(214)--高数强化12笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（12）
12 积分不等式，反常积分及举例 P123-P132
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
题型四 积分不等式
证明积分不等式常用的方法
1）定积分不等式性质 2）变量代换
3）积分中值定理 4）变上限积分
5）柯希积分不等式
b b b
(  f (x)g(x)dx) 2   f 2 (x)dx  g 2 (x)dx
a a a26武忠祥考研
 
tan x x
【例1】 设 则
I   4 dx, I   4 dx,
1 2
0 x 0 tan x
（A） I  I  1. （B） 1  I  I .
1 2 1 2
（C） I  I  1. （D） 1  I  I .
2 1 2 1

【解1】 sin x  x  tan x (0  x  )
2
 
x tan x x 
 I  I I   4 dx   4 1dx   1
tan x x 1 2 2 0 tan x 0 4

【解2】 sin x  x  tan x (0  x  )
2
x tan x tan x 1
  
tan x x sin x cos x
 
dx
 4  ln(sec x  tan x) 4  ln(1  2)  ln e  1
0 cos x 0 
tan x x
【例1】 设 则
I   4 dx, I   4 dx,
1 2
0 x 0 tan x
（A） I  I  1. （B） 1  I  I .
1 2 1 2
（C） I  I  1. （D） 1  I  I .
2 1 2 1
 x
4 tan x 4
【解3】 1   4 dx
0  x tan x 

x 
4
【解4】

x  026武忠祥考研
【例2】设 在 上连续,单调减.求证:
f ( x) [0, 1]
a 1
 f (x)dx  a  f (x)dx (0  a  1)
0 0
a a 1
【证1】只要证  f (x)dx  a  f (x)dx  a  f (x)dx
0 0 a
a 1
即 (1  a)  f (x)dx  a  f (x)dx
0 a
由积分中值定理知
a
(1  a)  f (x ) d x  a (1  a) f (c ) 0  c  a
1 1
0
1
a  f (x)dx  a(1  a) f (c ) a  c  1
2 2
a
a 1
则
(1  a)  f (x)dx  a  f (x)dx
0 a
a 1
【证2】  f (x)dx  a  f (at)dt (x  at)
0 0
1 1
 a  f (ax)dx  a  f (x)dx
0 026武忠祥考研
【例2】设 在 上连续,单调减.求证:
f ( x) [0, 1]
a 1
 f (x)dx  a  f (x)dx (0  a  1)
0 0
a 1
【证3】令 F(a)   f (x)dx  a  f (x)dx (0  a  1)
0 0
1
F  (a)  f (a)   f (x)dx
0
 f (a)  f (c) (0  c  1)26武忠祥考研
【例3】设 f ( x) 在 [0,1] 上可导,且 f (0)  0 , 0  f  (x)  1
1 1
求证: (  f (x)dx) 2   f 3 (x)dx
0 0
x x
【证】令 F(x)  (  f (t)dt) 2   f 3 (t)dt
0 0
x
F  (x)  2 f (x)  f (t)dt  f 3 (x)
0
x
 f (x)[2  f (t)dt  f 2 (x)]
0
x
令 (x)  2  f (t)dt  f 2 (x)
0
 (x)  2 f (x)  2 f (x) f  (x)
 2 f (x)(1  f  (x))  026武忠祥考研
【例4】设函数 f (x), g(x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f ( x) 单调增加，
0  g(x)  1.
x
证明：（I） 0   g(t)dt  (x  a), x [a,b]
a
b
a g(t)dt b
（II）  a f (x)dx   f (x)g(x)dx.
a a
x x
【证】（I）由 0  g(x)  1 得 0   g(t)dt   1dt  (x  a)
a a
u
（II）令
u a g(t)dt
F(u)   f (x)g(x)dx   a f (x)dx
a a
F(a)  0,
 
u
F  (u)  f (u)g(u)  f a   g(t)dt g(u)
a
  
u
 g(u) f (u)  f a   g(t)dt
a26武忠祥考研
【例5】设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续导数, f (a)  0, 求证:
2
b
max | f  (x) |  | f (x) |dx
axb (b  a) 2 a
x
【证1】  f (x)   f  (t)dt
a
x x
 | f (x) |  f  (t)dt   f  (t)dt  (x  a)max| f  (x) |
a a
axb
b b
  | f (x) | dx   (x  a)dx max | f  (x) |
a a axb
1
 (b  a) 2 max | f  (x) |
2 axb
2
b
故 max | f  (x) |  | f (x) | dx
axb (b  a) 2 a
【证2】26武忠祥考研
【例6】设 f ( x) 在 [0, 1] 上有连续导数,且 f (0)  0, 求证:
1
1 1
 f 2 (x)dx   f 2 (x)dx
0 2 0
x
【证】  f (x)   f  (t)dt
0
x x x
 f 2 (x)  (  f  (t)dt) 2   1 2 dt  f 2 (t)dt
0 0 0
x 1
 x  f 2 (t)dt  x  f 2 (t)dt
0 0
1
1 1 1 1
  f 2 (x)dx   xdx   f 2 (t)dt   f 2 (t)dt
0 0 0 2 0
【注】本题若再加一个条件 f (1)  0 ，便可证明
1 1
1 1 1 1
 f 2 (x)dx   f 2 (x)dx 及  f 2 (x)dx   f 2 (x)dx.
0 4 0 0 8 026武忠祥考研
第三节 反常积分
本节内容要点
一. 考试内容要点精讲
（一）无穷区间上的反常积分
（二）无界函数的反常积分
二. 常考题型方法与技巧
题型一 反常积分的敛散性
题型二 反常积分的计算26武忠祥考研
一. 考试内容要点精讲
（一）无穷区间上的反常积分
 t
定义1  f (x)dx  lim  f (x)dx
a t a
b b
定义2  f (x)dx  lim  f (x)dx.
 t t
 0 
定义3  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
  026武忠祥考研
定理1(比较判别法)
设 f (x), g(x) 在 [a,) 上连续，且 0  f (x)  g(x) ，则


1）
g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛
a
a


2）  发散   g(x)dx 发散
f (x)dx
a
a
定理2( 比较判别法的极限形式)
f (x)
设 f ( x), g( x) 在 [a,) 非负连续，lim   ,则
x g(x)
 
1）当  0 时， f (x)dx 与  g(x)dx 同敛散;
a a
 
2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛;
a a
 
3）当   时， g(x)dx 发散   f (x)dx 发散.
a a
P  1 收敛
 1
常用结论：
 dx  (a  0)
a x P P  1 发散26武忠祥考研
（二）无界函数的反常积分
定义1 设点 a 为函数 f (x) 的瑕点
b b
 f (x)dx  lim  f (x)dx
a ta  t
定义2 设点 为函数 f (x) 的瑕点
b
b t
 f (x)dx  lim  f (x)dx.
a tb  a
定义3 设点 c 为函数 f (x) 的瑕点 (a  c  b)
b c b
 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
a a c26武忠祥考研
定理1 (比较判别法)
设 f (x), g(x) 在 (a,b] 上连续，且 0  f (x)  g(x) ，则
b b
1） g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛；
a a
b b
2） f (x)dx 发散   g(x)dx 发散.
a a
定理2 (比较判别法的极限形式)
f (x)
设 f ( x), g( x) 在 (a,b] 非负连续，lim   ,则
xa
 g(x)
b b
1）当  0 时， f (x)dx 与  g(x)dx 同敛散;
a a
b b
2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛;
a a
b b
3）当   时， g(x)dx 发散   f (x)dx 发散.
a a
1 1 P  1 收敛
b b
常用结论：  dx,  dx 
a (x  a) P a (b  x) P P  1 发散函数
Γ

1.定义 (s)   x s1 e x dx s  0
0
2.递推公式
(s  1)  s(s)
(n  1)  n!26武忠祥考研
题型一 反常积分的敛散性
【例1】下列反常积分发散的是
dx
1
1 dx B) 
A)

1 1  x 2
1sin x
  dx
C)  x 2 D) 
e dx
2
0 2 x ln x
【解1】 排除法
【解2】 直接法26武忠祥考研
 1
【例2】反常积分  dx 收敛，则( )
0 x a (1  x) b
（A） a  1,b  1. （B） a  1,b  1.
（C） a  1,a  b  1. （D） a  1,a  b  1.
 1 1 1  1
【解】  dx   dx   dx
0 x a (1  x) b 0 x a (1  x) b 1 x a (1  x) b
1 1  1
 
dx dx
a ab
0 x 1 xm ln 2 (1 x)
【例3】设 均是正整数, 则反常积分 1 的收敛性
m, n  d x
0 n x
(A) 仅与 的取值有关. (B) 仅与 的取值有关.
m n
(C) 与 的取值都有关. (D) 与 的取值都无关.
m, n m, n
m ln 2 (1  x) 1 m ln 2 (1  x) m ln 2 (1  x)
1 1
【解】  d x  2 d x   d x
1
0 n x 0 n x n x
2
2
2 1 xm 1
dx
x  0  m ln 2 (1  x) ～ xm 2 dx  2
0 n x 0 1  2
xn m
m ln 2 (1  x) 2
1
 m ln 2 (1  x)d x lim  lim(1  x) p lnm (1  x)  0
1 x1 — 1 x1 
2
(1  x) p 1 26武忠祥考研
, 1  x  e,

(x  1)
1
【例4】设函数 f (x)  
1

, x  e.
 x ln 1 x

若反常积分  收敛，则
f (x)dx
1
（B）
（A）  2.  2.
（C） （D） 0  2.
 2  0.26武忠祥考研
题型二 反常积分计算
 arctan x
【例1】计算 
dx
2
1 x
 1
【解】 原式   arctan xd
1 x

arctan x  dx
   
x 1 x(1  x 2 )
1

 x
 1
  ln
  ln 2
4 1  x 2
4 2
126武忠祥考研
 dx
【例2】计算 
3 (x  1) 4 x 2  2x
 dx
【解】 原式  
3 (x 1) 4 (x 1) 2 1

sect tan t
  2 dt (x  1  sect)

4
sec t tan t
3

  2cos 3 t dt

3
2 3 3
 
3 826武忠祥考研
2
 x  1
【例4】 求证:  dx   dx, 并求其值.
0 1  x 4 0 1  x 4
1
2
【解】  x  t 2 1  1 1
 dx    dt   dt (x  )
0 1  x 4 0 1 t 2 0 1  t 4 t
1 
4
t
1 1
1  d(x  )
1  x 2  1 1  2 1 
原式   dx   x dx   x dx
2 0 1  x 4 2 0 1 2 0 1
x 2  (x  ) 2  2
2
x x

1
x 
1 1 1   
x
  arctan  [  ( )] 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
026武忠祥考研
祝同学们
考研路上一路顺利！