文档内容
CoCp !"#$%&’()(*+
考前最后 $ 套卷（二）参考答案
一、 选择题
%分!"#$)）
!%&$方法一：导数定阶法）
当 "则# 时，
（（（（（ ）! " （0#" （*））# ]= !0""/*E""，
#
）! "" （0#（*））# ]= !（0""/*）·""E"":，
#
(! *（4C-"
-.% #）#
)=
!-.%（*/4C-"）·-.% "E（*/4C-"）·"E
*
":，
"
#
）! -.%"
（* （4C-#））#
]=
!［*/4C-（-.% "）］·4C-"E
*
-.%""E
*
""，
" "
#
于是
" * "" *
! （0#"/*））#E ":， ! （0#/*））#E "为，
: "
# #
*（4C-" * -.%" *
! -.% #）#E "为， ! （*/4C-#））#E ":，
@ ?
# #
"" *（4C-"
则 ! （0#/*））#， ! -.% #）#与 "为 互为同阶无穷小量）应选 )）
# #
方法二：利用本题【小课堂】中结论）
"
对于!， ! （0#"/*））#为 "则# 时 "的 +（O1*）!*·（"1*）!: 阶无穷小量）
#
""
对于"， ! （0#/*））#为 "则# 时 "的 +（O1*）!"·（*1*）!为 阶无穷小量）
#
*（4C-"
对于；， ! -.% #）#为 "则# 时 "的 +（O1*）!"·（*1*）!为 阶无穷小量）
#
-.%"
对于$， ! （*/4C-#））#为 "则# 时 "的 +（O1*）!*·（"1*）!: 阶无穷小量）
#
"" *（4C-"
因此， ! （0#/*））#， ! -.% #）#与 "为 互为同阶无穷小量）应选 )）
# #
#选CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（二）参考答案
已知 !（"）与 数（"）在 "!# 的某邻域内连续，当 "则# 时，!（"）与 数（"）分别为 "的 O
数（"）
阶和 + 阶无穷小量，则 ! !（#））#为 "则# 时 "的 +（O1*）阶无穷小量）
#
C分阶无穷小处）
0" "（*1为"）
阶量&小显然 ’=1 ’! 0为"是一阶非齐次线性微分方程，于是该方程通解为
0"1* 0"1*
’!0（! 0" 0 ［ " * ）" ） ! "（* 0 1 " 为 1 " * ）0为" 0 ! 0" 0 ［ " * ）"）"1/ ]
） "（*1为"）0为" ]
!0/$%（0"1*） ! 0$%（0"1*））"1/
0"1*
!
* ）!
"（*1为"）0为"）"1/
]
0"1*
! * ） " ! （"0为"）=）"1/ ]
0"1*
*
! （""0为"1/），
0"1*
*
即曲线 ’! （""0为"1/））
0"1*
*
由 ’!""是曲线 ’! （""0为"1/）在 "则19时的斜渐近线，知
0"1*
’（"）
I!$.A !"，
"则19 "
又因为
""0为" /
1
’（"） 0"1* 0"1* ） "0为" / ] 0为"
$.A !$.A !$.A 1 !" $.A !"，
"则19 " "则19 " "则19 0"1* "（0"1*） "则190"1*
0为"
所以 $.A !*，显然 为!*，故应选 处）
"则190"1*
）分阶无穷小处）
-.% "
阶量&小当 "># 时，$.A"+"!#，故 !（"）! ）
+则9 ""
当 "7# 时，$.A"+"!19，!（"）!/*）
+则9
#）考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
当 "!# 时，$.A"+"!*，!（#）!/*）
+则9
，-.% "
， ">#，
因此，!（"）! "" 显然 !（"）在区间［/*，*］上处处有定义）因为
/*， "(#，
-.% " *
$.A!（"）!$.A ! ，（$.A!（"）!$.A（/*）!/*，
"则#/ "则#/ "" " "则#1 "则#1
所以 "!# 是 !（"）的跳跃间断点，故 !（"）在区间［/*，*］上原函数一定不存在，但定积分一
定存在）
"
记 是（"）!! !（#））#，由于 !（"）在区间［/*，*］上除了 "!# 外均连续，所以 是（"）在区间
（*
［/*，#）（（#，*］上连续且可导）又因为 "!# 是 !（"）的跳跃间断点，所以 是（"）在 "!# 处连
续，但
*
是=（#）!$.A!（"）! ，是=（#）!$.A!（"）!/*，
/ "则#/ " 1 "则#1
"
即 是（"）在 "!# 处不可导）因此， ! !（#））#在区间［/*，*］上连续但不可导）
（*
应选 处）
$分!"#$(）
!%&$显然 "7#，’7#，根据基本不等式有
+ +
槡 "1’
" ! "’， + + !’ ，
+1* + + " +1*
所以
槡 槡
" ! "’( ""!"，
+1* + + + + +
"1’ ’1’
’ ! + + ， + + !’，
+1* " " +
即数列｛"｝为增数列，数列｛’｝为减数列，故
+ +
,!"，"，…，"，’，…，’!8，
* " + + *
可知数列｛"｝和｛’｝均有界，根据单调有界准则，知$.A"与$.A’都存在，选项 值、处错误）
+ + + +
+则9 +则9
"1’
设$.A"!-，$.A’!.，对 ’ ! + + 两边同取极限，得
+则9 + +则9 + +1* "
"1’ -1.
$.A’ !$.A + + ，（即（.! ，
+则9 +1* +则9 " "
解得 -!.，故应选 (）
$选CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（二）参考答案
小分!"#$(）
!%&$利用广义初等变换，得
）已=已 阵] 第“"”列的（/已）倍加至第“*”列 ）已=已 阵]
””””””””””””则 ，
矩已 矩 阵 矩
）已矩( 已矩] 第“"”行的（/已）倍加至第“*”行 ）已矩( 阵]
””””””””””””则 ，
阵 矩 阵 矩
）矩 矩] 第“*”列的（/*）倍加至第“"”列 ）矩 阵]
””””””””””””则
阵 已矩 阵 已矩
所以
）已=已 阵] ）已=已 阵]
若 !若 !若（已=已）1若（矩）!若（已）1若（矩），
矩已 矩 阵 矩
）已矩( 已矩] ）已矩( 阵]
若 !若 !若（已矩(）1若（矩），
阵 矩 阵 矩
）矩 矩] ）矩 阵]
若 !若 !若（已矩）1若（矩），
阵 已矩 阵 已矩
又因为 若（已）(若（已矩）(若（已矩(），于是 若，若，若，故应选 (）
" : *
p分!"#$值）
* # "
!%&$对于!，因为 # : 为 为实对称矩阵，所以一定可以相似对角化）
" 为 8
: " /"
对于"，记 已! /D /* D ，由
为 " /:
（/: /" " （1* # /（/*
J（&/已J! D （1* /D ! D （1* /D
/为 /" （1: /为 /" （1:
（1* # #
! D （1* # !（（/*）（（1*）"!#，
/为 /" （/*
解得 已的特征值为 （!*，（!（!/*）
* " :
又因为
$为考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
/为 /" " /为 /" " * # /*
/&/已! D # /D 则 * # /* 则 # * * ，
/为 /" " # # # # # #
即 若（/&/已）!"，所以 （!（!/* 仅有 :/若（/&/已）!* 个线性无关的特征向量，故 已不可相似
" :
对角化）
* " /*
对于；，记 矩! # * # ，由
/* " *
（/* /" *
（/* *
由 （&/矩 ! # （/* # !（（/*） !（（（/*）（（/"）!#，
* （/*
* /" （/*
解得 矩的特征值为 （!#，（!*，（!"，故 矩可以相似对角化）
* " :
/* # * /* # *
对于$，因为 /" # " 是秩为 * 的矩阵，且 53/" # " !/为"#，所以该矩阵可以相
: # /: : # /:
似对角化）
故应选 值）
｝分!"#$(）
!%&$二次型 !!#=已# 经过可逆线性变换 #!’%化为二次型 !!#=矩#，则 !!#=已# 与 !!#=矩#
正负惯性指数相同）
’
*
!D"
*
18"
"
1,"
:
， ’
*
D 8 , "
*
令 ’ " !"" * 1:" " 18" : ，显然’ " ! " : 8 " "为可逆线性变换，可将二次型化为!!’ * ’ " 1?’" : ）
’!"） ’ # # * "
: : : :
’
*
!7
*
17
"
， ’
*
* * # 7
*
又令 ’ " !7 * /7 " ，显然’ " ! * /* # 7 " 依然为可逆线性变换，可将二次型再化为
’!7） ’ # # * 7
: : : :
!!7"/7"1?7"）由于 !!7"/7"1?7" 的正负惯性指数分别为 为!"，P!*，于是原二次型的正负惯性指数
* " : * " :
也分别为 为!"，P!*，应选 (）
有分!"#$值）
!%&$记 0（-）!"，0（.）!’，于是
（—（—
0｛2!#，3!#｝!0（-.）!*/"/’， （
$，CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（二）参考答案
（—
0｛2!#，3!*｝!0（-.）!0（.）/0（-.）!0（.）!’，
（—
0｛2!*，3!#｝!0（-.）!0（-）/0（-.）!0（-）!"，
0｛2!*，3!*｝!0（-.）!#，
故 2与 3的联合分布律为
3
2
# *
# */"/’ ’
* " #
可求得 则（23）!#，则（2）!"，则（3）!’，因此
值CI（"，’） 则（23）/则（2）·则（3）
为 ! 槡 槡 ! 槡 槡 >#，
23
>（2） >（3） >（2） >（3）
应选 值）
-分!"#$值）
!%&$当 2E0（（）时，2的分布律为
（I0/（
0｛2!I｝! ，（I!#，*，"…，
I！
故
（#0/（
0（-）!0｛/*>2>*｝!0｛2!#｝! !0/（，
#！
（*0/（
0（.）!0｛#>2>"｝!0｛2!*｝! !（0/（，
*！
0（-.）!0｛#>2>*｝!#）
所以 0（-.）"0（-）·0（.），即随机事件 -与 .一定不相互独立，!错误，"正确）
当 2E当（/*，:）时，有
* * *
0（-）! ，（0（.）! ，（0（-.）! ，
" " 为
所以 0（-.）!0（-）·0（.），即随机事件 -与 .一定相互独立，$错误，；正确）
应选 值）
%o分!"#$值）
!%&$由总体 2，3都服从标准正态分布 4（#，*），知
$#考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
（ 2 — E4 ( #， * ) ，（ （ 3 — E4 ( #， * ) ，（<"（+/*）E$"（+/*），（<"（+/*）E$"（+/*））
+ + 2 3
（— （—
因为 2与 3相互独立，且
（— （— （— （—
则［+（2H3）］!+则（2H3）!#，
（— （— （— （— （— （—
>［+（2H3）］!+">（2H3）!+"［>（2）1>（3）］!"+，
（— （— （— （— （— （— （— （—
所以 +（213）!+21+3E4（#，"+），+（2/3）!+2/+3E4（#，"+），故!错误）
由于 <" 与 <" 相互独立，则
2 3
<"
（<"1<"）（+/*）E$"（"+/"），（且（ 2 E是（+/*，+/*），
2 3 <"
3
故"、$正确）
（— （—
又因为总体 2，3服从正态分布且相互独立，所以 2/3与 <"1<" 相互独立，且
2 3
（— （—
+（2/3）
槡 槡 （— （—
"+ +（2/3）
!槡 E#（"+/"），
槡 （<"1<"）（+/*） （<"1<"）
2 3 2 3
"+/"
故；正确）
综上所述，答案选 值）
二、 填空题
%%分!"#$*6
!%&$根据复合函数的链式求导法则，知
）数
!!=·-04"52% "1!=·-04""，
）" * "
）"数
!-04"52%""·!=1-04:"·!=1-04"52% "（!H·-04"52% "1!H·-04""）1
）"" * * ** *"
"-04""52% "·!=1-04""·（!H·-04"52% "1!H·-04""），
" "* ""
）"数 #! #"!
于是 !!=（*，#）1!H（*，#）! 1 !*）
）"" * "" #函 #@"
"!# （*，#） （*，#）
*
%C分!"#$ 6
为
!%&$方法一：交换积分次序）
" " " "
!" ）@ !" 0（（函（@）"）函 !" ）@ !" 0（（函（@）"）函
" " 0/（函/@）"
$.A !" ）@ !" ）函!$.A # @ !$.A # @ ）
"则# # @ */4C-" "则# * （4C-" "则# * ""
"
））CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（二）参考答案
如右图所示，交换二次积分的积分次序，得
" " "
函
!" ）@ !" 0/（函/@）"）函!!" ）函 ! 0/（函/@）"）@，
# @ # #
于是
" "
!" ）函 ! 函 0（（函（@）"）@ !" ）! 函 0（（函（@）"）@ ] ）函
原式!$.A # # !$.A # #
"则# * "则# *
"" ""
" "
22 洛 2$.A
*
"
!
#
" " 0（(
"
" （@) "）@
2 令 2 "
"
2 / 2 @! 2 # $.A
（! #
" "
0（#"）#
"则# " "则# ""
""
洛 0/ 为 *
222$.A ! ）
"则# 为 为
方法二：二重积分积分中值定理）
" " " "
!" ）@ !" 0（（函（@）"）函 !" ）@ !" 0（（函（@）"）函
" " 0/（函/@）"
$.A !" ）@ !" ）函!$.A # @ !$.A # @ ）
"则# # @ */4C-" "则# * （4C-" "则# * ""
"
如右图所示，记阴影部分为区域 >，于是
" "
!" ）@ !" 0/（函/@）"）函!* 0/（函/@）"）函）@!0/（+/,）"< ，
>
# @
>
*
其中（+，,）%>，< 为平面区域 >的面积，且 < ! ""）
> > @
* 0（（函（@）"）函）@
0/（+/,）"·
*
""
@
因此，原式!$.A > !$.A
"则# * "则# *
"" ""
" "
* * *
! $.A0/（+/,）"! $.A0/（+/,）"! ）
为 "则# 为 +则# 为
,则#
%）分）"#$""1"’/7/8!#）
""
）%&$曲面 7! 1’"/" 在其上任一点（"，’，7）处的法向量为 为!（"，"’，/*），又因为
" # # # # #
平面 ""1"’/7!# 的法向量为 为!（"，"，/*），根据 为与 为平行，可知
* *
"!"，’!*，7!*，
# # #
所以曲面在该点处的切平面方程为
$为考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
"（"/"）1"（’/*）/（7/*）!#，
整理得 ""1"’/7/8!#）
"1"
%$分!"#$ ）
（*1"）"
9
!）&$设 <（"）!$ （/*）++"+/"，于是
+，"
9 9
<（"）!$ （/*）+（+/*）"+/"1$ （/*）+"+/"
+，" +，"
9 9
!$ （/*）+1*+"+/*1$ （/*）+"+
+，* +，#
9 *
!）$ （/*）+1*"+] =1
*1"
+，*
9 *
!） （$ （/"）+] =1
*1"
+，*
( ") = *
! 1
*1" *1"
"1"
! ，/*>">*）
（*1"）"
%小分!"#$"6
!）&$设 #!（"，"，"）=，则方程组（!/!，!1!，/!1,!1!）#!! 可化为
* " : * " " : * " : 为
"（!/!）1"（!1!）1"（/!1,!1!）!!1!1"!，
* * " " " : : * " : * " :
（"/"）!1（/"1"1,"）!1（"1"）!!!1!1"!）
* : * * " : " " : : * " :
因为 !，!，! 线性无关，所以
* " :
，"/"!*，
* :
/"1"1,"!*，（（（））
* " :
"1"!"）
" :
于是，由方程组（!/!，!1!，/!1,!1!）#!! 有无穷多解，知方程组（））也有无穷多解）
* " " : * " : 为
（—
记 矩，矩分别是方程组（））的系数矩阵与增广矩阵，由于方程组（））有无穷多解，则若（矩）!
（— （—
若（矩）>:）对增广矩阵 矩施以初等行变换，得
* # /* . * * # /* . * * # /* . *
矩! /* * , . * 则 # * ,/* . " 则 # * ,/* . " ）
. . .
# * * ." # * * ." # # "/,.#
$得CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（二）参考答案
所以 "/,!#，解得 ,!"）
槡
* :
%p分!"#$ / 6
" ?
!%&$（2，3）的联合概率密度函数为
， *
， （"，’）%>，
!（"，’）! 为）
#， 其他）
如右图所示，2的边缘概率密度函数为
槡
! 2 （"）!!
［9
!（"，’））’!
， !
（ 槡
为"
为
（
"
"
（
"
"" 为
*
）
）’， # Q"Q为，
!
，
"
*
）
槡 为"/""， #>">为，
（9
#， 其他 #， 其他，
于是当 #>">为 时，!（"）7#，有
2
*
为） ， *
!（"，’） ， （"，’）%>， 槡 （"，’）%>，
! 3 2 （’ "）! !（"） ! * · 槡 为"/"" !" 为"/""
2 "）
#， 其他）
#， 其他
如右图所示，当 "!: 时，有
， * 槡 槡
槡， /:>’>:，
! （’:）! " :
3 2
#， 其他，
于是
槡
:
0!｛37* 2!:｝!! ! （’:））’
3 2
*
槡
槡
: * * 槡 * :
!! 槡）’! 槡·（ :/*）! / ）
* " : " : " ?
三、 解答题
%｝分!%&$（（） 由于
! " #!（#/"））#2 令 2 函 2 ! 2 #/ 2 " ! # （函 ［"） !（函））函!! # #!（#））#1" ! # !（#））#，
# （" （" （"
所以，原式可化为
" # #
"!! !（#））#1! #!（#））#1" ! !（#））#）
# （" （"
上式两边对 "求导得
#
*!!（"）/"!（/"）1! !（#））#1"!（/"），
（"
，）考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
即
#
*!!（"）1! !（#））#，且 !（#）!*
（"
上式两边再对 "求导得
!=（"）1!（/"）!#， !
!式两边对 "求导得
!H（"）/!=（/"）!#， "
将!式中的 "换为/"得
!=（/"）1!（"）!#， ；
由"与；式得 !H（"）1!（"）!#，解得 !（"）!/4C-"1/-.% "）
* "
又因为 !（#）!*，且由!式得 !=（#）!/!（#）!/*，解得 /!*，/!/*）
* "
因此，!（"）!4C-"/-.% "）
（’） 由（（） 可知 是（"）!0/"（4C-"/-.% "），故
是=（"）!0/"（/-.% "/4C-"）/0/"（4C-"/-.% "）!/"0/"4C-"）
是H（"）!"0/"-.% "1"0/"4C-"!"0/"（-.% "14C-"），
: D
令 是H（"）!#，解得 "! ），"! ），可列表得
为 为
( : ) : ( : D ) D ( D )
" #， ） ） ）， ） ） ），"）
为 为 为 为 为 为
是H（"） 1 # / # 1
是（"） 凹 拐点 凸 拐点 凹
( : ) ( D ) ( : D )
因此， 函 数 的 凹 区 间 为 #， ） 和 ），"） ， 凸 区 间 为 ）， ） ， 且 拐 点 为
为 为 为 为
( : 槡 : ) ( D 槡 D )
），/"0/ 为 ） ， ）， "0/ 为 ） ）
为 为
%有分!%&$积分区域 >如图所示，显然区域 >关于 "轴对称，若记
， */’" 槡 }
>!（"，’） ，"， */’"，#，’，* ，
* "
槡
由于 "’关于 ’为奇函数， ""1’"1"关于 ’为偶函数，于是
设!*( 槡 ""1’"1"1"’ ) ）"）’
>
!*( 槡 ""1’"1" ) ）"）’
>
$(CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（二）参考答案
!" *( 槡 ""1’"1" ) ）"）’）
>*
又因为区域 > 的极坐标形式为
*
， * ）}
>!（若，，） ，若，*，#，，， ，
* *14C-， "
所以
）
*
设!" !" ）， ! （若1若4C-，）若）若
*
#
*［4C-，
）
*
!" !" （*14C-，））， ! 若"）若
*
#
*［4C-，
） * ） * ]
!" !" （*14C-，）· */ ），
#
: （*14C-，）:
" ） " ） *
! !" （*14C-，）），/ !" ），
:
#
:
#
（*14C-，）"
"( ） ) " ） *
! 1* / !" ），
: " : ，
# 为4C-为
"
"( ） ) " * ） ， ，
! 1* / · !" -04为 ）
: " : " " "
#
"( ） ) * ） ( ， ) ，
! 1* / !" 52%" 1* ）52%
: " : " "
#
） ）
"( ） ) * * ， " * ， "
! 1* / · 52%: / 52%
: " : : " : "
# #
） "
! 1 ）
: 阵
*/’"
将题中曲线 !"转化为极坐标形式，可能是许多考生解题过程中的一个主要障
"
碍）这里作出详细解析：
*/’"
先将曲线 !"转化为 ’"1""!*，于是可得曲线的极坐标形式
"
若"-.%"，1"若4C-，/*!#，
-.%"，·若"1"4C-，·若/*!#，
显然上式是关于 若的一元二次方程）
$程考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
（（由于 )!为4C-"，1为-.%"，!为，且 若(#，于是
/"4C-，1" */4C-， *
若! ! ! ）
"-.%"， */4C-"， *14C-，
%-分!%&$在区域内，即 ""1"’">?）
，!=!""1*"’!#， ，"!#，
"
令 解得驻点 且 !（#，#）!#）
!=!*""1*?’!#， ’!#，
’
在边界 ""1"’"!? 上，设拉格朗日函数为
是（"，’，（）!""1*""’1@’"1（（""1"’"/?），
是=!""1*"’1"（"!#，
"
令 是= ’ !*""1*?’1为（’!#，
是=!""1"’"/?!#，
（
槡 槡 槡 槡
解得可疑点 0（/"，*），0（"，/*），0（ "， "），0（/"，/"））
* " : 为
又
!（/"，*）!!（"，/*）!/*"，
槡 槡 槡 槡
!（ "， "）!!（/"，/"）!为"，
因此，!（"，’）在区域 >!｛（"，’） ""1"’"，?｝上的最大值为 为"，最小值为/*"）
Co分!%&$（（） 由于当 ""1’"，阵时，函数 !（"，’）!阵/""/’"(#；当 ""1’"7阵时，函数 !（"，’）!阵/
""/’">#，所以 >!｛（"，’） ""1’"，阵｝，此时 设（>）最大，且
*
设（>）!* （阵/""/’"））"）’!@*）/!
"）
）， !
:
若"·若）若!@*）/"）·
*
·@*!
@*
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* 为 "
# #
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’）"1（"/"））’ ’）"/（"1"））’
（’）
原式!求 1求
）
且
（"/"）"1’"
且
（"1"）"1’"
’ "/" ’ /（"1"） #K
记 0 ! ，K ! ，0 ! ，K ! ，经计算可知 * !
* （"/"）"1’" * （"/"）"1’" " （"1"）"1’" " （"1"）"1’" #"
#0 #K #0
* ， " ! " ）
#’ #" #’
补线 且 ：（"/"）"1’"!-"（-则#1），方向为顺时针，且 且 所围区域为 >）
* * "
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" " :
因为
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求 !求 /求
且
（"/"）"1’"
且［且*
（"/"）"1’"
且*
（"/"）"1’"
%）CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（二）参考答案
*
!#/ 求 ’）"1（"/"））’
-"
且*
*
! 求 ’）"1（"/"））’
-"
且* （
* *
! * （/*/*））"）’!/ ·"·）-"!/"），
-" -"
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求 !求 /求
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>:
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因此，原式!求 1求 !/为））
且
（"/"）"1’"
且
（"1"）"1’"
本题具有创新性，核心在于构造两个第二型平面曲线积分，重点考查“挖洞”法
的应用）
* /* /*
C%分!%&$（（） 由题意可知，二次型所对应矩阵为 已! /* * , ，且 已的特征值为（!
*
/* , *
，53（已）!（1（1（，
* " :
（!"，（!8，于是 即
" : 已 !（（（，
* " :
，:!"1"18，
/（,/*）"!为8）
， ,!:， ，,!/*，
解得 或
8!/*， 8!/*）
* * *
当 ,!: 时，"&/已! * * /: ，显然 若（"&/已）"*，即 :/若（"&/已）""，于是 （!（!" 不
* "
* /: *
含有两个线性无关的特征向量，则矩阵 已不可相似对角化，与题设矛盾，故舍去）
%!考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
因此，,!/*，8!/*）
（’） 当 （!（!" 时，解方程组（"&/已）#!o，可得特征向量为
* "
!!（/*，*，#）=，（!!（/*，/*，"）=）
* "
当 （!/* 时，解方程组（/&/已）#!o，可得特征向量为 !!（*，*，*）=）
: :
因为 !!（/*，*，#）=，!!（/*，/*，"）=，!!（*，*，*）=已经正交，仅需要将其单位化，得
* " :
( * * ) = ( * * " ) = ( * * * ) =
得!/ 槡，槡，# ，（得!/ 槡，/ 槡，槡 ，（得!槡，槡，槡 ，
* " " " ? ? ? : : : :
* * * * * *
/ / / /
槡 槡 槡 槡 槡 槡
" ? : " ? :
* * * * * *
记 *!（得，得，得）!槡 / 槡 槡，故所用正交变换为 #!槡 / 槡 槡%）
* " : " ? : " ? :
" * " *
# 槡 槡 # 槡 槡
? : ? :
（(） 因为 #=#!%=%，所以在 ’"1’"1’"!: 的条件下，
* " :
!!"’"1"’"/’" !"（’"1’"1’"）/:’"
* " : * " : :
，"（’"1’"1’"）!?，
* " :
（（!!"’"1"’"/’"!/（’"1’"1’"）1:’"1:’"
* " : * " : * "
(/（’"1’"1’"）!/:，
* " :
槡
所以 !的最大值为 ?，最小值为/:，满足最大值的一个解（’，’，’）=!（ :，#，#）=，满足最小值的
* " :
槡
一个解（’，’，’）=!（#，#， :）=，其对应的最大值点与最小值点分别为
* " :
/ * / * * 槡 / * / * *
槡 槡 槡 : 槡 槡 槡
" " * " ! 槡 * " " / 槡 * ? ? 槡 * : : 槡 # :（ ! / 槡 : " ，（ " " * " ! 槡 * " " / 槡 * ? ? 槡 * : : 槡 # # ! * * ）
" # " " :（ *
: " * : " *
# 槡 槡 # # 槡 槡
? : ? :
CC分，%&$（（） 因为 2，2 相互独立，且 2E4（#，""），2E4（#，""），于是（2，2）服从二维
* " * " * "
正态分布，进而（3，B）!（212，2/2）也服从二维正态分布）又
* " * "
值CI（3，B）!值CI（212，2/2）!值CI（2，2）/值CI（2，2）
* " * " * * " "
!>（2）/>（2）!""/""!#，
* "
于是 3与 B相互独立）
（’） 由 2E4（#，""），2E4（#，""），且相互独立，所以 B!2/2 服从正态分布，又因为
* " * "
则（B）!则（2/2）!则（2）/则（2）!#，
* " * "
%，CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（二）参考答案
>（B）!>（212）!>（2）1>（2）!"""，
* " * "
所以 BE4（#，"""），于是 B的概率密度函数为
* 7"
!
B
（7）! 槡 0/ 为""（（/9>7>19））
"" ）
设似然函数为
+
且（""）!! B （7 * ）! B （7 " ）…! B （7 + ）!"/+（）""）/ " + 0 （ 为" * " E $ ，* 7E " （ （/9>7 * ，7 " ，…，7 + >19），
+ * +
取对数，得 $% 且（""）!/+$% "/ $%（）""）/ $ 7"）
" 为""
E，*
E
）$% 且（""） + * * + * +
令 !/ · 1 $ 7"!#，解得 ""! $ 7"，于是 "" 的最大似然估计量为
）"" " "" 为"为
E，*
E "+
E，*
E
"
（量
"!
*
$
+
B"）
"+ E
E，*
因为 则（"
（量
"）!则
( *
$
+
B"
)
!
*
·+则（B"）!
*
｛>（B）1［则（B）］"｝!
*
（"""1#）!""，所以
"+ E "+ " "
E，*
"
（量
"!
*
$
+
B" 是 "" 的无偏估计量）
"+ E
E，*
计估
