(221)--高数强化19笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（19）
19 常数项级数（定义、性质、敛散性的判别法及举例） P204-P216
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
第七章 无穷级数
第一节 常数项级数
第二节 幂级数
第三节 傅里叶级数26武忠祥考研
第一节 常数项级数
本节内容要点
一. 考试内容要点精讲
(一）级数的概念与性质
（二）级数的审敛准则
二. 常考题型方法与技巧
题型一 正项级数敛散性的判定
题型二 交错级数敛散性的判定
题型三 任意项级数敛散性的判定26武忠祥考研
一. 考试内容要点精讲
（一）级数的概念与性质

1.级数的概念  u  u  u    u   无穷级数
n 1 2 n
n1
n

s  u 部分和
n i
i1


u  lim s
n n
n
n1
2.级数的性质
 
1）若  u 收敛于 s, 则  ku 也收敛，且其和为
ks.
n n
n1 n1
  
2）若  u 和  v 分别收敛于 s,. 则  (u  v )
n n n n
n1 n1 n1
收敛于 s .
【注】 收敛±发散=发散； 发散±发散=不确定26武忠祥考研
3) 在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性.
4) 收敛级数加括号仍收敛且和不变.

5)  u 收敛 lim u  0
n n
n
n1
（二）级数的审敛准则

(1) 正项级数 (  u ,u  0)
n n
n1

基本定理：  u 收敛  S 上有界。
n n
n1
1)比较判别法：设 u  v , 则
n n
 
 v 收敛   u 收敛
n n
n1 n1
 
 u 发散   v 发散
n n
n1 n126武忠祥考研
u
2)比较法极限形式：设
lim n  l (0  l  )
n v
 n 
①若 0  l  , 则  u 与  v 同敛散.
n n
n1 n1
 
 
②若 ,则  v 收敛  收敛,  u 发散  发散.
l  0  u  v
n n
n n
n1
n1
n1
n1
   
③若 l   ,则  v 发散  u 发散.  u 收敛   v 收敛,
n n n n
n1 n1 n1 n1
 
1
  n
1) 2) aq
n p .
n1 n1

u  收敛,   1,
3)比值法: 设 lim n1   ,则  u 
n 发散,   1,
n u
n
n1 
 不一定,   1,


收敛,   1,
4)根值法: 设 limn u   ,则  u

n n 发散,   1,
n
n1 

不一定,   1,5)积分判别法: 设 是 上单调减,非负的连续函数，且
f ( x) [1,) a  f (n)
n


则  a 与  f ( x)dx 同敛散.
n
1
n126武忠祥考研

(2) 交错级数 (  (1) n1 u ,u  0)
n n
n1
莱不尼兹准则: 若 (1) u 单调减; (2) lim u  0
n n
n

则  (1) n1 u 收敛.
n
n1
(3) 任意项级数
1)绝对收敛与条件收敛概念
2)绝对收敛和条件收敛的基本结论
 
①绝对收敛的级数一定收敛,即  | u | 收敛   u 收敛.
n n
n1 n1
②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级
数一定发散.即:
  u  | u |  u  | u |
 u 条件收敛   n n 和  n n 发散.
n
2
2
n1 n1 n126武忠祥考研
题型一 正项级数敛散性的判定
【例1】 判定下列级数的敛散性.
  na  n  a n n!
1)    (a  0); 2)  (a  0)
n
 n  1 n
n1 n1

  1

3)  (1  cos ); 4) ( p  0)
p
n nln n
n1 n2
na
则
【解】1） lim n u  lim  a,
n n n n  1
（1）当 时, 原级数收敛；
0  a  1
（2）当 a  1 时, 原级数收敛；
（3）当 时，
a  1
n 1
lim u  lim( ) n   0, 原级数发散。
n n n n  1 e26武忠祥考研
【例1】 判定下列级数的敛散性.
  na  n  a n n!
1)    (a  0); 2)  (a  0)
n
 n  1 n
n1 n1

  1

3)  (1  cos ); 4) ( p  0)
p
n nln n
n1 n2
u a n1 (n  1)! n n n a
【解】2） lim n1  lim   a lim( ) n 
n u n (n  1) n1 a n n! n n  1 e
n
（1）当 0  a  e 时,原级数收敛；
（2）当 a  e 时,原级数发散；
（3）当 a  e 时，
u e u e
lim n1  lim  1, n1   1 limu  0
n u n 1 u 1 n n
n (1 ) n n (1  ) n
n n26武忠祥考研
【例1】 判定下列级数的敛散性.
  na  n  a n n!
1)    (a  0); 2)  (a  0)
n
 n  1 n
n1 n1

  1

3)  (1  cos ); 4) ( p  0)
p
n nln n
n1 n2
 1 
【解】3）
1  cos ~ (n  )
2
n 2 n

1  x
4）  与  dx 同敛散
p p
nln n 2 x ln x
n226武忠祥考研
【例2】判定下列级数敛散性.
 1 
 1 x 
1)   n dx 2)  nn 21  1 
 
0 1  x 2
n1 n1  
  1 1 
3)    ln(1  )
 n n 
n1
1 lnn
ln n ln n n 1
【解】 2 ) nn 2 1  1  e n 2 1  1 ~   
n 2  1 n 2 n 2 3
n226武忠祥考研
1 
2nsin
【例3】设 limn n  u  1, 试讨论级数  u 的敛散性.
n n
n
n1
1
2nsin
【解】由 lim n n  u  1  0 知，n 充分大时 u  0, 且
n n
n
u   1
lim n  1, 则  u 与  同敛散.
1 n 1
n n1 n1 2nsin
n n
1
2nsin
n n
1 1 3
而 lim(2nsin )  2, 则当 n 充分大时有 2n sin 
n n n 2
1 1
从而有 
1 3
2nsin
n n n226武忠祥考研

【例4】设  为正项级数,下列结论正确的是
u
n
n1

(A) 若 limnu  0 ,则  u 收敛;
n n
n
n1

(B) 若存在非零常数  ,使 lim nu  ,则  u 发散;
n n
n
n1

(C) 若  u 收敛,则 lim n 2 u  0;
n
n
n1 n

(D) 若  u 发散,则存在非零常数  ,使得 limnu  .
n n
n1
n
【解1】直接法. limnu   0
n
n
u
lim n   0 故应选（B）.
1
n
n
【解2】排除法.26武忠祥考研
题型二 交错级数敛散性判定
【例1】 判定下列级数的敛散性
 (1) n ln n 
 (2)  sin( n 2  a 2 )
(1)
n
n1
n1
ln n ln x
【解】（1） u  , 考虑函数 f (x) 
n
n x
1 ln x

x 2 x
f  (x)  (x  0)
x
2  ln x
  0, (x  e 2 )
2x x
1
ln x 2
x
lim  lim  lim  0
x x x 1 x x
2 x26武忠祥考研
2）由于
sin( n 2  a 2 )  sin[n ( n 2  a 2  n)]
 (1) n sin( n 2  a 2  n)
a
2
 (1) n sin
n 2  a 2  n
a
2
单调减且
sin
n 2  a 2  n
a
2
limsin  0
n n 2  a 2  n26武忠祥考研

【例2】 设正项数列 {a } 单调减少,且  (1) n a 发散,试问
n n
n
n1
  1 
级数    是否收敛?为什么?
 
 a  1
n1
n
【解】 由于 a 单调减，且 a  0, 即下有界，则 lim a 存在，
n n n n
设 lim a  a, 则 a  0, 若 a  0, 由 莱不尼兹准则知级数
n
n

 (1) n a 收敛，这与题设矛盾，因此 a  0
n
n1
1 1
lim n u  lim   1
n
n n a  1 a  1
n
 1
则级数  收敛.
(a  1) n
n1
n26武忠祥考研
题型三 任意项级数敛散性判定
 
【例1】判定  2 的敛散性.
n tan sin(n!)
n
2
n1
 
【解】 | n 2 tan sin(n!) | n 2 tan
n n
2 2
 
tan ~
n n
2 2
   n 2
则级数  n 2 tan 与  同敛散.
n n
2 2
n1 n1
(n n) 2 1
lim n u  lim   1
n
n n 2 2
 n 2

则 收敛,则原级数绝对收敛,故原级数收敛.
n
2
n126武忠祥考研
 1
【例2】讨论  是绝对收敛,条件收敛还是发散?
n p
a n
n1
1 1
【解】 lim | a n n p | ,
n a n1 (n  1) p a
1）当 时,原级数绝对收敛.
a  1
2）当 时,原级数发散。
0  a  1
1 1
1
当  1 由于 n 充分大时， 
a n1 (n  1) p a n n p
a
1 1  1
则  0, 从而  0, 故级数  发散.
n p
a n n p n p
a n a n
n1
3）当 a  1 时，26武忠祥考研
 k  n
【例3】设常数 k  0 ,则级数  (1) n
2
n
n1
（A）发散; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛; (D) 收敛与发散与 取值有关.
k
 k  n  (1) n  (1) n
【解】  (1) n  k   
2 2
n n n
n1 n1 n126武忠祥考研

【例4】 设常数
 0,
且级数
a
2 收敛，则级数
n
n1
 | a |
 (1) n n
n 2  
n1
(A) 发散; (B) 条件收敛;
(C) 绝对收敛; (D) 敛散性与 有关.

a a 1 1
【解】 (1) n n  n  (a 2  )
n 2   n 2   2 n n 2  26武忠祥考研
1
【例5】 设 0  a  ,(n  1,2,) 则下列级数中肯定收敛的是
n
n
 
(A)  a ; (B)  (1) n a ;
n n
n1
n1
 
(C)  a ; (D)  (1) n a 2
n n
n1 n1
1
1
【解1】 直接法. 由 0  a  知， | (1) n a 2 | a 2 
n n n n 2
n
【解2】 排除法.26武忠祥考研

【例6】设级数  u 收敛,则必收敛的级数为
n
n1
 u 
(A)  (1) n n (B)  u 2
n
n
n1 n1
 
(C)  (u  u ) (D)  (u  u )
2n1 2n n n1
n1 n1
【解1】直接法
【解2】排除法26武忠祥考研
n
【例7】设 u  0, (n  1,2,  ) 且 lim  1 ,则级数
n
n u
n
 1 1
 (1) n1 (  )
u u
n1
n n1
(A) 发散; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛; (D) 敛散性不定.
1 1
(1)
n1
(  )
u u n n
【解】 l im n n1  lim(  )  2  0
n 1 n u u
n n1
n
 1 1
则  (1) n1 (  ) 发散，
u u
n1
n n126武忠祥考研
n 1 n 1
由 u  0, lim  1 知， lim  lim   0
n
n u n u n u n
n n n
n 1 1
令 S   (1) k1 (  )
n
u u
k1
k k1
1 1 1 1 1 1 1 1
 (  )  (  )  (  )    (1)
n1
(  )
u u u u u u u u
1 2 2 3 3 4 n n1
1 (1)
n1
 
u u
1 n1
故原级数条件收敛.题型四 证明题与综合题 26武忠祥考研
 
【例1】设级数  (a  a ) 收敛,  b 绝对收敛,证明级数
n1 n n
n1 n1

 绝对收敛.
a b
n n
n1

【证】由于  (a  a ) 收敛知
n1 n
n1
S  (a  a )  (a  a )    (a  a )  a  a
n 2 1 3 2 n1 n n1 1
有极限,从而数列 收敛,则存在 使
{a } M  0,
n
| a | M (n  1,2,)
n
从而有
a b  M b
n n n26武忠祥考研
【例3】设 f ( x) 在 [a,b] 上可导,且 | f  ( x) | h  1, 对一切
x [a,b], 有 a  f ( x)  b, 令 u  f (u ), (n  1,2,), 其中
n n1

u [a,b] ,证明  (u  u ) 绝对收敛.
0 n1 n
n1
【证】 由于
| u  u || f (u )  f (u ) | | f  ( ) | | u  u |
n1 n n n1 1 n n1
 h | u  u |
n n1
 h 2 | u  u |
n1 n2
 h n | u  u |
1 026武忠祥考研
1 1
【例4】 设 a  2, a  (a  ), (n  1,2,)
1 n1 n
2 a
n
 a
证明 (1) lim a 存在; (2)  ( n  1) 收敛.
n a
n
n1
n1
1 1 1
【证】（1）因为 a  (a  )  a   1, 则 a 下有界.
n1 n n n
2 a a
n n
a 1 1 1 1
又 n1  (1  )  (1  )  1
2
a 2 a 2 1
n n
a a  a
（2） 0  n 1  n n1  a  a
n n1
a a
n1 n1
n
记 S   (a  a )  a  a
n k k1 1 n1
k126武忠祥考研
【例6】设 f ( x) 在点 x  0 的某邻域内具有二阶连续导数,且
f (x)  1
lim  0 ,证明级数  f ( ) 绝对收敛.
x0 x n
n1
f ( x)
【证1】 由 lim  0 知， f (0)  0, 且 f  (0)  0
x0 x
f  (x)
f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2 (0  1)
2!
f  (x)  M(x [,])
1 M 1
f ( ) 
2
n 2 n
1
f ( )
f (x) f  (x) f  (x) f  (0) n | f  (0) |
【证2】 lim  lim  lim  lim 
x0 x 2 x0 2x x0 2 2 n 1 2
2
n26武忠祥考研
祝同学们
考研路上一路顺利！