文档内容
专题 01 三角函数 求法
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
必备公式
，（其中 ）；
辅助角公式
求 解析式
求法
方法一：代数法 方法二：读图法 表示平衡位置；
表示振幅
求法
方法一：图中读出周期 ，利用 求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取
舍答案.
求法 方法一：将最高（低）点代入 求解；
方 法 二 ： 若 无 最 高 （ 低 ） 点 ， 可 使 用 其 他 特 殊 点 代 入
求解；但需注意根据具体题意取舍答案.
二、典型题型
1．（2024·山西长治·一模）已知函数 的部分图象如
图所示，若方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数 的解析式，再分析 在
上的图象性质即可得解.
【详解】观察图象知， ，函数 的周期 ， ，
由 ，得 ，而 ，则 ，
于是 ，当 时， ，
当 ，即 ，函数 单调递减，函数值从 减小到 ，
当 ，即 时，函数 单调递增，函数值从 增大到 ，
显然函数 的 上的图象关于直线 对称，
方程 在 上有两个不相等的实数根，即直线 与函数 在 上
的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是 .
故选：B
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 的部分图象如
图所示，其中 ， ，则（ ）
A． B．
C．直线 是 图象的一条对称轴 D． 是 图象的一个对称中心
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据周期性求出 ，根据函数过点 求出 ，即可得到函数解析式，再根据
余弦函数的性质判断即可.
【详解】依题意 ，又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
又函数过点 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故A、B错误；
又 ，所以 不是 的对称轴，故C错误；
，所以 是 图象的一个对称中心，故D
正确.
故选：D
3．（2024·陕西西安·三模）如图，函数 的部分图象，若点 是 中点，
则点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ， ，则 ，代入函数解析式得到方程组，结
合诱导公式，变形得到 ，从而求出答案.
【详解】设 ，则 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 ，
学科网（北京）股份有限公司其中
，
则 ，解得 ，负值舍去，
即 ，故 的纵坐标为 .
故选：C
4．（多选）（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数
的部分图像如图所示， ， 为 的图像与
轴的交点， 为 图像上的最高点， 是边长为1的等边三角形， ，
则（ ）
A．
B．直线 是 图像的一条对称轴
C． 的单调递减区间为
D． 的单调递增区间为
【答案】BC
【分析】由图可得 ，再利用正弦函数的图象与性质分析各个选项即
可.
【详解】对于A，由图可得： 的最小正周期为2，所以 ，即 ，
易得 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ， ， ，
由五点作图法可得： ，即 ，所以 ，
所以 ，故A不正确；
对于B，由于 ，为最大值，
所以直线 是 图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，令 ，解得； ，
所以单调递减区间为 ，故C正确；
对于D，令 ，解得； ，
所以 的单调递增区间为 ，故D不正确，
故选：BC，
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图
所示，将 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到 的
图象，若 在区间 上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合图象求得 的最小正周期，即可求得 ，然后结合图象上的点的坐标
及 可求得 ，得到 的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到
的解析式，最后利用正弦函数的图象求得m的取值范围．
【详解】设 的最小正周期为T，则由图象知 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 ，
由 在 处取得最小值，可得 ， ，
得 ， ．因为 ，所以 ，
所以 ；
（或由题意可得 ， ，亦可得 ）
，
由 ，得 ，
所以由题意得 ，解得 ，
即实数m的取值范围是 ．
故答案为： .
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如
图，则关于 的不等式 的解集是 .
【答案】 ，
【分析】先根据函数的图象求函数的解析式，再解不等式.
【详解】由题意得 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 .
又 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .
又 的图像过点 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，则 ， .
又 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
由 ，得 ，
即 ，
所以 ， ，
解得 ， .
所以不等式的解集为 ， .
故答案为： ，
【点睛】关键点点睛：本题在求 的值时，一个是根据函数图象，得到
，再根据图象得
，再结合 ，可得 .这里利用 不易想到.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的部分
图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长到原来的
学科网（北京）股份有限公司2倍，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到 的图象．若方程
在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】易得 ，再由点 在 的图象上，代入函数解析式求得
，再利用伸缩变换和平移变换得到 ，作出其图象，
利用数形结合法求解．
【详解】解：由 的部分图象，可得 ．
由图可知点 在 的图象上，则 ，
，
由五点作图法可得 ， ，解得 ，则
．
将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长到原来的2倍得到
的图象，
再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到 的图象．
作出函数 的部分图象如图所示，
学科网（北京）股份有限公司由根据函数 的图象知：
当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
即方程 在 上有两个不相等的实数根．
故答案为：
三、专项训练
一、单选题
1．（2024·北京石景山·一模）已知函数 的部分图象如图
所示，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由图可得 ，求得 ，再利用图象过点 ，可得到 ，从而得到
，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】由图象可知 ，解得 ，因为 ，所以 ，解得
，
将 代入解析式化简得 ，因为 ，则 ，得 ，
故 ，所以 .
故选：A
2．（2024·江西南昌·一模）函数 的部分图象如图所示，
学科网（北京）股份有限公司是等腰直角三角形，其中 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】如图，过 作 轴于 ，根据题意得到 ，进而可求出 ，再利用
，得到 ，则有 ，可求出 ，从而
，即可求出结果.
【详解】如图，过 作 轴于 ，则 ，
又 是等腰直角三角形，所以 ，故 ，得到 ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以 ，得到 ，又 ，得到 ，
所以 ，则 ，
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）知函数 （ ， ），如图： ， ，
是曲线 与坐标轴的三个交点，直线 交曲线 于点 ，若直线 ，
的斜率分别为 ，3，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据正弦型函数的周期公式得出 ，根据函数图像的对称性得出点 是线
段 的中点；再根据图象设出点 坐标，写出点 ， ， 的坐标；最后根据斜率公式
和题意列出方程组，求解即可.
【详解】由题意可得：函数 的最小正周期为 ，点 是线段 的中点.
根据图象可设 ，
则 ， .
由图象可得 ，
则 .
因为直线 ， 的斜率分别为 ，3,
所以 ，整理得： .
又因为 ， ，
所以 ，解得： .
又因为 ，
所以 .
故选：B.
学科网（北京）股份有限公司二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则函数 的对称中心为
C．若函数 在 内单调递增，则 的取值范围为
D．若函数 在 内没有最值，则 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】借助图象可得 的值，再结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由题意可知， ，由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，故选项A正确；
对B：若 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 的对称中心为 ，故选项B不正确；
对C：因为 ，令 ，
得 ，根据 的部分图象可知 ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ，故选项C正确；
对D：由选项C可知， ， 在 上单调递增．
学科网（北京）股份有限公司因为 在 内没有最值，所以 ,又 ，可得 ，
故选项D正确.
故选：ACD．
5．（2024·吉林长春·三模）已知 的部分图象如
图所示，则（ ）
A． 的最小正周期为π
B． 满足
C． 在区间 的值域为
D． 在区间 上有3个极值点
【答案】AD
【分析】根据图象确定 和周期，再确定 ，代入最值点确定 ，从而得出解析式，再由
正弦函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知， ，所以 ，故A正确；
又因为 ，所以 ，
而且 ，所以 ，所以函数解析式为 .
所以
，故B错误；
对于C，当 时， ，所以 ，所以
学科网（北京）股份有限公司的值域为 ，故C错误；
对于D，当 时， ，当 取得 时， 取得极
值，所以 在 上有3个极值点，故D正确.
故选：AD.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知 的部分图
象如图所示，则（ ）
A．
B． 在区间 单调递减
C． 在区间 的值域为
D． 在区间 有3个极值点
【答案】AD
【分析】求出函数解析式，进而求得函数值判断A，举反例判断BC，利用整体代换法判断
D即可.
【详解】由图像得 ， ，解得 ，
故 ，故此时有 ，
将 代入函数解析式，得 ，
故 ，解得 ，
而 ，故 ，此时 ，
学科网（北京）股份有限公司显然 成立，故A正确，
易知 ， ，而 ， ，
又 ，故 在区间 上并非单调递减，故B错误，
易知 ， ，
故 在区间 的值域不可能为 ，故C错误，
当 时， ， ，
当 时， 取得极值，
可得 在区间 有3个极值点，故D正确.
故选：AD
三、填空题
7．（2024·重庆·一模）已知 的部分图象
如图所示，当 时， 的最大值为 ．
【答案】
【分析】
由图象求出函数 的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数 在
上的最大值.
【详解】因为 ，
设 ，
由图可知，函数 的最小正周期为 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，则 ，
因为 ，可得 ，
所以， ，则 ，
则 ，
当 时， ，
故 .
故答案为： .
8．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，（ ， ，
）的大致图象如图所示，将函数 的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再
向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递增区间为
.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】先根据 的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出 的解析
式，再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到 的解析式，后可求 的单调递增
区间.
【详解】由图可知 ， 得 ，所以 ，
， ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司由图 ，得 ， ，
又 ，所以 ，
故 ，
由题意 ，
令 ， ，得 ，
故函数 的单调递增区间为 ， ，
当 时，函数 的一个单调递增区间为 ，
故答案为： （答案不唯一）
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图
象如图所示， ， ，则满足条件
的最大负整数x为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，求得 ，把不等式转
化为 ，得到 或 ，求得不等式的解
集，即可求解.
【详解】因为函数 满足 ，结合图象可得
又因为 ，可得 ， ，解得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司又由 ，所以 ，可得 ， ，
则不等式 ，即为 ，
即 或 ，可得 或 ，
所以 或 ，
即 或 ，
显然 满足不等式．
故答案为： .
10．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则满足不等
式 的最小正整数x为 ．
【答案】3
【分析】由图求出函数 ，由 得 ，再解不等式可
得答案.
【详解】根据题意，本题可只考虑 的情况，
由题图知函数 的图象经过点 和 ，
则 ，
由五点作图法可知 ，则 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，得 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
易知 ，而 ，
所以满足不等式 的最小正整数x为3．
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由图象求出 和正确解出 .
四、解答题
11．（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数 的部分
图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 在 上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象易得 和周期，结合 可得结果；
（2）根据平移和伸缩变换可得 ，进而由整体法即可求解函数的值域.
【详解】（1）观察图象可得 ，函数 的周期 ，解得
，
学科网（北京）股份有限公司即 ，由 ，得 ，
即 ， ，
而 ，则 ，
所以函数 的解析式是 .
（2）将 的图象向左平移 个单位长度，
可得到函数 的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
得到函数 的图象，则 ，
当 时， ，则 ，
所以 ，
因此 在 上的值域为 .
12．（2023·河北·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，其中
，且 .
(1)求 与 的值；
(2)若斜率为 的直线与曲线 相切，求切点坐标.
【答案】(1) ，
(2) 或
学科网（北京）股份有限公司【分析】
（1）在 中，由射影定理得 长，即 个周期，从而待定 ，再由 求
解 即可；
（2）设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线斜率，求解切点坐标.
【详解】（1）
如图，过点 向 轴引垂线交于点 ，
由正弦曲线的性质知 ，
由射影定理知 ，而 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，由 ，解得 .
当 时，由 ，且由已知图象及五点对应法，
得 ，
由 ，则当 时， ；
所以有 ， ；
（2）
由（1）知 ，设切点 ，
∴
则 ，∴ ，则 ，
∴ 或 ，且 ，
∴故其切点坐标为 或 .
学科网（北京）股份有限公司13．（2023·山西·模拟预测）已知函数 的部分图
象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，求 在
上的值域.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由图可知 ，根据最小正周期求得 ，由图象经过点 求得
，即可得出 ；
（2）利用图象平移规律得 ，根据三角函数的性质求得值域.
【详解】（1）由图可知 ，
的最小正周期 ，则 ，即 .
因为 的图象经过点 ，所以 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
故 .
（2）由（1）结合题意可得 .
因为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值 .
故 在 上的值域为 .
14．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知函数 的部分图象如
图所示．
(1)求 的解析式；
(2)求 在 上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 得到 ，根据 的图象关于直线 对称得到 ，
即可得到 的解析式；
（2）根据正弦型函数的单调性求值域即可.
【详解】（1）由图可得， 的最小正周期 ．
因为 ，且 ，所以 ．
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，解得 ．
因为 ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司故 ．
（2）由 ，得 ．
当 ，即 时， 取得最大值，最大值为2；
当 ，即 时， 取得最小值，最小值为 ．
故 在 上的值域为 ．
学科网（北京）股份有限公司
