050.2026周洋鑫考点全刷800题解析（课程提前用，非正式图书）_已解密_04.2026考研数学周洋鑫数学笑过_00.随课资料

2026 最新版 2026 周洋鑫考研数学 《考点全刷 800 题》 微博/b 站/小红书@考研数学周洋鑫 非正式图书，仅含前 5 节题组 A 基础通关题部分， 提供同学们上课提前使用， 正式图书将会在年后上市。2026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 第一章 函数极限与连续 1.1 函数的概念与性质 题组A·基础通关题 1. 给出下列四个函数 1+x ① f (x)=ln ； ② f (x)= 3 (1−x)2 +3 (1+x)2 ； 1−x 3 x 1 1 ③ f (x)= ； ④ f (x)= − ， 1+x2 +x4 2x +1 2 其中是奇函数的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】应选C 【解析】对于①， f (x)定义域为(−1,1)，由于 −1 1−x 1+x 1+x f (−x)=ln =ln   =−ln ， 1+x 1−x 1−x 所以 f (x)为奇函数. 对于②， f (x)定义域为R，由于 f (−x)= 3 (1+x)2 +3 (1−x)2 = f (x)， 所以 f (x)为偶函数. 对于③， f (x)定义域为R，由于 3 −x 3 x f (−x)= =− =−f (x)， 1+x2 +x4 1+x2 +x4 所以 f (x)为奇函数. 1−2x 对于④， f (x)定义域为R，由于 f (x)= ，且 2 ( 2x +1 ) 12026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1−2−x 2x −1 f (−x)= = =−f (x)， 2 ( 2−x +1 ) 2 ( 1+2x) 所以 f (x)为奇函数. 应选C. 【小课堂】本题还可以利用重要结论快速确定①与②中函数的奇偶性： “设 f (x)在区间(−l,l)内有定义，则 F(x)= f (x)+ f (−x)， G(x)= f (x)− f (−x) 分别为偶函数和奇函数．” 1+x 对于①，由于 f (x)=ln =ln(1+x)−ln(1−x)，显然为奇函数. 1−x 对于②，由于 f (x)= 3 (1−x)2 +3 (1+x)2 ，显然为偶函数. 2. 设函数 f (x)= ( esinx −e−sinx) ln ( x+ 1+x2 ) ，给出以下四条结论： ① f (x) 是奇函数； ②当x→0时， f (x) 是与x2同阶的无穷小； ③ f (x) 是偶函数； ④当x→0时， f (x) 是比x2高阶的无穷小， 其中正确的是（ ）. A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】应选C ( ) 【解析】设g(x)=esinx −e−sinx, h(x)=ln x+ 1+x2 ，两函数定义域均为R. 由于 g(−x)=e−sinx −esinx =− ( esinx −e−sinx) =−g(x)， ( )( ) 1+x2 −x 1+x2 +x ( ) h(−x)=ln −x+ 1+x2 =ln 1+x2 +x 1 ( )−1 =ln =ln 1+x2 +x 1+x2 +x ( ) =−ln x+ 1+x2 =−h(x)， 22026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 所以h(x)与g(x)均为奇函数，于是 f (x) 为偶函数，故③正确，①错误. 又当x→0时，有 g(x)=esinx −e−sinx =e−sinx( e2sinx −1 ) 12sinx 2x， h(x)=ln ( x+ 1+x2 ) =ln  1+ ( x+ 1+x2 −1 ) x+ 1+x2 −1 x，   所以当x→0时， f (x) 2x2，即 f (x)是x2同阶的无穷小，故②正确，④错误. 应选C. ( ) 【小课堂】本题中y=ln x+ 1+x2 的名称为反双曲正弦函数，其基本性质有： （1）是奇函数；（2）当x→0 时ln ( x+ 1+x2 ) x ，（3）  ln ( x+ 1+x2 )  = 1   1+x2 反双曲正弦函数是考研中的常考函数，考生可记住该函数以及该函数的基本性质，一些考 题中可直接应用以达到快速解题的目的 1−x 3. 设函数 f (x)=(sinx+tanx)ln ，给出以下四条结论： 1+x ① f (x) 是奇函数； ②当x→0时， f (x) 是与x2同阶的无穷小； ③ f (x) 是偶函数； ④当x→0时， f (x) 是比x2高阶的无穷小， 其中正确的是（ ）. A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】应选C 1−x 【解析】令g(x)=sinx+tanx，h(x)=ln ，两函数的定义域均关于原点对称. 1+x 由于 g(−x)=−sinx−tanx=−g(x)， −1 1+x 1−x 1−x h(−x)=ln =ln   =−ln =−h(x)， 1−x 1+x 1+x 所以h(x)与g(x)均为奇函数，于是 f (x)为偶函数，故③正确，①错误. 又当x→0时， 32026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 g(x)=sinx+tanx x+x=2x ， （符合加减法中等价无穷小的替换准则） 1−x h(x)=ln =ln(1−x)−ln(1+x) −x−x=−2x， 1+x 所以当x→0时， f (x) −2x2，即 f (x)是与x2同阶的无穷小，故②正确，④错误. 应选C. 4. 设函数 f (x)=xsinxarctan ( 1+ cosx ) ，则 f (x)是（ ）． A．偶函数 B．有界函数 C．周期函数 D．单调函数 【答案】应选A 【解析】对于A， f (x)的定义域为R，且 f (−x)=(−x)sin(−x)arctan1+ cos(−x)= f (x)，   于是 f (x)是偶函数，应选A． 对于 B， f (x) = x sinx arctan(1+ cosx) ，显然无法找到一正数M ，使得对于任意 的xR，均有 f (x) M ，故 f (x)不是有界函数，B错误. 对于C，一般地，含有幂函数xn因式的函数不是周期函数，C错误. 对于D，可以取特殊点 f (0)=0， f (1)0， f ()=0，显然函数不单调． 1  x,x0, 5. 设 f (x)= ( x+ x ) ，g(x)= ，则（ ）. 2 x2,x0. x2,x0, x2,x0, A． f   g(x)  = B． f   g(x)  =  x,x0, 1,x0, x2,x0, x,x0, C． f   g(x)  = D． f   g(x)  = 0,x0, 0,x0, 【答案】应选C 1 0,x0 【解析】由于 f (x)= ( x+ x ) = ，于是 2 x,x0 0, g(x)0, f   g(x)  =  g(x),g(x)0. 42026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 画出函数g(x)的图像，如右图所示，则 当x0时，g(x)0，g(x)= x， f   g(x)  =0； 当x0时，g(x)0，g(x)= x，g(x)= x2 . x2,x0, 因此， f   g(x)  = 应选C. 0,x0, 【小课堂】一个分段函数复合另一个分段函数问题的求解主要有两步：一替换，二讨论. 例如本题求解 f g(x) ，用用 g(x) 替换 f (x) 中所有的 x ，讨讨论一一段   g(x)的表达式及定义范围. lnx2,x 1, 6. 设函数 f (x)= 则（ ）. 2x−1,x1, 2ln(2lnx), x 1 2lnx, x 1 A． f   f (x)  = B． f   f (x)  = 4x−3, x1 2x−1, x1 2ln(2lnx), x e 2lnx, x e     C． f   f (x)  =4lnx−1, 1 x e D． f   f (x)  =2lnx−1, 1 x e   4x−3, x1 4x−3, x1   【答案】应选C 【解析】将 f (x)中所有的x替换为 f (x)，得 2ln f (x), f (x) 1, f   f (x)  =  2f (x)−1, f (x)1. 画出函数 f (x)的图像，如右图所示，则 当x e时， f (x) 1， f (x)=2lnx； 当1 x e时， f (x)1， f (x)=2lnx； 当x1时， f (x)1， f (x)=2x−1． 52026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 2ln(2lnx),x e,   因此， f   f (x)  =4lnx−1, 1 x e,  4x−3, x1.  应选C. 7. 设函数 f (x)=x−x，其中x为取整函数，表示不超过x的最大整数. 给出以下四条结 论： ① f (x) 是周期函数； ② f (x) 是单调函数； ③ f (x) 是偶函数； ④ lim f (x)不存在， x→0 其中正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】应选B 【解析】当0 x1时，x=0，则 f (x)=x. 当1 x2时，x=1，则 f (x)= x−1. 当2 x3时，x=2，则 f (x)=x−2. 依此类推，可知 f (x)=x−x的图像如右图所示. 于是，有图像可知， f (x)是以 1 为周期的周期函数，但不是偶函数，也不是单调函数， 且 lim f (x)=1 lim f (x)=0，所以lim f (x)不存在． x→0− x→0+ x→0 应选B.  x  x  x 8. 设函数 f  sin  =cosx+1，则 f  sin  + f  cos  = .  2  2  2 【答案】应填2. 【解析】由于  x  x x f  sin  =cosx+1=  1−2sin2  +1=2−2sin2 ，  2  2 2 x  x x 令sin =t，则 f (t)=2−2t2，进而 f  cos  =2−2cos2 . 2  2 2 62026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 于是  x  x  x  x f  sin  + f  cos  =  2−2sin2  +  2−2cos2   2  2  2  2  x x =4−2  sin2 +cos2  =4−2=2，  2 2 应填2.  1 x+x3 9. 设函数 f  x+  = ，则lim f (x)= .  x x4 +1 x→2+ 【答案】应填1. 【解析】由于 1 1 +x +x  1 x+x3 x x f  x+  = = = ，  x x4 +1 x2 + 1 1  2 x2  +x −2 x  1 t x 令x+ =t，则 f (t)= ，于是 f (x)= ，进而 x t2 −2 x2 −2 x 2 lim f (x)=lim = =1， x→2+ x→2+ x2 −2 4−2 应填1. 72026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1.2 无穷小量及其阶的比较 题组A·基础通关题 10. 设函数 f(x)与g(x)在x =0的某邻域内定义且不恒为 0. 若当x→0时， 8 f ( x ) 是 g(x)的高阶无穷小，则当x→0时（ ）. A． f(x)+g(x)=og(x) B． f(x)g(x)=o  f 2(x)  C． f(x)=o  eg(x) −1  D． f(x)=o  g2(x)  【答案】C 【解析】当x→0时，由于 f(x)是g(x)的高阶无穷小，则有 f(x) lim f(x)=0，limg(x)=0，lim =0. x→0 x→0 x→0 g(x) 对于A，由于 f(x)+g(x) f(x) lim =lim +1=1， x→0 g(x) x→0 g(x) 于是当x→0时 f(x)+g(x) g(x)，故A错误. 对于B，由于 f(x)g(x) g(x) lim =lim =， x→0 f 2(x) x→0 f(x) 于是当x→0时 f(x)g(x)是比 f 2(x)低阶的无穷小量，故B错误. 对于C，由于 f(x) f(x) lim = =0， x→0 eg(x) −1 g(x) 于是当x→0时 f(x)=o  eg(x) −1  ，故C正确. 对于D，由于 f(x) f(x) 1 lim =lim  x→0 g2(x) x→0 g2(x) g(x)2026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 是“0 型未定定式限，，限，结未定知，于是无法定定 f(x)=og2(x) 是正正确，故   D错误. 应选 C. 11. 当x→0时， f (x)与g(x)均为x的同阶无穷小，则当x→0时（ ）. A． f (x)−g(x) 一定是x 的高阶无穷小． B． f (x)+g(x) 一定是x 的高阶无穷小． C． f (x)−g(x) 一定是x的低阶无穷小． D． f (x)g(x) 一定是x的高阶无穷小． 【答案】D 【解析】若取 f (x)= x,g(x)=−sinx ，则 f (x)−g(x)= x+sinx 2x ，此时 f (x)−g(x) 也为x的同阶无穷小，故选项A、C错误. 若取 f (x)= x,g(x)=sinx ，则 f (x)+g(x)= x+sinx 2x ，此时 f (x)+g(x) 也 为x的同阶无穷小，故选项B错误. 故应选D. 对于 D，由题意可知，当x→0 时 f (x) Ax ，g(x) Bx （A0,B 0 ），于是 f (x)g(x) ABx2，即 f (x)g(x) 是x的高阶无穷小，故选项D正确. 12. 当x→0时，下列无穷小量中最低阶的是（ ）． A．(1−cosx)arctanx B． 1−x+x3 −1 1+x C． ( ex −1 ) ln D．ln(cosx)+sinx 1−x 【答案】B. 【解析】当x→0时， 1 1 (1−cosx)arctanx x2x= x3； 2 2 1 1−x+x3 −1=1+ ( x3−x )2 −1 1( x3−x ) − 1 x（和取低阶原则）.   2 2 ( ex −1 ) ln 1+x = ( ex −1 ) ln(1+x)−ln(1−x)xx−(−x)=2x2，     1−x （注意其中ln(1+x)−ln(1−x)符合加减法使用等价无穷小量的替换要求）. 92026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 又当x→0时，ln(cosx)=ln(1+cosx−1) cosx−1 − x2，是x的 2 阶无穷小量； 2 sinx x，是x的1阶无穷小量，于是根据无穷小量的和取低阶原则有 1 ln(cosx)+sinx ln(cosx) − x2. 2 综上所述，这4个无穷小量中最低阶的是 1−x+x3 −1，应选B． 13. 当x→0+时，下列无穷小量中比其他三个都高阶的是（ ）． A．xlnx B．2x −2ln(1+x) C．3 cosx−1 D．ln ( tanx−sinx+ex4) 【答案】D. xlnx 【解析】对于 A，由于 lim = lim lnx=，所以当x→0+ 时，xlnx是比x更低 x→0+ x x→0+ 阶的无穷小量，于是xlnx的阶数小于1. 对于B，当x→0+时，有 2x −2ln(1+x) =2ln(1+x)  2x−ln(1+x) −1  2x−ln(1+x) −1   x−ln(1+x)  ln2 1 ln2 x2ln2= x2， 2 2 为x的2阶无穷小量. 对于 C，当x→0+时，3cosx −1=− ( 1−3cosx ) − 1  1 x2 =− 1 x2，为x的 2 阶无 3 2 6 穷小量. 对于D，当x→0+时，ln ( tanx−sinx+ex4) tanx−sinx+ex4 −1. 又 tanx−sinx=  x+ 1 x3+o ( x3) −  x− 1 x3+o ( x3) = 1 x3+o ( x3)  1 x3，      3   6  2 2 所以ln ( tanx−sinx+ex4) tanx−sinx+ex4 −1tanx−sinx 1 x3（和取低阶原则），为x 2 的3阶无穷小量. 应选D． 【小课堂】本题考察到两个重要的等价无穷小替换公式： 1 当 f (x)→1时，ln f (x)=ln1+ f (x)−1 f (x)−1   102026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 2 当x→0时，1−n cosx x2（其中n为正整数） 2n 证明：当x→0时，有  1   1  lncosx 1−n cosx =−cosn x−1=−en −1     1 1 − lncosx − (cosx−1) n n 1  1  1 −   − x2  = x2 n  2  2n 14. 设= xsin x,= x+ x,= 1+ 1+ x − 2，当x→0+时，这三个无穷小量从 低阶到高阶的排列顺序是（ ）． A．,, B．,, C．,, D．,, 【答案】D. 【解析】当x→0+时， 1  32 3 1  x x =x2 =x4； x =x4；     1+ x −1 1 ( ) 1 1 = 1+ 1+ x − 2 =  1+ x −1   x， 2 2 2 2 2 1+ 1+ x + 2 于是，这三个无穷小量从低阶到高阶的排列顺序为,,，应选D． 1 15. 设函数 f (x)=ex2 −cosx ， g(x)=ln ( 1+x2)a ， h(x)=(1+sinx−x)x −1 . 当 x→0时， f (x) 与g(x) 是等价无穷小，则（ ）. 1 A．a = ，g(x)是h(x)的高阶无穷小量 2 3 B．a = ，g(x)是h(x)的高阶无穷小量 2 1 C．a = ，g(x)是h(x)的同阶无穷小量 2 3 D．a = ，g(x)是h(x)的同阶无穷小量 2 112026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 【答案】D 【解析】由于当x→0时，有 f (x)=ex2 −cosx= ( ex2 −1 ) +(1−cosx) x2 + 1 x2 = 3 x2， 2 2 g(x)=ln ( 1+x2)a =aln ( 1+x2) ax2 ， 1 ln(1+sinx−x) ln(1+sinx−x) sinx−x x2 h(x)=(1+sinx−x)x −1=e x −1~ ~ ~− . x x 6 3 由 f (x) 与g(x) 是等价无穷小，知a = ，且g(x)是h(x)的同阶无穷小量. 2 应选D. a sinx+b ln ( 1−x2) +c tan3 x 1 1 1 16. 若lim =1，其中常数a ,a ,b,b ,c ,c 均不为零，则 x→0 a ( ex2 −1 ) +b ln(1−x)+c x3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 （ ）. A．a +b =0. B．a −b =0. 1 1 1 1 C．a +b =0. D．a −b =0. 1 2 1 2 【答案】C 【解析】由于当x→0时，sinx,ln(1−x)为x的 1 阶无穷小量，ln ( 1−x2) ,ex2 −1为 x的 2 阶无穷小量，tan3 x,x3为x的 3阶无穷小量，于是根据无穷小量的和取低阶原则， 知 a sinx+b ln ( 1−x2) +c tan3 x a sinx a x a lim 1 1 1 =lim 1 =lim 1 = 1 =1， x→0 a ( ex2 −1 ) +b ln(1−x)+c x3 x→0b ln(1−x) x→0b (−x) −b 2 2 1 2 2 2 故a +b =0，应选C. 1 2 π 17. 设cosx−1= xsin(x)，其中(x)  ，则当x→0时，(x)是（ ）. 2 A．比x低阶的无穷小量. B．与x等价的无穷小量. C．与x同阶但不等价的无穷小量. D．比x高阶的无穷小量. 【答案】C cosx−1 【解析】由题意可知，当x→0时，有sin(x)= . x π cosx−1 又(x)  ，于是(x)=arcsin ，故当x→0时 2 x 122026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 − x2 cosx−1 cosx−1 1 2 (x)=arcsin =− x， x x x 2 即(x) 是与x同阶但不等价的无穷小量，应选C. 18. 设当x→0时，ln(1+x)− ( ax2 +bx ) 是比xarcsinx高阶的无穷小，则（ ）. 1 1 A．a=− ，b=1． B．a= ，b=1． 2 2 1 1 C．a= ，b=−1． D．a=− ，b=−1． 2 2 【答案】A ln(1+x)− ( ax2 +bx ) ln(1+x)− ( ax2 +bx ) 【解析】由题意可知lim =0，即lim =0 x→0 xarcsinx x→0 x2 方法一：由洛必达法则，知 1 ln(1+x)− ( ax2 +bx ) −2ax−b 1+x lim =lim =0， x→0 x2 x→0 2x  1  于是lim  −2ax−b  =0，即1−b=0，解得b=1 x→01+x  1 −2ax−b 1+x 讨对限，lim 继续使用洛必达法则，得 x→0 2x 1 1 − −2a −2ax−b (1+x)2 1+x lim = lim =0， x→0 2x x→0 2 −1−2a 1 于是lim =0，解得a=− ，应选A x→0 2 2 方法二：由泰勒公式知 ln(1+x)− ( ax2 +bx )   x− 1 x2 +o ( x2)  − ( ax2 +bx )  2  lim =lim x→0 x2 x→0 x2 (1−b)x+  − 1 −a  x2 +o ( x2)  2  =lim =0， x→0 x2 1 1 于是1−b=0，− −a =0，解得a=− ，b=1，应选A 2 2 ln(1+x)−bx  ln(1+x)−bx 方法三：由于lim −a=0，于是lim =a x→0 x2  x→0 x2 132026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 1 显然，当b=1时，ln(1+x)−x − x2（ ），于是a=− x→0 2 2 应选A 19. 当 x→0 时， etanx −esinx 与 xn ln(1+x)+ln(1−x) 是同阶的无穷小，则正整数   n= . 【答案】应填1. 【解析】当x→0时，有 etanx −esinx =esinx( etanx−sinx −1 ) etanx−sinx −1 （非零因子用算出） 1 tanx−sinx x3， 2 xn ln(1+x)+ln(1−x) = xnln(1+x)(1−x)     = xnln ( 1−x2) xn ( −x2) =−xn+2. 由于etanx −esinx 与xn ln(1+x)+ln(1−x) 是同阶的无穷小，于是n+2=3 ，解得   n=1，应填1. 1 【小课堂】常见等价无穷小替换公式：当x→0时，tanx−sinx x3. 2 证明：（方法一）当x→0时，有 tanx−sinx=   x+ 1 x3+o ( x3)  −   x− 1 x3+o ( x3)   3   6  1 1 = x3+o ( x3) x3 . 2 2 （方法二）当x→0时，有 1 1 1 tanx−sinx=(tanx−x)+(x−sinx) x3+ x3 = x3. 3 6 2 20. 当x→0时，ln ( 1+x2) −ln ( 1+sin2 x ) 与axb互为等价无量小，则a+b= . 142026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 13 【答案】应填 . 3 【解析】方法一：因为当 时，有 x→0 ln ( 1+x2) −ln ( 1+sin2 x ) =ln 1+x2 1+sin2 x 1+x2 x2 −sin2 x −1= 1+sin2x 1+sin2x x2 −sin2x=(x−sinx)(x+sinx) 1 1 x32x= x4, 6 3 13 13 1 所以a= ,b=4，于是a+b= ,应填 . 3 3 3 方法二：由拉格朗日中值定理，知 1 ln ( 1+x2) −ln ( 1+sin2x ) = ( x2 −sin2x )， 1+ 其中介于x2与sin2x之间 当x→0时，由夹逼准则知→0，于是 1 ln ( 1+x2) −ln ( 1+sin2x ) = ( x2 −sin2x ) 1+ x2 −sin2x=(x−sinx)(x+sinx) 1 1 x32x= x4, 6 3 13 13 1 所以a= ,b=4，于是a+b= ,应填 . 3 3 3 21. 当x→0时，x−ln(1+arcsinx)与cxk 为等价无穷小，则c+k = . 5 【答案】应填 . 2 【解析】方法一：由泰勒公式知 x−ln(1+arcsinx)= x−  arcsinx− 1 arcsin2 x+o ( arcsin2 x )    2  1 = x−arcsinx+ arcsin2 x−o ( arcsin2 x ) 2 1 1 1 由于当x→0时，x−arcsinx − x3，是x的3阶无穷小量； arcsin2x x2，是 6 2 2 x的2阶无穷小量，于是根据无穷小量的和取低阶原则有 152026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 1 x−ln(1+arcsinx) arcsin2 x x2， 2 2 1 5 5 故c= ，k =2，于是c+k = ，应填 . 2 2 2 方法二：x−ln(1+arcsinx)=arcsinx−ln(1+arcsinx)+x−arcsinx 1 1 由于当x→0时，arcsinx−ln(1+arcsinx) arcsin2x x2，是x的 2 阶无穷小量； 2 2 1 x−arcsinx − x3，是x的3阶无穷小量，于是根据无穷小量的和取低阶原则有 6 1 1 x−ln(1+arcsinx) arcsinx−ln(1+arcsinx) arcsin2 x x2， 2 2 1 5 5 故c= ，k =2，于是c+k = ，应填 . 2 2 2 22. 当x→0时，ex +ln(1−x)−1与xn是同阶无穷小，则n=______. 【答案】应填3. 【解析】由ex，ln(1−x)的泰勒公式公式，知 ex +ln(1−x)−1 =  1+x+ 1 x2 + 1 x3 +o ( x3) +  (−x)− 1 (−x)2 + 1 (−x)3o ( x3) −1      2 6   2 3  1 1 =− x3 +o ( x3) − x3， 6 6 于是ex +ln(1−x)−1是x的3阶无穷小，故n=3，应填3. k 23. 当x→1时，1− 是与x−1等价无穷小，则k= . 1+x+x2 + +xk−1 【答案】应填3. k 1− 1+x+x2 + +xk−1 【解析】由题意可知， lim =1. x→1 x−1 又 1+x+x2 + +xk−1−k lim x→1 (x−1) ( 1+x+x2 + +xk−1) 1 1+x+x2 + +xk−1−k = lim （其中1+x+x2 + +xk−1是非零因子） k x→1 x−1 162026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 = lim1+2x+3x2 + +(k−1)xk−2 （洛必达法则）   k x→1 1 = 1+2+3+ +(k−1)   k 1 k(k−1) k−1 = = =1， k 2 2 于是解得k =3，应填3. ax 24. 确定常数a,b,c的值，使得ln(1+x)− =cx−x2 +o ( x3) ，其中o ( x3)是当 1+bx 17 x → 0 时比x3高阶的无穷小量． 【解析】当x→0时， ln(1+x)− ax =  x− 1 x2 + 1 x3+o ( x3) −ax1−bx+b2x2+o ( x2) 1+bx   2 3     =  x− 1 x2 + 1 x3+o ( x3) −ax−abx2 +ab2x3+o ( x3)   2 3     =(1−a)x+   − 1 +ab   x2 +   1 −ab2   x3+o ( x3) ，  2  3  ax 1 1 又ln(1+x)− =cx−x2 +o ( x3) ，于是1−a=c ，− +ab=−1 ， −ab2 =0 ，解得 1+bx 2 3 3 2 1 a= ，b=− ，c= ． 4 3 4 【小课堂】当x→0时， 1 =1+x+x2 + +xn +o ( xn) ， 1 =1−x+x2 + +(−1)nxn +o ( xn) ． 1−x 1+x2026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1.3 极限的概念与性质 题组A·基础通关题 25. 设lim f (x)=−2，则下列结论一定错误的是（ ）. x→0 A． f (x) 在x=0某去心邻域内 f (x) 1. B． f (0) 可能无定义也可能有定义. 3 C． f (x) 在x=0某去心邻域内 f (x)  . 2 D． f (x) 在x=0某去心邻域内可能无定义. 【答案】D 【解析】限， lim f (x) 与该点函数值 f (x ) 无关，于是当lim f (x)=−2 时， 0 x→x 0 x→0 f (0) 可能没有定义，可能有定义不等于−2，也可能有定义等于−2，故选项B可能正确. 由于lim f (x)=−2 ，则lim f (x) =2 . 又lim f (x) 1 ，根据函数限，的局部保 x→0 x→0 x→0 号性知，在x=0某去心邻域内 f (x) 1，故A正确. 3 3 同理，由lim f (x)  知，在x=0某去心邻域内 f (x)  ，故C正确. x→0 2 2 又因为lim f (x) 存在，所以限，定义知， f (x) 在x=0 某去心邻域内一定处处有 x→0 定义，于是选项D错误. 应选D. 26. 设lim f(x)存在，则下列限，一定存在的是（ ）． x→x0 A．lim[f(x)]（为任意实数） B．limarccos f(x) x→x 0 x→x0 C．limln f(x) D．lim f(x) x→x0 x→x 0 【答案】D 【解析】方法一：排除法． 若 lim f (x)=0，且0，此时 lim f (x)  不存在，于是选项A错误．   x→x 0 x→x 0 若 lim f (x)1 ，则在x→ x 时， f (x)1 ，此时arccos f (x) 无定义，根据限，定义 0 x→x 0 182026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 知，限，limarccos f(x)不存在，于是选项B错误． x→x0 若 lim f (x)0 ，则在x→ x 时， f (x)0 ，此时ln f (x) 无定义，根据限，定义知 0 x→x 0 限，limln f(x)不存在，于是选项C错误． x→x0 应选D． 方法二：直接法． 根据【小课堂】结论（2），若 lim f (x)= A，则 lim f (x) = A ，于是应选D． x→x x→x 0 0 【小课堂】本题考察了以下两个重要考点： （1）限，存在的必要条件，即 “若 lim f (x)存在，则在x→ x 时， f (x)处处有定义．” 0 x→x 0 （2）重要结论： 若 lim f (x)= A，则 lim f (x) = A ，但反之不一定成立； x→x x→x 0 0 特殊地，若 lim f (x)=0，则 lim f (x) =0，但反之成立. x→x x→x 0 0 27. 设函数 f (x)= 1−x cos 1 ，g(x)= x2   1−cos 1 ，则当x充分大时，有（ ）. 1+x2 x  x A． f (x) g(x) . B． f (x) g(x) . C． f (x) g(x) . D． f (x) g(x) . 【答案】C  1−x  −x 1 【解析】由于 lim = lim =0，且cos 为有界变量，于是 x→+1+x2 x→+ x2 x 1−x 1 lim f (x)= lim cos =0. x→+ x→+1+x2 x 2  1 11 1 又 lim g(x)= lim x2  1−cos  = lim x2   = ，所以 lim f (x) lim g(x) ， x→+ x→+  x x→+ 2 x 2 x→+ x→+ 由函数限，的局部保序性知，当x充分大时 f (x) g(x) ，应选C. 31−4x −1 28. 设函数 f (x)= ， g(x)= x3 −tan3 x ，则在 x=0 的某去心邻域内有 2sinx x5 192026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 （ ）. A． f (x) g(x) . B． f (x) g(x) . C． f (x) g(x) . D． f (x) g(x) . 【答案】A 【解析】由于 1 lim f (x)=lim 31−4x −1 =lim   1+(−4x)  1 3 −1 =lim 3 (−4x) =− 2 , x→0 x→0 2sinx x→0 2x x→0 2x 3 x3−tan3 x (x−tanx)( x2 +xtanx+tan2 x ) limg(x)= lim =lim x→0 x→0 x5 x→0 x5 1 − x3( x2 +xtanx+tan2 x ) 3 =lim x→0 x5 1 x2 +xtanx+tan2 x =− lim 3 x→0 x2 1 x2 xtanx tan2 x =− lim +lim +lim  3x→0 x2 x→0 x2 x→0 x2  1 =− (1+1+1)=−1， 3 即lim f (x)limg(x) ，于是由函数限，的局部保号性知，在x=0 的某去心邻域内有 x→0 x→0 f (x) g(x) ，应选A. sinx 29. 函数 f (x)= 在区间（ ）内有界. x2(x−1)2(x+1) A． (−2,−1) ． B． (−1,0) ． C． (0,1) ． D． (1,2) ． 【答案】A 【解析】显然 f (x) 的无定义点为x = −1 ，x=0 及x =1 ，根据等等函数续续性性质， 知 f (x) 在[−2,−1),(−1,0),(0,1),(1,2]上均续续. 又因为 202026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 sinx 1 sinx 1  lim f (x)= lim = lim = lim(cosx)=− ， x→−1 x→−1x2(x−1)2(x+1) 4x→−1 x+1 4x→−1 4 sinx sinx x lim f (x)=lim =lim =lim =， x→0 x→0 x2(x−1)2(x+1) x→0 x2 x→0 x2 sinx 1 sinx 1 cosx lim f (x)=lim = lim = lim =， x→1 x→1 x2(x−1)2(x+1) 2 x→1(x−1)2 2 x→1 2(x−1) 所以 f (x) 在 (−1,0) ， (0,1) ， (1,2) ， (0,2) 内均无界， f (x) 在 (−2,−1) 内有界，应选A. 30. 下列命题正确的是（ ）. A．若lim  f (x)+g(x)  存在，则lim  f (x)+g(x)  = lim f (x)+limg(x) ． x→x x→x x→x x→x 0 0 0 0 B．若lim f (x)g(x) 存在，则lim f (x)g(x)= lim f (x)lim g(x) ． x→x x→x x→x x→x 0 0 0 0 C．若lim  f (x)+g(x)  与lim f (x) 都存在，则lim g(x) 存在． x→x 0 x→x 0 x→x 0 D．若lim f (x)g(x) 与lim f (x) 都存在，则lim g(x) 存在． x→x x→x x→x 0 0 0 【答案】C 【解析】本题重点考察限，四则运算的相关性质，内容详见本题【小课堂】. 对于 A，当 lim  f (x)+g(x)  存在时，根据【小课堂】中（（1）（3）条，知 x→x 0 lim f (x)与lim g(x)可能均存在，也可能均不存在，于是不一定有 x→x0 x→x0 lim  f (x)+g(x)  = lim f (x)+limg(x) ， x→x x→x x→x 0 0 0 故选项A错误. 对于 B，当 lim f (x)g(x) 存在时，根据【小课堂】中（（4）（5）（6）条，知 x→x 0 lim f (x) 与lim g(x) 均是有可能存在，也有可能不存在，于是不一定有 x→x x→x 0 0 lim f (x)g(x)= lim f (x)lim g(x) ， x→x x→x x→x 0 0 0 故选项B错误. 对于 D，若lim f (x)g(x) 与lim f (x) 都存在，根据【小课堂】中（（4）（5）条， x→x x→x 0 0 知lim g(x)可能均存在，也可能均不存在，故选项D错误. x→x 0 对于C，可用反证法. 假设lim g(x)不存在，因为lim f (x) 存在，根据限，四则运 x→x 0 x→x 0 212026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 算性质知，lim  f (x)+g(x)  一定不存在，与题设矛盾，于是lim g(x)存. x→x x→x 0 0 故应选C. 【小课堂】关于函数限，四则运算的几个重点性质的总结如下： （1）若limg(x)存在，lim f (x)存在，则limf (x)g(x)必存在.   （2）若limg(x)存在，lim f (x)不存在，则limf (x)g(x)必不存在.   （3）若limg(x)不存在，lim f (x)不存在，则limf (x)g(x)无法确定存在性.   （4）若limg(x)存在，lim f (x)存在，则limf (x)g(x)存在.   （5）若limg(x)存在，lim f (x)不存在，则limf (x)g(x)无法确定存在性.   （6）若limg(x)不存在，lim f (x)不存在，则limf (x)g(x)无法确定存在性.   数列限，也有类似上面的六条结论. 31. 设limx 与lim y 均不存在, 那么下列命题正确的是（ ）． n n n→ n→ A．若lim(x + y ) 不存在, 则lim(x − y ) 必也不存在． n n n n n→ n→ B．若lim(x + y ) 存在, 则lim(x − y ) 必也存在． n n n n n→ n→ C．若lim(x + y ) 存在, 则lim(x − y ) 无法确定存在与正． n n n n n→ n→ D． 若lim(x + y ) 与lim(x − y ) 中只要有一个存在, 另一个必定不存在． n n n n n→ n→ 【答案】D 【解析】由于 1 x = (x + y )+(x − y )（不存在）， n 2  n n n n  1 y = (x + y )−(x − y )（不存在）， n 2  n n n n  根据限，四则运算性质（见上题的敲重点部分）知，若lim(x + y ) 存在时, 则 n n n→ lim(x − y ) 必不存在；若lim(x − y ) 存在时, 则lim(x + y ) 必不存在，即 n n n n n n n→ n→ n→ lim(x + y ) 与lim(x − y ) 中只要有一个存在, 另一个必定不存在，故应选D. n n n n n→ n→ 222026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 对于A，若取x =n,y =n，显然lim(x + y ) 不存在，但lim(x − y ) （存在），故 n n n n n n n→ n→ A错误. 32. 下列数列中收敛的是（ ）. 1 1+3n +1,n为奇数,  ,n为奇数, A． f (n)=    n B． f (n)=   3n  1 −1,n为偶数. 1−3n ,n为偶数. n  3n  1 ,n为奇数， 3n2   2n C． f (n)=(−1)n−1 . D． f (n)= n2 +1 1  ,n为偶数. n−1 【答案】D 【解析】记x = f (n) . n 1  1  对于 A，由limx =lim  −1  =−1 ,limx =lim  +1  =1 ，知该数列 n→ 2n n→n  n→ 2n+1 n→n  23  x n  发散. 1−3n 1+3n 对于 B，由limx =lim =−1 ，limx =lim =1 ，知该数列 x  n→ 2n n→ 3n n→ 2n+1 n→ 3n n 发散.  3n2  3n2 对于 C，由 l n i → m  x 2n =l n i → m    − n2 +1   =−3 , l n i → m  x 2n+1 =l n i → m n2 +1 =3 ，知该数列 x  发散. n 1 1 对于D，由limx =lim =0,limx =lim =0，知该数列 x  收敛. n→ 2n n→n−1 n→ 2n+1 n→2n n 应选D. 【小课堂】本题重点考察定理：limx = A limx =limx = A. n 2n 2n+1 n→ n→ n→2026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1.4 函数极限计算 题组A·基础通关题 arcsinx−sinx 33. lim = . ( )( ) x→0 31+x2 −1 1+sinx−1 【答案】应填2. 【解析】当x→0时，有 1 1 1 arcsinx−sinx=arcsinx−x+x−sinx x3+ x3 = x3， 6 6 3 31+x2 −1= ( 1+x2) 1 3 −1 1 x2， 1+sinx−1=(1+sinx) 1 2 −1 1 sinx 1 x. 3 2 2 1 x3 arcsinx−sinx 3 于是，lim =lim =2，应填2. ( )( ) 1 1 x→0 31+x2 −1 1+sinx −1 x→0 x2 x 3 2 tanx−tan(tanx)tanx   34. lim = . x→0 1−cosx2 2 【答案】应填− . 3 tanx−tan(tanx)x   tanx−tan(tanx) 【解析】原式=lim =2lim x→0 1 x4 x→0 x3 2 1 − (tanx)3 3 2 x3 2 =2lim =− lim =− ， x→0 x3 3 x→0 x3 3 2 应填− . 3 cosx−3 cosx 35. 限，lim = . x→0 ln2(1+x) 1 【答案】应填− . 12 cosx −3 cosx cosx −3 cosx 【解析】lim =lim x→0 ln2(1+x) x→0 x2 242026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 ( ) ( ) cosx −1 + 1− 3 cosx =lim x→0 x2 cosx−1 1−3 cosx =lim +lim x→0 x2 x→0 x2 1 1 1 1 −  x2  x2 2 2 3 2 =lim +lim x→0 x2 x→0 x2 1 1 1 =− + =− ， 4 6 12 1 应填− . 12 【小课堂】本题考察到重要的等价无穷小替换公式： 1 当 x→0 时，1−n cosx x2（其中n为正整数）. 2n xsinx −1 36. lim = . x→0+ xx −1 【答案】应填1. xsinx −1 esinxlnx −1 sinxlnx sinx 【解析】 lim = lim = lim = lim =1,应填1. x→0+ xx −1 x→0+ exlnx −1 x→0+ xlnx x→0+ x 【小课堂】本题涉及到一常考极限结论：lim xlnx=0. x→0+ 1+ln(cosx+sinx)−1 37. lim = . x→0 sinx 1 【答案】应填 . 2 1 1+ln(cosx+sinx)−1 ln(cosx+sinx) 2 【解析】lim =lim x→0 sinx x→0 x 1 (cosx+sinx−1) 2 =lim x→0 x 1 cosx−1 1 sinx 1 1 = lim + lim =0+ = ， 2x→0 x 2x→0 x 2 2 1 应填 . 2 252026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 ex −1−x 38. lim = . x→0 1−x −cos x 【答案】应填−3. ex −1−x 【解析】lim x→0   1+(−x)  1 2 −cos x  1+x+ 1 x2 +o ( x2) −1−x    2  =lim x→0  1  1   −     1+ 1 (−x)+ 2  2 (−x)2 + ( x2) −  1− 1 x+ 1 x2 + ( x2)    2 2   2 24      1 1 x2 + ( x2) x2 2 2 =lim ==lim =−3， 1 1 x→0 − x2 + ( x2) x→0 − x2 6 6 应填−3. 【小课堂】注意下面的错误思路：  1  ( ) 当 x→0 时， 1−x−cos x =  (1−x) 2 −1  + 1−cos x   1 1( )2 − x+ x =0， 2 2  1  ( ) 其中  (1−x) 2 −1  + 1−cos x 不满足等价无穷小的加减法替换准则.   1 1+ x2 − 1+x2 2 39. lim =__________． x→0 ( cosx−ex2) sinx2 1 【答案】应填− . 12 1+ 1 x2 − 1+x2 1+ 1 x2 −   1+ 1 x2 − 1 x4 +o ( x4)  2 2  2 8  【解析】原式=lim =lim x→0 x2 ( cosx−ex2) x→0 x2 ( cosx−1+1−ex2) 262026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 x4 +o ( x4) 1 x4 8 8 1 =lim =lim =− , x→0 x2  − 1 x2 −x2   x→0 − 3 x4 12  2  2 1 应填− . 12 1−cos tanx−sinx 40. lim =__________． x→0 31+x3 −31−x3 3 【答案】应填 . 8 1 (tanx−sinx) 2 【解析】lim x→0 1+ 1 x3 +o ( x3) −  1− 1 x3+o ( x3)      3   3   x+ 1 x3 +o ( x3) −  x− 1 x3 +o ( x3)     1  3   6  = lim 2x→0 2 x3 +o ( x3) 3 1 x3+o ( x3) 1 x3 1 2 1 2 3 = lim = lim = , 2x→0 2 x3 2x→0 2 x3 8 3 3 3 应填 . 8 1 2+cosx x  41. lim   −1=__________． x→0 x3  3   1 【答案】应填− . 6 xln 2+cosx xln 2+cosx ln  1+ cosx−1  e 3 −1 3  3  【解析】原式=lim =lim =lim x→0 x3 x→0 x3 x→0 x2 cosx−1 1 − x2 3 2 1 =lim =lim =− ， x→0 x2 x→0 3x2 6 1 应填− . 6 1 (1+x)x +ex −e−1 42. lim =__________． ( ) x→0 ln x+ 1+x2 1 【答案】应填− e+1. 2 272026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 ( ) 【解析】当x→0时，ln x+ 1+x2 x，且ex −1x，于是 1 1 (1+x) x +ex −e−1 (1+x) x −e ex −1 lim =lim +lim ( ) x→0 ln x+ 1+x2 x→0 x x→0 x ln(1+x) ln(1+x) −1 e x −e e x −1 =lim +1=elim +1 x→0 x x→0 x ln(1+x) −1 ln(1+x)−x x =elim +1=elim +1 x→0 x x→0 x2 1 − x2 2 1 =elim +1=− e+1， x→0 x2 2 1 应填− e+1. 2 9x2 +3x+4−x+sinx 43. lim = . x→− x2 +1 【答案】应填4.  【解析】本题为“ ”未定定式限，，易错点在于当 x→− 时， x0 ，  x2 = x =−x ，所以这类题目的处理往往可用利用代换换x=−t 将x→− 问题化为为 t →+问题. 方法一：分子分母同除以最大项. 令x=−t，则有 9t2 −3t+4+t−sint 原式= lim t→+ t2 +1 1 1 9t2 −3t+4+1− sint t t = lim 1 t→+ t2 +1 t 1 1 1 9−3 +4 +1− sint t t2 t = lim t→+ 1 1+ t2 282026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 9+1 = =4， 1 应填4. 方法二：抓取最大项. 令x=−t，则有 9t2 −3t+4+t−sint 原式= lim t→+ t2 +1 9t2 +t 3t+t = lim = lim =4， t→+ t2 t→+ t 应填4. 【小课堂】本题注意下面的错误解法： 9x2 +3x+4−x+sinx 9x2 −x 3x−x lim = lim = lim =2， x→− x2 +1 x→− x2 x→− x 错误原因是：当x→−时，x0， x2 = x =−x. 正确思路应该是： 9x2 +3x+4−x+sinx 9x2 −x −3x−x lim = lim = lim =4 . x→− x2 +1 x→− x2 x→− −x x2 −x+3  1  44. lim  arctan +sinx  = . x→+ex +x2 +4 x  【答案】应填0.  x2 −x+3  x2 1 【解析】由于 lim = lim =0 （见小课堂），又arctan ，sinx 均为有 x→+ex +x2 +4 x→+ ex x x2 −x+3  1  界变量，所以 lim  arctan +sinx  =0，应填0. x→+ex +x2 +4 x  【小课堂】当x→+时，ax x lnx，其中a1,0,0. x2 于是，本题中 lim =0. x→+ ex 292026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫  1 1  45. lim −  = . x→0 ex −1 ln(1+x)  【答案】应填-1. ln(1+x)−ex +1 ln(1+x)−ex +1 【解析】方法一：原式=lim = lim x→0 ( ex −1 ) ln(1+x) x→0 x2 1 1 − −ex −ex (1+x)2 1+x =lim =lim x→0 2x x→0 2 −1−1 = =−1， 2 应填-1. ln(1+x)−ex +1 ln(1+x)−ex +1 方法二：原式=lim = lim x→0 ( ex −1 ) ln(1+x) x→0 x2  x− 1 x2 +o ( x2) −  1+x+ 1 x2 +o ( x2) +1      2   2  =lim x→0 x2 −x2 +o ( x2) =lim =−1， x→0 x2 应填-1. ln(1+x)−ex +1 ln(1+x)−ex +1 方法三：原式=lim = lim x→0 ( ex −1 ) ln(1+x) x→0 x2 ln(1+x)−x−ex −1−x     =lim x→0 x2 1 1 − x2 − x2 2 2 =lim =−1， x→0 x2 应填-1.  1  46. lim 3 x3 +1−xex = . x→  【答案】应填−1. 1 【解析】方法一：令x= ，则有 t 302026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫  1 1   31+t3 1  原式= l t i → m 0    3 t3 +1− t et    =l t i → m 0    t − t et    ( 31+t3 −1 ) − ( et −1 ) 31+t3 −et =lim =lim t→0 t t→0 t 31+t3 −1 et −1 =lim −lim t→0 t t→0 t 1 t3 3 t =lim −lim t→0 t t→0 t =0−1=−1， 应填−1.  1 1   1 1  方法二：原式=limx31+ −xex =limx31+ −ex  x→   x3   x→   x3    1   1  =limx31+ −1−limxex −1 x→   x3   x→   1 1 1 =limx −limx x→ 3 x3 x→ x =0−1=−1， 应填−1. 1 47. lim   1+tanx  tan3x = . x→01+sinx 1 【答案】应填e2. 【解析】本题为“1 ”未定定式限，，于是 lim   1+tanx  tan 1 3x =ex li → m 0tan 1 3x    1 1 + +s ta in n x x −1    =ex li → m 0tan ta 3 n x x ( − 1+ si s n in x x) x→01+sinx tanx−x+x−sinx 1 x3+ 1 x3 =ex li → m 0 x3(1+sinx) =ex li → m 0 3 x3 6 =e 1 2 1 应填e2. 1 ln(1+x)arctanx 48. lim  = . x→0 x  312026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 − 【答案】应填e 2. 【解析】本题为“1 ”未定定式限，，于是 1 ln(1+x)arctanx lim 1   ln(1+x) −1   lim  =ex→0arctanx x  x→0 x  lim ln(1+x)−x lim − 1 2 x2 − 1 =ex→0arctanxx =ex→0 xx =e 2， 1 − 应填e 2. x  1 1 49. lim  sin +cos  = . x→ x x 【答案】应填e. 【解析】本题为“1 ”未定定式限，，于是  1 1 x limx  sin 1 +cos 1 −1   limxsin 1 +limx  cos 1 −1   lim  sin +cos  =ex→  x x  =ex→ x x→  x  x→ x x 1 112 =ex l → im  x x − x l → im  x 2  x   =e1−0 =e， 应填e. cotx    50. lim  tan  −x  = . x→0  4  【答案】应填e−2. 【解析】本题为“1 ”未定定式限，，于是lim   tan    −x     cotx =ex li → m 0 cotx    tan     4 −x    −1   . x→0  4  又   tan −x−1     cosx     4  limcotx  tan  −x  −1  =lim  tan  −x  −1  =lim x→0   4   x→0 sinx   4   x→0 x 洛    =−limsec2  −x=−limsec2 =−2， x→0  4  x→0 4 cotx    所以lim  tan  −x  =e−2，应填e−2. x→0  4  1 51. lim(cos2x+2xsinx)x4 = . x→0 322026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 【答案】应填e3 . 【解析】方法一：本题为“1 ”未定定式限，，于是 lim 1 (cos2x+2xsinx−1) lim    1+ 1 2 (2x)2+ 2 1 4 (2x)4+o ( x4)   +2x    x− 1 6 x3+o ( x3)   −1 原式=ex→0x4 =ex→0 x4 1 x4+o(x4) 1 x4 lim3 lim3 1 =ex→0 x4 =ex→0 x4 =e3， 1 应填e3 . 方法二：本题为“1 ”未定定式限，，于是 lim(cos2x+2xsinx)x 1 4 =ex li → m 0x 1 4 (cos2x+2xsinx−1) =ex li → m 0 cos2x+ x 2 4 xsinx−1 x→0 2xsinx−2sin2x lim =ex→0 x4 （二倍角公式cos2x−1=−2sin2 x） 2(x−sinx)sinx lim =ex→0 x4 1 2 x3x 6 1 lim =ex→0 x4 =e3， 1 应填e3 . 1 ex +e2x + +enx x 52. 若n为正整数，则限，lim  = . x→0 n  n+1 【答案】应填e 2 . 【解析】方法一：本题为“1 ”未定定式限，，于是 lim   ex +e2x + +enx   1 x =ex li → m 0 1 x      ex+e2x n + +enx −1     =ex li → m 0 ex+e2x+ nx +enx−n x→0 n  洛 lim ex+2e2x+ +nenx 1+2+ +n n+1 =ex→0 n =e n =e 2 ， n+1 应填e 2 . 方法二：本题为“1 ”未定定式限，，于是 lim   ex +e2x + +enx   1 x =ex li → m 0 1 x      ex+e2x n + +enx −1     =ex li → m 0 ex+e2x+ nx +enx−n x→0 n  332026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 ex−1+e2x−1+ +enx−1 lim =enx→0 x 1 ex−1 e2x−1 enx−1 lim +lim + +lim =enx→0 x x→0 x x→0 x =e 1 n (1+2+ +n) =e n 2 +1 ， n+1 应填e 2 . x  x+c 53. 设函数 f (x) 可导，且lim f(x)=e ，lim   =lim  f (x)− f (x−1)  ，则 x→ x→ x−c x→ c= . 1 【答案】应填 . 2 x  x+c 【解析】限，lim 为“1型未定定式限，，于是   x→ x−c  x+c x limx   x+c −1   lim 2cx lim   =ex→ x−c  =ex→x−c =e2c x→ x−c 讨利用拉格朗日中值定理，知存在x−1 x，使得 f (x)− f (x−1)= f()x−(x−1) = f()，   于是 lim  f (x)− f (x−1)  =lim f() =lim f()=e， x→ x→ → 1 1 所以e2c =e，解得c = ，应填 2 2 54. 给出以下四条结论： 1 1 1 1 − − ex +1 ex e x +1 e x ①lim =1； ②lim =0； ③lim =0； ④lim =1， x→0+ 1 x→0− 1 x→0+ − 1 x→0− − 1 ex −1 ex +1 e x −1 e x +1 其中正确的个数是 . 【答案】应填3 1 1 【解析】对于①、③，当x→0+时， →+，− →−，于是 x x 1 1 − limex =+，lime x =0， x→0+ x→0+ 342026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 1 − ex +1 e x +1 0+1 进而lim =1，lim = =−1，故①正确，③错误. x→0+ 1 x→0+ − 1 0−1 ex −1 e x −1 1 1 对于②、④，当x→0−时， →−，− →+，于是 x x 1 1 − limex =0，lime x =+， x→0− x→0− 1 1 − ex e x 进而lim =0，lim =1，故②、④正确. x→0− 1 x→0− − 1 ex +1 e x +1 应填3 ax+2 x  55. 设限，lim arctanx=− ，则a+b= . x→ bx− x 2 【答案】应填-1. 【解析】由于 ax+2 x ax+2x a+2  lim arctanx = lim arctanx= =− ， x→+ bx− x x→+ bx−x 2 b−1 2 ax+2 x ax−2x a−2  lim arctanx = lim arctanx=− =− ， x→− bx− x x→− bx+x 2 b+1 2 a+2 a−2 整理得， =−1， =1，于是解得a=1,b=−2，则a+b=−1，应填-1 b−1 b+1 (3+2sinx)x −3x 56. 求限，lim ． x→0 sinx ( 3x −1 ) exln(3+2sinx) −exln3 1 exln3  exln(3+2sinx)−xln3−1  【解析】原式=lim = lim x→0 xxln3 ln3x→0 x2 1 xln(3+2sinx)−xln3 = lim ln3x→0 x2 3+2sinx ln 1 3 = lim ln3x→0 x 3+2sinx −1 1 3 = lim ln3x→0 x 1 2sinx 2 = lim = ． ln3x→0 3x 3ln3 352026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 (1−cosx)[x−ln(1+tanx)]+ex4 −1 57. 求限，lim ． x→0 sin4x 1 2 x2  x−ln(1+tanx)  ex4 −1 【解析】原式=lim +lim x→0 x4 x→0 x4 1 x−ln(1+tanx) = lim +1 2x→0 x2 1 x−tanx+tanx−ln(1+tanx) = lim +1 2x→0 x2 1 x−tanx tanx−ln(1+tanx) = lim +lim +1 2 x→0 x2 x→0 x2   1 1  − x3 tan2x 1 3 2  = lim +lim +1 2 x→0 x2 x→0 x2    1 1 5 =  0+  +1= ． 2 2 4 362026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1.5 函数极限相关考题 题组A·基础通关题  x3 +1 58. 设limax+b− =1，则（ ）. x→ x2 +1 A．a=1,b=1. B．a =−1,b=1. C．a=−1,b=−1. D．a =1,b=−1. 【答案】A 【解析】由于  x3 +1  x3 +1 limax+b− =limax− +b=1， x→ x2 +1 x→ x2 +1  x3 +1 于是limax− =1−b，进而 x→ x2 +1  x3 +1 ax3 +ax−x3−1 (a−1)x3 +ax−1 limax− =lim =lim =1−b， x→ x2 +1 x→ x2 +1 x→ x2 +1 故a−1=0 （若a−10 ，上式限，结未为 ，矛盾），1−b=0 ，解得a=1,b=1 ，应选 A. ( ) 1 59. 设 lim 3x+ ax2 −bx+1 = ，则a+b= . x→− 2 【答案】应填12 ( ) 1 【解析】令x =−t ，则lim at2 +bt+1−3t = ，显然a =9 t→+ 2 于是 ( ) bt+1 bt b 1 lim 9t2 +bt+1−3t = lim = lim = = ， t→+ t→+ 9t2 +bt+1+3t t→+ 9t2 +3t 6 2 解得b=3，故a+b=12，应填12 x x+1 f (x) 60. 若lim =limxln ，则lim = . x→0 f (2x) x→ x−1 x→0 x 1 【答案】应填 . 4 372026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 x+1  x+1  2x x 【解析】由于limxln =limx  −1  =lim =2，于是lim =2. x→ x−1 x→  x−1  x→ x−1 x→0 f (2x) f (2x) 1 f (t) 1 f (t) 1 进而lim = ，令2x=t，于是lim = ，即lim = . x→0 x 2 t→0 1 2 t→0 t 4 t 2 f (x) 1 1 因此，lim = ，应填 x→0 x 4 4 【小课堂】本题考察到重要的等价无穷小替换公式： 当 f (x)→1时，ln f (x)=ln1+ f (x)−1 f (x)−1.   x+1 x+1 x+1 本题中，当x→时， →0，于是ln −1. x−1 x−1 x−1  f (x) ln1+  tanx f (x)+tan2x   61. 设lim =2，则lim = . x→0 2x −1 x→0 x2 【答案】应填2ln2+1 f (x) 【解析】显然lim =0，于是 x→0 tanx  f (x) f (x) ln1+  tanx f (x) f (x)   tanx lim = lim =lim =lim =2， x→0 2x −1 x→0 xln2 x→0ln2xtanx x→0ln2x2 f (x) 整理得lim =2ln2 x→0 x2 f (x)+tan2x f (x) tan2x 因此，lim = lim +lim =2ln2+1，应填2ln2+1 x→0 x2 x→0 x2 x→0 x2 axsinx+bcosx+c 1 62. 已知限，lim = ，求参数a,b,c的值． ( ) x→0 x 1+x3 −1 2 【解析】当x→0时， 1+x3 −1 1 x3，sinx=x− x3 +o ( x3) ，cosx=1− x2 + x4 +o ( x4) ， 2 6 2 24 于是 ax  x− x3 +o ( x3)  +b  1− x2 + x4 +o ( x4)  +c axsinx+bcosx+c  6   2 24  1 lim =lim = ， x→0 x ( 1+x3 −1 ) x→0 x 1 x3 2 2 整理得 382026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 b+c+  a− b x2 +   b − a x4 +o ( x4)  2 24 6 1 lim = ， x→0 x4 4 b b a 1 于是b+c=0，a− =0， − = ，解得a=−3，b=−6，c=6． 2 24 6 4 1+acos2x+bcos4x 63. 已知限，lim 存在，求常数a,b． x→0 x4 【解析】方法一：利用泰勒公式展开． 因为 1+acos2x+bcos4x lim x→0 x4 1+a  1− 1( 4x2) + 1 ( 16x4) +o ( x4) +b  1− 1( 16x2) + 1 ( 44x4) +o ( x4)      2 24   2 24  =lim x→0 x4 (1+a+b)+(−2a−8b)x2 +   2 a+ 44 b  x4 +o ( x4) 3 24   =lim （存在）， x→0 x4 4 1 所以1+a+b=0，−2a−8b=0，解得a=− ，b= ． 3 3 方法二：洛必达法则与极限存在性质结合使用． 1+acos2x+bcos4x 因为lim 存在，且limx4 =0，所以 x→0 x4 x→0 lim(1+acos2x+bcos4x)=1+a+b=0， ① x→0 于是讨由洛必达法则知 1+acos2x+bcos4x −2asin2x−4bsin4x lim =lim (*) x→0 x4 x→0 4x3 −4acos2x−16bcos4x =lim （存在）， x→0 12x2 于是 lim(−4acos2x−16bcos4x)=−4a−16b=0， ② x→0 4 1 联立①②，解得a=− ，b= ． 3 3 【小课堂】本题若使用洛必达法则求解原式的限，时，必须续续使用两次洛必达法则， 这是因为在（*）处若利用比值限，存在的性质时，是无法得到关于参数a,b的关系的， 于是讨（*）式处还需讨使用一次洛必达法则. 两种方法相比，利用泰勒公式展开的方法会更直接． 392026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 40