(209)--高数强化07笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（7）
7 导数的几何意义，导数与微分的计算，微分中值定理及应用 P63-P74
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
题型二 导数的几何意义
 
【例1】曲线 tan x  y    e y 在点 (0,0) 处的切线方程为 ________.
 4 
 
【解】等式 tan x  y    e y 两端对 x 求导得
 4 
 
sec 2  x  y  (1  y  )  e y y 
 4 
将 x  0, y  0 代入上式得 y  (0)  2,
切线方程为 y  2x26武忠祥考研
 x  arctan t,
【例2】曲线  上对应于 t  1 的点处的法线方程为
 y  ln 1  t 2 ,
________.
t
【解】 dy 1  t 2
  t,
dx 1
1  t 2
dy  1
当 t  1 时  1, x  , y  ln 2,
dx 4 2
1 
法线方程为 y  ln 2  (x  )
2 4
 1
即 x  y   ln 2
4 226武忠祥考研
【例3】已知曲线的极坐标方程是 r  1  cos, 求该曲线上对应于

  处的切线和法线的直角坐标方程。
2
【解】由 r  1  cos 可知该曲线的参数方程为
x  (1  cos)cos
 ,
 y  (1  cos)sin
dy sin 2 (1  cos)cos
则

dx sincos sin(1  cos)
 dy
当  时  1, x  0, y  1,
2 dx
切线和法线的直角坐标方程分别为
y  1   x y  1  x26武忠祥考研
【例4】曲线 y  x 2 与曲线 y  a ln x (a  0) 相切，则 a 
（ A ） （B ） （ C ） （D） e
4e 3e 2e
【解】由曲线 y  x 2 与曲线 y  a ln x (a  0) 相切可知，
x 2  a ln x

 a
2x 

 x
由上式解的 a  2e, 故应选（C）.26武忠祥考研
题型三 导数与微分的计算
（一) 复合函数的导数
【例1】设 f (x)  ln(x  1 x 2 ) 则 f  (0)  f (100) (0)  ______ .
【解】 应填 1.
1
f  (x)  f  (0)  1
1  x 2
因为 为奇函数，
f ( x) f (100) (0)  0.26武忠祥考研
 3x  2  dy
【例2】已知 y  f  , f  (x)  arctan x 2,则  _______.
 3x  2  dx
x0
dy  3x  2  12 
【解】  f    
dx  3x  2  (3x  2) 2 
x0
x0
3
 f  (1) 3  3arctan1  
426武忠祥考研
x 2 , x  0,  x, x  0,
【例3】设
f (x)   g(x)  
x 4 , x  0.  x 2 , x  0.
若 y  f (g(x)), 则
dy dy
（A） （B） 不存在；
 1;
dx dx
x1 x1
dy
dy
（C）  0; （D） 不存在.
dx
dx
x0
x0
 1 1
【解】(Ⅰ)由于 g  (1)    , g(1)  1, f  (1)  4x 3  4,
2 x 2
x1
x1
dy 1
则  f  (1) g  (1)  ( ) (4)  2
dx 2
x126武忠祥考研
x 2 , x  0,  x, x  0,
【例3】设
f (x)   g(x)  
x 4 , x  0.  x 2 , x  0.
若 y  f (g(x)), 则
dy dy
（A） （B） 不存在；
 1;
dx dx
x1 x1
dy
dy
（C）  0; （D） 不存在.
dx
dx
x0
x0
dy
【解】显然 g  (0) 不存在，但由此不能断定 不存在.事实上
dx
x0
x 2 ; x  0;
f (g(x))  
x 4 ; x  0.
dy
则 故应选（C）.
 0.
dx
x026武忠祥考研
 1
 x 3 sin , x  0
【例4】设 (x)   函数 f ( x) 可导，求
x
  0, x  0,
F(x)  f [(x)] 的导数.
 1
 f (x 3 sin ) x  0
【解】 F (x)  f [(x)]   x

 f (0) x  0
1 1 1
当 x  0 时， F  (x)  f  (x 3 sin )(3x 2 sin  x cos )
x x x
1
x 3 sin  0
1
x
当 x  0 时，  (0)  lim  lim x 2 sin  0
x0 x x0 x
F  (0)  f  (0) (0)  026武忠祥考研
1
f (x 3 sin )  f (0)
F(x)  F(0)
【注】 F  (0)  lim  lim x
x0 x  0 x0 x  0
1 1
f (x 3 sin )  f (0) x 3 sin
x x
 lim 
x0 1 x
3
x sin
x
1 1
f (x 3 sin )  f (0) x 3 sin
x x
 lim  lim
x0 1 x0 x
3
x sin
x
“经典错误”
 f  (0) 0  026武忠祥考研
（二) 隐函数的导数
【例1】设 y  y(x) 由 y  tan( x  y) 所确定.试求 y  , y 
【解】 等式 y  tan( x  y) 两端对 x 求导得
y   sec 2 (x  y)(1 y  )
 [1 tan 2 (x  y)](1 y  )
 (1 y 2 )(1 y  )
1
y     1
2
y

2 y 2 1
y     (  1)
3 3 2
y y y26武忠祥考研
2
d y
【例2】设函数 y  y( x) 由 y  xe y 1 所确定,试求 .
2
dx
x0
【解】 由 y  xe y  1 知，当 x  0 时 y  1, 且
y   e y  xy  e y  0
则 y  (0)  e.
y   y  e y  y  e y  x( y  e y )   0
将 代入上式得
x  0, y  1, y  (0)  e
y  (0)  2e 226武忠祥考研
y
【例3】 设可导函数 y  y(x) 由方程 sin x   (u)du  0
x
所确定，其中可导函数 (u)  0, 且 (0)  (0)  1, 求 y  (0).
y
【解】 在 sin x   (u)du  0 中令 x  0 得 y  0
x
y
等式 sin x   (u)du  0 两端对 x 求导得
x
cos x  [( y) y  (x)]  0
y  (0)  2
 sin x [ ( y) y 2 ( y) y   (x)]  0
y  (0)  326武忠祥考研
（三) 参数方程的导数
dy y  (t) d 2 y y  (t)x  (t)  x  (t) y  (t)
公式：
 ;  ;
 2 3
dx x (t) dx x (t)
方法： 一阶导数代公式，二阶导数利用
2 
d y d y (t) 1
 ( ) .
2  
dx dt x (t) x (t)
x  f  (t) d 2 y
【例1】设 f  (t)  0 ,又  , 求 .
 y  tf  (t)  f (t) dx 2
dy y  (t) f  (t)  tf  (t)  f  (t)
【解】
   t
 
dx x (t) f (t)
2
d y d d dt 1 1
 (t)  (t)  1 
dx 2 dx dt dx x  (t) f  (t)26武忠祥考研
 x  3t 2  2t  3 d 2 y
【例2】设 y  y(x) 由  所确定,求 .
e y sin t  y  1  0 dx 2
t0
【解】 本题最简单的方法是利用公式
d 2 y y  (0)x  (0)  x  (0) y  (0)

2 3
dx x (0)
t0
d 2 y 2e 2  3e

2
dx 4
t026武忠祥考研
x  2t  t ,
【例3】已知 y  f (x) 由 确定，则（ ）

y  t sin t

A. f (x) 连续, f  (0) 不存在. B. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.
C. f  (x) 连续, f  (0) 不存在. D. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.
 x x
 sin , x  0
【解1】f (x)   .
3 3
   x sin x, x  0
1 x x x
sin  cos  0
2
3 3 9 3
f  (0)  lim 

 x 9
1 x x x x0
sin  cos , x  0

3 3 9 3  sin x  x cos x

f  (x)   0, x  0 . f  (0)  lim  2

 x
x0

 sin x  x cos x, x  0

26武忠祥考研
x  2t  t ,
【例3】已知 y  f (x) 由 确定，则（ ）

y  t sin t

A. f (x) 连续, f  (0) 不存在. B. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.
C. f  (x) 连续, f  (0) 不存在. D. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.

f (0)

2!
 x x  x 2
 sin , x  0    ， x  0
【解2】
f (x)   3 3   9
   x sin x, x  0    x 2  , x  0.

f (0)
f  (0)  0 
2!

f (0)
f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2  
2!26武忠祥考研
（四) 反函数求导法
【例】设 y  f (x) 的反函数是 x ( y), 且 f (x)   2x e t 2 dt  1, 则  (1)  ______ .
1
1
【解】 由反函数导数公式得  ( y) 

f (x)

d 1 dx f (x) 1
 ( y)  [ ]   
  2 
dx f (x) dy [ f (x)] f (x)
1
由 f (x)   2x e t 2 dt  1 知， y  1 时 x 
1 2
2 2
f  (x)  2e 4x , f  (x)  16xe 4x
1

f ( )
8e 1
2
 (1)      
1 8e 3 e 2
 3
[ f ( )]
226武忠祥考研
（五) 对数求导法
对数求导法适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等.
【例1】设 y  (1  x 2 ) sin x,求 y  .
【解】 ln y  sin xln(1 x 2 )

y 2xsin x
 cos x ln(1  x 2 ) 
y 1  x 2
 2x sin x
y   (1  x 2 ) sin x cos x ln(1  x 2 ) 
 
 1  x 2 26武忠祥考研
(x  1)(x  2)
【例2】设 y  , 求 y  .
3
x(1  x 2 )
1
【解】 ln y  [ln x  1  ln x  2  ln x  ln(1  x 2 )]
3

y 1  1 1 1 2x 
   
 
y 3  x  1 x  2 x 1  x 2 
1 (x  1)(x  2)  1 1 1 2x 
3
y     
 
3 x(1  x 2 )  x  1 x  2 x 1  x 2  (n)
f (0) f (0)
（六) 高阶导数 f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2    x n  o(x n )
2! n!
常用方法：
2 n
x x
ln(1  x)  x     (1) n1 (x n )
2 n
1）代公式;
2）求一阶 y  , 二阶 y  , 归纳 阶导数 y (n) ;
n
3）利用泰勒级数(公式）；
 (n) (n)
f (x ) f (x )
f (x)   0 (x  x ) n ; a  0
0 n
n! n!
n0
(n)
f (x )
f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n (x  x ) n
0 0 0 0 0
n!26武忠祥考研
x
【例1】设 f (x)  ,求 f (n) (x).
x 2  5x  6
x x 3 2
【解】 f (x)    
x 2  5x  6 (x  2)( x  3) x  3 x  2
(n) (n)
 3   2 
f (n) (x)      
 x  3  x  2
1
令 (x)   (x  3) 1 ,
x  3
 (x)  ( 1 )( x  3 )  2  (x)  (1)(2)(x  3) 3
(1) n n!
(n) (x)  (1) n n!(x  3) (n1) 
(x  3)
n1
3(1) n n! 2(1) n n!
则 f (n) (x)  
(x  3)
n1
(x  2)
n126武忠祥考研
【例2】设 f (x)  e x sin x, 求 f (n) (x).
【解】 f  (x)  e x sin x  e x cos x
 e x (sin x  cos x)

 2e x sin(x  )
4

f (n) (x)  ( 2) n e x sin( x  n )
426武忠祥考研
【例3】设 f (x)  sin 4 x  cos 4 x ,求 f (n) (x).
1
【解】 f (x)  1  2sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2x
2
f  (x)  2sin 2x cos 2x   sin4x

f (n) (x)  4 n1 sin(4x  (n  1) )
226武忠祥考研
【例4】求函数 f (x)  x 2 ln(1 x) 在 x  0 处的 n(n  2) 阶导数.
n
【解1】利用公式 (uv) (n)   C k u (k) v (nk)
n
k0
令 u  x 2 , v  ln(1  x),
u   2x,u   2,u (k)  0 (k  2)
f (n) (0)  C 2 u (2) (0) v (n2) (0)
n
1
v    (x  1) 1 , v   (1)(x  1) 2
1  x
(1)
n1
(n  3)!
v (n2)  (1) n3 (n  3)!(x  1) (n2)  v (n2) (0)  (1) n1 (n  3)!
(x  1)
n2
n(n  1) (1) n1 n!
f (n) (0)  2(1) n1 (n  3)!
2! n  226武忠祥考研
【例4】求函数 f (x)  x 2 ln(1 x) 在 x  0 处的 n(n  2) 阶导数.
x 2 (1) n1 x n
【解2】 f (x)  x 2 (x      )
2 n
x 4 (1) n1 x n2
 x 3      
2 n
(1) n3 (1) n1 f (n) (0)
a   
n (n  2) n  2 n!
(1)
n1
n!
则 f (n) (0)  a n! 
n
(n  2)26武忠祥考研
第二节 导数应用
本节内容要点
一. 考试内容要点精讲
（一）微分中值定理
（二）极值与最值
（三）曲线的凹向与拐点
（四）曲线的渐近线
（五）平面曲线的曲率（数三不要求）26武忠祥考研
二. 常考题型方法与技巧
题型一 函数的单调性 极值与最值
题型二 曲线的凹向 拐点 渐近线及曲率
题型三 方程根的存在性及个数
题型四 证明函数不等式
题型五 微分中值定理有关的证明题一. 考试内容要点精讲 26武忠祥考研
（一）微分中值定理
罗尔定理
若 1） 在 上连续；
f (x) [a,b]
2） 在 内可导；
f (x) (a,b)
3） f (a)  f (b);
则  (a,b), 使 f  ()  0.
拉格朗日定理
若 1） 在 上连续；
f (x) [a,b]
2） 在 内可导；
f (x) (a,b)
则  (a,b), 使
f (b)  f (a)
 f  ().
b  a26武忠祥考研
柯西定理
若 1）f (x), g(x) 在 [a,b] 上连续；
2） f (x), g(x) 在 (a,b) 内可导,且 g  ( x)  0;
f (b)  f (a) f  ()
则  (a,b), 使  .
g(b)  g(a) g  ()
泰勒定理（拉格朗日余项）
设 f ( x) 在区间 I 上 (n  1) 阶可导, x  I, 那么对 x  I,
0
至少存在一个 , 使
(n)
f (x )
f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  R (x)
0 0 0 0 n
n!
f (n1) ()
其中 R (x)  (x  x ) n1 ,  在 x 与 x 之间.
0
n (n  1)! 026武忠祥考研
【注】（1）本质 f  ()  0.
f (b)  f (a)
 f  ().
（2）四个中值定理的关系
b  a
f (b)  f (a) f  ()
 .
g(b)  g(a) g  ()
f (n) (x ) f (n1) ()
f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  (x  x ) n1
0 0 0 n! 0 (n  1)! 0
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
泰勒中值定理26武忠祥考研
（二）极值与最值
若 使得
1. 极值的概念   0,
x U(x ,) 恒有 f (x)  f (x ), 则称 f ( x) 在 x 取极小值.
0 0 0
x U(x ,) 恒有 f (x)  f (x ), 则称 f ( x) 在 x 取极大值.
0 0 0
2. 极值的必要条件
若 f ( x) 在 x 处取得极值，且在 x 处可导，则
0 0
f  ( x )  0
 f  (x )  0
0
0
可能的极值点 
 不存在
 f (x )
0
极值点 驻点26武忠祥考研
3）极值的充分条件
(1)第一充分条件
设 f  (x )  0 （或 f (x) 在 x 处连续),且在 x 的某去心邻域
0 0 0

U(x ,) 内可导
0
（1）若 x  (x , x ) 时， f  (x)  0, 而 x  (x , x ) 时，
0 0 0 0
f  (x)  0, 则 f (x) 在 x 处取得极大值；
0
（2）若 x  (x , x ) 时， f  (x)  0, 而 x  (x , x ) 时，
0 0 0 0
f  (x)  0, 则 f (x) 在 x 处取得极小值；
0

（3）若 x U(x ,) 时， f  (x) 不变号，则 f (x) 在 x 处没
0 0
有极值；26武忠祥考研
(2)第二充分条件
设 f ( x) 在 x 处二阶可导,且 f  (x )  0, f  (x )  0, 则
0
0 0
（1）当 f  (x )  0, f (x) 在 x 处取极大值.
0 0
（2）当 f  (x )  0, f (x) 在 x 处取极小值.
0 0
(3)第三充分条件
设 f ( x) 在 x 处 n(n  2) 阶可导,且
0
f  (x )  f  (x )    f (n1) (x )  0, 但 f (n) (x )  0, 则
0 0 0 0
（1)当 n 为偶数时 f ( x) 在 x 处取得极值.其中当 f (n) (x )  0
0 0
时取极小值，当 f (n) (x )  0 时取极大值.
0
(2)当 n 为奇数时 f ( x) 在 x 处无极值；
026武忠祥考研
4）函数的最值
（1）求连续函数 在 上的最值
f ( x) [a,b]
第一步：求出 在 内的驻点和不可导的点
f (x) (a,b)
x , x , x ;
1 2 n
第二步：求出函数值
f (x ), f (x ), f (x ), f (a), f (b);
1 2 n
第三步：比较以上各点函数值.
【注】 若连续函数 在 内仅有唯一极值点，
f (x) [a,b]
（2）最大最小值的应用题
第一步：建立目标函数
第二步：26武忠祥考研
（三）曲线的凹向与拐点
1）曲线的凹向
x  x f (x )  f (x )
（1）定义：
凹 f ( 1 2 )  1 2
2 2
x  x f (x )  f (x )
凸 f ( 1 2 )  1 2
2 2
（2）判定：若在区间 上 f  (x)  0 ( 0),则曲线
I
y  f (x) 在 I 上是凹（凸）的.
2）曲线的拐点
（1）定义： 曲线 y  f (x) 在点 (x , f (x )) 两侧凹凸性相反，
0 0
（2）判定：（一个必要，三个充分条件）26武忠祥考研
(四）曲线的渐近线
1.水平渐近线
若 lim f ( x)  A ( lim f (x)  A ,或 lim f ( x)  A ）那么
x x x
y  A 是 y  f ( x) 的水平渐近线.
2.垂直渐近线
若 lim f (x)  （或 lim f (x)  , 或 lim f (x)  )
xx xx  xx 
0 0 0
那么 x  x 是 y  f ( x) 的垂直渐近线.
0
3.斜渐近线
f (x)
若 lim  a , lim  f (x)  ax   b （或 x  , x  ),
x x x
那么 y  ax  b 是 f ( x) 的斜渐近线.26武忠祥考研
（五）平面曲线的曲率（数三不要求）

1.曲率的定义
K  lim
s0
s
2.曲率的计算

| y |
1）若曲线由 y  y(x) 给出,则 K 
3
(1 y 2 )2
x  x(t) | y  x   y  x  |
2）若曲线由 给出,则
 K 
 y  y(t) (x 2  y 2 ) 3/2
3.曲率圆与曲率半径
1
曲率半径
R 
K2266武武忠忠祥祥考考研研
祝同学们
考研路上一路顺利！