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高数基础班（18）
18 多元函数的极值（无约束极值；条件极值）；最大最小值 P206-P212
主讲 武忠祥 教授第三节 多元函数的极值与最值
本节内容要点
一. 考试内容概要
(一）无约束极值
（二）条件极值与拉格朗日乘数法
（三）最大最小值二. 常考题型方法与技巧
题型一 求极值（无条件）
题型二 求最大最小值考试内容概要
（一）无约束极值
定义7 若在点 的某邻域内恒成立不等式
(x , y )
0 0
f (x, y)  f (x , y ) ( f (x, y)  f (x , y ))
0 0 0 0
则称 f 在点 (x , y ) 取得极大值（极小值), 点 (x , y ) 称为
0 0 0 0
的极大值点（极 小值点）,极大值与极小值统称为
f
极值，极大值点与极小值点统称为极值点.定理5（极值的必要条件) 设 z  f (x, y) 在点 (x , y ) 存在
0 0
偏导数,且 (x , y ) 为 f (x, y) 的极值点,则
极值点 驻点
0 0
f  (x , y )  0, f  ( x , y )  0.
x 0 0 y 0 0
驻点
定理6（极值的充分条件) 设 z  f (x, y) 在点 (x , y )
可能的极值点
0 0
偏导不全存在
的某邻域内有二阶连续偏导数,又 f  ( x , y )  f  ( x , y )  0,
x 0 0 y 0 0
记 A  f  (x , y ), B  f  (x , y ), C  f  (x , y ), 则
xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0
A  0 ;
极小值
（1）当 时,有极值
AC  B 2  0 
A  0 .
极大值
（2）当 AC  B 2  0 时,无极值.
（3）当 时,不一定(一般用定义判定).
AC  B 2  0（二）条件极值与拉格朗日乘数法
1) 函数 f ( x, y) 在条件 ( x, y)  0 条件下的极值.
令
F ( x, y,)  f ( x, y)  ( x, y)
F  f  (x, y)   (x, y)  0,
x x x

F  f  (x, y)   (x, y)  0,
y y y

 F  x, y  0,

2) 函数 f ( x, y, z) 在条件 (x, y, z)  0,(x, y, z)  0
条件下的条件极值.
令
F ( x, y, z,,)  f ( x, y, z)  ( x, y, z)  ( x, y, z)（三）最大最小 值
1. 求连续函数 f ( x, y) 在有界闭域 D 上的最大最小值
1) 求 在 内部可能的极值点.
f ( x, y) D
2) 求 在 的边界上的最大最小值.
f ( x, y)
D
3) 比较
2. 应用题
1) 建立目标函数 z  f ( x, y);
2) 求 的最大最小值.
z  f ( x, y)常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
1. 求极值（无约束）
2. 求最大最小值
1）求连续函数 在有界闭区域 上的最大最小值;
f ( x, y) D
2）条件最值;
3）最大最小值应用题.【例1】(2003,数三) 设可微函数 f (x, y) 在点 ( x , y ) 取得极
0 0
小值则下列结论正确的是
（A） f ( x , y) 在 y  y 处的导数大于零.
0
0
（B） f ( x , y) 在 y  y 处的导数等于零.
0
0
（C） f ( x , y) 在 y  y 处的导数小于零.
0
0
（D） f ( x , y) 在 y  y 处的导数不存在.
0
0
【解】【例2】(2009,数二)设函数 z  f (x, y) 的全微分为
则点
dz  xdx  ydy, (0,0)
（A）不是 的连续点.
f (x, y)
（B）不是 的极值点.
f (x, y)
（C）是 的极大值点.
f (x, y)
（D）是 的极小值点.
f (x, y)
【解1】直接法【例2】(2009,数二)设函数 z  f (x, y) 的全微分为
则点
dz  xdx  ydy, (0,0)
（A）不是 的连续点.
f (x, y)
（B）不是 的极值点.
f (x, y)
（C）是 的极大值点.
f (x, y)
（D）是 的极小值点.
f (x, y)
【解2】直接法【例2】(2009,数二)设函数 z  f (x, y) 的全微分为
则点
dz  xdx  ydy, (0,0)
（A）不是 的连续点.
f (x, y)
（B）不是 的极值点.
f (x, y)
（C）是 的极大值点.
f (x, y)
（D）是 的极小值点.
f (x, y)
【解3】排除法【例3】(2017,数三）二元函数 z  xy(3  x  y) 的极值点是（ ）
（A） （B） （C） （D）
(0,0), (0,3), (3,0), (1,1).
z  y(3  2x  y)  0
【解】由 x 得驻点
 (0,0), (0,3), (3,0), (1,1).
z  x(3  2 y  x)  0

y
z  2 y, z  2x, z  3  2x  2 y.
xx yy xy
在 (0,0) 点 A C  B 2  9  0, 无极值;
在 (0,3) 点 A C  B 2  9  0, 无极值;
在 (3,0) 点 A C  B 2  9  0, 无极值;
在 (1,1) 点 A C  B 2  3  0, 有极值;【例4】(2009,数一,三)求二元函数 f (x, y)  x 2 (2  y 2 )  yln y 的极值.
【解】 f  (x, y)  2x(2  y 2 ), f  (x, y)  2x 2 y  ln y  1.
x y
 f  (x, y)  0,
 1
x
令 解得唯一驻点 . 由于
  0, 
f  (x, y)  0,  e 

y
 1  1 
A  f   0,   2(2  y 2 )  2 2  ,
 1
xx 2
 e  0,   e 
 e
 1
B  f   0,   4xy  0,
 1
xy  e  0, 
 e
 1  1 
C  f   0,    2x 2    e,
yy
 e   y 
 1
0, 
 e
 1   1 1
所以 AC  B 2  2e 2    0 A  0. 极小值为 f  0,    .
2
 e   e  e【例5】(2008,数二)求函数 u  x 2  y 2  z 2 在约束条件 z  x 2  y 2
和 x  y  z  4 下的最大值和最小值.
【解】
F(x, y, z,,)  x 2  y 2  z 2  (x 2  y 2  z)  (x  y  z  4).
F   2x  2x   0,
x

F   2 y  2y   0,
 y

令  F   2 z    0,
z

F   x 2  y 2  z  0,
 
F   x  y  z  4  0,


解方程组,得 (x , y , z )  (1,1,2), (x , y , z )  (2,2,8).
1 1 1 2 2 2
故所求的最大值为72,最小值为6.【例6】(2005,数二）已知 z  f (x, y) 的全微分 d z  2x d x  2 y d y
 y 2 
且 f (1,1)  2. 求 f (x, y) 在 D  (x, y) x 2   1 上的最大最小值.
 4 
【解1】由
d z  2x d x  2 y d y
可知 z  f (x, y)  x 2  y 2  C.
再由 f (1,1)  2 ,得 C  2 ，故 z  f (x, y)  x 2  y 2  2.
f f
令  2x  0,  2 y  0, 解得驻点 (0,0) ， f (0,0)  2.
x y
2
y
在椭圆 x 2   1 上， z  x 2  (4  4x 2 )  2
4
即 z  5x 2  2 (1  x  1),
其最大值为 z  3 ,最小值为 z  2. 再与 f (0,0)  2
x1 x0
比较,可知 在椭圆域 上的最大值为3,最小值为
f (x, y) D  2.【例6】(2005,数二）已知 z  f (x, y) 的全微分 d z  2x d x  2 y d y
 y 2 
且 f (1,1)  2. 求 f (x, y) 在 D  (x, y) x 2   1 上的最大最小值.
 4 
【解2】 同解法一，得驻点 (0,0) ， f (0,0)  2.
 y 2 
设 L  x 2  y 2  2   x 2   1
 
 4 

L   2x  2x  0,
x

 
令 L   2 y  y  0,
y
2

2
y

L   x 2   1  0,



4
解得4个可能的极.值点 (0,2),(0,2),(1,0) 和 (1,0)
又 f (0,2)  2, f (0,2)  2, f (1,0)  3, f (1,0)  3 ,再与
f (0,0)  2 比较,得 f (x, y) 在 D 上的最大值为3,最小值为  2.【例6】(2005,数二）已知 z  f (x, y) 的全微分 d z  2x d x  2 y d y
 y 2 
且 f (1,1)  2. 求 f (x, y) 在 D  (x, y) x 2   1 上的最大最小值.
 4 
【解3】 同解法一，得驻点 (0,0) ， f (0,0)  2.
2
y
椭圆 x 2   1 的参数方程为 x  cos t, y  2sin t.
4
则 z  f (x, y)  x 2  y 2  2  cos 2 t  4sin 2 t  2
 3  5sin 2 t
故 f  3, f  2
max min【例7】(1994,数二）在椭圆 x 2  4 y 2  4 上求一点,使其到直线
的距离最短.
2x  3 y  6  0
2x  3 y  6 (2x  3 y  6) 2
【解1】
d  , d 2 
13 13
F(x, y,)  (2x  3 y  6) 2 (x 2  4 y 2  4)

F  4(2x  3 y  6)  2x  0,
x

F  6(2x  3 y  6)  8y  0,
y

 F  x 2  4 y 2  4  0,

 8  8
x  , x   ,
 
 1  2 1 11
5 5
从而得   d  , d 
(x ,y ) (x ,y )
3 3 1 1 13 2 2 13
 
y  , y   ,
 
 1  2
5 5
8 3
由本题实际意义知最短距离存在,则点 为所求的点.
( , )
5 5【例7】(1994,数二）在椭圆 x 2  4 y 2  4 上求一点,使其到直线
的距离最短.
2x  3 y  6  0
2
【解2】 直线 的斜率为
2x  3 y  6  0 k  
3
x
由 x 2  4 y 2  4 知 2x  8 yy   0, y   
4 y
2 x
即
   8 y  3x
3 4 y
将 8 y  3x 与 x 2  4 y 2  4 联立得
 8  8
x  , x   ,
 
 1  2
5 5
 
3 3
 
y  , y   .
 
 1  2
5 5
8 3
由几何意义知,点 应为所求的点.
( , )
5 5