经验超市26考研数学一8月月考卷答案解析_06.2026考研数学俞老全程班_00.书籍讲义_经验超市月考卷

经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案 1.【答案】： D  【解析】： f  x 在,上连续， f  x 在,上有定义. 此时定有0，否则，若0，则ekx 0有解， ln ln x ，即函数 f  x 在x 处无定义，与题设矛盾. k k 0. 排除 A  B  .  lim f  x 0，k 0，否则 x 若k 0，k 0, lim ekx 0， x 3 x lim 0. 综合可得：0,k 0，选 D  . xekx 2.【答案】： B  【解析】：由定积分定义知，将 0,1 分成n份，取中间点的函数值，则 1 n 2k 11  f  x  dx lim f   ，即选 B  . n  2n n 0 k1 3.【答案】： B  F x,y  【解析】：F  x,y 0左右同时对x求导：FFy0，即 y x  x ① x y F x,y  y 继续FFy0左右对x求导，可得F 2yF  y2F  yF0 ② x y xx xy yy y F x ,y  最后把 x ,y 分别代入上面①②两式，可得 y x 0，y x  xx 0 0  0，从 0 0 0 0 F x ,y  y 0 0 而x x 是y  x 是的一个极小值点，选 B  . 0 4.【答案】： B   【解析】：ln  1a 收敛limln  1a 0lima 0 . n n n n n n1 1经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案 ln  1a  a  又a 0，且lim n lim n 1，a 收敛. n n a n a n n n n1   a a a 收敛， n n1 收敛. n1 2 n1 n1 a a 又 1 n a a  a a  n n1 . n n1 n n1 2    1 n a a 收敛，1 n a a 绝对收敛. n n1 n n1 n1 n1 5.【答案】： A   1 1  【解析】：根据题意，即求等式 1  2 , 2  3 , 3  1     1 , 2  2 , 3  3  P中的矩阵P. 由已知可得： 1 0 1    , , ,,  1 1 0 ， 1 2 2 3 3 1 1 2 3    0 1 1    1 0 0    1 1  1 , ,  ,,  0 0  ，   1 2 2 3 3   1 2 3  2    1 0 0   3 1   1 0 0   1 0 1 故 , ,   , 1 , 1    0 1 0   1 1 0  ， 1 2 2 3 3 1   1 2 2 3 3    2       0 1 1  1 0 0   3 再由两个基之间的过渡矩阵是唯一的，可得： 1   1 0 0   1 0 1 1 0 01 0 1 1 0 1  1         P  0 0 1 1 0  0 2 0 1 1 0  2 2 0 ，  2            0 1 1   0 0 3   0 1 1   0 3 3  1 0 0   3 2经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案 所以选项 A 是正确的. 6.【答案】： D  6.【解析】：由于此题矩阵A和各选项矩阵都是对称矩阵，要找到一个矩阵和矩阵A等价， 合同，但不相似，需要该矩阵正负惯性指数和矩阵A相同但同时该矩阵的特征值和矩阵A的 特征值又不完全相同。计算可得A的特征值为3,0，而 D 选项中的矩阵特征值为1,0， 故选 D  . 7.【答案】： D  【解析】：由于AAT 是nn型矩阵，且由于R  AAT  R  A n ，故①正确.又因为同类型 矩阵等价的充要条件是秩相等，故②正确.由于AAT 是对称矩阵，因而可对角化， 所以③正确.  T 对于④，对任意n维列向量X 0，有XTAATX  ATX ATX y  1   y 令 ATX Y   2  ，则 XTAATX YTY  y2+y2++y2  0 ，并且由于   1 2 m    y  m R  AT  R  A n ，从而方程组 ATX 0 只有零解，由于 X 0 ，从而 Y  ATX  0，因而 XTAATX YTY  y2+y2++y2  0，即有对任意n维列 1 2 m 向量X 0，XTAATX 0从而正定，由于AAT 正定，因而④对. 从正确的个数是4个，选 D  . 8.【答案】： A  【解析】：EA 2  22 X  ，特征值为实数44X 0.  X 1，当X U  0,2 时，可以使得其概率为0.5 . 9.【答案】： D  3经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案 x1 【解析】：X 的密度函数 f(x)0.8(2x1)0.3( )，则 2   x1 E(x)0.8 x(2x1)dx0.3 x( )dx   2   x1 1 x1 x1 0.2 [(2x1)1](2x1)d(2x1)1.2 (  )( )d( )   2 2 2 2   1 0.2 (x1)(x)dx1.2 (x )(x)dx   2   0.2 (x)dx0.6 (x)dx0.8.选 D  .   10.【答案】： D  【解析】：①根据卡方分布的定义即可明白，其服从自由度为2的卡方分布； Y2 ②X / Y  X / Y2  X / 由于X 与Y 相互独立，因而t  1 ； 1 X2 Y2 ③：X2 /Y2  / 由于X 与Y 相互独立，因而 F  1,1 ； 1 1 ④：根据重要结论：X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布N  0,1 ，    aX bY  N 0,a2b2 a2b2  0 .  n  11.【答案】：4n1cos4x    2  【解析】：   【法一】由于 y4sin3xcosx4cos3xsinx2sin2x sin2 xcos2 x 1 2sin2xcos2xsin4x因而 y  sin4xdx cos  4x C .其中，C为任意常数. 4  n   n  因而由求导基本公式：cos n xcosx  可得：y n 4n1cos4x  .  2   2    1 【法二】： y sin4 xcos4 x sin2 xcos2 x 2sin2 xcos2 x1 sin22x 2 1 1cos4x 3 1 1    cos  4x . 2 2 4 4 4经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案 而后由求导公式也可得到答案. 12.【答案】：2 3 【解析】： y2 x2 1是双曲线的右边部分，画出图形，而后对 y 积分比较方便 2   V  2y y21 dy 2 3 1 3   若对x积分，V 22 3  1x2 dx . 0 4   13.【答案】： abc lxmynz 3 【解析】：I lxdvmydvnzdv .    xdv 4 其中根据形心公式，x  ，xdv x1dv abcx . 1dv 3     ydv 4 同理 y   ， ydv y abc . 1dv 3   zdv 4 同理z   ，zdv z abc. 1dv 3   4   I  abc lxmynz . 3 14.【答案】：x y2z110与x y2z110. 【解析】：椭球面上任意点 x ,y ,z 处的法向量为  F,F,F   2x ,4y ,2z ，由 0 0 0 x y z 0 0 0 2x 4y 2z 于要求的切平面与平面x y2z 0平行，因而 0  0  0 ，不妨令为t，即 1 1 2 5经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案  t x   0 2   t y  。由于 x ,y ,z 在椭球面上，即x2 2y2 z2 22，带入可得t 4， 0 4 0 0 0 0 0 0  z t 0   切点为2,1,4 与 2,1,4 ，法向量为 2x ,4y ,2z 4,4,8 与 4,4,8 ，按 0 0 0 比例可得1,1,2 与 1,1,2  . 切平面为 x2  y1 2  z4 0 与 x2  y1 2  z4 0， 即x y2z110与x y2z110. 15.【答案】：1 3 1 【解析】：由于A B   A  B  1  ，并且由于 A B i 3 2 i1 A  A A1  A1 ， 1 1 1 1 其特征值为 1,2, A E 的特征值为 12,1,  2  2 A A  AE 1. 1 16.【答案】： 2 1 1 2 【解析】：显然X ~ B(3, ),Y ~ B(3, ) .进而E(X)E(Y)1,D(X)D(Y) . 3 3 3 下面计算XY 的分布律.易知XY 的取值为0,1,2,且 23 23 1 5 P  XY 0 P  X 0 P  Y 0 P  X Y 0     ， 33 33 33 9 3! 2 P  XY 1 P  X Y 1   ， 33 9 3 3 2 P  XY 2 P  X 1,Y 2 P  X 2,Y 1    . 33 33 9 5 2 2 2 由此，E(XY)0 1 2  .由相关系数的定义可知 9 9 9 3 6经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案 2 11 COV(X,Y) E(XY)E(X)E(Y) 3 1      . XY D(X)D(Y) D(X)D(Y) 2 2 2  3 3 17.【答案】：a 2,b0. x2 a2 【解析】：由1 1x2 ~ (x0) ，且eax 1ax x2o(x2), 2 2 1bx (1bx)[12x4x2o(x2)]1(b2)x(42b)x2o(x2), 12x 1bx eax  得eax  1bx (ab2)x( a2 42b)x2o(x2) ，因为lim 12x 4，则 12x 2 x0 1 1x2  ab20  ，解得a 2,b0. a2 84b4  lnx 1 lnx  lnx 18.【解析】：  dx  dx  dx 1x2 1x2 1x2 0 0 1 1  lnx x t 1 lnt 1 lnx 其中  dx  dt  dx 1x2 1t2 1x2 1 0 0  lnx 1 lnx 因而反常积分  dx收敛性与 dx相同. 1x2 1x2 1 0 lnx 3 3 1x2 x2 lnx x2 lnx lnx 由反常积分比较法： lim  lim  lim  lim 0 x 1 x 1x2 x x2 x 1 x2 3 x2  1 1   lnx 1 lnx 而：  dx 2 2收敛，因而  dx收敛，从而 dx也收敛. 3 x 1x2 1x2 1 x2 1 1 0  lnx 1 lnx  lnx 1 lnx 1 lnx 且：  dx  dx  dx  dx dx  0. 1x2 1x2 1x2 1x2 1x2 0 0 1 0 0 7经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案 2 19.【答案】： . 2 【解析】：设L 是从点B到点A的直线段，为平面z  x上由L与L 围成的半圆面下侧， 1 1 1 1 其法向量的单位向量为( ,0, ). 2 2 由斯托克斯公式 1 1 0  2 2     (yz)dx(z2x2 y)dyx2y2dz  dS LL x y z 1  yz z2x2 y x2y2 1  (2x2y1)dS. 2  由于曲面关于xOz平面对称，所以2x2ydS 0，故  1 2  (yz)dx(z2x2 y)dyx2y2dz  dS  . LL 1 2  2 又L 的参数方程为x0,y  y,z 0（ y从 2 到 2 ），所以 1 2  (yz)dx(z2x2 y)dyx2y2dz  ydy 0 . L  2 1 2 因此 I     . LL L 2 1 1 20.【解析】：由 f '(x) f (x) xn1ex得 f (x)(xn1exe dx C)e dx ( xn C)ex ， n n n n e xn 又 f (1) 得C 0，即 f (x) ex.（3分） n n n n  (n1)xn  n1  1  1  f (x)ex x2n ex(3 x2n  x2n) ， 2n1 n n(2n1) 2n1 n n1 n1 n1 n1  1  1 因为 x2n与 x2n收敛域都是(1,1)，所以原级数的收敛域为(1,1)（6分） 2n1 n n1 n1 8经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案  (n1)xn 令S(x) f (x)， 2n1 n n1 由  1 x2n  x  1 x2n1  x x (  t2n2)dt  x x 1 dt  x ln 1 x 2n1 2n1 0 01t 2 2 1x n1 n1 n1  1  (x2)n  x2n  ln(1x2) n n n1 n1 3x 1x 得和函数S(x)ex[ln(1x2) ln ].(1 x1) （12分） 2 1x 21.【解析】：  I 由题：A ,A  A  ，A 0从而有： 1 2 2 3 n1 n n An1   0,Ak 0  k n ；An2   0,Ak 0  k n1  1 n 1 2 n 2 ........A   0,Ak 0  k  2 ； n1 n n1 利用定义：令k k k  0，左右同左乘An1可得 1 1 2 2 n n k An1 k 0从而可得：k 0 1 1 1 n 1 原式变为：k k  0再对其左右两侧同左乘An2可得 2 2 n n k An2 k 0从而可得：k 0..... 2 2 2 n 2 以此类推，可以得到：k k k  0. 1 2 n 从而向量组, 线性无关. 1 2 n  II 设P ,, ，则AP  A ,, ,, ,0  1 2 n 1 2 n 2 3 n1 0 0  0 0   1 0  0 0   ,, 0 1  0 0 PCP1AP C ,  P1 . 1 2 n A C C A          0 0  1 0 0   0 由于C的特征值全部=0，所以 0，而 为CX 0的非0解=k   k 0  . A C     1 9经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案   P  k.  k  0  A C n 22.【答案】：   U \V 0 1   1  I   U,V 的联合概率分布： 0 0  ；  4    1 1  1   4 2 1  II  P  U 0/V 0  ； 2 3  III   . UV 3 【解析】：  I 首先由于 X,Y 是均匀分布的，因而可以先画出它的 y 联合概率密度的有效区域， x y x2y 进而求得以下各种概率 x O 1 2 1 1 1 P  X Y  ,P  Y  X  2Y  ,P  X Y  4 4 2 1 P  U 0,V 0 P  X Y,X 2Y P  X Y  4 P  U 0,V 1 P  X Y,X 2Y 0 1 P  U 1,V 0 P  X Y,X 2Y P  Y  X 2Y  4 1 P  U 1,V 1 P  X Y,X 2Y P  X 2Y  , 2 10经验超市 26 考研数学 8 月月考卷·数一答案   U \V 0 1   1 从而可得 U,V 的联合概率分布：  0 0  .  4    1 1  1   4 2  II 利用 U,V 的联合概率分布，可得： 1 P  U 1,V 0  1 P  U 0/V 0 P  U 1/V 0   4  P  V 0  1 2 2  III 由 U,V 的联合概率分布，可以得到它们各自的边缘概率分布情况以及UV 的概率分 布情况： U 0 1 V 0 1 UV 0 1       1 3 , 1 1 , 1 1       p p p  4 4  2 2  2 2 进而能轻松得到：E  U  3 ,E  V  1 ,E  U2   3 ,E  V 2   1 ， 4 2 4 2 3 1 1 D  U  ,D  V  ,E  UV  16 4 2 E  UV E  U  E  V  3 从而：   . UV D  U  D  V  3 11