230.2026周洋鑫最后点题班（1）手迹版_已解密_04.2026考研数学周洋鑫数学笑过_00.随课资料

笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛班 核心考点大串讲及高频点预测 @考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 最后一段 加 油！ 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 ◼ 课程设置及时间安排 1.课程安排：2节课、4小时 （1）12月13日（7点—10点）：线性代数、概率统计、无穷级数、数一专项 （2）12月14日（7点—9点） ：高等数学（公共部分）、答题注意点 2.听课指南 （1）课程无讲义，提供ppt，以听为主 （2）听课记重点、做好标注！做标注！！ ⚫ 帮助考前快速回顾一遍核心考点！听到遗忘知识点，做标注 ⚫ 帮助考前快速回顾一遍重点题型！听到高频预测点，做标注 ⚫ 对照标注内容，有方向地做好最后几天的复习 ⚫ PPT中会有标注重点习题（源于真题或110题或模拟）若有问题可再完成下 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 ◼ 最后一周复习方向 1.错题 （1）真题为主，尤其是2016年-2024年真题 （2）强化讲义作为重点辅助资料 （3）模拟题如果没完成，以上面两项为主 2.核心题型方法、公式定理 （跟着这两节课串一遍即可，有问题的重点记忆，21记的复习） 不要贪多，学一个要保证会一个！ 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 线性代数篇 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 ◼ 线性代数16大金考点（3*5+1*5+1*12=32分） 考点 考频 考点 考频 1. 代数余子式 11.方程组解的关系 2. 抽象型行列式计算 12.相似对角化 3. 秩为1的矩阵、正交矩阵 13.二次型 4. 伴随矩阵、逆矩阵 14. 等价、相似与合同 5.矩阵的n次幂问题 15. 正定二次型 6.初等变换（+广义） 16. 向量空间、二次曲面 （数一） 7.矩阵的秩 8.线性相关性 9.抽象型方程组求解 10.非齐次方程组、矩阵 方程及线性表出 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 ◼ 线性代数疑难问题合集？ 1. 如何判定向量组的线性相关性？如何判定矩阵行列向量组线性相关性？ 2. 一个向量被一个向量组表出如何处理？ 3. 一个向量组被一个向量组表出如何处理？ 4. 向量组等价如何处理？矩阵的行列向量组等价如何处理？ 5. 方程组解的关系（某个方程是某个方程的解、公共解、同解） 6. 如何求抽象型方程组的通解？ 7. 一般矩阵相似有什么结论，如何求？搭桥法？ 8. 正交变换法，如何求？搭桥法？ 9. 可逆线性变换法，如何求？搭桥法？ 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 ◼ 线性代数疑难问题合集？ 1. 如何判定向量组的线性相关性？如何判定矩阵行列向量组线性相关性？ 2. 一个向量被一个向量组表出如何处理？ 3. 一个向量组被一个向量组表出如何处理？ 4. 向量组等价如何处理？矩阵的行列向量组等价如何处理？ 5. 方程组解的关系（某个方程是某个方程的解、公共解、同解） 6. 如何求抽象型方程组的通解？ 7. 一般矩阵相似有什么结论，如何求？搭桥法？ 8. 正交变换法，如何求？搭桥法？ 9. 可逆线性变换法，如何求？搭桥法？ 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点1】代数余子式相关问题（5分） ◼ 考法1. 某行（列）代数余子式线性和问题 a a a a 11 12 13 14 a a a a 21 22 23 24 D  4 a a a a 31 32 33 34 a a a a 41 42 43 44 ◼ 考法2. 对角线代数余子式 2026周洋鑫考研数学最后点睛 A 1 1   A 2 2 A 3 3 t r  A    λ k A 1  A 3 1   k 2 A 3 2 k 3 A 3 3 k 4 A 3 4  a a a k 1 2 1 4 1 1 1 a a k a 1 2 2 2 2 4 2 a a k a 1 3 2 3 3 4 3 a a k a 1 4 2 4 4 4 4笔记区 【金考点2】抽象型行列式计算（5分） （看考点21记） 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点2】抽象型行列式计算（5分） （看考点21记） ⚫ 尤其注意与特征值挂钩问题 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点2】抽象型行列式计算（5分） （看考点21记） ⚫ 注意一类特殊考题 𝑻 ∗ （1）𝑨 = 𝒂 𝑨 = 𝑨 𝒊𝒋 𝒊𝒋 𝑻 ∗ （2）𝑨 = −𝒂 𝑨 = −𝑨 𝒊𝒋 𝒊𝒋 【注】若𝑨 = 𝒂 ，且𝐀为非零矩阵时 𝒊𝒋 𝒊𝒋 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点3】秩为1的矩阵 定式思维——见秩为1，立即想到用特征值破题. ◼ 考向1：几个容易混淆的符号 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点3】秩为1的矩阵 定式思维——见秩为1，立即想到用特征值破题. ◼ 考向2：秩为1矩阵的特征值 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点3】秩为1的矩阵 ◼ 考向3：秩为1矩阵的n次幂问题 ◼ 考向4：可否对角化的判定 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点3】正交矩阵 ◼ 正交矩阵的性质 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点4】伴随矩阵与逆矩阵 ◼ 考点1：伴随矩阵（5分） （1）定式思维1：万能公式 （2）定式思维2：伴随矩阵的秩 （3）求𝑨 ∗ 𝒙 = 𝟎的通解问题 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点4】伴随矩阵与逆矩阵（5分） ◼ 考点2：逆矩阵 1.可逆性的判定 若矩阵A可逆 行列式 𝑨 ≠ 𝟎 秩𝐫 𝑨 = 𝒏 矩阵𝐀的行（列）向量组均线性无关 齐次线性方程组Ax=0有非零解 非齐次线性方程组Ax=b有唯一 矩阵𝐀的所有特征值均不为0 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点4】伴随矩阵与逆矩阵（5分） ◼ 考点2：逆矩阵 2.逆矩阵求解 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点4】伴随矩阵与逆矩阵（5分） ◼ 考点2：逆矩阵 3.上下三角分块阵逆矩阵求解（不要背）2023年真题 2026周洋鑫考研数学最后点睛  A C O B  − 1 =  − B A − 1 − C 1 A − 1 B O − 1  广义初等变换yyds！笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点5】矩阵n次幂问题（5分） ◼ 考向1：秩为1矩阵n次幂 ◼ 考向2：二项式定理 23 4 0 3 4       0 2 32E 0 0 3        0 0 2 0 0 0 ◼ 考向3：分块对角阵 n A O  A  n O           O B     O Bn   ◼ 考向4：相似对角化（如果大题出现，大概率是这个！） ◼ 考向5：递归法 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点6】初等变换 定式思维：左行右列、NB表 ◼ 考向1：初等矩阵的缩写（行列一样） ◼ 考向2：左行右列 ◼ 考向3：NB表 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点6】初等变换 【黄金重点1】初等变换的等价说法 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点6】初等变换 【黄金重点1】初等变换的等价说法 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点6】初等变换 【黄金重点2】广义初等变换 1. 行变换左乘、列变换右乘 2. （1）类型1：互换 （2）类型3：倍加 （3）类型3：倍乘（所乘矩阵必须可逆） 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【应用1】求上下三角分块矩阵的逆矩阵 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【应用2】求分块矩阵的秩 方法：初等变换不变秩（行列变换均可） 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【应用2】求分块矩阵的秩 方法：初等变换不变秩（行列变换均可） 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【应用3】判定分块矩阵形式的方程组同解问题 方法：A通过初等行变换到B，则AX=0与BX=0同解 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点7】矩阵的秩 ◼ 1. 定义：最高阶非零子式的阶数 ◼ 2. 定式思维：矩阵不为零，两行不成比例 ◼ 3. 秩的公式（必记！！） 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【注】关于一个秩的公式： 2026周洋鑫考研数学最后点睛 r ( A ) + r ( B ) − n  r ( A B )笔记区 【金考点7】矩阵的秩 ◼ 4. 注意！再注意！ 只有矩阵可以相似对角化，此时矩阵非零特征值个数才等于秩. 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点8】线性相关性 ◼ 考题形式1：让我们判定一个向量组的线性相关性 1. 方法一：定义法 2. 方法二：用秩（第一想法） （𝟏）𝜶 ，𝜶 ， ⋯ 𝜶 线性相关 𝒓 𝜶 ，𝜶 ， ⋯ 𝜶 < 𝒏 𝟏 𝟐 𝒏 𝟏 𝟐 𝒏 （𝟐）𝜶 ，𝜶 ， ⋯ 𝜶 线性无关 𝒓 𝜶 ，𝜶 ， ⋯ 𝜶 = 𝒏 𝟏 𝟐 𝒏 𝟏 𝟐 𝒏 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点8】线性相关性 ◼ 考题形式2：让我们判定一个矩阵的行列向量组的线性相关性 （1）二话不说，求矩阵的秩 （2）方向：判定秩与行数、列数的关系 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点9】抽象型方程组求解 定式思维：二话不说，先求系数矩阵的秩 ◼ 考点1：齐次方程组 （1）求秩 （2）找线性无关的齐次解 ◼ 考点2：非齐次方程组 （1）求秩 （2）找线性无关的齐次解 （3）再找一个的非齐次解 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点10】非齐次方程组、矩阵方程及线性表出 1. 判定 （1）用秩 𝒓 𝑨，𝒃 ≠ 𝒓 𝑨 𝑨𝒙 = 𝒃无解 𝒎×𝒏 𝒓 𝑨，𝒃 = 𝒓 𝑨 = 𝒏 𝑨𝒙 = 𝒃有唯一解 𝒎×𝒏 𝒓 𝑨，𝒃 = 𝒓 𝑨 < 𝒏 𝑨𝒙 = 𝒃有无穷多解 𝒎×𝒏 （2）用行列式 𝑨 ≠ 𝟎 𝑨𝒙 = 𝒃有唯一解 𝒏×𝒏 𝑨𝒙 = 𝒃有无穷多解或无解 𝑨 = 𝟎 𝒏×𝒏 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点10 】非齐次方程组、矩阵方程及线性表出 2. 矩阵方程的求解 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点10 】非齐次方程组、矩阵方程及线性表出 1. 一个向量被一个向量组表出问题 【考】𝜷可否由𝜶 ，𝜶 ， 𝜶 向量组线性表出 𝟏 𝟐 𝟑 记 𝑨 = 𝜶 ，𝜶 ， 𝜶 ，转化为 A x = 𝜷 𝟏 𝟐 𝟑 2. 一个向量组被另一个向量组表出问题 【考】𝜷 ，𝜷 ， 𝜷 可否由𝜶 ，𝜶 ， 𝜶 向量组线性表出 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 记 𝑨 = 𝜶 ，𝜶 ， 𝜶 ， 𝑩 𝜷 ，𝜷 ， 𝜷 转化为AX=B 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点101】向量组等价、方程组同解与公共解 ◼ 考点1：两个向量组等价 向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价 向量组Ⅰ与向量组Ⅱ可以互相表出 r(Ⅰ)=r(Ⅱ) =r(Ⅰ ,Ⅱ) ◼ 考点2：矩阵的行列向量组等价 r(A)=r(B) =r(A，B) 矩阵A与矩阵B列向量组等价 𝑨 r(A)=r(B) =r 矩阵A与矩阵行向量组等价 𝑩 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点11】向量组等价、方程组同解与公共解 ◼ 考向3：方程组同解 1. AX=0与BX=0同解 AX=0的解均为BX=0的解 BX=0的解均为AX=0的解 矩阵A与矩阵B行最简矩阵有效部分相同 矩阵A可以经过行变化到矩阵B（同型时） 矩阵A与矩阵B行向量组等价 秩的判定方法： 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点11】向量组等价、方程组同解与公共解 ◼ 考向3：方程组同解 2. AX=𝜶与BX=𝜷同解 AX=𝜶的解均为BX=𝜷的解 BX=𝜷的解均为AX=𝜶的解 𝑨, 𝜶 与 𝑩, 𝜷 行最简矩阵有效部分相同 矩阵 𝑨, 𝜶 可以经过行变换到矩阵 𝑩, 𝜷 矩阵 𝑨, 𝜶 与矩阵 𝑩, 𝜷 行向量组等价 秩的判定方法： 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点11】向量组等价、方程组同解与公共解 ◼ 考向4：公共解——三种方法 （1）方程组联立法 （2）方程组与通解联立法（找约束关系） （3）通解联立法（找约束关系） 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点11】向量组等价、方程组同解与公共解 ◼ 考向4：包含解问题 见到“AX=0的解均为BX=0的解”你会想到什么？ 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点12】相似对角化 ◼ 考向1：一般矩阵相似对角化 （1）待定参数求解 ⚫ 𝝀 = 𝝀 𝐀 𝐁 ⚫ 𝑨 = 𝑩 ⚫ 𝒕𝒓 = 𝒕𝒓 若𝑨~𝑩 𝐀 𝐁 ⚫ 𝝀𝑬 − 𝑨 = 𝝀𝑬 − 𝑩 ⚫ 𝒓 𝑨 = 𝒓 𝑩 （2）求可逆矩阵，使矩阵对角化 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点12】相似对角化 （3）可否对角化的判定 （1）充要条件 ◼ r重特征值有r个线性无关的特征向量 ◼ A有n个线性无关的特征向量 （2）充分条件 ◼ A有n个不同的特征值 【考】相似对角化判定思路 （1）看是不是实对称 ◼ A为实对称矩阵 （2）看是不是秩为1 （3）二话不说特征值 （3）特殊情况：秩为1的矩阵 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【黄金重点】搭桥法1 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点14】相似对角化 ◼ 考向2：实对称矩阵相似对角化 1. 实对称矩阵的性质 （1）实对称矩阵的特征值均为实数 （2）实对称矩阵的不同特征值对应特征向量是正交的 （3）实对称矩阵一定可以相似对角化 r重特征值有r个线性无关的特征向量 （4）存在正交矩阵Q，使得矩阵相似对角化. 2. 求正交矩阵Q，使得𝐐 𝐓 𝐀𝐐 = 𝜦. 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【黄金重点】搭桥法2 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【黄金重点】相似对角化的应用 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点13】二次型 ◼ 考向1：二次型对应矩阵不是实对称的骗子题！！ 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点13】二次型 ◼ 考向2：正交变换法化标准型 正交变换𝑿 = 𝑸𝒀 𝒇 = 𝑿 𝑻 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑻 𝚲𝒀 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点13】二次型线性变换 ◼ 考向3：正交变换法变换的本质 正交变换𝑿 = 𝑸𝒀 𝒇 = 𝑿 𝑻 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑻 𝑩𝒀 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点13】二次型 ◼ 考向3：二次型经过可逆线性变换的本质 可逆线性变换𝑿 = 𝑷𝒀 𝒇 = 𝑿 𝑻 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑻 𝑩𝒀 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点14】矩阵等价、相似与合同 ◼ 考向1：等价判定 ◼ 考向2：相似判定 ◼ 考向3：合同判定 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点15】正定二次型与正定矩阵 ◼ 考向1：证明正定，先证对称 ◼ 考向2：充要条件 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点16】向量空间（数一） ◼ 考向1：向量空间维数（向量组的秩） ◼ 考向2：向量空间基底（极大无关组） ◼ 考向3：基底变换（过渡矩阵） ◼ 考向4：坐标变换（会推、理解是重点） 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点17】向量空间、二次曲面问题（数一） ◼ 考向：判定二次型涉及曲面 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点17】向量空间、二次曲面问题（数一） ◼ 考向：方程组解的问题 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 【金考点17】向量空间、二次曲面问题（数一） ◼ 考向：方程组解的问题 2026周洋鑫考研数学最后点睛笔记区 2026周洋鑫考研数学最后点睛