(214)--高数强化12笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（12） 12 积分不等式，反常积分及举例 P123-P132 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 题型四 积分不等式 证明积分不等式常用的方法 1）定积分不等式性质 2）变量代换 3）积分中值定理 4）变上限积分 5）柯希积分不等式 b b b (  f (x)g(x)dx) 2   f 2 (x)dx  g 2 (x)dx a a a26武忠祥考研   tan x x 【例1】 设 则 I   4 dx, I   4 dx, 1 2 0 x 0 tan x （A） I  I  1. （B） 1  I  I . 1 2 1 2 （C） I  I  1. （D） 1  I  I . 2 1 2 1  【解1】 sin x  x  tan x (0  x  ) 2   x tan x x   I  I I   4 dx   4 1dx   1 tan x x 1 2 2 0 tan x 0 4  【解2】 sin x  x  tan x (0  x  ) 2 x tan x tan x 1    tan x x sin x cos x   dx  4  ln(sec x  tan x) 4  ln(1  2)  ln e  1 0 cos x 0  tan x x 【例1】 设 则 I   4 dx, I   4 dx, 1 2 0 x 0 tan x （A） I  I  1. （B） 1  I  I . 1 2 1 2 （C） I  I  1. （D） 1  I  I . 2 1 2 1  x 4 tan x 4 【解3】 1   4 dx 0  x tan x   x  4 【解4】  x  026武忠祥考研 【例2】设 在 上连续,单调减.求证: f ( x) [0, 1] a 1  f (x)dx  a  f (x)dx (0  a  1) 0 0 a a 1 【证1】只要证  f (x)dx  a  f (x)dx  a  f (x)dx 0 0 a a 1 即 (1  a)  f (x)dx  a  f (x)dx 0 a 由积分中值定理知 a (1  a)  f (x ) d x  a (1  a) f (c ) 0  c  a 1 1 0 1 a  f (x)dx  a(1  a) f (c ) a  c  1 2 2 a a 1 则 (1  a)  f (x)dx  a  f (x)dx 0 a a 1 【证2】  f (x)dx  a  f (at)dt (x  at) 0 0 1 1  a  f (ax)dx  a  f (x)dx 0 026武忠祥考研 【例2】设 在 上连续,单调减.求证: f ( x) [0, 1] a 1  f (x)dx  a  f (x)dx (0  a  1) 0 0 a 1 【证3】令 F(a)   f (x)dx  a  f (x)dx (0  a  1) 0 0 1 F  (a)  f (a)   f (x)dx 0  f (a)  f (c) (0  c  1)26武忠祥考研 【例3】设 f ( x) 在 [0,1] 上可导,且 f (0)  0 , 0  f  (x)  1 1 1 求证: (  f (x)dx) 2   f 3 (x)dx 0 0 x x 【证】令 F(x)  (  f (t)dt) 2   f 3 (t)dt 0 0 x F  (x)  2 f (x)  f (t)dt  f 3 (x) 0 x  f (x)[2  f (t)dt  f 2 (x)] 0 x 令 (x)  2  f (t)dt  f 2 (x) 0  (x)  2 f (x)  2 f (x) f  (x)  2 f (x)(1  f  (x))  026武忠祥考研 【例4】设函数 f (x), g(x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f ( x) 单调增加， 0  g(x)  1. x 证明：（I） 0   g(t)dt  (x  a), x [a,b] a b a g(t)dt b （II）  a f (x)dx   f (x)g(x)dx. a a x x 【证】（I）由 0  g(x)  1 得 0   g(t)dt   1dt  (x  a) a a u （II）令 u a g(t)dt F(u)   f (x)g(x)dx   a f (x)dx a a F(a)  0,   u F  (u)  f (u)g(u)  f a   g(t)dt g(u) a    u  g(u) f (u)  f a   g(t)dt a26武忠祥考研 【例5】设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续导数, f (a)  0, 求证: 2 b max | f  (x) |  | f (x) |dx axb (b  a) 2 a x 【证1】  f (x)   f  (t)dt a x x  | f (x) |  f  (t)dt   f  (t)dt  (x  a)max| f  (x) | a a axb b b   | f (x) | dx   (x  a)dx max | f  (x) | a a axb 1  (b  a) 2 max | f  (x) | 2 axb 2 b 故 max | f  (x) |  | f (x) | dx axb (b  a) 2 a 【证2】26武忠祥考研 【例6】设 f ( x) 在 [0, 1] 上有连续导数,且 f (0)  0, 求证: 1 1 1  f 2 (x)dx   f 2 (x)dx 0 2 0 x 【证】  f (x)   f  (t)dt 0 x x x  f 2 (x)  (  f  (t)dt) 2   1 2 dt  f 2 (t)dt 0 0 0 x 1  x  f 2 (t)dt  x  f 2 (t)dt 0 0 1 1 1 1 1   f 2 (x)dx   xdx   f 2 (t)dt   f 2 (t)dt 0 0 0 2 0 【注】本题若再加一个条件 f (1)  0 ，便可证明 1 1 1 1 1 1  f 2 (x)dx   f 2 (x)dx 及  f 2 (x)dx   f 2 (x)dx. 0 4 0 0 8 026武忠祥考研 第三节 反常积分 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 （一）无穷区间上的反常积分 （二）无界函数的反常积分 二. 常考题型方法与技巧 题型一 反常积分的敛散性 题型二 反常积分的计算26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）无穷区间上的反常积分  t 定义1  f (x)dx  lim  f (x)dx a t a b b 定义2  f (x)dx  lim  f (x)dx.  t t  0  定义3  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx   026武忠祥考研 定理1(比较判别法) 设 f (x), g(x) 在 [a,) 上连续，且 0  f (x)  g(x) ，则   1） g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛 a a   2）  发散   g(x)dx 发散 f (x)dx a a 定理2( 比较判别法的极限形式) f (x) 设 f ( x), g( x) 在 [a,) 非负连续，lim   ,则 x g(x)   1）当  0 时， f (x)dx 与  g(x)dx 同敛散; a a   2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛; a a   3）当   时， g(x)dx 发散   f (x)dx 发散. a a P  1 收敛  1 常用结论：  dx  (a  0) a x P P  1 发散26武忠祥考研 （二）无界函数的反常积分 定义1 设点 a 为函数 f (x) 的瑕点 b b  f (x)dx  lim  f (x)dx a ta  t 定义2 设点 为函数 f (x) 的瑕点 b b t  f (x)dx  lim  f (x)dx. a tb  a 定义3 设点 c 为函数 f (x) 的瑕点 (a  c  b) b c b  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx a a c26武忠祥考研 定理1 (比较判别法) 设 f (x), g(x) 在 (a,b] 上连续，且 0  f (x)  g(x) ，则 b b 1） g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛； a a b b 2） f (x)dx 发散   g(x)dx 发散. a a 定理2 (比较判别法的极限形式) f (x) 设 f ( x), g( x) 在 (a,b] 非负连续，lim   ,则 xa  g(x) b b 1）当  0 时， f (x)dx 与  g(x)dx 同敛散; a a b b 2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛; a a b b 3）当   时， g(x)dx 发散   f (x)dx 发散. a a 1 1 P  1 收敛 b b 常用结论：  dx,  dx  a (x  a) P a (b  x) P P  1 发散函数 Γ  1.定义 (s)   x s1 e x dx s  0 0 2.递推公式 (s  1)  s(s) (n  1)  n!26武忠祥考研 题型一 反常积分的敛散性 【例1】下列反常积分发散的是 dx 1 1 dx B)  A)  1 1  x 2 1sin x   dx C)  x 2 D)  e dx 2 0 2 x ln x 【解1】 排除法 【解2】 直接法26武忠祥考研  1 【例2】反常积分  dx 收敛，则( ) 0 x a (1  x) b （A） a  1,b  1. （B） a  1,b  1. （C） a  1,a  b  1. （D） a  1,a  b  1.  1 1 1  1 【解】  dx   dx   dx 0 x a (1  x) b 0 x a (1  x) b 1 x a (1  x) b 1 1  1   dx dx a ab 0 x 1 xm ln 2 (1 x) 【例3】设 均是正整数, 则反常积分 1 的收敛性 m, n  d x 0 n x (A) 仅与 的取值有关. (B) 仅与 的取值有关. m n (C) 与 的取值都有关. (D) 与 的取值都无关. m, n m, n m ln 2 (1  x) 1 m ln 2 (1  x) m ln 2 (1  x) 1 1 【解】  d x  2 d x   d x 1 0 n x 0 n x n x 2 2 2 1 xm 1 dx x  0  m ln 2 (1  x) ～ xm 2 dx  2 0 n x 0 1  2 xn m m ln 2 (1  x) 2 1  m ln 2 (1  x)d x lim  lim(1  x) p lnm (1  x)  0 1 x1 — 1 x1  2 (1  x) p 1 26武忠祥考研 , 1  x  e,  (x  1) 1 【例4】设函数 f (x)   1  , x  e.  x ln 1 x  若反常积分  收敛，则 f (x)dx 1 （B） （A）  2.  2. （C） （D） 0  2.  2  0.26武忠祥考研 题型二 反常积分计算  arctan x 【例1】计算  dx 2 1 x  1 【解】 原式   arctan xd 1 x  arctan x  dx     x 1 x(1  x 2 ) 1   x  1   ln   ln 2 4 1  x 2 4 2 126武忠祥考研  dx 【例2】计算  3 (x  1) 4 x 2  2x  dx 【解】 原式   3 (x 1) 4 (x 1) 2 1  sect tan t   2 dt (x  1  sect)  4 sec t tan t 3    2cos 3 t dt  3 2 3 3   3 826武忠祥考研 2  x  1 【例4】 求证:  dx   dx, 并求其值. 0 1  x 4 0 1  x 4 1 2 【解】  x  t 2 1  1 1  dx    dt   dt (x  ) 0 1  x 4 0 1 t 2 0 1  t 4 t 1  4 t 1 1 1  d(x  ) 1  x 2  1 1  2 1  原式   dx   x dx   x dx 2 0 1  x 4 2 0 1 2 0 1 x 2  (x  ) 2  2 2 x x  1 x  1 1 1    x   arctan  [  ( )]  2 2 2 2 2 2 2 2 2 026武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！