(17)--1.5-1.6笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高等数学精讲
主讲：武忠祥教授老师简介
主讲人
武忠祥老师
n 李永乐考研团队
核心成员
n 原西安交通大学数学系教授
n 美国爱荷华大学访问学者
n 面向二十一世纪国家级重点教材
《工科数学分析基础》主编
n 曾获国家优秀教材等奖
《考研数学复习全书》
《高等数学辅导讲义》等畅销书主编
n 拥有十余年考研辅导经验老 师 简 介
@武忠祥考研
公众号：武忠祥考研第一章 函数与极限
第三节 函数的极限
一、函数极限的定义
二 、函数极限的性质一、函数极限的定义
1.自变量趋于有限值时函数的极限
在点 的某个去心邻域有定义
定义1 设函数 f (x) x
0
若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  ,
0
则称 为 x  x 时 f ( x) 的极限. 记作 lim f (x)  A
A
0
xx
0
【注】 1） 的任意性，  与  的作用；
2） x  x ,但 x  x ； y
0 0 y  f (x)
A 
几何意义
A
A 
 
o x  x x  x
0 0 0x 2  1
【例1】用定义证明
lim  2
x1 x  1
若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  ,
0极限 lim f (x)  A
xx
0
若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  ,
0
左极限 lim f (x)  f (x  )  f (x  0)
0 0

xx
0
若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  ,
0
右极限 lim f (x)  f (x  )  f (x  0)
0 0

xx
0
若  0,   0 ,当 0  x  x   时,恒有 f (x)  A  ,
0
lim f (x)  A  lim f (x)  lim f (x)  A
xx xx  xx 
0 0 0sin x
【例2】用定义证明
lim  0
x x
lim f (x)  A   0, X  0, 当 x  X 时,恒有 f (x)  A  
x
x 2  1
【例3】 x
lim e ; lim arctan x; lim .
x x x x二，函数极限的性质 lim f ( x)  A
xx
0
1)唯一性：
2)局部有界性:

M  0 与   0 ,使得 x U(x ,) 有 f (x)  M
0
3)局部保号性：

如果 A  0 （或 A  0), 则存在   0 ,当 x U(x ,) 时，
0
f (x)  0 （或 f (x)  0 ）.

推论1 如果存在   0, 当 x U(x ,) 时, f (x)  0
0
（或 f (x)  0 ),那么 A  0 （或 A  0).
 A
推论1 如果 A  0, 则存在   0 ,当 x U(x ,) 时， f (x)  .
0
24)函数极限与数列极限的关系：
若 lim f (x)  A, 且 lim x  x , x  x , 则 lim f (x )  A;
n 0 n 0 n
xx n n
0内容小结
1. 极限的统一定义
lim f (n)  A;
n
lim f ( x)  A; lim f ( x)  A; lim f ( x)  A;
x x
x
lim f ( x)  A; lim f ( x)  A; lim f ( x)  A.
xx xx  xx 
0 0 0
lim f ( x)  A    0,时刻 , 从此时刻以后 ,
恒有 f ( x)  A  .
(见下表)过 程 n   x   x   x  
时 刻 N
从此时刻以后 n  N x  N x  N x   N
f ( x) f ( x)  A  
过 程 x  x x  x  x  x 
0 0 0
时 刻 
从此时刻以后 0  x  x   0  x  x      x  x  0
0 0 0
f ( x) f ( x)  A  2. 极限的性质
唯一性 ; 有界性 ; 保号性;
作业
；
P33 4; 11 12.