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第一章 函数与极限
第七节 无穷小的比较
主讲 武忠祥 教授高等数学精讲
主讲：武忠祥教授定义1（无穷小量）若 lim f (x)  0, 则称 f (x) 为当 x  x
0
xx
0
时的无穷小量.定义2（无穷小的比较）
( x)
1）若 则称 ( x) 是 ( x) 的高阶无穷小；
lim  0
( x)
记为
( x)  o(( x)).
( x)
2）若 li m   则称 ( x) 是 ( x) 的低阶无穷小；
( x)
(x)
3）若 则称 与 是同阶无穷小；
lim  a  0 ( x) ( x)
(x)
(x)
4）若 则称 与 是等价无穷小；
lim  1 ( x) ( x)
(x)
记为
( x) ~ ( x)
(x)
5）若
lim  a  0, k  0
[(x)] k
则称 是 的 阶无穷小.
( x) ( x) k1
【例1】证明：当 x  0 时， n 1  x  1 ～ x.
n
定理1 (x) ～ (x) 的充要条件是 (x)  (x) ((x))
 (x)
定理2 设 (x) ~  (x), (x) ~  (x), 且 lim 1 存在，则
1 1
 (x)
1
(x)  (x)
lim  lim 1
(x)  (x)
1
【例2】求下列极限
arcsin 2x
sin 3x
2) lim
1) lim
x0 arctan 2x
x0 x  x 2
3 1  2x 2  1 sin x  tan x
4) lim
3) lim
3
x0 1  cos x x0 x内容小结
1.无穷小的比较
设  ,  对同一自变量的变化过程为无穷小 , 且  0
0 ,  是  的高阶无穷小
 ,  是  的低阶无穷小

lim 
 C ( 0) ,  是  的同阶无穷小
1 ,  是  的等价无穷小

lim  C  0 ,  是  的 k 阶无穷小
k
2.等价无穷小代换
（1）代换原则： 乘除关系可以换
若 ~ , ~  , 则
1 1
   
lim  lim 1  lim  lim 1
 
 
1 1
（2）常用的等价无穷小：当 时
x  0
x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx
1 1
n 1  x  1 ~ x, 1  cos x ~ x 2
n 2作业 ：
P55 4; 5; 6..