190.线性代数高能串讲（周洋鑫26冲刺）_04.2026考研数学周洋鑫数学笑过_00.随课资料

笔记区 2026周洋鑫考研数学高能冲刺班 线性代数难点高能串讲 主讲：周洋鑫 考研数学周洋鑫 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 ➢ 相似问题 ➢ 二次型 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【必备基础】特征值 1. 特征值与特征向量的定义 若方阵A，满足 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【必备基础】特征值 2. 数值型矩阵的特征值与特征向量的求解 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【必备基础】特征值 3. 抽象型矩阵的特征值与特征向量的求解 （1）NB表 𝑨 𝑨𝒏 𝒌𝑨 𝒇 𝑨 𝑨∗ 𝑨−𝟏 𝑨𝑻 𝑷−𝟏𝑨𝑷 𝝀 𝜶 （2）定义包装 （3）特征方程包装 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【必备基础】特征值 4. 特征值的性质 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【必备基础】特征值 4. 特征值的性质 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【必备基础】特征值 4. 特征值的性质 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【必备基础】特征值 4. 特征值的性质 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点1】矩阵的相似 1. 矩阵相似的定义 若存在可逆矩阵P，使得P −1 AP = B, 则矩阵A与B相似. 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 2. 矩阵相似的必要条件 ⚫ 𝝀 = 𝝀 （1）五等 𝐀 𝐁 ⚫ 𝑨 = 𝑩 ⚫ 𝒕𝒓 = 𝒕𝒓 若𝑨~𝑩 𝐀 𝐁 ⚫ 𝝀𝑬 − 𝑨 = 𝝀𝑬 − 𝑩 ⚫ 𝒓 𝑨 = 𝒓 𝑩 −𝟏 −𝟏 （2）五相似 ⚫ 𝑨 ~𝑩 𝑻 𝑻 ⚫ 𝑨 ~𝑩 ∗ ∗ 若𝑨~𝑩 ⚫ 𝑨 ~𝑩 ⚫ 𝒇 𝑨 ~𝒇 𝑩 𝒏 𝒏 ⚫ 𝑨 ~𝑩 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 3. 关于矩阵相似的几点注释 （1）𝑨~𝑩 ⟺ 𝑨 −𝟏 ~𝑩 −𝟏 （2）𝑨~𝑩 ⟺ 𝑨 𝑻 ~𝑩 𝑻 （3）𝑨~𝑩 ⟺ 𝝀𝑬 − 𝑨~𝝀𝑬 − 𝑩 （4）若𝑨可逆，则𝑨𝑩~𝑩𝑨 𝑨 𝟎 𝑪 𝟎 （5）若𝑨~𝑪，𝑩~𝑫，则 ~ . 𝟎 𝑩 𝟎 𝑫 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点2】矩阵的相似对角化 1. 矩阵相似对角化的定义 若存在可逆矩阵P，使得P −1 AP = Λ, 则矩阵A可相似对角化. 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 2. 矩阵相似对角化的求解 求可逆矩阵P，使得𝐏 −𝟏 𝐀𝐏 = 𝜦. step1.求矩阵的特征值 𝝀 𝟏 𝜦 = 𝝀 令 𝝀𝑬 − 𝑨 = 𝟎 ⟹ 𝝀 ， 𝝀 ， 𝝀 2 𝟏 𝟐 𝟑 𝝀 3 step2.求特征值对应特征向量 𝝀 𝑬 − 𝑨 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝜶 𝟏 𝟏 𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 𝝀 𝑬 − 𝑨 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝜶 𝟏 2 3 𝟐 𝟐 𝝀 𝑬 − 𝑨 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝜶 𝟑 𝟑 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 𝟏 【例1】已知𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐏 −𝟏 𝐀𝐏 = 𝟐 , 1 2 3 𝟑 若Q= −𝜶 3𝜶 4𝜶 ，则𝑸 −𝟏 𝐀𝐐 = . 2 1 3 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 𝟐 【例2】已知𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐏 −𝟏 𝐀𝐏 = 𝟐 , 1 2 3 𝟑 若Q= 𝜶 − 𝜶 −𝜶 3𝜶 + 𝜶 ，则𝑸 −𝟏 𝐀𝐐 = . 1 2 3 1 2 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 𝟐 【例3】已知𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐏 −𝟏 𝐀𝐏 = 𝟐 , 1 2 3 𝟑 则𝑷 −𝟏 𝑨 ∗ 𝐏 = . 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 𝟐 【例4】已知𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐏 −𝟏 𝐀𝐏 = 𝟐 , 1 2 3 𝟑 则𝑷 −𝟏 𝑨 ∗ + 𝑨 −𝟏 𝐏 = . 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课𝟐 笔记区 【例5】已知𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐏 −𝟏 𝐀𝐏 = 𝟐 , 1 2 3 𝟑 若Q= 𝜶 − 𝜶 −𝜶 3𝜶 + 𝜶 ，则𝑸 −𝟏 𝑨 ∗ + 𝑨 −𝟏 𝐐 = . 1 2 3 1 2 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课𝟐 笔记区 【例6】若𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐏 −𝟏 𝐀𝐏 = 𝟐 1 2 3 𝟑 （1）𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐏 −𝟏 𝑨 −𝟏 𝐏 = 1 2 3 （2）𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 ，且 𝐏 −𝟏 𝑨 ∗ 𝐏 = 1 2 3 （3）𝑷 = 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐏 −𝟏 𝑨 𝟑 𝐏 = 1 2 3 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 3. 矩阵可否相似对角化的判定 （1）充要条件 ◼ r重特征值有r个线性无关的特征向量 ◼ A有n个线性无关的特征向量 （2）充分条件 ◼ A有n个不同的特征值 【考】相似对角化判定思路 （1）看是不是实对称 ◼ A为实对称矩阵 （2）看是不是秩为1 （3）二话不说特征值 （3）特殊情况：秩为1的矩阵 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 4. 两矩阵相似问题的判定与求解 （1）判定 ◼ 用五等五相似否定 （2）求解（搭桥法） 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 5. 两大考题 （1）反求A （2）求n次幂 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点3】三大预备知识 ◼ 预备知识1——内积 𝒂 𝒂 𝟏 𝟏 （1）若向量𝜶 = 𝒂 , 𝛃 = 𝒂 ，则向量内积 𝜶，𝛃 = 𝟐 𝟐 𝒂 𝒂 𝟑 𝟑 𝒂 𝟏 （2）若向量𝜶 = 𝒂 , 则向量内积为 𝜶，𝜶 = 𝟐 𝒂 𝟑 （3） 𝜶，𝜶 ≥ 𝟎 （4） 𝜶，𝜶 = 𝟎 ⟺ 𝜶 = 𝟎 （5） 𝑨𝜶，𝑨𝜶 = 𝟎 ⟺ 𝑨𝜶 = 𝟎 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点3】三大预备知识 ◼ 预备知识2——单位向量 𝒂 𝟏 （1）若向量𝜶 = 𝒂 , 则向量的模长为 𝟐 𝒂 𝟑 （2）单位向量：向量的模长为1 （3）单位化 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点3】三大预备知识 ◼ 预备知识3——施密特正交化 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点3】三大预备知识 ◼ 预备知识4——正交矩阵 （1）定义：已知A为n阶方阵 （2）逆矩阵： （3）性质：列向量均为单位向量，列向量彼此正交 （4）行列式： （5）关系： 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点4】实对称矩阵的相似对角化 1. 实对称矩阵的性质 （1）实对称矩阵的特征值均为实数 （2）实对称矩阵的不同特征值对应特征向量是正交的 （3）实对称矩阵一定可以相似对角化 r重特征值有r个线性无关的特征向量 （4）存在正交矩阵Q，使得矩阵相似对角化. 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 2. 实对称矩阵正交相似对角化的求解 求正交矩阵Q，使得𝐐 𝐓 𝐀𝐐 = 𝜦. step1.求矩阵的特征值 𝝀 𝟏 令 𝝀𝑬 − 𝑨 = 𝟎 ⟹ 𝝀 ， 𝝀 ， 𝝀 𝜦 = 𝝀 2 𝟏 𝟐 𝟑 𝝀 3 step2.求特征值对应特征向量 𝝀 𝑬 − 𝑨 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝜶 𝟏 𝟏 𝝀 𝑬 − 𝑨 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝜶 𝟐 𝟐 𝑸 = 𝜶 𝜶 𝜶 𝝀 𝑬 − 𝑨 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝜶 𝟏 2 3 𝟑 𝟑 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 2. 实对称矩阵正交相似对角化的求解 求正交矩阵Q，使得𝐐 𝐓 𝐀𝐐 = 𝜦. step1.求矩阵的特征值 𝝀 𝟏 令 𝝀𝑬 − 𝑨 = 𝟎 ⟹ 𝝀 ， 𝝀 ， 𝝀 𝜦 = 𝝀 2 𝟏 𝟐 𝟑 𝝀 3 step2.求特征值对应特征向量 𝝀 𝑬 − 𝑨 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝜶 𝟏 𝟏 𝝀 𝑬 − 𝑨 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝜶 𝟐 𝟐 𝑸 = 𝜂 𝜂 𝜂 𝝀 𝑬 − 𝑨 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝜶 𝟏 2 3 𝟑 𝟑 step3.正交化 𝛽 ， 𝛽 ， 𝛽 𝟏 𝟐 𝟑 step4.单位化 𝜂 ， 𝜂 ， 𝜂 𝟏 𝟐 𝟑 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课𝟐 笔记区 【例6】若正交阵Q= 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝑸 𝑻 𝐀𝐐 = 𝟐 1 2 3 𝟑 （1）Q= 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐐 𝐓 𝑨 −𝟏 𝐐 = 1 2 3 （2）Q= 𝜶 𝜶 𝜶 ，且 𝐐 𝐓 𝑨 ∗ 𝐐 = 1 2 3 （3）Q= 𝜶 𝜶 𝜶 ，且𝐐 𝐓 𝑨 𝟑 𝐐 = 1 2 3 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点5】二次型的预备知识 1. 二次型的定义 （1）𝒇 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟒𝒙 𝒙 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 （2）𝒇 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟒𝒙 𝒙 +6 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 （3）𝒇 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒𝒙 𝒙 +6 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点5】二次型的预备知识 2. 研究一类矩阵乘法 𝒙 𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 𝟒 𝟏 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝒙 𝟏 𝟔 𝟑 𝟑 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 3. 二次型的矩阵表示 𝒙 （1）𝒇 𝒙 , 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝒙 𝒙 , 𝒙 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 （2）𝒇 𝒙 , 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝒙 𝒙 , 𝒙 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 （3）𝒇 𝒙 , 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝒙 𝒙 , 𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 【注1】将一个二次型用矩阵形式表达，形式是不唯一的. 【注2】但，能唯一地与二次型相对应的矩阵只有一个，那就是 为实对称矩阵的时候。后续正交变换或是配方法我们使用的矩阵 均为实对称矩阵，注意有时候题目挖坑，所给矩阵不是对称阵， 要抓化为对称阵再处理。 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 3. 二次型的矩阵表示 （1）𝒇 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟒𝒙 𝒙 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝒙 𝟏 𝒙 = 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 𝟐 实对称矩阵 𝟏 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 （2）𝒇 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝒙 𝟏 𝒙 = 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 对角矩阵 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 （3）𝒇 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝒙 𝟏 𝒙 = 𝒙 , 𝒙 , 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 4. 线性变换 例：𝒇 𝒙 , 𝒙 = 𝟐 𝒙 + 𝒙 𝟐 + 𝟑 𝒙 − 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 4. 线性变换 𝒙 = 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟑 𝟑 ቐ𝒙 = 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 𝟐 𝟐𝟏 𝟏 𝟐𝟐 𝟐 𝟐𝟑 𝟑 𝒙 = 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 𝟑 𝟑𝟏 𝟏 𝟑𝟐 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝒙 𝒚 𝟏 𝟏 𝒙 𝒚 = 𝑷 𝟐 𝟐 X——变换前 𝒙 𝒚 𝟑 𝟑 Y——变换后 𝑿 = 𝑷𝒀 （1）若P可逆，则称为可逆线性变换 （2）若P正交阵，则称为正交变换 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课【考点6】高能部分：二次型线性变换的本质 笔记区 𝑿 = 𝑷𝒀 𝒇 = 𝑿 𝑻 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑻 𝑩𝒀 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课【考点6】高能部分：二次型线性变换的本质 笔记区 𝑿 = 𝑷𝒀 𝒇 = 𝑿 𝑻 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑻 𝑩𝒀 （1）关系是什么？ （2）是合同么？ 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点6】高能部分：二次型线性变换的本质 可逆线性变换𝑿 = 𝑷𝒀 𝒇 = 𝑿 𝑻 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑻 𝑩𝒀 （1）A与B合同么？ ◼ 秩相同 ◼ 正负惯性指数相同 （2）B怎么求？就知道了变换后的结果 （3）P怎么求？就知道了线性变换是谁 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点6】高能部分：化二次型为标准型 可逆线性变换𝑿 = 𝑷𝒀 𝒇 = 𝑿 𝑻 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑻 𝚲𝒀 （1）合同对角化 （2）实对称矩阵一定可以合同对角化 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点6】高能部分：化二次型为标准型 1. 方法一：正交变换法 正交变换𝑿 = 𝑸𝒀 𝒇 = 𝑿 𝑻 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑻 𝚲𝒀 （1）内在关系是什么？ （2）如何求𝚲（即求出了标准型的结果） （3）如何求𝐐（即求出了所做的正交变换） 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【例1】 正交变换𝑿 = 𝑸𝒀 𝑻 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇 = 𝑿 𝑨𝑿 𝒇 = 𝟑𝒚 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒚 𝟏 𝟏 𝟏 𝑸 = 𝜶 , 𝜶 , 𝜶 𝟏 𝟐 𝟑 正交变换𝑿 = 𝑸𝒀 𝑻 𝒇 = 𝑿 𝑨𝑿 𝑸 = 𝜶 , 𝜶 , −𝜶 𝟐 𝟏 𝟑 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【例2】 正交变换𝑿 = 𝑸𝒀 𝑻 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇 = 𝑿 𝑨𝑿 𝒇 = 𝟑𝒚 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒚 𝟏 𝟏 𝟏 𝑸 = 𝜶 , 𝜶 , 𝜶 𝟏 𝟐 𝟑 正交变换𝑿 = 𝑸𝒀 𝑻 −𝟏 𝒇 = 𝑿 𝑨 𝑿 𝑸 = 𝜶 , 𝜶 , 𝜶 𝟏 𝟐 𝟑 正交变换𝑿 = 𝑸𝒀 𝑻 ∗ 𝒇 = 𝑿 𝑨 𝑿 𝑸 = 𝜶 , 𝜶 , 𝜶 𝟏 𝟐 𝟑 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点6】高能部分：化二次型为标准型 2. 方法二：配方法 可逆变换𝑿 = 𝑷𝒀 𝒇 = 𝑿 𝑻 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑻 𝚲𝒀 （1）任何一个二次型必可经过可逆线性变换化为标准型. （2）任何一个实对称矩阵必可合同对角化. 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点7】求二次型的规范型 1. 二次型经过可逆线性变换，前后正负惯性指数不变 可逆变换𝑿 = 𝑷 𝒀 𝑻 𝟏 𝑻 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇 = 𝑿 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑩𝒀 = 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 可逆变换𝑿 = 𝑷 𝒀 𝑻 𝟐 𝑻 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇 = 𝑿 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑪𝒀 = 𝒃 𝒚 + 𝒃 𝒚 + 𝒃 𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 可逆变换𝑿 = 𝑷 𝒀 𝑻 𝟑 𝑻 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇 = 𝑿 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑪𝒀 = 𝒄 𝒚 + 𝒄 𝒚 + 𝒄 𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 【注】二次型经过不同的可逆线性变换可化为不同的标准型，即二 次型的标准型不是惟一的，但这些标准型有一个共同特点，那就是 正负惯性指数一致。（惯性定理） 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点7】求二次型的规范型 2. 求二次型的规范型 可逆变换𝑿 = 𝑷 𝒀 𝟏 𝑻 𝑻 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇 = 𝑿 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝑩𝒀 = 𝟑𝒚 + 𝟐𝒚 − 𝟒𝒚 𝟏 𝟐 𝟑 𝑻 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇 = 𝒁 𝚲𝒁 = 𝒛 + 𝒛 − 𝒛 𝟏 𝟐 𝟑 【注】二次型的规范型是惟一的.（惯性定理） 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点8】求二次型的正负惯性指数 1. 二次型经过可逆线性变换，前后正负惯性指数不变 正交变换𝑿 = 𝑸𝒀 𝑻 𝑻 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇 = 𝑿 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝚲𝒀 = 𝝀 𝒚 + 𝝀 𝒚 + 𝝀 𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 可逆变换𝑿 = 𝑷𝒀 𝑻 𝑻 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇 = 𝑿 𝑨𝑿 𝒇 = 𝒀 𝚲𝒀 = 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 + 𝒂 𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 配方法 【注1】二次型经过正交变换与可逆线性配方法正负惯性指数不变 【注2】求二次型的正负惯性指数. 方法一：求特征值 方法二：配方法. 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考】矩阵的等价、相似与合同 1. 矩阵等价 （1）定义： （2）充要条件： 2. 矩阵相似 （1）定义： （2）判定方法： 3. 矩阵合同 （1）定义： （2）判定方法： 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点9】正定二次型与正定矩阵 1. 正定二次型的定义 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点9】正定二次型与正定矩阵 2. 正定二次型的充要条件 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 【考点9】正定二次型与正定矩阵 3. 正定二次型的必要条件 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课笔记区 2026周洋鑫考研数学高能冲刺课