(209)--高数强化07笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（7） 7 导数的几何意义，导数与微分的计算，微分中值定理及应用 P63-P74 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 题型二 导数的几何意义   【例1】曲线 tan x  y    e y 在点 (0,0) 处的切线方程为 ________.  4    【解】等式 tan x  y    e y 两端对 x 求导得  4    sec 2  x  y  (1  y  )  e y y   4  将 x  0, y  0 代入上式得 y  (0)  2, 切线方程为 y  2x26武忠祥考研  x  arctan t, 【例2】曲线  上对应于 t  1 的点处的法线方程为  y  ln 1  t 2 , ________. t 【解】 dy 1  t 2   t, dx 1 1  t 2 dy  1 当 t  1 时  1, x  , y  ln 2, dx 4 2 1  法线方程为 y  ln 2  (x  ) 2 4  1 即 x  y   ln 2 4 226武忠祥考研 【例3】已知曲线的极坐标方程是 r  1  cos, 求该曲线上对应于    处的切线和法线的直角坐标方程。 2 【解】由 r  1  cos 可知该曲线的参数方程为 x  (1  cos)cos  ,  y  (1  cos)sin dy sin 2 (1  cos)cos 则  dx sincos sin(1  cos)  dy 当  时  1, x  0, y  1, 2 dx 切线和法线的直角坐标方程分别为 y  1   x y  1  x26武忠祥考研 【例4】曲线 y  x 2 与曲线 y  a ln x (a  0) 相切，则 a  （ A ） （B ） （ C ） （D） e 4e 3e 2e 【解】由曲线 y  x 2 与曲线 y  a ln x (a  0) 相切可知， x 2  a ln x   a 2x    x 由上式解的 a  2e, 故应选（C）.26武忠祥考研 题型三 导数与微分的计算 （一) 复合函数的导数 【例1】设 f (x)  ln(x  1 x 2 ) 则 f  (0)  f (100) (0)  ______ . 【解】 应填 1. 1 f  (x)  f  (0)  1 1  x 2 因为 为奇函数， f ( x) f (100) (0)  0.26武忠祥考研  3x  2  dy 【例2】已知 y  f  , f  (x)  arctan x 2,则  _______.  3x  2  dx x0 dy  3x  2  12  【解】  f     dx  3x  2  (3x  2) 2  x0 x0 3  f  (1) 3  3arctan1   426武忠祥考研 x 2 , x  0,  x, x  0, 【例3】设 f (x)   g(x)   x 4 , x  0.  x 2 , x  0. 若 y  f (g(x)), 则 dy dy （A） （B） 不存在；  1; dx dx x1 x1 dy dy （C）  0; （D） 不存在. dx dx x0 x0  1 1 【解】(Ⅰ)由于 g  (1)    , g(1)  1, f  (1)  4x 3  4, 2 x 2 x1 x1 dy 1 则  f  (1) g  (1)  ( ) (4)  2 dx 2 x126武忠祥考研 x 2 , x  0,  x, x  0, 【例3】设 f (x)   g(x)   x 4 , x  0.  x 2 , x  0. 若 y  f (g(x)), 则 dy dy （A） （B） 不存在；  1; dx dx x1 x1 dy dy （C）  0; （D） 不存在. dx dx x0 x0 dy 【解】显然 g  (0) 不存在，但由此不能断定 不存在.事实上 dx x0 x 2 ; x  0; f (g(x))   x 4 ; x  0. dy 则 故应选（C）.  0. dx x026武忠祥考研  1  x 3 sin , x  0 【例4】设 (x)   函数 f ( x) 可导，求 x   0, x  0, F(x)  f [(x)] 的导数.  1  f (x 3 sin ) x  0 【解】 F (x)  f [(x)]   x   f (0) x  0 1 1 1 当 x  0 时， F  (x)  f  (x 3 sin )(3x 2 sin  x cos ) x x x 1 x 3 sin  0 1 x 当 x  0 时，  (0)  lim  lim x 2 sin  0 x0 x x0 x F  (0)  f  (0) (0)  026武忠祥考研 1 f (x 3 sin )  f (0) F(x)  F(0) 【注】 F  (0)  lim  lim x x0 x  0 x0 x  0 1 1 f (x 3 sin )  f (0) x 3 sin x x  lim  x0 1 x 3 x sin x 1 1 f (x 3 sin )  f (0) x 3 sin x x  lim  lim x0 1 x0 x 3 x sin x “经典错误”  f  (0) 0  026武忠祥考研 （二) 隐函数的导数 【例1】设 y  y(x) 由 y  tan( x  y) 所确定.试求 y  , y  【解】 等式 y  tan( x  y) 两端对 x 求导得 y   sec 2 (x  y)(1 y  )  [1 tan 2 (x  y)](1 y  )  (1 y 2 )(1 y  ) 1 y     1 2 y  2 y 2 1 y     (  1) 3 3 2 y y y26武忠祥考研 2 d y 【例2】设函数 y  y( x) 由 y  xe y 1 所确定,试求 . 2 dx x0 【解】 由 y  xe y  1 知，当 x  0 时 y  1, 且 y   e y  xy  e y  0 则 y  (0)  e. y   y  e y  y  e y  x( y  e y )   0 将 代入上式得 x  0, y  1, y  (0)  e y  (0)  2e 226武忠祥考研 y 【例3】 设可导函数 y  y(x) 由方程 sin x   (u)du  0 x 所确定，其中可导函数 (u)  0, 且 (0)  (0)  1, 求 y  (0). y 【解】 在 sin x   (u)du  0 中令 x  0 得 y  0 x y 等式 sin x   (u)du  0 两端对 x 求导得 x cos x  [( y) y  (x)]  0 y  (0)  2  sin x [ ( y) y 2 ( y) y   (x)]  0 y  (0)  326武忠祥考研 （三) 参数方程的导数 dy y  (t) d 2 y y  (t)x  (t)  x  (t) y  (t) 公式：  ;  ;  2 3 dx x (t) dx x (t) 方法： 一阶导数代公式，二阶导数利用 2  d y d y (t) 1  ( ) . 2   dx dt x (t) x (t) x  f  (t) d 2 y 【例1】设 f  (t)  0 ,又  , 求 .  y  tf  (t)  f (t) dx 2 dy y  (t) f  (t)  tf  (t)  f  (t) 【解】    t   dx x (t) f (t) 2 d y d d dt 1 1  (t)  (t)  1  dx 2 dx dt dx x  (t) f  (t)26武忠祥考研  x  3t 2  2t  3 d 2 y 【例2】设 y  y(x) 由  所确定,求 . e y sin t  y  1  0 dx 2 t0 【解】 本题最简单的方法是利用公式 d 2 y y  (0)x  (0)  x  (0) y  (0)  2 3 dx x (0) t0 d 2 y 2e 2  3e  2 dx 4 t026武忠祥考研 x  2t  t , 【例3】已知 y  f (x) 由 确定，则（ ）  y  t sin t  A. f (x) 连续, f  (0) 不存在. B. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续. C. f  (x) 连续, f  (0) 不存在. D. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.  x x  sin , x  0 【解1】f (x)   . 3 3    x sin x, x  0 1 x x x sin  cos  0 2 3 3 9 3 f  (0)  lim    x 9 1 x x x x0 sin  cos , x  0  3 3 9 3  sin x  x cos x  f  (x)   0, x  0 . f  (0)  lim  2   x x0   sin x  x cos x, x  0  26武忠祥考研 x  2t  t , 【例3】已知 y  f (x) 由 确定，则（ ）  y  t sin t  A. f (x) 连续, f  (0) 不存在. B. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续. C. f  (x) 连续, f  (0) 不存在. D. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.  f (0)  2!  x x  x 2  sin , x  0    ， x  0 【解2】 f (x)   3 3   9    x sin x, x  0    x 2  , x  0.  f (0) f  (0)  0  2!  f (0) f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2   2!26武忠祥考研 （四) 反函数求导法 【例】设 y  f (x) 的反函数是 x ( y), 且 f (x)   2x e t 2 dt  1, 则  (1)  ______ . 1 1 【解】 由反函数导数公式得  ( y)   f (x)  d 1 dx f (x) 1  ( y)  [ ]      2  dx f (x) dy [ f (x)] f (x) 1 由 f (x)   2x e t 2 dt  1 知， y  1 时 x  1 2 2 2 f  (x)  2e 4x , f  (x)  16xe 4x 1  f ( ) 8e 1 2  (1)       1 8e 3 e 2  3 [ f ( )] 226武忠祥考研 （五) 对数求导法 对数求导法适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等. 【例1】设 y  (1  x 2 ) sin x,求 y  . 【解】 ln y  sin xln(1 x 2 )  y 2xsin x  cos x ln(1  x 2 )  y 1  x 2  2x sin x y   (1  x 2 ) sin x cos x ln(1  x 2 )     1  x 2 26武忠祥考研 (x  1)(x  2) 【例2】设 y  , 求 y  . 3 x(1  x 2 ) 1 【解】 ln y  [ln x  1  ln x  2  ln x  ln(1  x 2 )] 3  y 1  1 1 1 2x        y 3  x  1 x  2 x 1  x 2  1 (x  1)(x  2)  1 1 1 2x  3 y        3 x(1  x 2 )  x  1 x  2 x 1  x 2  (n) f (0) f (0) （六) 高阶导数 f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2    x n  o(x n ) 2! n! 常用方法： 2 n x x ln(1  x)  x     (1) n1 (x n ) 2 n 1）代公式; 2）求一阶 y  , 二阶 y  , 归纳 阶导数 y (n) ; n 3）利用泰勒级数(公式）；  (n) (n) f (x ) f (x ) f (x)   0 (x  x ) n ; a  0 0 n n! n! n0 (n) f (x ) f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n (x  x ) n 0 0 0 0 0 n!26武忠祥考研 x 【例1】设 f (x)  ,求 f (n) (x). x 2  5x  6 x x 3 2 【解】 f (x)     x 2  5x  6 (x  2)( x  3) x  3 x  2 (n) (n)  3   2  f (n) (x)        x  3  x  2 1 令 (x)   (x  3) 1 , x  3  (x)  ( 1 )( x  3 )  2  (x)  (1)(2)(x  3) 3 (1) n n! (n) (x)  (1) n n!(x  3) (n1)  (x  3) n1 3(1) n n! 2(1) n n! 则 f (n) (x)   (x  3) n1 (x  2) n126武忠祥考研 【例2】设 f (x)  e x sin x, 求 f (n) (x). 【解】 f  (x)  e x sin x  e x cos x  e x (sin x  cos x)   2e x sin(x  ) 4  f (n) (x)  ( 2) n e x sin( x  n ) 426武忠祥考研 【例3】设 f (x)  sin 4 x  cos 4 x ,求 f (n) (x). 1 【解】 f (x)  1  2sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2x 2 f  (x)  2sin 2x cos 2x   sin4x  f (n) (x)  4 n1 sin(4x  (n  1) ) 226武忠祥考研 【例4】求函数 f (x)  x 2 ln(1 x) 在 x  0 处的 n(n  2) 阶导数. n 【解1】利用公式 (uv) (n)   C k u (k) v (nk) n k0 令 u  x 2 , v  ln(1  x), u   2x,u   2,u (k)  0 (k  2) f (n) (0)  C 2 u (2) (0) v (n2) (0) n 1 v    (x  1) 1 , v   (1)(x  1) 2 1  x (1) n1 (n  3)! v (n2)  (1) n3 (n  3)!(x  1) (n2)  v (n2) (0)  (1) n1 (n  3)! (x  1) n2 n(n  1) (1) n1 n! f (n) (0)  2(1) n1 (n  3)! 2! n  226武忠祥考研 【例4】求函数 f (x)  x 2 ln(1 x) 在 x  0 处的 n(n  2) 阶导数. x 2 (1) n1 x n 【解2】 f (x)  x 2 (x      ) 2 n x 4 (1) n1 x n2  x 3       2 n (1) n3 (1) n1 f (n) (0) a    n (n  2) n  2 n! (1) n1 n! 则 f (n) (0)  a n!  n (n  2)26武忠祥考研 第二节 导数应用 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 （一）微分中值定理 （二）极值与最值 （三）曲线的凹向与拐点 （四）曲线的渐近线 （五）平面曲线的曲率（数三不要求）26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 题型一 函数的单调性 极值与最值 题型二 曲线的凹向 拐点 渐近线及曲率 题型三 方程根的存在性及个数 题型四 证明函数不等式 题型五 微分中值定理有关的证明题一. 考试内容要点精讲 26武忠祥考研 （一）微分中值定理 罗尔定理 若 1） 在 上连续； f (x) [a,b] 2） 在 内可导； f (x) (a,b) 3） f (a)  f (b); 则  (a,b), 使 f  ()  0. 拉格朗日定理 若 1） 在 上连续； f (x) [a,b] 2） 在 内可导； f (x) (a,b) 则  (a,b), 使 f (b)  f (a)  f  (). b  a26武忠祥考研 柯西定理 若 1）f (x), g(x) 在 [a,b] 上连续； 2） f (x), g(x) 在 (a,b) 内可导,且 g  ( x)  0; f (b)  f (a) f  () 则  (a,b), 使  . g(b)  g(a) g  () 泰勒定理（拉格朗日余项） 设 f ( x) 在区间 I 上 (n  1) 阶可导, x  I, 那么对 x  I, 0 至少存在一个 , 使 (n) f (x ) f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  R (x) 0 0 0 0 n n! f (n1) () 其中 R (x)  (x  x ) n1 ,  在 x 与 x 之间. 0 n (n  1)! 026武忠祥考研 【注】（1）本质 f  ()  0. f (b)  f (a)  f  (). （2）四个中值定理的关系 b  a f (b)  f (a) f  ()  . g(b)  g(a) g  () f (n) (x ) f (n1) () f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  (x  x ) n1 0 0 0 n! 0 (n  1)! 0 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理26武忠祥考研 （二）极值与最值 若 使得 1. 极值的概念   0, x U(x ,) 恒有 f (x)  f (x ), 则称 f ( x) 在 x 取极小值. 0 0 0 x U(x ,) 恒有 f (x)  f (x ), 则称 f ( x) 在 x 取极大值. 0 0 0 2. 极值的必要条件 若 f ( x) 在 x 处取得极值，且在 x 处可导，则 0 0 f  ( x )  0  f  (x )  0 0 0 可能的极值点   不存在  f (x ) 0 极值点 驻点26武忠祥考研 3）极值的充分条件 (1)第一充分条件 设 f  (x )  0 （或 f (x) 在 x 处连续),且在 x 的某去心邻域 0 0 0  U(x ,) 内可导 0 （1）若 x  (x , x ) 时， f  (x)  0, 而 x  (x , x ) 时， 0 0 0 0 f  (x)  0, 则 f (x) 在 x 处取得极大值； 0 （2）若 x  (x , x ) 时， f  (x)  0, 而 x  (x , x ) 时， 0 0 0 0 f  (x)  0, 则 f (x) 在 x 处取得极小值； 0  （3）若 x U(x ,) 时， f  (x) 不变号，则 f (x) 在 x 处没 0 0 有极值；26武忠祥考研 (2)第二充分条件 设 f ( x) 在 x 处二阶可导,且 f  (x )  0, f  (x )  0, 则 0 0 0 （1）当 f  (x )  0, f (x) 在 x 处取极大值. 0 0 （2）当 f  (x )  0, f (x) 在 x 处取极小值. 0 0 (3)第三充分条件 设 f ( x) 在 x 处 n(n  2) 阶可导,且 0 f  (x )  f  (x )    f (n1) (x )  0, 但 f (n) (x )  0, 则 0 0 0 0 （1)当 n 为偶数时 f ( x) 在 x 处取得极值.其中当 f (n) (x )  0 0 0 时取极小值，当 f (n) (x )  0 时取极大值. 0 (2)当 n 为奇数时 f ( x) 在 x 处无极值； 026武忠祥考研 4）函数的最值 （1）求连续函数 在 上的最值 f ( x) [a,b] 第一步：求出 在 内的驻点和不可导的点 f (x) (a,b) x , x , x ; 1 2 n 第二步：求出函数值 f (x ), f (x ), f (x ), f (a), f (b); 1 2 n 第三步：比较以上各点函数值. 【注】 若连续函数 在 内仅有唯一极值点， f (x) [a,b] （2）最大最小值的应用题 第一步：建立目标函数 第二步：26武忠祥考研 （三）曲线的凹向与拐点 1）曲线的凹向 x  x f (x )  f (x ) （1）定义： 凹 f ( 1 2 )  1 2 2 2 x  x f (x )  f (x ) 凸 f ( 1 2 )  1 2 2 2 （2）判定：若在区间 上 f  (x)  0 ( 0),则曲线 I y  f (x) 在 I 上是凹（凸）的. 2）曲线的拐点 （1）定义： 曲线 y  f (x) 在点 (x , f (x )) 两侧凹凸性相反， 0 0 （2）判定：（一个必要，三个充分条件）26武忠祥考研 (四）曲线的渐近线 1.水平渐近线 若 lim f ( x)  A ( lim f (x)  A ,或 lim f ( x)  A ）那么 x x x y  A 是 y  f ( x) 的水平渐近线. 2.垂直渐近线 若 lim f (x)  （或 lim f (x)  , 或 lim f (x)  ) xx xx  xx  0 0 0 那么 x  x 是 y  f ( x) 的垂直渐近线. 0 3.斜渐近线 f (x) 若 lim  a , lim  f (x)  ax   b （或 x  , x  ), x x x 那么 y  ax  b 是 f ( x) 的斜渐近线.26武忠祥考研 （五）平面曲线的曲率（数三不要求）  1.曲率的定义 K  lim s0 s 2.曲率的计算  | y | 1）若曲线由 y  y(x) 给出,则 K  3 (1 y 2 )2 x  x(t) | y  x   y  x  | 2）若曲线由 给出,则  K   y  y(t) (x 2  y 2 ) 3/2 3.曲率圆与曲率半径 1 曲率半径 R  K2266武武忠忠祥祥考考研研 祝同学们 考研路上一路顺利！