(21)--1.11笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第一章 函数与极限 第七节 无穷小的比较 主讲 武忠祥 教授高等数学精讲 主讲：武忠祥教授定义1（无穷小量）若 lim f (x)  0, 则称 f (x) 为当 x  x 0 xx 0 时的无穷小量.定义2（无穷小的比较） ( x) 1）若 则称 ( x) 是 ( x) 的高阶无穷小； lim  0 ( x) 记为 ( x)  o(( x)). ( x) 2）若 li m   则称 ( x) 是 ( x) 的低阶无穷小； ( x) (x) 3）若 则称 与 是同阶无穷小； lim  a  0 ( x) ( x) (x) (x) 4）若 则称 与 是等价无穷小； lim  1 ( x) ( x) (x) 记为 ( x) ~ ( x) (x) 5）若 lim  a  0, k  0 [(x)] k 则称 是 的 阶无穷小. ( x) ( x) k1 【例1】证明：当 x  0 时， n 1  x  1 ～ x. n 定理1 (x) ～ (x) 的充要条件是 (x)  (x) ((x))  (x) 定理2 设 (x) ~  (x), (x) ~  (x), 且 lim 1 存在，则 1 1  (x) 1 (x)  (x) lim  lim 1 (x)  (x) 1 【例2】求下列极限 arcsin 2x sin 3x 2) lim 1) lim x0 arctan 2x x0 x  x 2 3 1  2x 2  1 sin x  tan x 4) lim 3) lim 3 x0 1  cos x x0 x内容小结 1.无穷小的比较 设  ,  对同一自变量的变化过程为无穷小 , 且  0 0 ,  是  的高阶无穷小  ,  是  的低阶无穷小  lim   C ( 0) ,  是  的同阶无穷小 1 ,  是  的等价无穷小  lim  C  0 ,  是  的 k 阶无穷小 k 2.等价无穷小代换 （1）代换原则： 乘除关系可以换 若 ~ , ~  , 则 1 1     lim  lim 1  lim  lim 1     1 1 （2）常用的等价无穷小：当 时 x  0 x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx 1 1 n 1  x  1 ~ x, 1  cos x ~ x 2 n 2作业 ： P55 4; 5; 6..