(20)--1.9-1.10笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高等数学精讲 主讲：武忠祥教授第一章 函数与极限 第六节 极限存在法则 两个重要极限 主讲 武忠祥 教授老师简介 主讲人 武忠祥老师 n 李永乐考研团队 核心成员 n 原西安交通大学数学系教授 n 美国爱荷华大学访问学者 n 面向二十一世纪国家级重点教材 《工科数学分析基础》主编 n 曾获国家优秀教材等奖 《考研数学复习全书》 《高等数学辅导讲义》等畅销书主编 n 拥有十余年考研辅导经验老 师 简 介 @武忠祥考研 公众号：武忠祥考研1. 夹逼准则       准则 如果数列 及 满足下列条件： I x , y z n n n （1）存在 ，当 n  N 时， x  y  z ； N n n n （2） lim x  lim z  a, n n n n 则 lim y  a. n n  1 1 1  【例1】求极限 lim    .   n n 2  1 n 2  2 n 2  n准则  如果 I C （1）当 x U(x ,) 时， f (x)  g(x)  h(x); 0 B （2） lim f (x)  lim h(x)  a, xx xx 0 0 则 lim g(x)  a. x xx 0 o A D 1 【例2】求极限 lim （ 2  sin x)x . x sin x 【例3】证明极限 lim  1. x0 x tan x 【例4】求极限 lim . x0 x 1  cos x 【例5】求极限 lim . 2 x0 x arctan x 【例6】求极限 lim . x0 x2. 单调有界准则 准则II 单调有界数列必有极限. 即单调增(减)有上(下)界的数列必有极限. 1 【例7】 证明极限 lim(1  ) n 存在 n n 1 1 1 1 【证】 (1  ) n  (1 )(1 ) (1 )1 n n n n n  1  1 1  ( ) n1  (1  ) n1 n  1 n  1 原数列单调增. 1 1 1 1 1 1 1 n  1  1 (1  ) n   (1  )(1  ) (1  )  ( ) n2  1. 4 n 2 2 n n n n  2 1 (1  ) n  4. 原数列上有界. n1 1 【例8】 证明极限 lim(1  ) x  e. lim(1  x)x  e x x x0内容小结 1.两个极限存在准则 (1) 夹逼准则 (2) 单调有界准则 2.两个重要极限 sin x sin  (1) lim  1. lim  1 （  0 ） x0 x x  1 (2) lim(1  ) x  e x x 1 1 lim(1  x)x  e lim(1  )  e （  0 ） x0 0作业 ： P52 1(4) (5) (6);2 (2) (3); 4(2) (3) (5).