(221)--高数强化19笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（19） 19 常数项级数（定义、性质、敛散性的判别法及举例） P204-P216 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第七章 无穷级数 第一节 常数项级数 第二节 幂级数 第三节 傅里叶级数26武忠祥考研 第一节 常数项级数 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）级数的概念与性质 （二）级数的审敛准则 二. 常考题型方法与技巧 题型一 正项级数敛散性的判定 题型二 交错级数敛散性的判定 题型三 任意项级数敛散性的判定26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）级数的概念与性质  1.级数的概念  u  u  u    u   无穷级数 n 1 2 n n1 n  s  u 部分和 n i i1   u  lim s n n n n1 2.级数的性质   1）若  u 收敛于 s, 则  ku 也收敛，且其和为 ks. n n n1 n1    2）若  u 和  v 分别收敛于 s,. 则  (u  v ) n n n n n1 n1 n1 收敛于 s . 【注】 收敛±发散=发散； 发散±发散=不确定26武忠祥考研 3) 在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性. 4) 收敛级数加括号仍收敛且和不变.  5)  u 收敛 lim u  0 n n n n1 （二）级数的审敛准则  (1) 正项级数 (  u ,u  0) n n n1  基本定理：  u 收敛  S 上有界。 n n n1 1)比较判别法：设 u  v , 则 n n    v 收敛   u 收敛 n n n1 n1    u 发散   v 发散 n n n1 n126武忠祥考研 u 2)比较法极限形式：设 lim n  l (0  l  ) n v  n  ①若 0  l  , 则  u 与  v 同敛散. n n n1 n1     ②若 ,则  v 收敛  收敛,  u 发散  发散. l  0  u  v n n n n n1 n1 n1 n1     ③若 l   ,则  v 发散  u 发散.  u 收敛   v 收敛, n n n n n1 n1 n1 n1   1   n 1) 2) aq n p . n1 n1  u  收敛,   1, 3)比值法: 设 lim n1   ,则  u  n 发散,   1, n u n n1   不一定,   1,   收敛,   1, 4)根值法: 设 limn u   ,则  u  n n 发散,   1, n n1   不一定,   1,5)积分判别法: 设 是 上单调减,非负的连续函数，且 f ( x) [1,) a  f (n) n   则  a 与  f ( x)dx 同敛散. n 1 n126武忠祥考研  (2) 交错级数 (  (1) n1 u ,u  0) n n n1 莱不尼兹准则: 若 (1) u 单调减; (2) lim u  0 n n n  则  (1) n1 u 收敛. n n1 (3) 任意项级数 1)绝对收敛与条件收敛概念 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论   ①绝对收敛的级数一定收敛,即  | u | 收敛   u 收敛. n n n1 n1 ②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级 数一定发散.即:   u  | u |  u  | u |  u 条件收敛   n n 和  n n 发散. n 2 2 n1 n1 n126武忠祥考研 题型一 正项级数敛散性的判定 【例1】 判定下列级数的敛散性.   na  n  a n n! 1)    (a  0); 2)  (a  0) n  n  1 n n1 n1    1  3)  (1  cos ); 4) ( p  0) p n nln n n1 n2 na 则 【解】1） lim n u  lim  a, n n n n  1 （1）当 时, 原级数收敛； 0  a  1 （2）当 a  1 时, 原级数收敛； （3）当 时， a  1 n 1 lim u  lim( ) n   0, 原级数发散。 n n n n  1 e26武忠祥考研 【例1】 判定下列级数的敛散性.   na  n  a n n! 1)    (a  0); 2)  (a  0) n  n  1 n n1 n1    1  3)  (1  cos ); 4) ( p  0) p n nln n n1 n2 u a n1 (n  1)! n n n a 【解】2） lim n1  lim   a lim( ) n  n u n (n  1) n1 a n n! n n  1 e n （1）当 0  a  e 时,原级数收敛； （2）当 a  e 时,原级数发散； （3）当 a  e 时， u e u e lim n1  lim  1, n1   1 limu  0 n u n 1 u 1 n n n (1 ) n n (1  ) n n n26武忠祥考研 【例1】 判定下列级数的敛散性.   na  n  a n n! 1)    (a  0); 2)  (a  0) n  n  1 n n1 n1    1  3)  (1  cos ); 4) ( p  0) p n nln n n1 n2  1  【解】3） 1  cos ~ (n  ) 2 n 2 n  1  x 4）  与  dx 同敛散 p p nln n 2 x ln x n226武忠祥考研 【例2】判定下列级数敛散性.  1   1 x  1)   n dx 2)  nn 21  1    0 1  x 2 n1 n1     1 1  3)    ln(1  )  n n  n1 1 lnn ln n ln n n 1 【解】 2 ) nn 2 1  1  e n 2 1  1 ~    n 2  1 n 2 n 2 3 n226武忠祥考研 1  2nsin 【例3】设 limn n  u  1, 试讨论级数  u 的敛散性. n n n n1 1 2nsin 【解】由 lim n n  u  1  0 知，n 充分大时 u  0, 且 n n n u   1 lim n  1, 则  u 与  同敛散. 1 n 1 n n1 n1 2nsin n n 1 2nsin n n 1 1 3 而 lim(2nsin )  2, 则当 n 充分大时有 2n sin  n n n 2 1 1 从而有  1 3 2nsin n n n226武忠祥考研  【例4】设  为正项级数,下列结论正确的是 u n n1  (A) 若 limnu  0 ,则  u 收敛; n n n n1  (B) 若存在非零常数  ,使 lim nu  ,则  u 发散; n n n n1  (C) 若  u 收敛,则 lim n 2 u  0; n n n1 n  (D) 若  u 发散,则存在非零常数  ,使得 limnu  . n n n1 n 【解1】直接法. limnu   0 n n u lim n   0 故应选（B）. 1 n n 【解2】排除法.26武忠祥考研 题型二 交错级数敛散性判定 【例1】 判定下列级数的敛散性  (1) n ln n   (2)  sin( n 2  a 2 ) (1) n n1 n1 ln n ln x 【解】（1） u  , 考虑函数 f (x)  n n x 1 ln x  x 2 x f  (x)  (x  0) x 2  ln x   0, (x  e 2 ) 2x x 1 ln x 2 x lim  lim  lim  0 x x x 1 x x 2 x26武忠祥考研 2）由于 sin( n 2  a 2 )  sin[n ( n 2  a 2  n)]  (1) n sin( n 2  a 2  n) a 2  (1) n sin n 2  a 2  n a 2 单调减且 sin n 2  a 2  n a 2 limsin  0 n n 2  a 2  n26武忠祥考研  【例2】 设正项数列 {a } 单调减少,且  (1) n a 发散,试问 n n n n1   1  级数    是否收敛?为什么?    a  1 n1 n 【解】 由于 a 单调减，且 a  0, 即下有界，则 lim a 存在， n n n n 设 lim a  a, 则 a  0, 若 a  0, 由 莱不尼兹准则知级数 n n   (1) n a 收敛，这与题设矛盾，因此 a  0 n n1 1 1 lim n u  lim   1 n n n a  1 a  1 n  1 则级数  收敛. (a  1) n n1 n26武忠祥考研 题型三 任意项级数敛散性判定   【例1】判定  2 的敛散性. n tan sin(n!) n 2 n1   【解】 | n 2 tan sin(n!) | n 2 tan n n 2 2   tan ~ n n 2 2    n 2 则级数  n 2 tan 与  同敛散. n n 2 2 n1 n1 (n n) 2 1 lim n u  lim   1 n n n 2 2  n 2  则 收敛,则原级数绝对收敛,故原级数收敛. n 2 n126武忠祥考研  1 【例2】讨论  是绝对收敛,条件收敛还是发散? n p a n n1 1 1 【解】 lim | a n n p | , n a n1 (n  1) p a 1）当 时,原级数绝对收敛. a  1 2）当 时,原级数发散。 0  a  1 1 1 1 当  1 由于 n 充分大时，  a n1 (n  1) p a n n p a 1 1  1 则  0, 从而  0, 故级数  发散. n p a n n p n p a n a n n1 3）当 a  1 时，26武忠祥考研  k  n 【例3】设常数 k  0 ,则级数  (1) n 2 n n1 （A）发散; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛; (D) 收敛与发散与 取值有关. k  k  n  (1) n  (1) n 【解】  (1) n  k    2 2 n n n n1 n1 n126武忠祥考研  【例4】 设常数  0, 且级数 a 2 收敛，则级数 n n1  | a |  (1) n n n 2   n1 (A) 发散; (B) 条件收敛; (C) 绝对收敛; (D) 敛散性与 有关.  a a 1 1 【解】 (1) n n  n  (a 2  ) n 2   n 2   2 n n 2  26武忠祥考研 1 【例5】 设 0  a  ,(n  1,2,) 则下列级数中肯定收敛的是 n n   (A)  a ; (B)  (1) n a ; n n n1 n1   (C)  a ; (D)  (1) n a 2 n n n1 n1 1 1 【解1】 直接法. 由 0  a  知， | (1) n a 2 | a 2  n n n n 2 n 【解2】 排除法.26武忠祥考研  【例6】设级数  u 收敛,则必收敛的级数为 n n1  u  (A)  (1) n n (B)  u 2 n n n1 n1   (C)  (u  u ) (D)  (u  u ) 2n1 2n n n1 n1 n1 【解1】直接法 【解2】排除法26武忠祥考研 n 【例7】设 u  0, (n  1,2,  ) 且 lim  1 ,则级数 n n u n  1 1  (1) n1 (  ) u u n1 n n1 (A) 发散; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛; (D) 敛散性不定. 1 1 (1) n1 (  ) u u n n 【解】 l im n n1  lim(  )  2  0 n 1 n u u n n1 n  1 1 则  (1) n1 (  ) 发散， u u n1 n n126武忠祥考研 n 1 n 1 由 u  0, lim  1 知， lim  lim   0 n n u n u n u n n n n n 1 1 令 S   (1) k1 (  ) n u u k1 k k1 1 1 1 1 1 1 1 1  (  )  (  )  (  )    (1) n1 (  ) u u u u u u u u 1 2 2 3 3 4 n n1 1 (1) n1   u u 1 n1 故原级数条件收敛.题型四 证明题与综合题 26武忠祥考研   【例1】设级数  (a  a ) 收敛,  b 绝对收敛,证明级数 n1 n n n1 n1   绝对收敛. a b n n n1  【证】由于  (a  a ) 收敛知 n1 n n1 S  (a  a )  (a  a )    (a  a )  a  a n 2 1 3 2 n1 n n1 1 有极限,从而数列 收敛,则存在 使 {a } M  0, n | a | M (n  1,2,) n 从而有 a b  M b n n n26武忠祥考研 【例3】设 f ( x) 在 [a,b] 上可导,且 | f  ( x) | h  1, 对一切 x [a,b], 有 a  f ( x)  b, 令 u  f (u ), (n  1,2,), 其中 n n1  u [a,b] ,证明  (u  u ) 绝对收敛. 0 n1 n n1 【证】 由于 | u  u || f (u )  f (u ) | | f  ( ) | | u  u | n1 n n n1 1 n n1  h | u  u | n n1  h 2 | u  u | n1 n2  h n | u  u | 1 026武忠祥考研 1 1 【例4】 设 a  2, a  (a  ), (n  1,2,) 1 n1 n 2 a n  a 证明 (1) lim a 存在; (2)  ( n  1) 收敛. n a n n1 n1 1 1 1 【证】（1）因为 a  (a  )  a   1, 则 a 下有界. n1 n n n 2 a a n n a 1 1 1 1 又 n1  (1  )  (1  )  1 2 a 2 a 2 1 n n a a  a （2） 0  n 1  n n1  a  a n n1 a a n1 n1 n 记 S   (a  a )  a  a n k k1 1 n1 k126武忠祥考研 【例6】设 f ( x) 在点 x  0 的某邻域内具有二阶连续导数,且 f (x)  1 lim  0 ,证明级数  f ( ) 绝对收敛. x0 x n n1 f ( x) 【证1】 由 lim  0 知， f (0)  0, 且 f  (0)  0 x0 x f  (x) f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2 (0  1) 2! f  (x)  M(x [,]) 1 M 1 f ( )  2 n 2 n 1 f ( ) f (x) f  (x) f  (x) f  (0) n | f  (0) | 【证2】 lim  lim  lim  lim  x0 x 2 x0 2x x0 2 2 n 1 2 2 n26武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！