(222)--高数强化20笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（20）
20 幂级数（概念、性质、函数展开为幂级数，级数求和及举例） P216-P228
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
第二节 幂级数
本节内容要点
一. 考试内容要点精讲
(一）收敛半径 收敛区间 收敛域
（二）幂级数的性质
（三）函数的幂级数展开
二. 常考题型方法与技巧
题型一 求收敛区间及收敛域
题型二 将函数展开为幂级数
题型三 级数求和26武忠祥考研
一. 考试内容要点精讲
（一）收敛半径 收敛区间 收敛域
定理1 (阿贝尔定理)

(1)若  a x n 当 x  x (x  0) 时收敛,则当 | x || x | 时，
n 0 0 0
n1

 n 绝对收敛.
a x
n
n1
 
(2)若  a x n当 x  x 时发散,则当 | x || x | 时， a x n发散.
n 0 0 n
n1 n1

 n
【注】若幂级数 a x 在点 x  x 处条件收敛，则点 x
n 0 0
n0
必为该幂级数收敛区间 (R, R) 的一个端点.a
1
定理3 如果 lim n1  , 则 R  .  
n a   a x n  a (x  x ) n
n n n 0
1 n0 n0
定理4 如果 lim n | a |  , 则 R  .
n
n 
（二）幂级数的性质
1)有理运算性质
 
设  a x n 的收敛半径为 R ,  b x n 的收敛半径为 R ,
n 1 n 2
n0 n0
 
令 R  min R , R ，则当 x  (R, R)
1 2
  
（1)加减法：  a x n   b x n   (a  b )x n
n n n n
n0 n0 n0
  
（2)乘法： (  a x n ) (  b x n )   c x n
n n n
n0 n0 n0
c  a b  a b    a b
n 0 n 1 n1 n 026武忠祥考研

 n
a x
n 
（3）除法: n  0   c x n ,
 n

b x
n n0
n
n0
2) 分析性质

设幂级数  a x n 的 收敛半 径为 R ,和函数为 S(x). 则
n
n0
(1)连续性:和函数 在其收敛域上连续;
S(x)
(2)可导性:和函数 在 (R, R) 上可导,且可逐项求导,
S(x)
半径不变.即

    
S  (x)    a x n    (a x n )    na x n1
n n n
 
n0 n0 n026武忠祥考研
(3)可积性:和函数 在其收敛域上可积,且可逐项积分,
S(x)
半径不变.即
  
1
x x x
 S(x)d x    a x n d x    a x n d x   a x n1 .
n n n
0 0 0 n  1
n0 n0 n0
（三）函数的幂级数展开
定理1 如果函数 f (x) 在区间 (x  R, x  R) 上能展开为
0 0

x  x 的幂级数 f (x)   a (x  x ) n , 则展开式是唯一的.
0 n 0
n0
 (n)
f (x )
 0 (x  x ) n
0
n!
n0
f (x) 在 x  x 处的泰勒级数.
026武忠祥考研
 (n)
f (x )
定理2 设 f (x) 在 x  x 处任意阶可导,则  0 (x  x ) n
0 n! 0
n0
在 (x  R, x  R) 上收敛于 f (x)  lim R ( x)  0.
0 0 n
n
f (n1) ()
其中 R ( x)  ( x  x ) n1 为 f (x) 在 x 处的泰勒公式
n (n  1)! 0 0
n f (k) (x )
f (x)   0 (x  x ) k  R (x)
0 n
k!
k0
中的余项.26武忠祥考研
几个常用的展开式

1
(1)  1  x  x 2    x n     x n
(1  x  1)
1  x
n0
2 n  n
x x x
(2) e x  1  x         (  x  )
2! n! n!
n0
x 3 (1) n x 2n1  (1) n x 2n1

(3) sin x  x        (  x  )
3! (2n  1)! (2n  1)!
n0
x 2 (1) n x 2n  x 2n
(4) cos x  1         (  x  )
2! (2n)! (2n)!
n0
x 2 (1) n1 x n  (1) n1 x n
(5) ln(1  x)  x         (1  x  1)
2 n n
n1
( 1) ( 1)( n  1)
(6) (1  x)   1 x  x 2    x n   (1  x  1)
2! n!26武忠祥考研
函数展开为幂级数的两种方法
1）直接展开法
 (n)
f (x )
第一步 f (x) ~  0 (x  x ) n
0
n!
n0
f (n1) ()
第二步 考查 lim R ( x)  lim ( x  x ) n1  0 是否成立.
n n n (n  1)! 0
2）间接展开法
根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开
式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导，逐项积分）
及变量代换等方法，求得所给函数的展开式.26武忠祥考研
题型一 求收敛区间及收敛域
【例1】 求下列幂级数的收敛域
 nx n  3 n  (2) n
(1)  (1) n (2)  ( x  1) n
n! n
n1 n1
 n  [3  (1) n ] n
(3)  (1) n ( x  1) 2n (4)  x n
2 n n
n1 n1
n n 1
【解】（ 3）
lim n | a |  lim  , R  2
n
n n 2 2

当 x  1   2 时,原级数为  (1) n n 发散.
n1
则原幂级数收敛域为
(1 2,1 2).
3  (1) n
（4） lim n | a |  lim 不存在，
n n n n n
a [3  (1)
n1
]
n1
n
lim n1  lim 
n a n n  1 [3  (1) n ] n
n26武忠祥考研
 2
2k1
1
 x 2k1 R 
1
2k  1 2
k1
 4 2k 1
 2k R 
x
2
2k 4
k1
1
则原幂级数收敛半径为
R  .
4
1  2 2k1  4 2k
当 x   时， x 2k1 收敛，  x 2k 发散，
4 2k  1 k1 2k
k1
1 1
则原幂级数发散,故原幂级数收敛域为 ( , ).
4 426武忠祥考研

【例2】 设幂级数  a ( x  1) n 在 x  0 收敛,在 x  2 发散,
n
n1
则该幂级数收敛域为 __________.26武忠祥考研
 (x  a) n 
【例3】设  在 x  2 处条件收敛，则  n 2 (x  a) n
n
n1 n1
1
在 x  ln 处
2
（A）绝对收敛 （B）条件收敛
（C）必发散 （D）敛散性由 确定
a26武忠祥考研
题型二 将函数展开为幂级数
【例1】 将下列函数展开为 的幂级数.
x
3x
(1) f ( x) 
2  x 2
12  5x
(2) f (x) 
6  5x  x 2
5x  12 6 1
  
(x  6)(x  1) x  6 x  1
1  x
(3)
f (x)  arctan
1  x
(4) f (x)  xarctan x  ln 1 x 226武忠祥考研
1 1  x 1
(5)
f (x)  ln  arctan x  x
4 1  x 2
1
f  (x)   1
1  x 4
(6) f (x)  ln(1 x  2x 2 )  ln(1 x)(1 2x)
(7) f (x)  ln(1  x  x 2  x 3  x 4 )26武忠祥考研
【例2】 将下列函数在指定点处展开为幂级数.

(1) f ( x )  sin x 在 x  处;
4
2  
f ( x)  [sin( x  )  cos( x  )]
2 4 4
1
(2) f (x)  在 x  1 处;
x 2  3x  2
1
(3) f (x)  在 x  1 处.
(x  2) 2【例3】将 f (x)  x 2 ln(1 x) 展开为 x 的幂级数,并求 f (n) (0)(n  2).
 (1) n1 x n
【解】 ln(1  x)   , x  (1,1]
n
n1
 (1)
n1
x
n2
f (x)  x 2 ln(1  x)  
n
n1
(1) n3 (1) n1
a   (n  2)
n n  2 n  2
f (n) (0) (1) n1

n! n  2
(1) n1 n!
f (n) (0)  (n  2)
n  2sin x
26武忠祥考研
 , x  0
【例4】 设 f (x)   x ,求 f (n) (0).
  1, x  0
 (1) n x 2n1
【解】 sin x  
(2n  1)!
n0
sin x  (1) n x 2n

f (x)   (x  0)
x (2n  1)!
n0
 (1) n x 2n

f (x) 
(2n  1)!
n0
(1) n f (2n) (0) (1) n
a   , f (2n) (0) 
2n
(2n  1)! (2n)! 2n  1
(2n1)
f (0)
a  0  f (2n1) (0)  0
2n1
(2n  1)!26武忠祥考研
题型三 级数求和
【例1】求下列幂级数的和函数
 x n  2n  1
(1)  (2)  x 2n2
n(n  1) 2 n
n1 n1
 n 2  1  n  1
(3)  x n (4)  (1) n x 2n1
2 n n! (2n  1)!
n0 n0
 x n
【解】（1） 令 S(x)   x [1,1]
n(n  1)
n1
当 0  x  1 时，
 n  n  n  n
x x x x
   
S(x)      ln(1  x) (1  x  1)
n(n  1) n n  1 n
n1 n1 n1 n1
1 1
  ln(1  x)  [ ln(1  x)  x]  1  (  1)ln(1  x)
x x26武忠祥考研
【例1】求下列幂级数的和函数
 x n  2n  1
(1)  (2)  x 2n2
n(n  1) 2 n
n1 n1
 n 2  1  n  1
(3)  x n (4)  (1) n x 2n1
2 n n! (2n  1)!
n0 n0
 n  1
【解】（4）令 S(x)   (1) n x 2n1 x  (,)
(2n  1)!
n026武忠祥考研
【例2】求下列常数项级数的和.
 1  (1) n (n 2  n  1)
(1 )  (2) 
(n 2  1)2 n 2 n
n2 n0
 n  n  n
x 1 x 1 x
【解】   
S(x)   
(n 2  1) 2 n  1 2 n  1
n2 n2 n2 x 2n 26武忠祥考研
【例3】求幂级数  的和函数.
(2n)!
n0
 x n x 2 x n
【解1】 e x    1  x      
n! 2! n!
n0
 (1) n x n x 2 (1) n x n
e x    1  x      
n! 2! n!
n0
x 2 x 2n  x 2n
e x  e x  2(1      )  2 
2! (2n)! (2n)!
n0
 x 2n e x  e x
故  
(2n)! 2
n0
 x 2n x 2 x 4 x 2n
【解2】令 S(x)    1       
(2n)! 2! 4! (2n)!
n0
 x 2n1 x 3 x 2n1
S  (x)    x      
(2n  1)! 3! (2n  1)
n1
2 n
x x
S(x)  S  (x)  1  x        e x
2! n!26武忠祥考研
n
【例4】设 a   x | sin x | dx (n  1,2,) ,求极限
n
0
 a a a 
lim 1  2    n 
2 n
n 2 2 2 
n
【解】 a   x | sin x | dx (x  n t)
n
0
n n
  (n t)sin tdt  n sin tdt  a
n
0 0
n
n n
2

a   sin tdt   sin tdt  n 2
n
2 0 2 0
 x  x 2
令 S(x )   n 2 x n , 易求得 S(x) 
(1  x) 3
n1
 a a a  1
lim 1  2    n   S( )  6
n 2 2 2 2 n  2 26武忠祥考研
【例5】设 a a  1,a  a  a (n  2,3,) ,试证  a x n1
1 2 n1 n n1 n
n1
1
在
| x | 处必收敛,并求其和函数.
2
【解】由 a  a  1 及 a  a  a 知 单调增,即 a  a
{a }
1 2 n1 n n1 n1 n
n
a n1  a n  a n1  a  a  2a  2 2 a    2 n1 a  2 n1
n n n n1 2
1
a  2 n2 (n  4,5,)  a x n1  2 n2 x n1  (2x) n1
n n
2

1
则级数  n1 在 处收敛.
a x
x 
n
n1 2
 1 1
令 S ( x)   a x n1 (x  ( , ))
n
2 2
n1



 1  x 

a x
n1
 1  x   a x n  1  x   (a  a )x n
n n1
n n1
n3
n2
n2
 1 x  x[S(x)  a ] x 2 S(x)  1  (x  x 2 )S(x)
126武忠祥考研
祝同学们
考研路上一路顺利！