(223)--高数强化21笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（21） 21 傅里叶级数；向量代数与空间解析几何；曲面切平面，曲线法线 P228-245 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第三节 傅里叶级数 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 (一）傅里叶系数与傅里叶级数 （二）收敛定理（狄利克雷） （三）函数展开为傅里叶级数 二. 常考题型方法与技巧 题型一 有关收敛定理的问题 题型二 将函数展开为傅里叶级数26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 1. 傅里叶系数与傅里叶级数: a  f (x) ~ 0   (a cosnx  b sin nx) n n 2 n1 1  a   f (x)cosnxdx n  0,1,2 n   1  b   f (x)sin nxdx n  1,2    n   2. 收敛定理 设 f ( x) 在 [,] 上连续或有有限个第一类间断点,且只 有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数在 [,] 上处处收 敛,且收敛于 i) 当 为 的连续点； f ( x) x f ( x)26武忠祥考研 f ( x  0)  f ( x  0) ii) 当 为 的间断点. x f ( x) 2 f (  0)  f (  0) iii) 当 x  . 2 3. 周期为 2 的函数的展开. (1) [,] 上展开. 1  a   f (x)cosnxdx n  0,1,2 n   1  b   f (x)sin nxdx n  1,2    n   (2) [,] 上奇偶函数的展开. i) f ( x) 为奇函数 a  0, n  0,1,2 n 2  b   f (x)sin nxdx n  1,2    n  026武忠祥考研 ii) 为偶函数. f ( x) 2  a   f (x)cosnxdx n  0,1,2 n  0 b  0 n  1,2    n (3) 在 [0,] 上展为正弦或展为余弦. i)展为正弦. a  0, n  0,1,2 n 2  b   f (x)sin nxdx n  1,2    n  0 ii)展为余弦. 2  a   f (x)cosnxdx n  0,1,2 n  0 b  0 n  1,2    n26武忠祥考研 4. 周期为 2l 的函数的展开. (1) [l,l] 上展开. 1 nx l a   f (x)cos dx n  0,1,2 n l l l 1 nx l b   f (x)sin dx n  1,2    n l l l (2) [l,l] 上奇偶函数的展开. i) 为奇函数. f ( x) a  0, n  0,1,2 n 2 nx l b   f (x)sin dx n  1,2    n l 0 l ii) 为偶函数. f ( x ) 2 nx l n  0,1,2 a   f (x)cos dx n l 0 l26武忠祥考研 b  0 n  1,2    n (3)在 上展为正弦或展为余弦. [0, l] i)展为正弦. n  0,1,2 a  0, n 2 nx l n  1,2    b   f (x)sin dx n l 0 l ii)展为余弦. 2 nx l a   f (x)cos dx n  0,1,2 n l 0 l b  0 n  1,2    n26武忠祥考研 题型一 有关收敛定理的问题  1,  x  0, 【例1】函数 f (x)   在 [,] 1, 0  x  , 上展开为傅里级数的和函数 S( x)  _____ . 【解】 由收敛定理知  1, x  0,  1,0  x  , S(x)   0, x  0,   0, x  .26武忠祥考研 【例3】设函数 f (x)  x 2 ,0  x  1, 而   S(x)  b sin nx,    x   n n1  1  1 其中 b  2  f ( x ) s in n  xdx, n  1,2,3, 则 S   等于（ ） n 0  2 1 1 （A）  （B）  2 4 1 1 （C） （D） 2 423武忠祥考研  1 x, 0  x   2 【例4】设 f (x)   ; 1  2  2x,  x  1;  2  a  S(x)  0  a cos nx, (  x  ) n 2 n1 5 1 其中 a  2 f (x)cos nxdx,(n  0,1,2,) ,则 S( ) 等于 n 0 2 1 1 3 3 (A) (B) (C) (D)   2 2 4 4 1 0, 0  x    【例】(2025)已知函数 f (x)   2 的傅里叶级数为  b sin nx, 1 n  x 2 ,  x  1 n1  2  7 S(x) 为  b sin nx 的和函数，则 S( )  __________ . 1 （ ） n 2 8 n1题型二 将函数展开为傅里叶级数  a 【例】(24年1）已知函数 f (x)  x  1, 若 f (x)  0   a cos nx, x [0,], n 2 n1 则 lim n 2 sin a  ___________ . 2n1 n 2  2  【解】 a   (x  1)cos nxdx   (x  1)d sin nx n  0 n 0 2  2    sin nxdx  [(1) n  1] n 0 n 2  4 1 a  lim n 2 sin a   2n1 (2n  1) 2 n 2n1 26武忠祥考研 【例2】将函数 展开成以2 f (x)  2  x (1  x  1)  1 为周期的傅里叶级数，并由此求级数  的和 2 n n1 【解】 由于 f (x)  2  x (1  x  1) 是偶函数,所以 1 b  0, n  1,2, a  2  (2  x)dx  5, n 0 0 2(cos n 1) 1 1 a  2  (2  x)cos nxdx  2  x cos nxdx  n  1,2, n 0 0 n 22 5  2(cos n 1) 5 4  cos(2n  1)x   2  x   cos nx   x [1,1]. 2 n 22 2 2 (2n  1) 2 n1 n0   1 2 5 4 1 当 x  0 时， 2    ,从而   . 2 2 (2n  1) 2 (2n  1) 2 8 n0 n0      1 1 1 1 1 1          n 2 (2n  1) 2 (2n) 2 (2n  1) 2 4 n 2 n1 n0 n1 n0 n126武忠祥考研 【例3】设 ,将 展成以10为周期 f ( x)  10  x,(5  x  15) f ( x) 的傅里叶级数. 1 1 15 15 【解】 a   f (x)dx   (10  x)dx  0 0 5 5 5 5 1 nx 1 nx 15 15 a   f (x)cos dx   (10  x)cos dx  0 n 5 5 5 5 5 5 1 nx 1 nx 10 15 15 b   f (x)sin dx   (10  x)sin dx  (1) n n 5 5 5 5 5 5 n 10  (1) n nx  f (x)  10  x  sin x  (5,15)  n 5 n1 x  5, x  15 收敛于 0.26武忠祥考研 第八章 向量代数与空间解析几何及 多元微分学在几何上的应用 第一节 向量代数 第二节 空间平面与直线 第三节 曲面与空间曲线 第四节 多元微分在几何上的应用 第五节 方向导数与梯度第一节 向 量 代 数 26武忠祥考研 1. 数量积 1）几何表示： a  b | a || b | cos 2) 代数表示: ab  a b  a b  a b x x y y z z 3) 运算规律: i) 交换律: ab  ba ii) 分配律: a  (b  c)  a  b  a  c. 4) 几何应用: i) 求模: | a | a  a a  b ii) 求夹角: cos | a || b | iii) 判定两向量垂直: a  b  a  b  026武忠祥考研 2. 向量积 1) 几何表示: a  b 是一向量. 模: | a  b || a | | b | sin 方向: 右手法则. i j k 2) 代数表示: a  b  a a a x y z b b b x y z 3) 运算规律 i)a  b  (b a) ii) 分配律: a (b  c)  a b  a c 4) 几何应用: i) 求同时垂直于 a 和 的向量: a  b b ii) 求以 和 为邻边的平行四边形面积: a b S  a  b iii) 判定两向量平行: a // b  a  b  026武忠祥考研 3. 混合积 (abc)  (a  b)  c a a a x y z 1) 代数表示: (abc)  b b b x y z c c c 2) 运算规律: x y z i) 轮换对称性: (abc)  (bca)  (cab) ii) 交换变号: (abc)  (acb) 3) 几何应用 i) V  | (abc) | 平行六面体 ii)判定三向量共面: a,b,c 共面26武忠祥考研 第二节 空间平面与直 线 1. 平面方程 1）一般式： Ax  By  Cz  D  0. n  {A, B,C} 2) 点法式: A(x  x )  B( y  y )  C(z  z )  0 0 0 0 x y z 3) 截距式:    1 a b c 2. 直线方程 A x  B y  C z  D  0 1)一般式: 1 1 1 1   A x  B y  C z  D  0 2 2 2 2 x  x y  y z  z 2)对称式: 0  0  0 l m n 3)参数式: x  x  lt, y  y  mt , z  z  nt. 0 0 026武忠祥考研 3. 平面与直线的位置关系（平行、垂直、夹角） 关键：平面的法线向量，直线的方向向量。 4. 点到面的距离 点 (x , y , z ) 到平面 Ax  By  Cy  D  0 的距离. 0 0 0 Ax  By  Cz  D d  0 0 0 A 2  B 2  C 2 5.点到直线距离 x  x y  y z  z 点 到直线 (x , y , z ) 1  1  1 0 0 0 l m n {x  x , y  y , z  z }{l,m,n} d  1 0 1 0 1 0 l 2  m 2  n 2第三节 曲面与空间曲线 26武忠祥考研 1. 曲面方程 一般式 F (x, y, z)  0 或 z  f ( x, y) 2. 空间曲线 x  x(t)  F(x, y, z)  0 i)参数式: ii)一般式:  y  y(t)  G(x, y, z)  0   z  z(t) 3. 常见曲面 1)旋转面: 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转;  f ( y, z)  0 设 是 yoz 平面上一条曲线，其方程是 则 L  ,  x  0 （1） L 绕 y 轴旋转所得旋转面方程为 f ( y, x 2  z 2 )  0. （2） L 绕 z 轴旋转所得旋转面方程为 f ( x 2  y 2 , z)  0.26武忠祥考研 2) 柱面: 平行于定直线并沿定曲线移动的直线L形成 的轨迹;  f (x, y)  0 （1）准线为 母线平行于 轴的柱面方程  :  , z  z  0 为 f ( x, y)  0; F(x, y, z)  0 （2）准线为  :  母线平行于 z 轴的柱面方程 G(x, y, z)  0 为 H(x, y)  0. 3) 二次曲面 2 2 x y （1）椭圆锥面   z 2 ; 特别的:圆锥面 x 2  y 2  z 2 2 2 a b 2 2 2 x y z （2）椭球面    1; 特别的:球面 x 2  y 2  z 2  R 2 2 2 2 a b c26武忠祥考研 2 2 2 x y z （3）单叶双曲面    1 2 2 2 a b c 2 2 2 x y z （4）双叶双曲面    1 2 2 2 a b c 2 2 x y （5）椭圆抛物面   z; 2 2 a b 特别的：旋转抛物面 z  x 2  y 2 2 2 x y （6）双曲抛物面 （马鞍面）   z 2 2 a b 4）空间曲线投影 F(x, y, z)  0 H(x, y)  0 曲线 在 面上的投影曲线方程为  :  xoy  . G(x, y, z)  0  z  026武忠祥考研 题型二 建立旋转面方程 【例1】求下列曲线绕指定的轴旋转产生的旋转面的方程  2x 2  y 2  1 分别绕 轴和 轴旋转. x y 1)   z  0 z  y 2 分别绕 y 轴和 z 轴旋转. 2)   x  0 【解】 1）绕 x 轴： 2x 2  y 2  z 2  1 绕 y 轴： 2(x 2  z 2 )  y 2  1 2）绕 y 轴： x 2  z 2  y 4 绕 z 轴： z  y 2  x 226武忠祥考研 x  1 y z  1 【例2】 求直线 L :   绕 z 轴旋转所得旋转 0 1 2 面方程. 【解】设 为旋转面上任一点,它对应曲线 上的点为 ( x, y, z) L 则 (x , y , z ), 0 0 0 z  z , x 2  y 2  x 2  y 2 0 0 0 x  1 y z  1 0  0  0 0 1 2 z  1 (z  1) 2 x 2  y 2  1 2  ( 0 ) 2  1  2 4 (z  1) 2 x 2  y 2   1 4第四节 多元微分在几何上的应用 1. 曲面的切平面与法线 1) 曲面 F(x, y, z)  0 法向量: n  {F , F , F } x y z 2) 曲面 z  f (x, y) 法向量: n  { f , f ,1} x y 2. 曲线的切线与法平面 x  x(t)  1)曲线  y  y(t) 切向量: τ  {x  (t ), y  (t ), z  (t )} 0 0 0   z  z(t) F(x, y, z)  0 2)曲线 切向量: τ  n  n  1 2 G(x, y, z)  0 其中 n  {F , F , F }, n  {G ,G ,G } 1 x y z 2 x y z题型一 建立曲面的切平面和法线方程 【例】(2023)曲面 z  x  2 y  ln(1  x 2  y 2 ) 在 (0,0,0) 点处的切平面为 _________ . x  2 y  z  0【例4】 已知曲面 e 2xz  f (y  2z), 且 f 可微,证明该曲面为柱面. 【证】 令 F(x, y, z)  e 2xz  f (y  2z) 则 F  2e 2xz , F  f  , F  e 2xz  2 f  x y z n  {2e 2xz ,f  ,e 2xz  2 f  } 1 2 设 a  {l,m,n}, 取 l  , m  , n  1  2 则有 a  n  0题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程 x 2  y 2  z 2  6 【例2】求曲线  在点 (1,2,1) 处的切线和法  x  y  z  0 平面方程. 【解】 n  {1,2,1} n  {1,1,1} 1 2 i j k   n  n  1  2 1  3i  3k 1 2 1 1 1 x  1 y  2 z  1    3 0 3  3(x  1)  3(z  1)  026武忠祥考研 祝同学们 考研路上一路顺利！