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2023 年广东省初中学业水平考试数学
满分120分，考试用时90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作 元，那么支
出5元记作（ ）
.
A 元 B. 0元 C. 元 D. 元
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的意义可进行求解．
【详解】解：由把收入5元记作 元，可知支出5元记作 元；
故选A．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问
题可求解．
【详解】解：符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完
全重合；
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
3. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升
燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 10
时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为 ；
故选B
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4. 如图，街道 与 平行，拐角 ，则拐角 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质可进行求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5. 计算 的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】解：原式 ；故选C．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
6. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割比可进行求解．
【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；
故选A．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
7. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一
门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8. 一元一次不等式组 的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.
【详解】解：
解不等式 得：结合 得：不等式组的解集是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
9. 如图， 是 的直径， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
的
【详解】解：∵ 是 直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
10. 如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点A，B，C，点B在 轴上，则 的值为（
）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，交 y 轴于点 D，根据正方形的性质可知 ，然后可得点
，进而代入求解即可．
【详解】解：连接 ，交y轴于点D，如图所示：
当 时，则 ，即 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴点 ，
∴ ，解得： ，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形
的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解： ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式是解题关键．
12. 计算 _________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解： ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
13. 某蓄电池的电压为 ，使用此蓄电池时，电流 (单位： )与电阻 (单位： )的函数表达式为
，当 时， 的值为_______ ．
【答案】4
【解析】
【分析】将 代入 中计算即可；【详解】解：∵ ，
∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
14. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于 ，则最多可打_______
折．
【答案】8.8
【解析】
【分析】设打x折，由题意可得 ，然后求解即可．
【详解】解：设打x折，由题意得 ，
解得： ；
故答案为8.8．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
15. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分
的面积为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，由题意可知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为15．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的
性质与判定是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算： ；
（2）已知一次函数 的图象经过点 与点 ，求该一次函数的表达式．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先求出立方根及有理数的乘方运算，绝对值的化简，然后计算加减法即可；（2）将两个点代入解析式求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵一次函数 的图象经过点 与点 ，
∴代入解析式得： ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为： ．
【点睛】题目主要考查实数的混合运算及待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握这些基础知识点是解
题关键．
17. 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 ，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的
速度是乙的 倍，结果甲比乙早到 ，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为 千米/分钟．
【解析】
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 千米/分钟，根据时间=
路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 千米/分钟，
根据题意得： ，
解得： ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意，答：乙同学骑自行车的速度为 千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
18. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中
的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂 ，两臂夹角
时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 ，参考数据 ， ，
)
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，作作 于 D，由等腰三角形“三线合一”性质可知， ，
，在 中利用 求出 ，继而求出 即可．
【详解】解：连接 ，作 于D，
∵ ， ，
∴ 是边 边上的中线，也是 的角平分线，
∴ ， ，在 中， ， ，
∴ ，
∴
∴
答：A，B两点间的距离为 ．
【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
在
19. 如图， 中， ．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点 作 边上的高 ；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在 上
找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再
找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高 所在的直
线，据此画图即可；
（2）先利用 度角 余的弦值求出 ，再由 计算即可．
【小问1详解】
解：依题意作图如下，则 即为所求作的高：【小问2详解】
∵ ， ， 是 边上的高，
∴ ，即 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即 的长为 ．
【点睛】本题考查尺规作图—作垂线， 度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和 度角的余
弦值是解题的关键．
20. 综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
（1）直接写出纸板上 与纸盒上 的大小关系；（2）证明（1）中你发现的结论．
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1） 和 均是等腰直角三角形， ；
（2）证明 是等腰直角三角形即可.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
证明：连接 ，
设小正方形边长为1，则 ， ，
，
为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
，
故
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
21. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，
数据统计如下：(单位：min)
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1
A线路所用时间 32 15 16 34 21 14 35 20
5 8
2 2
B线路所用时间 29 23 25 27 31 28 30 24
5 6
数据折线统计图
根据以上信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 a 15 63.2
B线路所用时间 b 26.5 c 6.36
（1）填空： __________； ___________； ___________；
（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
【答案】（1）19，26.8，25
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数定义将A线路所用时间按从小到大的顺序排列，求中间两个数的平均数即为A
线路所用时间的中位数a，利用平均数的定义求出B线路所用时间的平均数b，找出B线路所用时间中出
现次数最多的数据即为B线路所用时间的众数c，从而得解；
（2）根据四个统计量分析，然后根据分析结果提出建议即可．
【小问1详解】解：将A线路所用时间按从小到大顺序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数
是18，20，
∴A线路所用时间的中位数为： ，
由题意可知B线路所用时间得平均数为： ，
∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，有两次，其他数据都是一次，
∴B线路所用时间的众数为：
故答案为：19，26.8，25；
【小问2详解】
根据统计量上来分析可知，A线路所用时间平均数小于B线路所用时间平均数线路，A线路所用时间中位
数也小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵
情况，B线路比较长，但交通畅通，总体上来讲A路线优于B路线．
因此，我的建议是：根据上学到校剩余时间而定，如果上学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，
则选择A路线，因为A路线的时间不大于21分钟的次数有7次，而B路线的时间都大于21分钟；如果剩
余时间不短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B路线，因为B路线的时间都不大于31分钟，而A
路线的时间大于31分钟有3次，选择B路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长，比如剩余时间是36
分钟，则选择A路线，在保证不迟到的情况，选择平均时间更少，中位数更小的路线．
【点睛】本题考查求平均数，中位数和众数，以及根据统计量做决策等知识，掌握统计量的求法是解题的
关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
.
22 综合探究
如图1，在矩形 中 ，对角线 相交于点 ，点 关于 的对称点为 ，连接
交 于点 ，连接 ．（1）求证： ；
（2）以点 为圆心， 为半径作圆．
①如图2， 与 相切，求证： ；
②如图3， 与 相切， ，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）由点 关于 的对称点为 可知点E是 的中点， ，从而得到 是
的中位线，继而得到 ，从而证明 ；
（2）①过点 O 作 于点 F，延长 交 于点 G，先证明 得到
，由 与 相切，得到 ，继而得到 ，从而证明 是 的角平
分线，即 ， ，求得 ，利用直角三角形两锐角互余得到
，从而得到 ，即 ，最后利用含 度角的直角三角形的
性质得出 ；
②先证明四边形 是正方形，得到 ，再利用 是 的中位线得到，从而得到 ， ，再利用平行线的性质得到 ，从而证
明 是等腰直角三角形， ，设 ，求得 ，在 中，
即 ， 解 得 ， 从 而 得 到 的 面 积 为
．
【小问1详解】
∵点 关于 的对称点为 ，
∴点E是 的中点， ，
又∵四边形 是矩形，
∴O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴
∴ ，
∴
【小问2详解】
①过点O作 于点F，延长 交 于点G，则 ，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 与 相切， 为半径， ，
∴ ，
∴
又∵ 即 ， ，
∴ 是 的角平分线，即 ，
设 ，则 ，
又∵
∴
∴
又∵ ，即 是直角三角形，
∴ ，即
解得： ，
∴ ，即 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；②过点O作 于点H，
∵ 与 相切，
∴ ，
∵
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ 是 的中位线，
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
又∵ ，
∴
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，设 ，则
∴
在 中， ，
即
∴
∴ 的面积为：
【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性
质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关
键．
23. 综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A在 轴的正半轴上，如图2，将正方形 绕点
逆时针旋转，旋转角为 ， 交直线 于点 ， 交 轴于点 ．
（1）当旋转角 为多少度时， ；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点 ，求 的长；
（3）如图3，对角线 交 轴于点 ，交直线 于点 ，连接 ，将 与 的面积分别记为 与 ，设 ， ，求 关于 的函数表达式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出 ，再由题意得出
，即可求解；
（2）过点A作 轴，根据勾股定理及点的坐标得出 ，再由相似三角形的判定和性质求解即
可；
（3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出 O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形
的判定和性质得出 ， ，过点N作 于点G，交 于点Q，利用全等三
角形及矩形的判定和性质得出 ，结合图形分别表示出 ， ，得出
，再由等腰直角三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵正方形 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 交直线 于点 ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
【小问2详解】
过点A作 轴，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ；
【小问3详解】
∵正方形 ，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴O、C、F、N四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
过点N作 于点G，交 于点Q，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴
【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
