文档内容
第 01 讲 锐角三角函数
课程标准 学习目标
①正弦函数 1. 掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的概念以及求法，并
②余弦函数 能够熟练的求出已知锐角的三角函数值或者根据锐角三角函数值
③正切函数 求相应的边长。
知识点01 正弦函数
1. 正弦函数的概念：
如图，在 中，∠C＝90°，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与斜
边的比，∠A的邻边与斜边的比以及∠A的对边与∠A的邻边的比都是确定的。
我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的 正弦 ，记作sinA。
sinA＝ 。
【即学即练1】
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，则sinA＝（ ）A． B． C． D．
【分析】根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，
则sinA＝ ＝ ，
故选：A．
【即学即练2】
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝ ，则AB的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．7.5
【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：∵sinA＝ ＝ ，
设BC＝4x，AB＝5x，
∴AC＝3x，
∴3x＝6，
解得x＝2，
∴AB＝10．
故选：C．
知识点02 余弦函数
1．余弦函数的概念：
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的 余弦 ，记作cosA。cosA＝ 。
【即学即练1】
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则∠B的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据角的余弦等于角的邻边比斜边，可得答案．
【解答】解；由勾股定理得BC＝ ，
COS∠B＝ ，
故选：B．
【即学即练2】
4．Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，AC＝6cm，那么BC等于（ ）
A．8cm B． cm C． cm D． cm
【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ＝ ，AC＝6cm，
∴AB＝10cm，
∴BC＝ ＝8cm．
故选：A．
知识点03 正切函数
1．正切函数的概念：
∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的 正切 ，记作tanA。tanA＝ 。
【即学即练1】
5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可．
【解答】解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴tanA＝ ＝ ．故选：C．
【即学即练2】
6．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝ ，则AB＝ 1 7 ．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，BC＝15，
∴ ，
解得AC＝8，
根据勾股定理得，AB＝ ＝ ＝17．
故答案为：17．
题型01 求锐角三角函数值
【典例1】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sinB＝ ．
【分析】首先根据勾股定理求得AB的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得：AB＝ ＝ ，
∴sinB＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cosA的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据余弦函数的定义，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
AB＝ BC．
由余弦函数的定义，得
cosA＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则tanA的值是 ．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，
∴AC＝ ＝ ＝12，
∴tanA＝ ＝ ．
故答案为： ．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sinA，cosA，tanA的值．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝
＝
＝2 ，
sinA＝ ＝ ＝ ，
cosA＝ ＝ ＝ ，
tanA＝ ＝ ＝ ．
题型02 根据三角函数求三角形的边
【典例1】在Rt△ABC中， ，则AB＝ 1 2 ．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵ ，
又∵BC＝3，
∴AB＝12，
故答案为：12．
【变式1】在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝ ，则AB的长是（ ）A． B． C．60 D．80
【分析】利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB长即可．
【解答】解：在直角三角ABC中，
∵AC＝100，sinA＝ ，
∴BC＝60，
∴AB＝ ＝80，
故选：D．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B＝ ，则BC＝（ ）
A．6 B．8 C．9 D．15
【分析】由锐角三角函数定义知：cos∠B＝ ，代入相关数值解答即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B＝ ，cos∠B＝ ，
则BC＝AB•cos∠B＝10× ＝8．
故选：B．【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，BC＝8，则AB的长为 1 0 ．
【分析】根据锐角三角函数的定义求出AC，根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：如图：
∵∠C＝90°，BC＝8，tanA＝ ＝ ，
∴AC＝6，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝62+82＝100，
∴AB＝10．
故答案为：10．
题型03 已知三角函数值求其他三角函数值
【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．8
【分析】根据一个角的正弦等于它余角的余弦，可得sinA，根据同角三角函数关系，可得答案
【解答】解：由题意，得cosA＝ ，
sinA＝ ＝ ＝ ，
tanA＝ ＝ ＝2 ．
故选：A．
【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA＝ ．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运
用三角函数的定义解答．
【解答】解：由sinA＝ 知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x．∴tanA＝ ．
故答案为： ．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，cosA＝ ．
【分析】先根据tanA＝ 设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出
cosA的值．
【解答】解：∵tanA＝ ＝ ，AC＝8，
∴BC＝6，AB＝ ＝10．
∴cosA＝ ＝ ．
【变式3】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，求cosA，tanB的值．
【分析】根据sinA和BC的值可以求出斜边AB的值，再由勾股定理即可求得AC的值，知道了直角三
角形的三边即可求得cosA、tanB的值．
【解答】解：∵sinA＝ ＝ ，
∴设AB＝3k．BC＝ k，
∴AC＝ ＝ k，
∴cosA＝ ＝ ，
tanB＝ ＝ ．1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanA＝ ，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴tanA＝ ＝ ，
故选：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用正弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝ ＝ ．
故选：C．
3．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小 D．不能确定
【分析】在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正切函数值也不会改
变．
【解答】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：A．
4．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可．【解答】解：A、sinB＝ ，
则b＝csinB，本选项说法错误；
B、b＝csinB，本选项说法正确；
C、tanB＝ ，
则b＝atanB，本选项说法错误；
D、b＝atanB，本选项说法错误；
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（ ）
A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得，
AC＝ ＝ ＝5，
所以sinB＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，tanB＝ ＝ ，cosB＝ ＝ ，
故选：C．
6．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4，sinA＝ ，那么AC边的长是（ ）
A．6 B． C． D．
【分析】先利用正弦的定义求出AB的长，然后根据勾股定理计算出AC的长．
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，
∴sinA＝ ＝ ，
∴AB＝ BC＝ ×4＝6，
∴AC＝ ＝ ＝2 ．
故选：C．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝ ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】作出图形，根据∠A的余弦设AC＝5k，AB＝13k，利用勾股定理列式求出BC＝12k，再根据锐
角的正弦等于对边比斜边列式即可．
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，cosA＝ ，
∴设AC＝5k，AB＝13k，
根据勾股定理得，BC＝ ＝ ＝12k，
所以，sinA＝ ＝ ＝ ．
故选：D．
8．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义直接得出cos∠ABC等于 ，再求出即可．
【解答】解：作AE⊥BC，
∵BE＝4，AE＝2，
∴AB＝2 ，
∴cos∠ABC＝ ＝ ＝ ，
故选：B．9．如图，P是∠ 的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sin ＝ ，则tan ＝（ ）
α α α
A． B． C． D．
【分析】先由sin ＝ ＝ 求得PQ＝4，OP＝5，再根据正切函数的定义求解可得．
【解答】解：如图，
α
由sin ＝ ＝ 可设PQ＝4a，OP＝5a，
∵OQ＝3，
α
∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，
解得：a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，
则tan ＝ ＝ ，
故选：C．
α
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝
1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）A． B． C． D．3
【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴
于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到 OQ：AO＝
CP：AC＝1：2，根据 P（1，1），得到 PQ＝OQ＝1，得到 AO＝2，根据正切的定义即可得到
tan∠OAP的值．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，sinA＝ ，则BC＝ 3 ．
【分析】根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，可以求得BC的长，根据勾股定理可以求得AC的
长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，sinA＝ ，sinA＝ ，
∴BC＝3．
故答案为：3．
12．一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为 或 ．
【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可．
【解答】解：①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D．
∴BD＝CD＝3cm，
∴cosB＝ ；
②4cm为底边时，
同理可得BD＝CD＝2cm，
∴cosB＝ ＝ ，
故答案为 或 ．
13．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA+cosA＝ ．
【分析】根据tanA＝2和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值．
【解答】解：如图，
∵tanA＝2，
∴设AB＝x，则BC＝2x，
AC＝ ＝ x
则有：sinA+cosA＝ + ＝ + ＝ ．
故答案为： ．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sinB的值是 ．
【分析】令b＝3x，则a＝4x，由勾股定理可得c＝5x，依据正弦的定义即可得到sinB的值．
【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，
令b＝3x，则a＝4x，
由勾股定理可得c＝5x，
所以sinB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于
点P，则tan∠APD的值为 2 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易
得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而
求得答案．
【解答】解：如图 ，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝ CD，BF＝ BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝ CF＝ BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝ ＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2
16．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosB，tanA的值．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
根据勾股定理可得：AC＝4，
∴sinA＝ ，cosB＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件分别求出tanA的值．
（1）BC＝6，AB＝10；
（2）AC：BC＝2：5．
【分析】（1）根据BC和AB的值可以求得AC的值，进而得到tanA的值；（2）根据定义解答即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，
∴ ，
∴tanA＝ ；
（2）∵∠C＝90°，
∴tanA＝ ．
18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的 O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，
ED的延长线与AC的延长线交于点F．
⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若 O的半径为2，BE＝1，求cosA的值．
⊙
⊙
【分析】（1）连接AD、OD，根据AC是圆的直径，即可得到AD⊥BC，再根据三角形中位线定理即可
得到OD∥AB，这得到OD⊥DE，从而求证，DE是圆的切线．
（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解．
【解答】（1）证明：法一、连接AD、OD，
∵AC是直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴D是BC的中点，
又∵O是AC的中点，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是 O的切线．
法二、连接OD，
⊙
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AB＝AC，∴∠OCD＝∠B，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是 O的切线．
（2）解：由（1）知OD∥AE，
⊙
∴∠FOD＝∠FAE，∠FDO＝∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得FC＝2，
∴AF＝6，
∴Rt△AEF中，cos∠FAE＝ ＝ ＝ ＝ ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．求：
（1）sinA，cosB．
（2）cosA，sinB．
（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由．
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（3）根据（1）与（2）问的结果即可得出答案．【解答】解：（1）根据勾股定理可知：AB＝ ，
∴sinA＝ ＝ ，cosB＝ ＝ ．
（2）cosA＝ ＝ ，sinB＝ ＝ ．
（3）由（1）、（2）可知：sinA＝cosB，cosA＝sinB．
20．在如图的直角三角形中，我们知道 sin ＝ ，cos ＝ ，tan ＝ ，∴sin2 +cos2 ＝ + ＝
α α α α α
＝ ＝1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sin ，cos 与tan 之间的关系；
α α α
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知 为锐角，且tan ＝ ，求 的值．
α α
【分析】（1）利用sin ＝ ，cos ＝ ，tan ＝ ，即可得出sin ，cos 与tan 之间的关系；
（2）利用（1）中所求得出2sin ＝cos ，进而代入原式求出即可．
α α α α α α
α α
【解答】解：（1）∵sin ＝ ，cos ＝ ，tan ＝ ，
α α α
∴ ＝ ＝ ，则tan ＝ ；
α
（2）∵tan ＝ ，
α
∴ ＝ ，
∴2sin ＝cos ，
α α
∴ ＝ ＝﹣ ．
