(222)--高数强化20笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（20） 20 幂级数（概念、性质、函数展开为幂级数，级数求和及举例） P216-P228 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第二节 幂级数 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）收敛半径 收敛区间 收敛域 （二）幂级数的性质 （三）函数的幂级数展开 二. 常考题型方法与技巧 题型一 求收敛区间及收敛域 题型二 将函数展开为幂级数 题型三 级数求和26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）收敛半径 收敛区间 收敛域 定理1 (阿贝尔定理)  (1)若  a x n 当 x  x (x  0) 时收敛,则当 | x || x | 时， n 0 0 0 n1   n 绝对收敛. a x n n1   (2)若  a x n当 x  x 时发散,则当 | x || x | 时， a x n发散. n 0 0 n n1 n1   n 【注】若幂级数 a x 在点 x  x 处条件收敛，则点 x n 0 0 n0 必为该幂级数收敛区间 (R, R) 的一个端点.a 1 定理3 如果 lim n1  , 则 R  .   n a   a x n  a (x  x ) n n n n 0 1 n0 n0 定理4 如果 lim n | a |  , 则 R  . n n  （二）幂级数的性质 1)有理运算性质   设  a x n 的收敛半径为 R ,  b x n 的收敛半径为 R , n 1 n 2 n0 n0   令 R  min R , R ，则当 x  (R, R) 1 2    （1)加减法：  a x n   b x n   (a  b )x n n n n n n0 n0 n0    （2)乘法： (  a x n ) (  b x n )   c x n n n n n0 n0 n0 c  a b  a b    a b n 0 n 1 n1 n 026武忠祥考研   n a x n  （3）除法: n  0   c x n ,  n  b x n n0 n n0 2) 分析性质  设幂级数  a x n 的 收敛半 径为 R ,和函数为 S(x). 则 n n0 (1)连续性:和函数 在其收敛域上连续; S(x) (2)可导性:和函数 在 (R, R) 上可导,且可逐项求导, S(x) 半径不变.即       S  (x)    a x n    (a x n )    na x n1 n n n   n0 n0 n026武忠祥考研 (3)可积性:和函数 在其收敛域上可积,且可逐项积分, S(x) 半径不变.即    1 x x x  S(x)d x    a x n d x    a x n d x   a x n1 . n n n 0 0 0 n  1 n0 n0 n0 （三）函数的幂级数展开 定理1 如果函数 f (x) 在区间 (x  R, x  R) 上能展开为 0 0  x  x 的幂级数 f (x)   a (x  x ) n , 则展开式是唯一的. 0 n 0 n0  (n) f (x )  0 (x  x ) n 0 n! n0 f (x) 在 x  x 处的泰勒级数. 026武忠祥考研  (n) f (x ) 定理2 设 f (x) 在 x  x 处任意阶可导,则  0 (x  x ) n 0 n! 0 n0 在 (x  R, x  R) 上收敛于 f (x)  lim R ( x)  0. 0 0 n n f (n1) () 其中 R ( x)  ( x  x ) n1 为 f (x) 在 x 处的泰勒公式 n (n  1)! 0 0 n f (k) (x ) f (x)   0 (x  x ) k  R (x) 0 n k! k0 中的余项.26武忠祥考研 几个常用的展开式  1 (1)  1  x  x 2    x n     x n (1  x  1) 1  x n0 2 n  n x x x (2) e x  1  x         (  x  ) 2! n! n! n0 x 3 (1) n x 2n1  (1) n x 2n1  (3) sin x  x        (  x  ) 3! (2n  1)! (2n  1)! n0 x 2 (1) n x 2n  x 2n (4) cos x  1         (  x  ) 2! (2n)! (2n)! n0 x 2 (1) n1 x n  (1) n1 x n (5) ln(1  x)  x         (1  x  1) 2 n n n1 ( 1) ( 1)( n  1) (6) (1  x)   1 x  x 2    x n   (1  x  1) 2! n!26武忠祥考研 函数展开为幂级数的两种方法 1）直接展开法  (n) f (x ) 第一步 f (x) ~  0 (x  x ) n 0 n! n0 f (n1) () 第二步 考查 lim R ( x)  lim ( x  x ) n1  0 是否成立. n n n (n  1)! 0 2）间接展开法 根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开 式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导，逐项积分） 及变量代换等方法，求得所给函数的展开式.26武忠祥考研 题型一 求收敛区间及收敛域 【例1】 求下列幂级数的收敛域  nx n  3 n  (2) n (1)  (1) n (2)  ( x  1) n n! n n1 n1  n  [3  (1) n ] n (3)  (1) n ( x  1) 2n (4)  x n 2 n n n1 n1 n n 1 【解】（ 3） lim n | a |  lim  , R  2 n n n 2 2  当 x  1   2 时,原级数为  (1) n n 发散. n1 则原幂级数收敛域为 (1 2,1 2). 3  (1) n （4） lim n | a |  lim 不存在， n n n n n a [3  (1) n1 ] n1 n lim n1  lim  n a n n  1 [3  (1) n ] n n26武忠祥考研  2 2k1 1  x 2k1 R  1 2k  1 2 k1  4 2k 1  2k R  x 2 2k 4 k1 1 则原幂级数收敛半径为 R  . 4 1  2 2k1  4 2k 当 x   时， x 2k1 收敛，  x 2k 发散， 4 2k  1 k1 2k k1 1 1 则原幂级数发散,故原幂级数收敛域为 ( , ). 4 426武忠祥考研  【例2】 设幂级数  a ( x  1) n 在 x  0 收敛,在 x  2 发散, n n1 则该幂级数收敛域为 __________.26武忠祥考研  (x  a) n  【例3】设  在 x  2 处条件收敛，则  n 2 (x  a) n n n1 n1 1 在 x  ln 处 2 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）必发散 （D）敛散性由 确定 a26武忠祥考研 题型二 将函数展开为幂级数 【例1】 将下列函数展开为 的幂级数. x 3x (1) f ( x)  2  x 2 12  5x (2) f (x)  6  5x  x 2 5x  12 6 1    (x  6)(x  1) x  6 x  1 1  x (3) f (x)  arctan 1  x (4) f (x)  xarctan x  ln 1 x 226武忠祥考研 1 1  x 1 (5) f (x)  ln  arctan x  x 4 1  x 2 1 f  (x)   1 1  x 4 (6) f (x)  ln(1 x  2x 2 )  ln(1 x)(1 2x) (7) f (x)  ln(1  x  x 2  x 3  x 4 )26武忠祥考研 【例2】 将下列函数在指定点处展开为幂级数.  (1) f ( x )  sin x 在 x  处; 4 2   f ( x)  [sin( x  )  cos( x  )] 2 4 4 1 (2) f (x)  在 x  1 处; x 2  3x  2 1 (3) f (x)  在 x  1 处. (x  2) 2【例3】将 f (x)  x 2 ln(1 x) 展开为 x 的幂级数,并求 f (n) (0)(n  2).  (1) n1 x n 【解】 ln(1  x)   , x  (1,1] n n1  (1) n1 x n2 f (x)  x 2 ln(1  x)   n n1 (1) n3 (1) n1 a   (n  2) n n  2 n  2 f (n) (0) (1) n1  n! n  2 (1) n1 n! f (n) (0)  (n  2) n  2sin x 26武忠祥考研  , x  0 【例4】 设 f (x)   x ,求 f (n) (0).   1, x  0  (1) n x 2n1 【解】 sin x   (2n  1)! n0 sin x  (1) n x 2n  f (x)   (x  0) x (2n  1)! n0  (1) n x 2n  f (x)  (2n  1)! n0 (1) n f (2n) (0) (1) n a   , f (2n) (0)  2n (2n  1)! (2n)! 2n  1 (2n1) f (0) a  0  f (2n1) (0)  0 2n1 (2n  1)!26武忠祥考研 题型三 级数求和 【例1】求下列幂级数的和函数  x n  2n  1 (1)  (2)  x 2n2 n(n  1) 2 n n1 n1  n 2  1  n  1 (3)  x n (4)  (1) n x 2n1 2 n n! (2n  1)! n0 n0  x n 【解】（1） 令 S(x)   x [1,1] n(n  1) n1 当 0  x  1 时，  n  n  n  n x x x x     S(x)      ln(1  x) (1  x  1) n(n  1) n n  1 n n1 n1 n1 n1 1 1   ln(1  x)  [ ln(1  x)  x]  1  (  1)ln(1  x) x x26武忠祥考研 【例1】求下列幂级数的和函数  x n  2n  1 (1)  (2)  x 2n2 n(n  1) 2 n n1 n1  n 2  1  n  1 (3)  x n (4)  (1) n x 2n1 2 n n! (2n  1)! n0 n0  n  1 【解】（4）令 S(x)   (1) n x 2n1 x  (,) (2n  1)! n026武忠祥考研 【例2】求下列常数项级数的和.  1  (1) n (n 2  n  1) (1 )  (2)  (n 2  1)2 n 2 n n2 n0  n  n  n x 1 x 1 x 【解】    S(x)    (n 2  1) 2 n  1 2 n  1 n2 n2 n2 x 2n 26武忠祥考研 【例3】求幂级数  的和函数. (2n)! n0  x n x 2 x n 【解1】 e x    1  x       n! 2! n! n0  (1) n x n x 2 (1) n x n e x    1  x       n! 2! n! n0 x 2 x 2n  x 2n e x  e x  2(1      )  2  2! (2n)! (2n)! n0  x 2n e x  e x 故   (2n)! 2 n0  x 2n x 2 x 4 x 2n 【解2】令 S(x)    1        (2n)! 2! 4! (2n)! n0  x 2n1 x 3 x 2n1 S  (x)    x       (2n  1)! 3! (2n  1) n1 2 n x x S(x)  S  (x)  1  x        e x 2! n!26武忠祥考研 n 【例4】设 a   x | sin x | dx (n  1,2,) ,求极限 n 0  a a a  lim 1  2    n  2 n n 2 2 2  n 【解】 a   x | sin x | dx (x  n t) n 0 n n   (n t)sin tdt  n sin tdt  a n 0 0 n n n 2  a   sin tdt   sin tdt  n 2 n 2 0 2 0  x  x 2 令 S(x )   n 2 x n , 易求得 S(x)  (1  x) 3 n1  a a a  1 lim 1  2    n   S( )  6 n 2 2 2 2 n  2 26武忠祥考研 【例5】设 a a  1,a  a  a (n  2,3,) ,试证  a x n1 1 2 n1 n n1 n n1 1 在 | x | 处必收敛,并求其和函数. 2 【解】由 a  a  1 及 a  a  a 知 单调增,即 a  a {a } 1 2 n1 n n1 n1 n n a n1  a n  a n1  a  a  2a  2 2 a    2 n1 a  2 n1 n n n n1 2 1 a  2 n2 (n  4,5,)  a x n1  2 n2 x n1  (2x) n1 n n 2  1 则级数  n1 在 处收敛. a x x  n n1 2  1 1 令 S ( x)   a x n1 (x  ( , )) n 2 2 n1     1  x   a x n1  1  x   a x n  1  x   (a  a )x n n n1 n n1 n3 n2 n2  1 x  x[S(x)  a ] x 2 S(x)  1  (x  x 2 )S(x) 126武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！