(212)--高数强化10笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（10） 10 不定积分概念性质、3种主要积分法、3类能积得出的积分及举例。 P96-110 定积分的概念、性质及计算方法 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 第三章 一元函积分学 第一节 不定积分 第二节 定积分 第三节 反常积分 第四节 定积分应用26武忠祥考研 第一节 不定积分 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 （一）两个基本概念 （二）原函数的存在性 （三）不定积分的性质 （四）基本积分公式 （五）三种主要积分法 （六）三类常见可积函数的积分26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 题型一 计算不定积分 题型二 不定积分杂例26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）两个基本概念 1）原函数： F  (x)  f (x) 2）不定积分：  f (x)d x  F (x)  C （二）原函数的存在性 1）若 在区间 上连续，则 在区间 上必有 f ( x) I f ( x) I 原函数； 2）若 f ( x) 在区间 I 上有第一类间断点，则 f ( x) 在区间 上没有原函数； I26武忠祥考研 (三) 不定积分的性质    (1)  f (x)d x  f (x) d  f (x)d x  f (x)d x (2)  f  (x)d x  f (x)  C  d f (x)  f (x)  C. (3)  kf (x)d x  k  f (x)d x (4)  [ f (x)  g(x)]d x   f (x)d x   g(x)d x (四) 基本积分公式26武忠祥考研 （五）三种主要积分法 1）第一类换元法（凑微分法） 若  f (u)d u  F (u)  C, 且 (x) 可导，则  f ((x)) (x)d x   f ((x))d(x) F((x))  C 2）第二类换元法 设函数 x (t) 可导,且  (t)  0, 又设  f ((t)) (t)dt  F(t)  C 则  f (x)dx   f ((t) (t)dt F( 1 (x))  C i) a 2  x 2 , x  asint(acost) ii) a 2  x 2 , x  a tant iii) x 2  a 2 , x  asect26武忠祥考研 3）分部积分法 设 有连续一阶导数，则 u(x),v(x)  udv  uv   vdu （1）“适用两类不同函数相乘” 【注】 （2）  vdu 比  udv 好积  p (x)e x d x,  p (x)sinxd x,  p (x)cosxdx, n n n  e x sinxdx;  e x cosxdx  P (x)ln xdx;  P (x)arctan xdx.  P (x)arcsin xdx n n n26武忠祥考研 （六）三类常见可积函数积分 1) 有理函数积分  R(x)d x （1）一般法（部分分式法）； （2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分  R(sin x,cos x)d x x （1）一般方法(万能代换） 令 tan  t 2 2t 1 t 2 2  R(sin x,cos x)d x   R( , ) dt 1 t 2 1 t 2 1 t 2 （2）特殊方法 （三角变形，换元，分部） i)若 R( sin x,cos x)  R(sin x,co s x ) , 则 令 u  cos x; ii)若 R(sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  sin x; iii)若 R( sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  tan x.26武忠祥考研 ax  b 3)简单无理函数积分  R(x,n )d x cx  d ax  b 令 n  t cx  d26武忠祥考研 二. 常考题型的方法与技巧 题型一 计算不定积分 题型二 不定积分杂例26武忠祥考研 题型一 计算不定积分 dx 【例1】 I   x(4  x) dx dx x  2 【解1】 I      arcsin  C 4x  x 2 4  (x  2) 2 2 2d( x) x 【解2】 I    2arcsin  C 4  x 226武忠祥考研 x xe 【例4】 I   dx e x  1 【解】 I  2  xd e x  1  2x e x  1  2  e x  1dx 2 2t  e x  1dx   dt ( e x  1  t) 1  t 2  2t  2arctan t  C26武忠祥考研 1 【例7】 I   dx ( x  1)( x 2  2x  2) 1 A Bx  C 【解】(方法一) 令   (x  1)(x 2  2x  2) x  1 x 2  2x  2 则 1  A ( x 2  2x  2)  (x  1)(Bx  C) A  B  0,2A  B  C  0,2A  C  1 ， 1 1 3 A  , B   ,C  . 5 5 5 1 1 1 x  3 1 1 1 (x  1)  2 I   dx   dx   dx   dx 5 x  1 5 x 2  2x  1 5 x  1 5 (x  1) 2  1 1 1 2  ln x  1  ln[( x  1) 2  1]  arctan( x  1)  C 5 10 526武忠祥考研 1 【例7】 I   dx ( x  1)( x 2  2x  2) 【解】(方法二) 1 (x 2  2x  2)  (x  1)(x  3) I   dx 5 (x  1)(x 2  2x  2) 1 1 1 x  3   dx   dx 5 x  1 5 x 2  2x  1 1 1 2  ln x  1  ln[( x  1) 2  1]  arctan( x  1)  C 5 10 526武忠祥考研 1 【例8】 I   dx x  x 9 dx x 7 dx 1 du 【解1】 I       x(1  x 8 ) x 8 (1  x 8 ) 8 u(1  u) (1  x 8 )  x 8  1 x 7  【解2】 I   dx     dx   x(1  x 8 )  x 1  x 8  1 d(1  ) dx 1 8 x 【解3】 I      1 8 1 x 9 (1  ) 1  8 8 x x26武忠祥考研 1  x 4 【例9】 I   dx 1  x 6 1  x 4 1  x 4  x 2  x 2 【解】 I   dx   dx 1  x 6 1  x 6 3 dx 1 dx     1  x 2 3 1  (x 3 ) 226武忠祥考研 d x 【例10】  1  sin x  cos x x 【解】令 tan  t 2 2 dt 1  t 2 原式   2t 1  t 2 1   1  t 2 1  t 2 dt    ln1  t  C 1  t26武忠祥考研 dx 【例11】 I   sin x  cos 4 x sin xdx d cos x du 【解1】 I       sin 2 x  cos 4 x (1  cos 2 x)cos 4 x (1  u 2 )u 4 (1  u 4 )  u 4   du (1  u 2 )u 4 sin 2 x  cos 2 x 【解2】 I   sin x  cos 4 x sin x dx   dx   4 2 cos x sin xcos x 1 sin xdx dx      3cos 3 x cos 2 x sin x26武忠祥考研 1 x  1 【例13】  d x x x  1 x  1 【解1】令  t, x  1 2 t 原式  4  d t (t 2  1)(t 2  1) (t 2  1)  (t 2  1) 1 t  2  dt  ln  2arctant  c (t 2  1)(t 2  1) 1 t 1 x  1 【解2】 原式   dx x x 2  1 dx dx 1      ln x  x 2  1  arcsin  C x 2  1 1 x x 2 1  ( ) 2 x26武忠祥考研 题型二 不定积分杂例 1 【例1】若  xf (x)dx  arcsin x  C , 求 I   dx. f ( x) 【解】 由  xf (x)dx  arcsin x  C 知 1 xf (x)  (arcsin C)   1  x 2 1 则 I   dx   x 1 x 2 dx f (x) 1 3   (1  x 2 ) 2  C 326武忠祥考研 【例2】若 ln(x  1 x 2 ) 为 f ( x) 的一个原函数,求 I   xf  (x)dx. 【解】 I   xf  (x)dx   xdf (x)  xf (x)   f (x)dx     x ln( x  1  x 2  ln( x  1  x 2 )  C x   ln( x  1  x 2 )  C 1  x 226武忠祥考研 【例3】设 F ( x) 为 f ( x) 的原函数，且当 x  0 时， x xe F(x) f (x)  . 已知 F(0)  1,F(x)  0. 求 f ( x). 2(1  x) 2 x 1 xe 【解1】由 F(x) f (x)  (F 2 (x))   2 2(1  x) 2 xe x (x  1)  1  F 2 (x)   dx   e x dx (1 x) 2 (1  x) 2 x x e e   dx   dx 1 x (1 x) 2 x x x de e e     dx   C 1  x (1  x) 2 1  x xe x 1 xe x e x (1  x) e x 【解2】 F 2 (x)   dx   (xe x )d     dx   C (1  x) 2 1  x (1  x) 1  x 1 x26武忠祥考研 【例4】设 f  (e x )  sin x, 求 f ( x). 【解1】令 e x  t, 则 f  (t)  sin ln t f (t)   sinln t dt 1  t sin ln t   t cosln t  dt t 1  t sin ln t  t cosln t   t sin ln t  dt t t 则 f (t)  [sin ln t  cosln t] C 2 【解2】由 f  (e x )  sin x 知  f  (e x )de x   sin xde x f (e x )  e x sin x   e x cos x dx x e  e x sin x  e x cos x   sin x de x  [sin x  cos x] C 226武忠祥考研 【例5】求不定积分  |x| e dx. e x , x  0, 【解1】 e  x    e x , x  0.  e x  C , x  0,  e |x| dx   1  e x  C , x  0. 2 lim (e x  C )  1  C 1 1  x0 lim (e x  C )  1  C 2 2  x0   1 C  1 C 1 2 令 C  C, 则 C  2  C. 1 2   e x  C, x  0, 故  |x| e dx  e x  2  C, x  0.26武忠祥考研 【例5】求不定积分  |x| e dx. x 【解2】由于 e  x 连续，则 F(x)   e  t dt 是其一个原函数，又 0  x  e t dt, x  0,  x F(x)   e  t dt   0 x 0   e t dt, x  0.  0  e x  1, x  0,   1  e x , x  0. 则  e  x dx  F(x)  C26武忠祥考研 第二节 定积分 本节内容要点 一. 考试内容要点精讲 （一）定积分概念 （二）定积分的几何意义 （三）可积性 （四）定积分的计算 （五）变上限积分 （六）定积分的性质26武忠祥考研 二. 常考题型方法与技巧 题型一 定积分的概念、性质及几何意义 题型二 定积分计算 题型三 变上限定积分函数及其应用 题型四 积分不等式26武忠祥考研 一. 考试内容要点精讲 （一）定积分的概念 n b  f (x)d x  lim  f ( )x k k a 0 k1 b b 【注】(1)  f (x)d x   f (t)d t a a n n 1 i 1 (2)  f (x)d x  lim  f ( )x  lim  f ( )  i 0 0 n n n i1 i1 （二）定积分的几何意义 y y  f (x) A A o a b x26武忠祥考研 （三）定积分的存在性 1）必要条件 f ( x) 有界； 2）充分条件 (1) 在 上连续； f ( x) [a,b] (2) f ( x) 在 [a,b] 上有界且只有有限个间断点； (3) 在 上仅有有限个第一类间断点； f ( x) [a,b] （四）定积分的计算 b 1) 牛顿-莱布尼兹公式  f (x)d x  F (b)  F(a) a b  2) 换元积分法  f (x)d x   f (t))td t. a 26武忠祥考研 3) 分部积分法 b b b  ud v  uv   v d u. a a a 4）利用奇偶性和周期性 为奇函数时， 0, f (x)  a （1） f (x)d x   a  为偶函数时 2 f (x)d x, f (x) . a   0 aT T （2）  f (x)d x   f (x)d x. a 026武忠祥考研 5）利用公式 n  1 n  3 1    , n偶    n n  2 2 2 (1)  2 sin n x d x   2 cos n x d x   n  1 n  3 2 0 0     , n奇  n n  2 3  π  (2)  x f (sin x)d x   f (sin x)d x 0 2 026武忠祥考研 x （五）变上限积分函数及其应用  f (t)d t a x 定理 设 f (x) 在 [a,b] 上连续, 则  f (t)d t 在 [a,b] 上可导且 a x (  f (t)d t)   f (x). a (x) (1) (  f (t)dt)   f ((x)) (x)  f ((x)) (x) (x) (x) (x) f (x, t) (2) (  f (x, t)dt)    dt  f (x,(x)) (x)  f (x,(x)) (x) (x) (x) x f (x, t) b b (3) (  f (x, t)dt)    dt a a x 【例1】设 连续，试求下列函数的导数 f ( x) 2 x x 1） f (t)dt; 2） (t  x) f (t)dt; x e 0 x 2 3） sin( x  t) 2 dt 4） f (x  t)dt. 0 126武忠祥考研 （六）定积分的性质 1) 不等式 b b (1) 若 f (x)  g(x), 则  f (x)d x   g(x)d x. a a （2) 若 在 上连续，则 f ( x) [a,b] b m(b  a)   f (x)d x  M(b  a). a b b （3)  f (x)d x   | f (x) |d x. a a 2) 中值定理 （1）若 f ( x) 在 [a,b] 上连续，则 b  f (x)d x  f (c)(b  a),a  c  b a （2）若 在 上连续， 不变号，则 f (x), g(x) [a,b] g( x) b b  f (x)g(x)d x  f (c)  g(x)d x, a  c  b a a26武忠祥考研 【例2】设 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 1 b  f (x)dx  f (b) 。求证：在 (a, b) 内至少存在一点  b  a a 使 f  ()  0.祝同学们 考研路上一路顺利！