(220)--高数强化18笔记小节_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高数强化（18）
18 二重积分举例（二重积分计算、累次积分、综合题及不等式） P191-P203
主讲 武 忠 祥 教授26武忠祥考研
题型一 计算二重积分
【例1】计算  [| xy |  sin( xy 2 )]d, 其中 D 由曲线 | x |  | y | 1 所围成.
D
【解】 原 式   xyd  4  xyd
D D
1
1 1x 1
 4  dx  xydy  .
0 0 626武忠祥考研
2 2
x y
【例2】设区域 D 为 x 2  y 2  R 2 ,则  (  )d  _____ .
2 2
a b
D
x 2 y 2 2 R cos 2 sin 2 R 4 1 1
【解1】  (  )d   d (  )r 3 dr  (  )
a 2 b 2 0 0 a 2 b 2 4 a 2 b 2
D
2 2 2 2
x y y x
【解2】  (  )d   (  )d
2 2 2 2
a b a b
D D
2 2
x y 1
[左端 + 右端]
 (  )d 
2 2
a b 2
D
1 1 1
 (  )  (x 2  y 2 )d
2 2
2 a b
D
1 1 1 2 R R 4 1 1
 (  )  d r 3 dr  (  )
2 2 2 2
2 a b 0 0 4 a b26武忠祥考研
 
【例3】设区域 D (x, y) | x 2  y 2  4, x  0, y  0 , f ( x) 为 D 上正
a f (x)  b f ( y)
值连续函数, 为常数,则
a,b  d  ____ .
f (x)  f ( y)
D
ab a  b
A) ab  B)  C) (a  b) D) 
2 2
a f (x)  b f ( y) a f ( y)  b f (x)
【解1】直接法  d   d
f (x)  f ( y) f ( y)  f (x)
D D
1 a f (x)  b f (y) a f (y)  b f (x)
原式
 [  d  d]
2 f (y)  f (y) f (y)  f (x)
D D
1 a  b
  (a  b)d  
2 2
D
【解2】排除法 取 f (x)  1
1 a  b
原式   (a  b)d  
2 2
D26武忠祥考研
【例4】计算  x[1 yf (x 2  y 2 )]d,其中 D 是由
D
y  x 3 , y  1, x  1 围成的区域, f (u) 为连续函数.
【解】  x[1  yf ( x 2  y 2 )]dxdy
D
  xdxdy   xyf (x 2  y 2 )dxdy
D D
 xyf (x 2  y 2 )dxdy  0 （利用奇偶性)
D
2
1 1
 xdxdy   dx  xdy  
1 x 3 5
D26武忠祥考研
【例7】计算  (x  y)d ,其中 D 由 x 2  y 2  x  y 所确定.
D
3
cossin
【解1】
 (x  y)d   4 d (cos sin)r 2 dr

 0
D 4
 1
x   r cos,

2
【解2】 令
d  rdrd

1

y   r sin,

2
1 1 
2 2
 (x  y)d   d 2 (r cos r sin 1)rdr   d 2 rdr 
0 0 0 0 2
D
1 1
【解3】  (x  y)d   [(x  )  ( y  )  1]d
2 2
D D
【解4】  (x  y)d  2  xd  2xS
D D26武忠祥考研
【例8】计算  ydxdy,其中 D 是由 x  2, y  0, y  2
D
以及曲线 x   2 y  y 2 所围成.
2  2yy 2
【解1】   ydxdy   dy ydx
0 2
D
0 2  2sin
【解2】   yd   dx  ydy   d r 2 sindr

2 0 0
D 2

【解3】
 yd   [( y  1)  1]d   d  4 
2
D D D

【解4】
 yd  yS  4 
2
D26武忠祥考研
 x 2 , | x |  | y | 1 ,

【例9】设二元函数 f (x, y)   1
, 1  | x |  | y | 2 ,

x 2  y 2

计算二重积分  f (x, y)d, 其中 D  {(x, y) || x |  | y | 2}.
D
 2
1 1x
【解】 原式  4  dx  x 2 dy  4  2 d sincosdr
1
0 0 0
sincos

1 d
  4  2
3 0 sin cos

1 4 d 1
   2   4 2 ln( 2  1)

3 2 0 3
sin( )
426武忠祥考研
x  a(t  sin t)
【例10】计算  y 2 d ,其中 D 由  (0  t  2)
 y  a(1  cos t)
D
与 围成.
y  0
2a y(x) 1 2a
【解】  y 2 d   dx y 2 dy   y 3 (x)dx
0 0 3 0
D
1 2
  a 3 (1  cost) 3 a(1  cost)dt
3 026武忠祥考研
x,  1  x  2
【例11】设 D 是全平面, f ( x)   ，
0,
其它
计算  f (x) f (x 2  y)d
D
2 x
21
9
【解】 原式   dx x(x 2  y)dy 
1 x 22 426武忠祥考研
【例12】计算  x 2  y 2  2 y d ,其中 D 由 x 2  y 2  4 所确定.
D
【解】   x 2  y 2  2 y d
D
  (2 y  x 2  y 2 )d  (x 2  y 2  2 y)d
D D
1 2
  (2 y  x 2  y 2 )d [  (x 2  y 2  2 y)d  (x 2  y 2  2 y)d]
D D D
1 1
  (x 2  y 2  2 y)d 2  (2 y  x 2  y 2 )d
D D
1
2 2  2sin
  d r 3 dr  2  d (2r sin r 2 )rdr  9
0 0 0 026武忠祥考研
【例13】计算  min{ x, y}e (x 2 y 2 ) d ,其中 D 为全平面.
D
【解】  min{x, y}e (x 2y 2 ) d
D
  xe (x 2y 2 ) d  ye (x 2y 2 ) d
D D
1 2
 y
 2  dy  xe x 2  e y 2 dx  f (x, y)dxdy   f ( y, x)dydx
 
D D
(x,y) (y,x)

  e 2y 2 dy

2y  t 1  
  e t 2 dt  
2  226武忠祥考研
1
【例14】设 f ( x) 在区间 [0,1] 上连续,且  f (x)dx  A
0
1 1
求  
dx f (x) f ( y)dy.
0 x
1 1 1 1
【解】  dx  f (x) f ( y)dy   dy f ( y) f (x)dx
0 x 0 y  f (x, y)dxdy   f ( y, x)dydx
D D
(x,y) (y,x)
1
1 1 1 1
 [  dx f (x) f ( y)dy   dy f (x) f ( y)dx]
2 0 x 0 y
1
  f (x) f ( y)dxdy
2
0x1
0y1
1 1 1 A 2
  f (x)dx f ( y)dy 
2 0 0 226武忠祥考研
题型二 累次积分交换次序及计算
【例1】交换下列累次积分次序
1 2y 2
1) I   dy  f (x, y)dx;
0 y
2 x
3) I   dx  f (x, y)dy;
2
0 x
2
1 x
【解】
1) I   dx f (x, y)dy
0 0
2 2x 2
  dx f (x, y)dy
1 0
1 y 2 y 4 2
3) I   dy f (x, y)dx   dy f (x, y)dx   dy f (x, y)dx
0 y 1 y 2 y26武忠祥考研

2acos
【例2】交换累次积分
I   2 d f (r cos, r sin)rdr

 0
4
的次序
(a  0).
【解1】 r  2a cos 是圆 x 2  y 2  2ax
r
2a arccos
I   dr  2a f (r cos, r sin)rd

0 
4
r
2a arccos
  dr  2a f (r cos, r sin)rd
r
2a arccos
2a
【解2】26武忠祥考研

cos
【例3】累次积分  2 d f (r cos,r sin)rdr 可写成
0 0
1 yy 2 1 1y 2
A) B)
   
dy f (x, y)dx, dy f (x, y)dx,
0 0 0 0
1 1 1 xx 2
C)   D)
dx f ( x, y)dy,  dx  f ( x, y)dy.
0 0
0 026武忠祥考研
【例4】 计算下列累次积分
x x
2 x 4 2
2)  dx  sin dy   dx  sin dy;
1 x 2 y 2 x 2 y
a a a 2x 2 1
3)  dx  dy;(a  0)
0 x 4a 2  (x 2  y 2 )
2 x
2 y
【解】 2 ）原式   dy  sin dx
1 y 2 y
0 2asin r
3)
 d
dr

 0 4a 2  r 2
426武忠祥考研
A
【例5】设 f ( x) 为连续.证明:  f (x  y)dxdy   f (t)(A | t |)dt
A
D
A A
D : | x | , | y |
2 2
A A
【证】
 f (x  y)dxdy   2 dx  2 f (x  y)dy
A A
 
D 2 2
A A
x
 2 f (x  y)dy   2 f (u)du (x  y  u)
A A
 x
2 2
A A
x
 f (x  y)dxdy   2 dx  2 f (u)du
A A
 x
D 2 2
A A
0 u A
  du  2 f (u)dx   du  2 f (u)dx
A A
A  0 u
2 2
0 A A
  f (u)( A  u)du   f (u)( A  u)du   f (u)(A  u )du
A 0 A26武忠祥考研
题型三 与二重积分有关的综合题
t t
【例1】设 f ( x) 为连续函数， F(t)   dy  f ( x)dx, 则 F  (2) 等于
1 y
A） 2 f ( 2 ) B） f (2) C）  f (2) D）0
t x t
【解1】 F(t)   dx  f (x)dy   (x  1) f (x)dx
1 1 1
F  (t)  (t  1) f (t)
F  (2)  f (2)
故应选（B）
【解2】排除法 f (t)  126武忠祥考研
【例2】 设区域 由 x 2  y 2  y 和 x  0 所确定， f ( x, y) 为 D
D
8
上的连续函数,且 f (x, y)  1  x 2  y 2   f (u,v)dudv. 求 f ( x, y).

D
【解1】 令  f (u,v)dudv  A,
D
8
则 f ( x , y)  1  x 2  y 2  A

8
 [ 1 x 2  y 2  A]dxdy  A

D

1 1 sin 1  2
A   1  x 2  y 2 dxdy   2 d 1  r 2 rdr  (  )
2 2 0 0 6 2 3
D
【解2】  f (x, y)dxdy   1  x 2  y 2 dxdy   f (u,v)dudv
D D D26武忠祥考研
【例3】设
f (t)
在 [0,) 上连续,且满足
1
f (t)  e 4t 2   f ( x 2  y 2 )dxdy 求 f (t).
2
x
2y 24t 2
1 2 2t 1
【解】  f ( x 2  y 2 )dxdy   d f ( r)rdr
2 0 0 2
x
2
y
24t 2
1
2t
 2 rf ( r)dr
0 2
1
2t
f (t)  e 4t 2  2 rf ( r)dr
0 2
f  (t)  8te 4t 2  8tf (t)
f (t)  e 8tdt [  8te 4t 2 e 8tdt dt  C]  (4t 2  C)e 4t 2
由 f (0)  1 得 C  1, f (t)  (4t 2  1)e 4t 226武忠祥考研
【例4】设 是定义在 上的连续函数,
f ( x, y) 0  x  1,0  y  1
2
x t
 
dt f (t,u)du
f (0,0)  1 ,求极限 lim 0 x .
x0  1  e x 3
2 2
x t x u
 dt  f (t,u)du   du  f (t,u)dt
【解1】 li m 0 x  lim 0 0
x0  1  e x 3 x0  x 3
2
x

f (t, x)dt
0
  lim
x0  3x 2
2
x f (c, x) 1 1
  lim   f (0,0) 
x0  3x 2 3 3
2
x t
【解2】  dt f (t, u)du   f (t, u)dtdu   f (,)S
0 x
D
x 2 x x 2 1
S   dt du   (x  t )dt  x 3
0 t 0 326武忠祥考研
【例5】 设 f ( x, y) 在单位圆 x 2  y 2  1 上有连续一阶偏导数,
 1 xf  yf
且在边界上取值为零,证明: f (0,0)  lim  x y dxdy
0  2 x 2  y 2
D
其中 D 为圆环域 2  x 2  y 2  1.
xf  yf
【证】  x y
dxdy
x 2  y 2
D
2 1
  d [cosf (r cos, r sin)  sinf (r cos, r sin)]dr
x y
0 
2 2
1
  [ f (r cos, r sin) ]d  f (cos,sin)d

0 0
 2f (cos,sin), [0,2]
 1 xf  yf
lim  x y dxdy  lim f (cos,sin)  f (0,0)
0
 2 x 2  y 2
0

D26武忠祥考研
【例6】 设二元函数 f ( x, y) 在平面域 D : 0  x  1,0  y  1
上有二阶连续偏导数，在 的边界上取值为零, 且在
D
2
f M
D 上有  M , 试证  f (x, y)dxdy  .
xy
4
D
【证1】由题设知 f (0, y)  0, f (1, y)  0, f (x,0)  0, f (x,1)  0,
从而有 f (0, y)  0, f (1, y)  0, f (x,0)  0, f (x,1)  0.
y y x x
1 1
 f (x, y)dxdy   dx f (x, y)dy
0 0
D
1
f f
1 1 1 1
  [ yf (x, y)   y dy]dx   ydy d(1  x)
0 0 y 0 0 y
0
1
f 2 f 2 f
1 1
  y[(1  x)   (1  x) dx]dy   y(1  x) dxdy
0 y 0 xy xy
0 D
2
f M
则  f (x, y)dxdy   y(1  x) dxdy  M  y(1  x)dxdy 
xy
4
D D
D26武忠祥考研
【例6】设二元函数 f ( x, y) 在平面域 D : 0  x  1,0  y  1
上有二阶连续偏导数，在 的边界上取值为零, 且在
D
2
f M
D 上有  M , 试证  f (x, y)dxdy  .
 x  y 4
D
【证2】 f (x, y)  f (x, y)  f (0, y) ( f (0, y)  0)
 xf ( , y ) （拉格朗日中值定理）
x
 x[ f (, y)  f (,0)] ( f (x,0)  0)
x x x
 xyf (  ,  ) （拉格朗日中值定理）
xy
M
 f (x, y)dxdy   xyf (,)dxdy  M  xydxdy  .
xy
4
D D D题型四 与二重积分有关的积分不等式问题
【例1】设 I   cos x 2  y 2 d, I   cos( x 2  y 2 )d, I   cos( x 2  y 2 ) 2 d
1 2 3
D D D
其中 D  {(x, y) | x 2  y 2  1}, 则
A) I  I  I B) I  I  I
3 2 1 1 2 3
C) I  I  I D) I  I  I
2 1 3 3 1 2
【解】
x 2  y 2  x 2  y 2  (x 2  y 2 ) 2
cos x 2  y 2  cos( x 2  y 2 )  cos( x 2  y 2 ) 226武忠祥考研
【例2】 设
则
I   (x 2  y 2 )d, I   2 | xy | d, I   (x 2  y 2 )d,
1 2 3
x 2y 21 |x||y|1 |x||y|1
A) I  I  I ; B) I  I  I ;
2 3 1 1 2 3
C) I  I  I ; D) I  I  I ;
3 1 2 3 2 126武忠祥考研
【例3】设 在 上连续,且
f ( x) [a,b] f ( x)  0,
1
b b
证明:  f (x)dx  dx  (b  a) 2 .
a a f (x)
【证1】
D  {(x, y) a  x  b,a  y  b}
1 1 f (x)
b b b b
 f (x)dx   dx   f (x)dx   dy   dxdy
a a f (x) a a f ( y) f ( y)
D
1 1 f (x) f ( y)
b b
 f (x)dx   dx  [  dxdy   dxdy]
a a f (x) 2 f ( y) f (x)
D D
1 f 2 (x)  f 2 ( y) f 2 (x)  f 2 ( y)
  dxdy   dxdy   1dxdy
2 f (x) f ( y) 2 f (x) f ( y)
D D D
 (b  a) 226武忠祥考研
【例3】设 在 上连续,且
f ( x) [a,b] f ( x)  0,
1
b b
证明:  f (x)dx  dx  (b  a) 2 .
a a f (x)
【证2】由柯西积分不等式得
1 1
b b b b
 f (x)dx  dx   ( f (x)) 2 dx   ( ) 2 dx
a a f (x) a a f (x)
2
 
1
b
   f (x)  dx   (b  a) 2
 
 a f (x) 1 1
 2  2
xf (x)dx f (x)dx
【例4】设 在 上单调减的正值函数,证明: 0 0
f ( x) [0,1] 
1 1
 
xf (x)dx f (x)dx
0 0
【证1】
D  {( x, y) 0  x  1,0  y  1}
1 1 1 1
I   f 2 (x)dx  xf (x)dx   xf 2 (x)dx  f (x)dx
0 0 0 0
1 1 1 1
  f 2 (x)dx   yf ( y)dy   xf 2 (x)dx   f ( y)dy
0 0 0 0
  yf 2 (x) f ( y)dxdy   xf 2 (x) f ( y)dxdy   f 2 (x) f ( y)( y  x)dxdy
D D D
I   f 2 (x) f ( y)( y  x)dxdy   f 2 ( y) f (x)(x  y)dxdy
D D
1
I  [  f 2 (x) f ( y)( y  x)dxdy   f 2 ( y) f (x)(x  y)dxdy]
2
D D
1
  f (x) f ( y)( y  x)[ f (x)  f ( y)]dxdy
2
D一.复习消化强化课内容（例题，学习包习题）
二.严选题
三.660题
四.330题祝同学们
考研路上一路顺利！