(20)--1.9-1.10笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

高等数学精讲
主讲：武忠祥教授第一章 函数与极限
第六节 极限存在法则
两个重要极限
主讲 武忠祥 教授老师简介
主讲人
武忠祥老师
n 李永乐考研团队
核心成员
n 原西安交通大学数学系教授
n 美国爱荷华大学访问学者
n 面向二十一世纪国家级重点教材
《工科数学分析基础》主编
n 曾获国家优秀教材等奖
《考研数学复习全书》
《高等数学辅导讲义》等畅销书主编
n 拥有十余年考研辅导经验老 师 简 介
@武忠祥考研
公众号：武忠祥考研1. 夹逼准则
     
准则 如果数列 及 满足下列条件：
I x , y z
n n n
（1）存在 ，当 n  N 时， x  y  z ；
N
n n n
（2）
lim x  lim z  a,
n n
n n
则
lim y  a.
n
n
 1 1 1 
【例1】求极限 lim    .
 
n n 2  1 n 2  2 n 2  n准则  如果
I
C
（1）当 x U(x ,) 时， f (x)  g(x)  h(x);
0
B
（2） lim f (x)  lim h(x)  a,
xx xx
0 0
则 lim g(x)  a.
x
xx
0 o A
D
1
【例2】求极限 lim （ 2  sin x)x .
x
sin x
【例3】证明极限
lim  1.
x0 x
tan x
【例4】求极限
lim .
x0 x
1  cos x
【例5】求极限
lim .
2
x0 x
arctan x
【例6】求极限
lim .
x0 x2. 单调有界准则
准则II 单调有界数列必有极限.
即单调增(减)有上(下)界的数列必有极限.
1
【例7】 证明极限 lim(1  ) n 存在
n n
1 1 1 1
【证】 (1  ) n  (1 )(1 ) (1 )1
n n n n
n  1  1 1
 ( ) n1  (1  ) n1
n  1 n  1
原数列单调增.
1 1 1 1 1 1 1 n  1  1
(1  ) n   (1  )(1  ) (1  )  ( ) n2  1.
4 n 2 2 n n n n  2
1
(1  ) n  4. 原数列上有界.
n1 1
【例8】 证明极限 lim(1  ) x  e. lim(1  x)x  e
x x
x0内容小结
1.两个极限存在准则
(1) 夹逼准则
(2) 单调有界准则
2.两个重要极限
sin x sin 
(1) lim  1. lim  1 （  0 ）
x0 x x 
1
(2) lim(1  ) x  e
x x
1 1
lim(1  x)x  e lim(1  )  e （  0 ）
x0 0作业
：
P52 1(4) (5) (6);2 (2) (3); 4(2) (3) (5).