(220)--高数强化18笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（18） 18 二重积分举例（二重积分计算、累次积分、综合题及不等式） P191-P203 主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研 题型一 计算二重积分 【例1】计算  [| xy |  sin( xy 2 )]d, 其中 D 由曲线 | x |  | y | 1 所围成. D 【解】 原 式   xyd  4  xyd D D 1 1 1x 1  4  dx  xydy  . 0 0 626武忠祥考研 2 2 x y 【例2】设区域 D 为 x 2  y 2  R 2 ,则  (  )d  _____ . 2 2 a b D x 2 y 2 2 R cos 2 sin 2 R 4 1 1 【解1】  (  )d   d (  )r 3 dr  (  ) a 2 b 2 0 0 a 2 b 2 4 a 2 b 2 D 2 2 2 2 x y y x 【解2】  (  )d   (  )d 2 2 2 2 a b a b D D 2 2 x y 1 [左端 + 右端]  (  )d  2 2 a b 2 D 1 1 1  (  )  (x 2  y 2 )d 2 2 2 a b D 1 1 1 2 R R 4 1 1  (  )  d r 3 dr  (  ) 2 2 2 2 2 a b 0 0 4 a b26武忠祥考研   【例3】设区域 D (x, y) | x 2  y 2  4, x  0, y  0 , f ( x) 为 D 上正 a f (x)  b f ( y) 值连续函数, 为常数,则 a,b  d  ____ . f (x)  f ( y) D ab a  b A) ab  B)  C) (a  b) D)  2 2 a f (x)  b f ( y) a f ( y)  b f (x) 【解1】直接法  d   d f (x)  f ( y) f ( y)  f (x) D D 1 a f (x)  b f (y) a f (y)  b f (x) 原式  [  d  d] 2 f (y)  f (y) f (y)  f (x) D D 1 a  b   (a  b)d   2 2 D 【解2】排除法 取 f (x)  1 1 a  b 原式   (a  b)d   2 2 D26武忠祥考研 【例4】计算  x[1 yf (x 2  y 2 )]d,其中 D 是由 D y  x 3 , y  1, x  1 围成的区域, f (u) 为连续函数. 【解】  x[1  yf ( x 2  y 2 )]dxdy D   xdxdy   xyf (x 2  y 2 )dxdy D D  xyf (x 2  y 2 )dxdy  0 （利用奇偶性) D 2 1 1  xdxdy   dx  xdy   1 x 3 5 D26武忠祥考研 【例7】计算  (x  y)d ,其中 D 由 x 2  y 2  x  y 所确定. D 3 cossin 【解1】  (x  y)d   4 d (cos sin)r 2 dr   0 D 4  1 x   r cos,  2 【解2】 令 d  rdrd  1  y   r sin,  2 1 1  2 2  (x  y)d   d 2 (r cos r sin 1)rdr   d 2 rdr  0 0 0 0 2 D 1 1 【解3】  (x  y)d   [(x  )  ( y  )  1]d 2 2 D D 【解4】  (x  y)d  2  xd  2xS D D26武忠祥考研 【例8】计算  ydxdy,其中 D 是由 x  2, y  0, y  2 D 以及曲线 x   2 y  y 2 所围成. 2  2yy 2 【解1】   ydxdy   dy ydx 0 2 D 0 2  2sin 【解2】   yd   dx  ydy   d r 2 sindr  2 0 0 D 2  【解3】  yd   [( y  1)  1]d   d  4  2 D D D  【解4】  yd  yS  4  2 D26武忠祥考研  x 2 , | x |  | y | 1 ,  【例9】设二元函数 f (x, y)   1 , 1  | x |  | y | 2 ,  x 2  y 2  计算二重积分  f (x, y)d, 其中 D  {(x, y) || x |  | y | 2}. D  2 1 1x 【解】 原式  4  dx  x 2 dy  4  2 d sincosdr 1 0 0 0 sincos  1 d   4  2 3 0 sin cos  1 4 d 1    2   4 2 ln( 2  1)  3 2 0 3 sin( ) 426武忠祥考研 x  a(t  sin t) 【例10】计算  y 2 d ,其中 D 由  (0  t  2)  y  a(1  cos t) D 与 围成. y  0 2a y(x) 1 2a 【解】  y 2 d   dx y 2 dy   y 3 (x)dx 0 0 3 0 D 1 2   a 3 (1  cost) 3 a(1  cost)dt 3 026武忠祥考研 x,  1  x  2 【例11】设 D 是全平面, f ( x)   ， 0, 其它 计算  f (x) f (x 2  y)d D 2 x 21 9 【解】 原式   dx x(x 2  y)dy  1 x 22 426武忠祥考研 【例12】计算  x 2  y 2  2 y d ,其中 D 由 x 2  y 2  4 所确定. D 【解】   x 2  y 2  2 y d D   (2 y  x 2  y 2 )d  (x 2  y 2  2 y)d D D 1 2   (2 y  x 2  y 2 )d [  (x 2  y 2  2 y)d  (x 2  y 2  2 y)d] D D D 1 1   (x 2  y 2  2 y)d 2  (2 y  x 2  y 2 )d D D 1 2 2  2sin   d r 3 dr  2  d (2r sin r 2 )rdr  9 0 0 0 026武忠祥考研 【例13】计算  min{ x, y}e (x 2 y 2 ) d ,其中 D 为全平面. D 【解】  min{x, y}e (x 2y 2 ) d D   xe (x 2y 2 ) d  ye (x 2y 2 ) d D D 1 2  y  2  dy  xe x 2  e y 2 dx  f (x, y)dxdy   f ( y, x)dydx   D D (x,y) (y,x)    e 2y 2 dy  2y  t 1     e t 2 dt   2  226武忠祥考研 1 【例14】设 f ( x) 在区间 [0,1] 上连续,且  f (x)dx  A 0 1 1 求   dx f (x) f ( y)dy. 0 x 1 1 1 1 【解】  dx  f (x) f ( y)dy   dy f ( y) f (x)dx 0 x 0 y  f (x, y)dxdy   f ( y, x)dydx D D (x,y) (y,x) 1 1 1 1 1  [  dx f (x) f ( y)dy   dy f (x) f ( y)dx] 2 0 x 0 y 1   f (x) f ( y)dxdy 2 0x1 0y1 1 1 1 A 2   f (x)dx f ( y)dy  2 0 0 226武忠祥考研 题型二 累次积分交换次序及计算 【例1】交换下列累次积分次序 1 2y 2 1) I   dy  f (x, y)dx; 0 y 2 x 3) I   dx  f (x, y)dy; 2 0 x 2 1 x 【解】 1) I   dx f (x, y)dy 0 0 2 2x 2   dx f (x, y)dy 1 0 1 y 2 y 4 2 3) I   dy f (x, y)dx   dy f (x, y)dx   dy f (x, y)dx 0 y 1 y 2 y26武忠祥考研  2acos 【例2】交换累次积分 I   2 d f (r cos, r sin)rdr   0 4 的次序 (a  0). 【解1】 r  2a cos 是圆 x 2  y 2  2ax r 2a arccos I   dr  2a f (r cos, r sin)rd  0  4 r 2a arccos   dr  2a f (r cos, r sin)rd r 2a arccos 2a 【解2】26武忠祥考研  cos 【例3】累次积分  2 d f (r cos,r sin)rdr 可写成 0 0 1 yy 2 1 1y 2 A) B)     dy f (x, y)dx, dy f (x, y)dx, 0 0 0 0 1 1 1 xx 2 C)   D) dx f ( x, y)dy,  dx  f ( x, y)dy. 0 0 0 026武忠祥考研 【例4】 计算下列累次积分 x x 2 x 4 2 2)  dx  sin dy   dx  sin dy; 1 x 2 y 2 x 2 y a a a 2x 2 1 3)  dx  dy;(a  0) 0 x 4a 2  (x 2  y 2 ) 2 x 2 y 【解】 2 ）原式   dy  sin dx 1 y 2 y 0 2asin r 3)  d dr   0 4a 2  r 2 426武忠祥考研 A 【例5】设 f ( x) 为连续.证明:  f (x  y)dxdy   f (t)(A | t |)dt A D A A D : | x | , | y | 2 2 A A 【证】  f (x  y)dxdy   2 dx  2 f (x  y)dy A A   D 2 2 A A x  2 f (x  y)dy   2 f (u)du (x  y  u) A A  x 2 2 A A x  f (x  y)dxdy   2 dx  2 f (u)du A A  x D 2 2 A A 0 u A   du  2 f (u)dx   du  2 f (u)dx A A A  0 u 2 2 0 A A   f (u)( A  u)du   f (u)( A  u)du   f (u)(A  u )du A 0 A26武忠祥考研 题型三 与二重积分有关的综合题 t t 【例1】设 f ( x) 为连续函数， F(t)   dy  f ( x)dx, 则 F  (2) 等于 1 y A） 2 f ( 2 ) B） f (2) C）  f (2) D）0 t x t 【解1】 F(t)   dx  f (x)dy   (x  1) f (x)dx 1 1 1 F  (t)  (t  1) f (t) F  (2)  f (2) 故应选（B） 【解2】排除法 f (t)  126武忠祥考研 【例2】 设区域 由 x 2  y 2  y 和 x  0 所确定， f ( x, y) 为 D D 8 上的连续函数,且 f (x, y)  1  x 2  y 2   f (u,v)dudv. 求 f ( x, y).  D 【解1】 令  f (u,v)dudv  A, D 8 则 f ( x , y)  1  x 2  y 2  A  8  [ 1 x 2  y 2  A]dxdy  A  D  1 1 sin 1  2 A   1  x 2  y 2 dxdy   2 d 1  r 2 rdr  (  ) 2 2 0 0 6 2 3 D 【解2】  f (x, y)dxdy   1  x 2  y 2 dxdy   f (u,v)dudv D D D26武忠祥考研 【例3】设 f (t) 在 [0,) 上连续,且满足 1 f (t)  e 4t 2   f ( x 2  y 2 )dxdy 求 f (t). 2 x 2y 24t 2 1 2 2t 1 【解】  f ( x 2  y 2 )dxdy   d f ( r)rdr 2 0 0 2 x 2 y 24t 2 1 2t  2 rf ( r)dr 0 2 1 2t f (t)  e 4t 2  2 rf ( r)dr 0 2 f  (t)  8te 4t 2  8tf (t) f (t)  e 8tdt [  8te 4t 2 e 8tdt dt  C]  (4t 2  C)e 4t 2 由 f (0)  1 得 C  1, f (t)  (4t 2  1)e 4t 226武忠祥考研 【例4】设 是定义在 上的连续函数, f ( x, y) 0  x  1,0  y  1 2 x t   dt f (t,u)du f (0,0)  1 ,求极限 lim 0 x . x0  1  e x 3 2 2 x t x u  dt  f (t,u)du   du  f (t,u)dt 【解1】 li m 0 x  lim 0 0 x0  1  e x 3 x0  x 3 2 x  f (t, x)dt 0   lim x0  3x 2 2 x f (c, x) 1 1   lim   f (0,0)  x0  3x 2 3 3 2 x t 【解2】  dt f (t, u)du   f (t, u)dtdu   f (,)S 0 x D x 2 x x 2 1 S   dt du   (x  t )dt  x 3 0 t 0 326武忠祥考研 【例5】 设 f ( x, y) 在单位圆 x 2  y 2  1 上有连续一阶偏导数,  1 xf  yf 且在边界上取值为零,证明: f (0,0)  lim  x y dxdy 0  2 x 2  y 2 D 其中 D 为圆环域 2  x 2  y 2  1. xf  yf 【证】  x y dxdy x 2  y 2 D 2 1   d [cosf (r cos, r sin)  sinf (r cos, r sin)]dr x y 0  2 2 1   [ f (r cos, r sin) ]d  f (cos,sin)d  0 0  2f (cos,sin), [0,2]  1 xf  yf lim  x y dxdy  lim f (cos,sin)  f (0,0) 0  2 x 2  y 2 0  D26武忠祥考研 【例6】 设二元函数 f ( x, y) 在平面域 D : 0  x  1,0  y  1 上有二阶连续偏导数，在 的边界上取值为零, 且在 D 2 f M D 上有  M , 试证  f (x, y)dxdy  . xy 4 D 【证1】由题设知 f (0, y)  0, f (1, y)  0, f (x,0)  0, f (x,1)  0, 从而有 f (0, y)  0, f (1, y)  0, f (x,0)  0, f (x,1)  0. y y x x 1 1  f (x, y)dxdy   dx f (x, y)dy 0 0 D 1 f f 1 1 1 1   [ yf (x, y)   y dy]dx   ydy d(1  x) 0 0 y 0 0 y 0 1 f 2 f 2 f 1 1   y[(1  x)   (1  x) dx]dy   y(1  x) dxdy 0 y 0 xy xy 0 D 2 f M 则  f (x, y)dxdy   y(1  x) dxdy  M  y(1  x)dxdy  xy 4 D D D26武忠祥考研 【例6】设二元函数 f ( x, y) 在平面域 D : 0  x  1,0  y  1 上有二阶连续偏导数，在 的边界上取值为零, 且在 D 2 f M D 上有  M , 试证  f (x, y)dxdy  .  x  y 4 D 【证2】 f (x, y)  f (x, y)  f (0, y) ( f (0, y)  0)  xf ( , y ) （拉格朗日中值定理） x  x[ f (, y)  f (,0)] ( f (x,0)  0) x x x  xyf (  ,  ) （拉格朗日中值定理） xy M  f (x, y)dxdy   xyf (,)dxdy  M  xydxdy  . xy 4 D D D题型四 与二重积分有关的积分不等式问题 【例1】设 I   cos x 2  y 2 d, I   cos( x 2  y 2 )d, I   cos( x 2  y 2 ) 2 d 1 2 3 D D D 其中 D  {(x, y) | x 2  y 2  1}, 则 A) I  I  I B) I  I  I 3 2 1 1 2 3 C) I  I  I D) I  I  I 2 1 3 3 1 2 【解】 x 2  y 2  x 2  y 2  (x 2  y 2 ) 2 cos x 2  y 2  cos( x 2  y 2 )  cos( x 2  y 2 ) 226武忠祥考研 【例2】 设 则 I   (x 2  y 2 )d, I   2 | xy | d, I   (x 2  y 2 )d, 1 2 3 x 2y 21 |x||y|1 |x||y|1 A) I  I  I ; B) I  I  I ; 2 3 1 1 2 3 C) I  I  I ; D) I  I  I ; 3 1 2 3 2 126武忠祥考研 【例3】设 在 上连续,且 f ( x) [a,b] f ( x)  0, 1 b b 证明:  f (x)dx  dx  (b  a) 2 . a a f (x) 【证1】 D  {(x, y) a  x  b,a  y  b} 1 1 f (x) b b b b  f (x)dx   dx   f (x)dx   dy   dxdy a a f (x) a a f ( y) f ( y) D 1 1 f (x) f ( y) b b  f (x)dx   dx  [  dxdy   dxdy] a a f (x) 2 f ( y) f (x) D D 1 f 2 (x)  f 2 ( y) f 2 (x)  f 2 ( y)   dxdy   dxdy   1dxdy 2 f (x) f ( y) 2 f (x) f ( y) D D D  (b  a) 226武忠祥考研 【例3】设 在 上连续,且 f ( x) [a,b] f ( x)  0, 1 b b 证明:  f (x)dx  dx  (b  a) 2 . a a f (x) 【证2】由柯西积分不等式得 1 1 b b b b  f (x)dx  dx   ( f (x)) 2 dx   ( ) 2 dx a a f (x) a a f (x) 2   1 b    f (x)  dx   (b  a) 2    a f (x) 1 1  2  2 xf (x)dx f (x)dx 【例4】设 在 上单调减的正值函数,证明: 0 0 f ( x) [0,1]  1 1   xf (x)dx f (x)dx 0 0 【证1】 D  {( x, y) 0  x  1,0  y  1} 1 1 1 1 I   f 2 (x)dx  xf (x)dx   xf 2 (x)dx  f (x)dx 0 0 0 0 1 1 1 1   f 2 (x)dx   yf ( y)dy   xf 2 (x)dx   f ( y)dy 0 0 0 0   yf 2 (x) f ( y)dxdy   xf 2 (x) f ( y)dxdy   f 2 (x) f ( y)( y  x)dxdy D D D I   f 2 (x) f ( y)( y  x)dxdy   f 2 ( y) f (x)(x  y)dxdy D D 1 I  [  f 2 (x) f ( y)( y  x)dxdy   f 2 ( y) f (x)(x  y)dxdy] 2 D D 1   f (x) f ( y)( y  x)[ f (x)  f ( y)]dxdy 2 D一.复习消化强化课内容（例题，学习包习题） 二.严选题 三.660题 四.330题祝同学们 考研路上一路顺利！