(223)--高数强化21笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（21）
21 傅里叶级数；向量代数与空间解析几何；曲面切平面，曲线法线 P228-245
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
第三节 傅里叶级数
本节内容要点
一. 考试内容要点精讲
(一）傅里叶系数与傅里叶级数
（二）收敛定理（狄利克雷）
（三）函数展开为傅里叶级数
二. 常考题型方法与技巧
题型一 有关收敛定理的问题
题型二 将函数展开为傅里叶级数26武忠祥考研
一. 考试内容要点精讲
1. 傅里叶系数与傅里叶级数:
a 
f (x) ~ 0   (a cosnx  b sin nx)
n n
2
n1
1

a   f (x)cosnxdx n  0,1,2
n  
1

b   f (x)sin nxdx n  1,2   
n  
2. 收敛定理
设 f ( x) 在 [,] 上连续或有有限个第一类间断点,且只
有有限个极值点,则
f ( x)
的傅里叶级数在 [,] 上处处收
敛,且收敛于
i) 当 为 的连续点；
f ( x) x f ( x)26武忠祥考研
f ( x  0)  f ( x  0)
ii) 当 为 的间断点.
x f ( x)
2
f (  0)  f (  0)
iii) 当 x  .
2
3. 周期为 2 的函数的展开.
(1) [,] 上展开.
1

a   f (x)cosnxdx n  0,1,2
n  
1

b   f (x)sin nxdx n  1,2   
n  
(2) [,] 上奇偶函数的展开.
i) f ( x) 为奇函数 a  0, n  0,1,2
n
2

b   f (x)sin nxdx n  1,2   
n
 026武忠祥考研
ii) 为偶函数.
f ( x)
2

a   f (x)cosnxdx n  0,1,2
n
 0
b  0 n  1,2   
n
(3) 在 [0,] 上展为正弦或展为余弦.
i)展为正弦.
a  0, n  0,1,2
n
2

b   f (x)sin nxdx n  1,2   
n
 0
ii)展为余弦.
2

a   f (x)cosnxdx n  0,1,2
n
 0
b  0 n  1,2   
n26武忠祥考研
4. 周期为 2l 的函数的展开.
(1) [l,l] 上展开.
1 nx
l
a   f (x)cos dx n  0,1,2
n l l l
1 nx
l
b   f (x)sin dx n  1,2   
n l l l
(2) [l,l] 上奇偶函数的展开.
i) 为奇函数.
f ( x)
a  0, n  0,1,2
n
2 nx
l
b   f (x)sin dx n  1,2   
n
l 0 l
ii) 为偶函数.
f ( x )
2 nx
l n  0,1,2
a   f (x)cos dx
n
l 0 l26武忠祥考研
b  0 n  1,2   
n
(3)在 上展为正弦或展为余弦.
[0, l]
i)展为正弦.
n  0,1,2
a  0,
n
2 nx
l n  1,2   
b   f (x)sin dx
n
l 0 l
ii)展为余弦.
2 nx
l
a   f (x)cos dx n  0,1,2
n
l 0 l
b  0 n  1,2   
n26武忠祥考研
题型一 有关收敛定理的问题
 1,  x  0,
【例1】函数 f (x)   在 [,]
1, 0  x  ,
上展开为傅里级数的和函数
S( x)  _____ .
【解】 由收敛定理知
 1, x  0,

1,0  x  ,
S(x)  
0, x  0,


0, x  .26武忠祥考研
【例3】设函数 f (x)  x 2 ,0  x  1, 而


S(x)  b sin nx,    x  
n
n1
 1 
1
其中 b  2  f ( x ) s in n  xdx, n  1,2,3, 则 S   等于（ ）
n
0  2
1 1
（A）  （B） 
2 4
1
1
（C） （D）
2
423武忠祥考研
 1
x, 0  x 

2
【例4】设 f (x)   ;
1
 2  2x,  x  1;

2

a

S(x)  0  a cos nx, (  x  )
n
2
n1
5
1
其中 a  2 f (x)cos nxdx,(n  0,1,2,) ,则 S( ) 等于
n
0 2
1 1 3 3
(A) (B) (C) (D)
 
2 2 4 4 1
0, 0  x 
 
【例】(2025)已知函数 f (x)   2 的傅里叶级数为  b sin nx,
1 n
 x 2 ,  x  1 n1

2

7
S(x) 为  b sin nx 的和函数，则 S( )  __________ . 1
（ ）
n
2 8
n1题型二 将函数展开为傅里叶级数

a
【例】(24年1）已知函数 f (x)  x  1, 若 f (x)  0   a cos nx, x [0,],
n
2
n1
则 lim n 2 sin a  ___________ .
2n1
n
2  2 
【解】 a   (x  1)cos nxdx   (x  1)d sin nx
n

0
n
0
2  2
   sin nxdx  [(1) n  1]
n
0 n
2
 4 1
a  lim n 2 sin a  
2n1 (2n  1) 2 n 2n1 26武忠祥考研
【例2】将函数 展开成以2
f (x)  2  x (1  x  1)

1
为周期的傅里叶级数，并由此求级数  的和
2
n
n1
【解】 由于 f (x)  2  x (1  x  1) 是偶函数,所以
1
b  0, n  1,2, a  2  (2  x)dx  5,
n 0
0
2(cos n 1)
1 1
a  2  (2  x)cos nxdx  2  x cos nxdx  n  1,2,
n
0 0 n
22
5  2(cos n 1) 5 4  cos(2n  1)x
 
2  x   cos nx   x [1,1].
2 n 22 2 2 (2n  1) 2
n1 n0
  1 2
5 4 1
当 x  0 时， 2    ,从而   .
2 2 (2n  1) 2 (2n  1) 2 8
n0
n0
    
1 1 1 1 1 1
        
n 2 (2n  1) 2 (2n) 2 (2n  1) 2 4 n 2
n1 n0 n1 n0 n126武忠祥考研
【例3】设 ,将 展成以10为周期
f ( x)  10  x,(5  x  15) f ( x)
的傅里叶级数.
1 1
15 15
【解】 a   f (x)dx   (10  x)dx  0
0
5 5 5 5
1 nx 1 nx
15 15
a   f (x)cos dx   (10  x)cos dx  0
n
5 5 5 5 5 5
1 nx 1 nx 10
15 15
b   f (x)sin dx   (10  x)sin dx  (1) n
n
5 5 5 5 5 5 n
10  (1) n nx

f (x)  10  x  sin x  (5,15)
 n 5
n1
x  5, x  15 收敛于 0.26武忠祥考研
第八章 向量代数与空间解析几何及
多元微分学在几何上的应用
第一节 向量代数
第二节 空间平面与直线
第三节 曲面与空间曲线
第四节 多元微分在几何上的应用
第五节 方向导数与梯度第一节 向 量 代 数
26武忠祥考研
1. 数量积
1）几何表示： a  b | a || b | cos
2) 代数表示: ab  a b  a b  a b
x x y y z z
3) 运算规律:
i) 交换律: ab  ba
ii) 分配律: a  (b  c)  a  b  a  c.
4) 几何应用:
i) 求模: | a | a  a
a  b
ii) 求夹角: cos
| a || b |
iii) 判定两向量垂直: a  b  a  b  026武忠祥考研
2. 向量积
1) 几何表示: a  b 是一向量. 模: | a  b || a | | b | sin 方向: 右手法则.
i j k
2) 代数表示:
a  b  a a a
x y z
b b b
x y z
3) 运算规律
i)a  b  (b a)
ii) 分配律: a (b  c)  a b  a c
4) 几何应用:
i) 求同时垂直于 a 和 的向量: a  b
b
ii) 求以 和 为邻边的平行四边形面积:
a b S  a  b
iii) 判定两向量平行: a // b  a  b  026武忠祥考研
3. 混合积 (abc)  (a  b)  c
a a a
x y z
1) 代数表示:
(abc)  b b b
x y z
c c c
2) 运算规律: x y z
i) 轮换对称性:
(abc)  (bca)  (cab)
ii) 交换变号: (abc)  (acb)
3) 几何应用
i)
V  | (abc) |
平行六面体
ii)判定三向量共面: a,b,c 共面26武忠祥考研
第二节 空间平面与直 线
1. 平面方程
1）一般式：
Ax  By  Cz  D  0. n  {A, B,C}
2) 点法式: A(x  x )  B( y  y )  C(z  z )  0
0 0 0
x y z
3) 截距式:
   1
a b c
2. 直线方程
A x  B y  C z  D  0
1)一般式: 1 1 1 1

 A x  B y  C z  D  0
2 2 2 2
x  x y  y z  z
2)对称式:
0  0  0
l m n
3)参数式:
x  x  lt, y  y  mt , z  z  nt.
0 0 026武忠祥考研
3. 平面与直线的位置关系（平行、垂直、夹角）
关键：平面的法线向量，直线的方向向量。
4. 点到面的距离
点 (x , y , z ) 到平面 Ax  By  Cy  D  0 的距离.
0 0 0
Ax  By  Cz  D
d  0 0 0
A 2  B 2  C 2
5.点到直线距离
x  x y  y z  z
点 到直线
(x , y , z ) 1  1  1
0 0 0
l m n
{x  x , y  y , z  z }{l,m,n}
d  1 0 1 0 1 0
l 2  m 2  n 2第三节 曲面与空间曲线 26武忠祥考研
1. 曲面方程 一般式 F (x, y, z)  0 或 z  f ( x, y)
2. 空间曲线
x  x(t)
 F(x, y, z)  0
i)参数式: ii)一般式:
 y  y(t) 
G(x, y, z)  0


z  z(t)
3. 常见曲面
1)旋转面: 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转;
 f ( y, z)  0
设 是 yoz 平面上一条曲线，其方程是 则
L  ,
 x  0
（1） L 绕 y 轴旋转所得旋转面方程为 f ( y, x 2  z 2 )  0.
（2） L 绕 z 轴旋转所得旋转面方程为 f ( x 2  y 2 , z)  0.26武忠祥考研
2) 柱面: 平行于定直线并沿定曲线移动的直线L形成
的轨迹;
 f (x, y)  0
（1）准线为 母线平行于 轴的柱面方程
 :  , z
 z  0
为 f ( x, y)  0;
F(x, y, z)  0
（2）准线为  :  母线平行于 z 轴的柱面方程
G(x, y, z)  0
为
H(x, y)  0.
3) 二次曲面
2 2
x y
（1）椭圆锥面   z 2 ; 特别的:圆锥面 x 2  y 2  z 2
2 2
a b
2 2 2
x y z
（2）椭球面    1; 特别的:球面 x 2  y 2  z 2  R 2
2 2 2
a b c26武忠祥考研
2 2 2
x y z
（3）单叶双曲面
   1
2 2 2
a b c
2 2 2
x y z
（4）双叶双曲面    1
2 2 2
a b c
2 2
x y
（5）椭圆抛物面
  z;
2 2
a b
特别的：旋转抛物面
z  x 2  y 2
2 2
x y
（6）双曲抛物面 （马鞍面）
  z
2 2
a b
4）空间曲线投影
F(x, y, z)  0 H(x, y)  0
曲线 在 面上的投影曲线方程为
 :  xoy  .
G(x, y, z)  0  z  026武忠祥考研
题型二 建立旋转面方程
【例1】求下列曲线绕指定的轴旋转产生的旋转面的方程
 2x 2  y 2  1
分别绕 轴和 轴旋转.
x y
1) 
 z  0
z  y 2
分别绕 y 轴和 z 轴旋转.
2) 
 x  0
【解】 1）绕 x 轴： 2x 2  y 2  z 2  1
绕 y 轴： 2(x 2  z 2 )  y 2  1
2）绕 y 轴： x 2  z 2  y 4
绕 z 轴： z  y 2  x 226武忠祥考研
x  1 y z  1
【例2】 求直线 L :   绕 z 轴旋转所得旋转
0 1 2
面方程.
【解】设 为旋转面上任一点,它对应曲线 上的点为
( x, y, z) L
则
(x , y , z ),
0 0 0
z  z , x 2  y 2  x 2  y 2
0 0 0
x  1 y z  1
0  0  0
0 1 2
z  1 (z  1) 2
x 2  y 2  1 2  ( 0 ) 2  1 
2 4
(z  1) 2
x 2  y 2   1
4第四节 多元微分在几何上的应用
1. 曲面的切平面与法线
1) 曲面 F(x, y, z)  0 法向量: n  {F , F , F }
x y z
2) 曲面 z  f (x, y) 法向量: n  { f , f ,1}
x y
2. 曲线的切线与法平面
x  x(t)

1)曲线  y  y(t) 切向量: τ  {x  (t ), y  (t ), z  (t )}
0 0 0


z  z(t)
F(x, y, z)  0
2)曲线 切向量: τ  n  n

1 2
G(x, y, z)  0
其中 n  {F , F , F }, n  {G ,G ,G }
1 x y z 2 x y z题型一 建立曲面的切平面和法线方程
【例】(2023)曲面 z  x  2 y  ln(1  x 2  y 2 ) 在 (0,0,0) 点处的切平面为 _________ .
x  2 y  z  0【例4】 已知曲面 e 2xz  f (y  2z), 且 f 可微,证明该曲面为柱面.
【证】 令
F(x, y, z)  e
2xz
 f (y  2z)
则
F  2e 2xz , F  f  , F  e 2xz  2 f 
x y z
n  {2e 2xz ,f  ,e 2xz  2 f  }
1 2
设 a  {l,m,n}, 取 l  , m  , n  1

2
则有
a  n  0题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程
x 2  y 2  z 2  6
【例2】求曲线

在点 (1,2,1) 处的切线和法
 x  y  z  0
平面方程.
【解】 n  {1,2,1} n  {1,1,1}
1 2
i j k
  n  n  1  2 1  3i  3k
1 2
1 1 1
x  1 y  2 z  1
 
 3 0 3
 3(x  1)  3(z  1)  026武忠祥考研
祝同学们
考研路上一路顺利！