰勒公式x x 2 x 【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt 0 0 0 进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是 (A) ,, (B) ,, (C) ,, (D) ,, 【解1】（用定义直接比较）  2 cos x lim  lim   x0   x0  2tan x  x  2tan x  x x 2 lim  lim  4 lim  0 x0   x0  3 1 x0  x sin x2  2 x 则正确的排序是 ,,.26武忠祥考研 x x 2 x 【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt 0 0 0 进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是 (A) ,, (B) ,, (C) ,, (D) ,, 【解2】（确定 ,, 是 x 的几阶无穷小） x  2 cos t dt 2 cos x 由 lim 0  lim  a  0 ( k =1) k k1 x0  x x0  kx 2 x  tan tdt 2x tan x （k =3) lim 0  lim  a  0 k k1 x0  x x0  kx 1 3 1 x  sin t 3 dt sin x 2 x 2 x 2 （k=2) lim 0  lim  lim  a  0 x0  x k x0  kx k1 x0  kx k126武忠祥考研 x x 2 x 【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt 0 0 0 进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是 (A) ,, (B) ,, (C) ,, (D) ,, d 【解3】由于  cos x 2  1 (x  0  ) dx d  2x tan x ~ 2x 2 (x  0  ) dx 3 d 1 1   sin x 2 ~ x (x  0 ) dx 2 x 2 则正确的排序是 ,,.x x 2 x 【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt 0 0 0 进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是 (A) ,, (B) ,, (C) ,, (D) ,, f (x) (x) (x) 【解4】(利用若 lim  1, 则  f (t)dt ~  g(t)dt，其中 lim(x)  0 ） x0 g(x) 0 0 x0 x x   cos t 2 dt ~  1dt  x 0 0 x 2 2 2 x    tan tdt ~  tdt  x 3 0 3 0 x x 1    sin t 3 dt ~  t 3 dt  x 2 0 0 4 则正确的排序是 ,,26武忠祥考研 x x 2 x 【例1】把 x  0  时的无穷小   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt 0 0 0 进行排序,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是 (A) ,, (B) ,, (C) ,, (D) ,, 【解5】（利用结论：若 f (x) 在 x  0 的某邻域内连续，且当 x  0 时 f (x) 是 x 的 m 阶无穷小，(x) 是 x 的 n 阶无穷小， 则当 x  0 时， F(x)   (x) f (t)dt 是 x 的 n(m  1) 阶无穷小） 0 x x 2 x   cos t 2 dt,    tan tdt,    sin t 3 dt 0 0 026武忠祥考研 【例2】当 x  0 时，下列无穷小中最高阶的是（ ） 1 （A) (2  tan x ) x  2 x （B) (cos x 2 )x  1 1cos x 1 cos x （C)  e xt sin t 2 dt （D)  ln(1  t 3 )dt 0 sin x 1 1 1 1 【解】 (2  tan x) x  2 x  2 x [(1  tan x) x  1] ～ [(1  tan x) x  1] ～ ( tan x)x ～ x 2 2 2 2 2 1  x 4 1 1 cos x 2  1 2 (cos x 2 )x  1  [1  (cos x 2  1)]x  1 ～ ～ x x 1cos x 1cosx 1cosx  e xt sin t 2 dt  e x sin t 2 dt ～  sin t 2 dt 0 0 0 1 cos x 1 cosx sin x  ln(1  t 3 )dt   ln(1  t 3 )dt   ln(1  t 3 )dt sin x 0 026武忠祥考研 【例3】 当 x  0 时，f (x)  x  sin ax 与 g(x)  x 2 ln(1  bx) 是等价无穷小, 则 1 1 （A） a  1,b   （B） a  1,b  6 6 1 1 （C） （D） a  1,b   a  1,b  6 6 f (x) x  sinax 1  acosax 【解1】 1  lim  lim  lim (a  1) x0 g(x) x0  bx 3 x0  3bx 2 1 2 x 1 1  lim 2   则 b   x0  3bx 2 6b 6 3 (ax) x  [ax  (x 3 )] f (x) x  sin ax 3! 【解2】 1  lim  lim  lim x0 g(x) x0  bx 3 x0  bx 3 3 (ax) (1  a)x  (x 3 )] 1  lim 3! 则 a  1,b   x0  bx 3 626武忠祥考研 【例3】 当 x  0 时， f (x)  x  sin ax 与 g(x)  x 2 ln(1  bx) 是等价无穷小, 则 1 1 （A） a  1,b   （B） a  1,b  6 6 1 1 （C） （D） a  1,b   a  1,b  6 6 f (x) x  sin ax 【解3】 1  lim  lim x0 g(x) x0  bx 326武忠祥考研 【例4】设 p(x)  a  bx  cx 2  dx 3 . 当 x  0 时,若 p(x)  tan x 是比 x 3 高阶的无穷小，则下列结论中错误的是 （A）a  0 （B） b  1 1 （C） c  0 （D） d  6 1 1 【解1】由 x  0 时, tan x  x ~ x 3 知, tan x  x  x 3 (x 3 ) 3 3 1 从而得 的泰勒 公式 又 tan x tan x  x  x 3 (x 3 ) 3 1 a  (b  1)x  cx 2  (d  )x 3 (x 3 ) P(x)  tan x 3 lim  lim  0 3 3 x0 x x0 x 1 则 a  0,b  1,c  0,d  , 326武忠祥考研 【例4】设 p(x)  a  bx  cx 2  dx 3 . 当 x  0 时,若 p(x)  tan x 是比 x 3 高阶的无穷小，则下列结论中错误的是 （A）a  0 （B） b  1 1 （C） c  0 （D） d  6 P(x)  tan x 【解2】由 【解3】 tan x  p(x) (x 3 ) 0  lim 3 x0 x tan x  p(x) (x 3 ) P(x)  x tan x  x  lim  lim 3 3 x0 x x0 x tan x 奇函数 a  0 c  0 tan x ~ x b  1【例5】已知 x  0 时, e x 2  cos 2x 与 ax n 是等价无穷小,则( ) 1 1 （A）n  2,a  （B）n  3,a  4 2 1 1 （C）n  4,a  （D）n  5,a  3 6 4 x 【解1】直接法 由 e x 2  1  x 2  (x 4 ) 2! 2 4 2x 4x cos 2x  1   (x 4 ) 2! 4! 1 x 4 (x 4 ) e x 2  cos 2x 3 lim  lim  1 n n x0 ax x0 ax 1 知， a  , n  4. 3【例5】已知 x  0 时, e x 2  cos 2x 与 ax n 是等价无穷小,则( ) 1 1 （A）n  2,a  （B）n  3,a  4 2 1 1 （C）n  4,a  （D）n  5,a  3 6 【解2】排除法 e x 2  cos 2x 是偶函数， 则排除B,D.1 【例6】已知  x  ,  y  满足： x  y  , x  sin x , y  y 2 (n  1,2,), n n 1 1 n1 n n1 n 2 则当 n   时，（ ） A. x 是 y 的高阶无穷小； B. y 是 x 的高阶无穷小； n n n n C. x 与 y 是等价无穷小； D. x 与 y 是同阶但不等价的无穷小. n n n n y 【解】令 z  n x n 若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim x  0. x n n x n n n z y x lim n1  lim( n1  n ) n z n x y n n1 n 2 y x x  lim( n  n )  lim( y  n )  0 n sin x y n n sin x n n n 则 lim z  0. n n26武忠祥考研 第三节 连 续 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）连续的概念 （二）间断点及其分类 （三）连续函数的性质26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 题型一 讨论连续性及间断点的类型 题型二 介值定理、最值定理及零点定理的 证明题26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 (一）连续的概念 若 lim f (x)  f (x ) ,称 f (x) 在 x 处连续. 0 0 xx 0 左连续: lim f ( x)  f ( x ) 0  xx 0 右连续： lim f ( x)  f ( x ) 0  xx 0 定理 f ( x) 连续  f ( x) 左连续且右连续 （二）间断点及其类型 1.间断点的概念 若 在 某去心邻域有定义, 但在 x 处不连续，则 f ( x) x 0 0 称 x 为 f ( x) 的间断点. 026武忠祥考研 2. 间断点的分类 1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点 可去间断点: 左极限= 右极限 跳跃间断点: 左极限  右极限 2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在 1 无穷间断点： lim   x0 x 1 振荡间断点： limsin x0 x26武忠祥考研 （三）连续函数性质 1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复 合仍为连续函数； 2) 初等函数在其定义区间内处处连续； 3）闭区间上连续函数的性质 （1）有界性 若 在 上连续,则 在 上有界. f ( x) [a,b] f ( x) [a,b] 上必有 （2）最值性 若 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 则 f ( x) 在 [a,b] 最大值和最小值. （3）介值性 若 f ( x) 在 [a,b] 上连续,且 f (a)  f (b), 则对 f (a) 与 f (b) 之间任一数C, 至少存在一个  (a,b), 使得 f ()  C.26武忠祥考研 推论：若 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 则 f ( x) 在 [a,b] 上可取 到介于它在 上最小值与最大值之间的一切值. [a,b] （4）零点定理 若 f ( x) 在 [a,b] 上连续,且 f (a)  f (b)  0 ,则必 ，使  (a,b) f ()  0.26武忠祥考研 二. 常考题型的方法与技巧 题型一 讨论连续性及间断点类型 x 【例1】设函数 f (x)  在 (,) 内连续,且 a  e bx 则常数 应满足 lim f (x)  0, a,b x (A) a  0,b  0. (B) a  0,b  0. (C) a  0,b  0. (D) a  0,b  0. x 【解】 由 f ( x)  在 (,) 内连续知， a  e bx  0, a  e bx 由 lim f (x)  0 知， lim e bx  , 则 b  0. x x 从而有 故应选(D). a  0.1 xarctan 26武忠祥考研 x  1 【例3】讨论函数 f (x)  的连续性并指出间断  sin x 点类型. 2 【解】由于 f ( x) 为初等函数，则除 x  1, x  2k(k  0,1,2) 外处处连续.   在 x  1 处， f (1  )   ; f (1  )  2 2 则 x  1 为跳跃间断点. 1 x arctan 1 x  1 在 x  0 处， lim f (x)  lim    x0 x0 2 x 2 则 为可去间断点. x  0 在 x  2k (k  1,2) 处, lim f (x)   x2k 则 为无穷间断点. x  2k26武忠祥考研 (x  1) x  1 【例4】函数 f (x)  的可去间断点的个数为（ ） 1 e x2 ln x (A) (B) (C) (D) 1 2 3 4 【解】 显然 x  0, x  1, x  2 为 f (x) 的间断点，其余点处都连续. lim f (x)  0 x0 x  1 x  1  2e, x  1  , lim f (x)  2e lim  2e lim   x1 x1 ln x x1 x  1   2e, x  1  . (x  1) 1 lim f (x)  2 3 e lim  2 3 e lim  2 3 e x1 x1 ln x x1 1 x lim f (x)  0 lim f (x)     x2 x226武忠祥考研 x n2  x n 【例6】求函数 f (x)  lim 的间断点并指出其类型。 n x n  x n  1 0  x  1 x 2n2  1  【解】 f (x)  lim  x 2 x  1 n x 2n  1  0 x  1  显然 无意义，而 f (0) lim f (x)  1, x0 则 为可去间断点.由于 x  0 f (1  )  lim f (x)  lim(1)  1   x1 x1 f (1  )  lim f (x)  lim x 2  1   x1 x1 则 为跳跃间断点. x  1 而 f ( x) 是偶函数,故 x  1 也是跳跃间断点。26武忠祥考研 题型二 介值定理、最值定理及 零点定理的证明题 【例1】 设 在 内非负连续，且 f ( x) (a,b) x , x , x  (a,b), 1 2 n 证明存在  (a,b), 使 f ()  n f (x ) f (x ) f (x ). 1 2 n 【证】令 c  min x , d  max x , 则 [ c ,d]  (a,b), 且 f ( x) 在闭区间 i i 1in 1in [c,d] 上连续，设 f ( x) 在 [c,d] 上的最大值为 M , 最小值为 m, 则 m  n m n  n f (x ) f (x ) f (x )  n M n  M , 1 2 n 由介值定理知存在 [c,d], 使 f ()  n f (x ) f (x ) f (x ) 1 2 n26武忠祥考研 【例2】设 f ( x) 在 [0,1] 连续,非负， f (0)  f (1)  0, 求证: [0,1], 使 f ( l)  f (). 其中 0  l  1. 【证】 令 F ( x)  f ( x  l)  f ( x) x [0, 1  l]  F (0)  f (l)  f (0)  0, F(1  l)  f (1)  f (1  l)  0 使  [0,1  l], F ()  0. 即 f ( l)  f ().26武忠祥考研 【例3】设 f ( x) 在 [0,1] 连续, f (0)  f (1), 求证: [0, 1], 1 使 f ( )  f (). 4 1 3 【证1】令 F(x)  f (x  )  f (x) x [0, ] 4 4 1 1 1 1  F(0)  f ( )  f (0), F( )  f ( )  f ( ), 4 4 2 4 1 3 1 3 3 F( )  f ( )  f ( ) F( )  f (1)  f ( ) 2 4 2 4 4 1 1 3  F(0)  F( )  F( )  F( )  f (1)  f (0)  0 4 2 4 3 若 在 上无零点,则由 的连续性知 F ( x) [0, ] F(x) F(x) 4 3 恒正或恒负,矛盾.故 F ( x) 在 [0, ] 必有零点，即 [0, 1] 4 1 使 f ( )  f (). 426武忠祥考研 【例3】设 f ( x) 在 [0,1] 连续, f (0)  f (1), 求证: [0, 1], 1 使 f ( )  f (). 4 1 3 【证2】反证法 令 F(x)  f (x  )  f (x) x [0, ] 4 4 3 3 若 在 上没有零点，由 的连续性可知在 上 F(x) [0, ] F(x) [0, ] 4 4 1 F(x)  0, 或 F(x)  0, 不妨设 F(x)  0, 即 f (x  )  f (x). 则 4 3 1 3 2 1 f (1)  f (  )  f ( )  f ( )  f ( )  f (0) 4 4 4 4 4 这与题设 矛盾，原题得证. f (0)  f (1)26武忠祥考研 f (x) 【例4】设 f ( x) 在 (,) 上连续,且 lim  0, 试证存在 x x  (,), 使 f ()  0. F(x) 存在 【证】令 F(x)  f (x)  x, 则 lim  1  0, X  0, x x F(x) 当 x  X 时，  0, 取 a  X , x F(a) F(a) 则  0,  0. a  a 从而有 F(a)  0, F(a)  0. 故存在  (a,a), 使 F()  0, 即 f ()   026武忠祥考研 函 题型一 复合函数 数 题型二 函数性态 题型一 极限的概念、性质及存在准则 题型二 求 极 限 极 限 题型三 已知极限确定参数 题型四 无穷小量阶的比较 题型一 讨论连续性及间断点类型 连 续 题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题26武忠祥考研26武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！