文档内容
第 01 讲 图形的相似
学习目标
1. 掌握相似图形的概念已经相似图形的相关概念，并
①相似图形的相关概念 能够熟练判定相似图形。
②成比例线段 2. 掌握成比例线段的特征，并能够熟练应用其计算。
③平行线分线段成比例 3. 掌握平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其
求线段长度。
知识点01 相似图形
1. 相似图形的概念：
我们把 形状 相同的图形称为相似图形。
或若两个多边形的边数 相同 ，角 对应相等 ，边 对应成比例 ，则这两个多边形是相
似多边形。
相等的角是 对应角 ，成比例的边是 对应边 。
2. 相似多边形的性质：
①对应角 相等 ，对应边的比 相等 ，对应边的比是相似图形的 相似比 。②相似多边形的周长的比等于 相似比 ，相似多边形的面积比等于 相似比的平方 。
题型考点：①判断图像是相似多边形。 ②根据相似多边形的性质求值
【即学即练1】
1．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意；
C、形状不同，不符合相似定义，故此选项符合题意；
D、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意．
故选：C．
【即学即练2】
2．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个正方形 B．两个等边三角形
C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形
【解答】解：A、两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意；
B、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项B不符合题意；
C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意；
D、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选项D符合题意；
故选：D．
【即学即练3】
3．四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A＝70°，∠B′＝108°，∠C′＝92°，则∠D＝ 9 0 度．
【解答】解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠B＝∠B′＝108°，∠C＝∠C′＝92′
四边形ABCD的内角和是360°，
因而∠D＝360°﹣70°﹣108°﹣92°＝90°．
【即学即练4】
4．如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角 、 的大小和EH的长度x．
α β
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∴ ＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，
α∴x：21＝24：18，解得x＝28．
在四边形EFGH中， ＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．
∴∠G＝∠C＝67°．
β
故 ＝83°， ＝81°，x＝28．
α β
【即学即练5】
5．已知两个相似多边形的一组对应边分别是15cm和23cm，它们的周长差40cm，则其中较大多边形的周
长是 11 5 cm．
【解答】解：∵一组对应边分别是15cm和23cm，
∴相似比k＝ ，
设两多边形的周长分别是15x，23x，
根据题意，得23x﹣15x＝40，
解得x＝5，
∴较大多边形的周长是23×5＝115cm．
【即学即练6】
6．若两个相似多边形的面积比为25：36，则它们的对应边的比是（ ）
A．5：6 B．6：5 C．25：36 D．36：25
【解答】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为25：36，
∴对应边的比为5：6，
故选：A．
知识点02 成比例线段
1. 比例线段的概念：
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比 相等 ，
则我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
在判断线段是否成比例线段时，将线段从小到大排列，若前面两条线段的比值等于后面两条线段的比
值，则这四条线段就是比例线段。
题型考点：①判断线段够不够成比例线段。②根据比例线段的性质求值。
【即学即练1】
7．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 D．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8【解答】解：A、1×4≠2×3，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
B、2×5≠3×4，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
C、2×6＝3×4，故此选项中四条线段成比例，符合题意；
D、2×8≠4×6，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，
故选：C．
【即学即练2】
8．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（ ）
A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm
【解答】解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
即a：3＝6：9，
∴a＝2（cm）．
故选：B．
【即学即练3】
9．已知2，a，4，b是一组成比例线段，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝4b B．b＝4a C．a＝2b D．b＝2a
【解答】解：∵2，a，4，b是一组成比例线段，
∴2：a＝4：b，
∴4a＝2b，
即b＝2a．
故选：D．
【即学即练4】
10．若线段a，b，c满足 ，且a＝2，c＝8，则b的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【解答】解：∵ ，a＝2，c＝8，
∴b2＝ac＝2×8＝16，
∵b＞0，
∴b＝4，
故选：A．
知识点03 平行线分线段成比例
1. 平分线分线段成比例的内容：
如图，若两条线段被一组平行线所截，所得到的线段对应 成比例 。即： ； ，等...
2. 推论1：
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线 平行
于三角形的第三边。
3. 推论2：
平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原
三角形的三边 对应成比例 。
题型考点：①判定平行线分线段成比例的性质；②根据平行线分线段成比例以及其推论求值。
【即学即练1】
11．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、AB∥CD∥EF，则 ＝ ，所以A选项错误；
B、AB∥CD∥EF，则 ＝ ，所以B选项错误；
C、AB∥CD∥EF，则 ＝ ，所以 ＝ ，所以C选项正确；
D、AB∥CD∥EF，则 ＝ ，所以 ＝ ，所以D选项错误．故选：C．
【即学即练2】
12．如图，l ∥l ∥l ，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【解答】解：∵l ∥l ∥l ，
1 2 3∴ ＝ ，A错误；
＝ ，B错误；
≠ ，C错误；
＝ ，D正确．
故选：D．
【即学即练3】
13．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为 4 ．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BE＝10，
∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
【即学即练4】
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么CE的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴CE＝4，
故选：A．
【即学即练5】
15．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，
BD＝3，DF＝（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．4.5
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴DF＝ ．
故选：D．
题型01 相似图形的判断
【典例1】
下列和右图相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．【解答】解：A、形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；
B、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误；
C、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误；
D、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误．
故选：A．
【典例2】
下列图形中，是相似形的是（ ）
A．所有平行四边形 B．所有矩形
C．所有菱形 D．所有正方形
【解答】解：A、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．
故选：D．
【典例3】
下列说法中正确的是（ ）
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【解答】解：①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对
应边都成比例，但是它们不一定相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两
个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；
④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．
故选：D．
题型02 相似多边形的性质
【典例1】
一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为 6，则其周长为 66
．
【解答】解：∵一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，
∴两个相似多边形的相似比＝ ＝ ，∴ ＝ ，
解得c＝66．
故答案为：66．
【典例2】
如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为 ycm的纸条、上
下同时剪去宽为xcm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则x与y满
足的关系式为（ ）
A．x＝y B．3x＝5y C．5x＝3y D．4x＝3y
【解答】解：∵剩下的矩形与原来的矩形相似，
∴ ＝ ，
整理得：30y＝40x，
则4x＝3y．
故选：D．
【典例3】
如图，一个矩形ABCD的长AD＝acm，宽AB＝bcm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩
形ABFE与原矩形ABCD相似，则a：b的值是 ．
【解答】解：∵新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，a：b＝ ，
故答案为： ．
【典例4】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠ 、∠ 的大小和EH的长度．
α β
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠ ＝∠B＝83°，∠D＝∠H＝118°，∠ ＝360°﹣（83°+78°+118°）＝81°，EH：AD＝HG：DC，
α β
∴ ＝ ，
∴EH＝28（cm）．
答：∠ ＝83°，∠ ＝81°，EH＝28cm．
α β
题型03 比例线段的判断
【典例1】
下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m
B．30cm，20cm，90cm，60cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm
D．2cm，3cm，4cm，5cm
【解答】解：A、∵0.3×0.9≠0.6×0.5，故此选项不符合题意；
B、∵20×90＝30×60，故此选项符合题意；
C、∵1×4≠2×3，故此选项不符合题意；
D、∵2×5≠3×4，故此选项不符合题意．
故选：B．
【典例2】
a，b，c，d是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是（ ）
A．a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，d＝10cm
B．a＝5cm，b＝3cm，c＝10cm，d＝6cm
C．a＝30cm，b＝2cm，c＝0.8cm，d＝2cm
D．a＝5cm，b＝0.02cm，c＝7cm，d＝0.3cm
【解答】解：A、2×10≠5×5，这四条线段不成比例；
B、3×10＝6×5，这四条线段成比例；
C、30×0.8≠2×2，这四条线段不成比例；
D、0.02×7≠0.3×5，这四条线段不成比例；故选：B．
【典例3】
下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a＝ ，b＝ ，c＝3，d＝
【解答】解：A、2×5≠3×4，故选项错误；
B、1×4＝2×2，故选项正确；
C、4×10≠5×6，故选项错误；
D、 ×3≠ × ，故选项错误．
故选：B．
【典例4】
下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．2，3，4，5 B．1，3，4，10 C．2，3，4，6 D．1，5，3，12
【解答】解：A、∵2×5≠3×4，
∴2，3，4，5不能成比例线段，故不符合题意；
B、∵1×10≠3×4，
∴1，3，4，10不能成比例线段，故不符合题意；
C、∵2:3＝4:6，
∴2，3，4，6成比例线段，故符合题意；
D、∵1×12≠3×5，
∴1，5，3，12不能成比例线段，故不符合题意；
故选：C．
题型04 根据比例线段求值
【典例1】
已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，则d的值是（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
【解答】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，
∴a：b＝c：d，
∴d＝ ＝ ＝4．
故选：B．
【典例2】
已知线段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A．2a＝3b B．a+b＝5 C． D．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本选项错误，不符合题意；
B、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是a+b＝10，故本选项错误，不符合题意；
C、由a：b＝2：3，得 ＝ ，故本选项正确，符合题意；
D、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是 ＝ ，故本选项错误，不符合题意．故选：C．
题型05 平行线分线段成比例求线段
【典例1】
如图，DE∥BC，AD：DB＝1：2，EC＝6，则AE的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE＝3．
故选：A．
【典例2】
如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝3，AE＝7，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
∵AC＝3，AE＝7，
∴CE＝AE﹣AC＝7﹣3＝4，∴ ．
故选：A．
【典例3】
如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，则DE＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，
∴ ，
解得DE＝ ．
故选：B．
【典例4】
如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 A，B，C都在横线上．
若线段BC＝6cm，则线段AC的长是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ，解得：AB＝3，
∴AC＝3+6＝9（cm）．
故选：C．
1．任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等边三角形
【解答】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；
故选：C．
2．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，6 D．1，3，4，7
【解答】解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意；
B、2×5≠4×3，所以B选项不符合题意；
C、1×6＝2×3，所以C选项符合题意；
D、1×7≠3×4，所以D选项不符合题意．
故选：C．
3．若mn＝ab，则下列比例式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由 ＝ 得，mn＝ab，故本选项错误；B、由 ＝ 得，mn＝ab，故本选项错误；
C、由 ＝ 得，mb＝an，故本选项正确；
D、由 ＝ 得，mn＝ab，故本选项错误．
故选：C．
4．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴相似比＝ ＝ ＝2，
故选：C．
5．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点 P是线段AB上一点（AP＞
BP），若满足 ＝ ，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分
割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：∵点P是线段AB上一点（AP＞BP），点P是AB的黄金分割点，
∴AP＝ AB＝ ×8＝4 ﹣4，
∴BP＝8﹣（4 ﹣4）＝12﹣4 ．
故选：A．
6．按照如下步骤进行作图：如图，已知线段AB，过点B作BD⊥AB，使 ，连接DA，在DA上截
取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．则 的值为（ ）A． B． C． D．
【解答】解：设BD＝DE＝a，
∵BD＝ AB，
∴AB＝2BD＝2a，
∵BD⊥AB，
∴∠DBA＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝ a，
∴AE＝AD﹣DE＝ a﹣a＝（ ﹣1）a，
∵AC＝AE，
∴AC＝（ ﹣1）a，
∴ ＝ ＝ ，
故选：B．
7．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ，
设a＝4k则b＝7k，
则 ，
故选：A．
8．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则 等于（ ）
A．3 B． C．2 D．【解答】解：连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，
∴BD＝ a．
∵OD∥AB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故选：B．
9．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D＝90°，∠B'＝108°，∠C'＝92°，则∠A＝ 7 0 °．
【解答】解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠B＝∠B′＝108°，∠C＝∠C′＝92′
四边形ABCD的内角和是360°，
因而∠A＝360°﹣90°﹣108°﹣92°＝70°．
故答案为：70．
10．已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩
形较长的一边长是 ．
【解答】解：设第二个矩形较长的一边长是a，
∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，
∴ ＝ ，
解得：a＝ ，
即第二个矩形较长的一边长是 ，
故答案为： ．
11．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 、l 于点A、B、C和点D、E、F．如果 ，
1 2
那么线段DE的长是 8 ．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ ＝ ＝ ，
∵DF＝20，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
解得：DE＝8，
故答案为：8．
12．开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到 2开纸，再对折得到4开纸，
以此类推可以得到8开纸、16开纸……这些开本纸都是相似的图形，则这些相似的矩形的长与宽的比值
是 ： 1 ．
【解答】解：如图，设矩形ABCD的长AD＝x，宽AB＝y，则DM＝ AD＝ x．
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ ，即 ，
∴x：y＝ ：1，
∴这些相似的矩形的长与宽的比值是 ：1．
故答案为： ：1．13．求值：
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．
【解答】解：（1）∵ ，
∴设b＝2k，a＝3k，
∴ ＝ ＝ ＝﹣ ；
（2）设 ＝k，
∴a＝2k，b＝4k，c＝5k，
∵a+b+c＝22，
∴2k+4k+5k＝22，
解得：k＝2，
∴a＝4，b＝8，c＝10，
∴3a﹣b+2c＝12﹣8+20＝4+20＝24．
14．如图，已知直线l 、l 、l 分别截直线l 于点A、B、C，截直线l 于点D、E、F，且l ∥l ∥l ．
1 2 3 4 5 1 2 3
（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．
【解答】解：（1）∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
∴ ＝ ，
∵AB＝3，BC＝6，DE＝4，∴ ＝ ，
解得：EF＝8；
（2））∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
∴ ＝ ，
∵DE：EF＝2：3，AC＝25，
∴ ＝ ，
解得：AB＝10．
15．阅读下面的材料：
如图1，在线段AB上找一点C（AC＞BC），若BC：AC＝AC：AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，
这时比值为 ，人们把 称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是
一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．
我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E
作EF⊥OE，且 ，连接OF；以F为圆心，EF为半径作弧，交OF于H；再以O为圆心，OH
为半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点．
根据材料回答下列问题：
（1）根据作图，写出图中相等的线段： EF ＝ FH ， OH ＝ OP ；
（2）求点P在数轴上表示的数，并写出 的值．
【解答】解：（1）根据作图，写出图中相等的线段：EF＝FH，OH＝OP；
故答案为：EF＝FH，OH＝OP；
（2）∵EF⊥OE，
∴∠FEO＝90°，
∵OE＝2，EF＝ OE，
∴EF＝ OE＝1，
∴OF＝ ＝ ＝ ，由作图得：EF＝FH＝1，OH＝OP，
∴OH＝OP＝OF﹣FH＝ ﹣1，
∴PE＝OE﹣OP＝2﹣（ ﹣1）＝3﹣ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴点P在数轴上表示的数为 ﹣1， 的值为 ．
