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第 02 讲 解一元二次方程——直接开方与配方法
课程标准 学习目标
1. 掌握直接开方法，利用直接开方法解一元二次方程
①直接开方法解一元二次方程 2. 掌握配方法基本步骤，学会利用配方法解一元二次
②配方法解一元二次方程 方程
③利用配方法求最值 3. 学会利用一元二次方程的配方法求二次三项式的最
值
知识点01 直接开方法解一元二次方程
1. 直接开方法求 的一元二次方程：
由平方根的定义可知：
① 时，一元二次方程 有 个 的实数根，分别是 或 。
他们互为 。
②当 时，一元二次方程 有 个 的实数根，即 。
③当 时，一元二次方程 实数根。
2. 直接开方法解 的一元二次方程：同样由平方根的定义可知：
①当 时，一元二次方程 有 个 的实数根。方程开方降次得到一元
一次方程 或 。所以它的两个实数根分别是 或
。
②当 时，一元二次方程 有 个 的实数根。方程开方降次得到一元
一次方程 ，所以一元二次方程的两个实数根为 。
③当 时，一元二次方程 实数根。
题型考点：①利用直接开方法解方程。
②根据根的情况求字母的值或取值范围。
【即学即练1】
1. 方程x2＝1的根是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2
2．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（ ）
A．x ＝3，x ＝9 B．x ＝﹣3，x ＝9
1 2 1 2
C．x ＝3，x ＝﹣9 D．x ＝﹣3，x ＝﹣9
1 2 1 2
3．解方程：
（1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9．
【即学即练2】
4．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝ ．
【即学即练3】
5．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
6．如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 ．
知识点02 配方法解一元二次方程
1. 配方法的定义：
将一元二次方程化成 的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。
2. 配方法解一元二次方程的具体步骤：
①将方程化成 。
②将 系数化为 。方程的左右两边同时除以 或乘以二次项系数的 。
且将 移到等号的右边。
③方程的左右两边同时加上 。
④把方程的左边写成 ，右边是一个常数。⑤根据直接开方法解方程。
题型考点：①判断完全平方式及根据完全平方式求值。
②利用配方法解一元二次方程。
【即学即练1】
7．下列式子中是完全平方式的是（ ）
A．a2+2ab+b2 B．a2+2a+2 C．a2﹣2b+b2 D．a2+2ab+1
8．若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，则k的值应是（ ）
A．4或﹣4 B．8 C．﹣8 D．8或﹣8
9．若多项式4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．±11
【即学即练2】
10．用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9
11．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．11 D．7
12．以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：
解：移项得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
开平方得：x﹣1＝±2
移项：x＝±2+1
所以：x ＝3，x ＝3
1 2
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
13．用配方法解下列关于x的方程：
（1）x2+12x+25＝0． （2）2x2+4x﹣1998＝0．知识点03 配方法求二次三项式的最值
1. 配方法求二次三项式的最值：
利用配方法将二次三项式化成 的形式判断二次三项式的最值为 。若 ，则 为二次三
项式的 ；若 ，则 为二次三项式的 。
2. 具体步骤：
①提公因式，即提 。
②配方，在一次项系数后面加上 ，为了式子的值不发生变化，在
减去 。
③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以 再拿出来。
题型考点：①利用配方法求二次三项式的最值。
②比较式子的大小关系。
【即学即练1】
14．已知x是实数，则多项式x2+4x+5的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．﹣20 B．﹣10 C．﹣5 D．0
【即学即练2】
16．已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，则m和n的大小关系中正确的是（ ）
A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n
题型01 直接开方法求一元二次方程
【典例1】
解方程
（1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16．【典例2】
解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．
题型02 根据完全平方式的特点求值
【典例1】
已知x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20
变式1：
若多项式x2+（a﹣1）x+9是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A．3 B．7或﹣5 C．﹣5 D．﹣7或5
题型03 配方法解一元二次方程
【典例1】
用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x+1）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
【典例2】
利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
【典例3】
用配方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2+8x﹣9＝0；（3）2t2﹣7t﹣4＝0； （4）2x2+3＝7x．
题型04 配方法的应用
【典例1】
不论x，y取什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数
变式1：
多项式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值为 ．
【典例2】
m、n为正整数，m2+n2+1＝2m+2n，则m+n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例3】
若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，则A、B的大小关系为（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B
1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x ＝x ＝3
1 2
C． D．x ＝3，x ＝﹣3
1 2
2．如果x＝﹣3是方程x2﹣m＝0的一个根，那么m的值是（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3
3．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝2
4．一元二次方程x2+16＝8x可变形为（ ）A．（x+4）2＝4 B．（x+4）2＝0 C．（x﹣4）2＝0 D．（x﹣4）2＝4
5．把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n＝（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
6．将代数式x2+4x﹣1化成（x+h）2+k的形式为（ ）
A．（x﹣2）2+3 B．（x+2）2+4 C．（x+2）2﹣1 D．（x+2）2﹣5
7．设M＝2x2﹣7x+6，N＝x2﹣3x+2，则M，N的大小关系是（ ）
A．M＜N B．M≥N C．M＝N D．M≤N
8．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．﹣20 B．﹣10 C．﹣5 D．0
9．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
10．如果多项式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2019，则A的最小值是 ．
11．小明用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，将它化成（x﹣p）2＝q的形式，则p+q的值为 ．
12．解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0．
