经验超市26考研数学三9月月考卷答案解析_06.2026考研数学俞老全程班_00.书籍讲义_经验超市月考卷

经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数三答案
1.【答案】：
D

【解析】：
1 1
lim(2025xn x2n  x3n)n
n 2n
x3 1
lim[1n 1n ...1n  xn (x2)n ( )n]n
n 2
x3 x3
max{1,x,x2, } (x2).
2 2
故应选
D

.
2.【答案】：
D

 1 f  x  , f  x 0 x2 0,x0
【解析】：g  f  x    ，而由于 f  x  ，
 2 f  x  , f  x 0 x0,x0
需要重新整理等号成立的地方：
1 f  x  , f  x 0 x2,x0 1x,x 0
  
g

f  x 

 2 f  x  , f  x 0, f  x 0, x 0g

f  x 

 2, x 0 .
  
 2 f  x  , f  x 0  x,x0 2x2,x0
x2 2,x0
可合并后面两行： ，故选 D  .
1x,x0
3.【答案】：
A

【解析】：
 
【法一】：用极坐标，  arctan 1x2  y2 dxdy
x2y2t2
2 t t
= d arctan(1r2)rdr 2 arctan(1r2)rdr
0 0 0
F  t  2 t arctan(1r2)rdr 2tarctan  1t2  2
lim  lim 0 洛lim  arctan1 .
t0 t2 t0 t2 t0 2t 4
选
A

   
【法二】：由二重积分中值定理：  arctan 1x2  y2 dxdy t2arctan 12 2
x2y2t2
其中02 2 t2，因而当t 0时2 2 0，从而
4.【答案】：
A

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【解析】： f(x)在[0,1]上连续，得| f(x)|M,x[0,1].
1 1 1
|a || nn f(x)dx| nn | f(x)|dx nn Mdx
n 1 1 1
n1 n1 n1
1 1 M M
 M n(  )  .
n n1 n(n1) 3
n2
 1
因为 收敛，故原级数绝对收敛.故选
A

.
3
n1 n2
 
F  t  t2arctan 12 2 2
 
lim lim limarctan 122 arctan1 .
t0 t2 t0 t2 t0 4
5.【答案】：
A

   R  A 
【解析】：由秩的性质：R  AB R  E n ，而由于R  A n,R  B n
nn   R  B 
R  A R  B n ，此题由于mnA的行向量无关，列向量相关；B的行向量相关，
列向量无关.故选
A

.
6.【答案】：
B

【解析】：取k 0，则排除 A 与 D  .对于 B ，假设Ax k 有解，由已知设
1 2 1
Ax 有解 ，则A(k) AkA k  k  ，该式说明k 是
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Ax  的解，与已知Ax  无解矛盾，故方程组Ax k一定无解， B 正确.
2 2 1 2
对于 C ，若取k 1，则Ax k为Ax  ，由上述结论知其无解，故 C 不
1 2 1 2
正确.
7.【答案】：
A

【解析】：二次型矩阵分别为：
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2 1 0 1 0 0
   
A  1 2 0  ，B   0 1 1  .
   
0 0 a 0 1 0
由已知，A与B合同，故A与B有相同的正、负惯性指数.
1 0 0
由 |EB| 0 1 1 (1)(21)0 ， 得 B 的 特 征 值 为
0 1 
1 5 1 5
 1,  0,  .
1 2 2 3 2
2 1 0
由|EA| 1 2 0 (a)(3)(1) ，得A的特征值为a,3,1，
0 0 a
故a0，
A
正确.
8.【答案】：
B

【解析】：因B A，因而AB  B,AB  A，从而①与②是对的.
至于③：P  BA  P  B P  AB P  B P  B  0， 因而③错误.
   
P BA P B
至于④：P  B| A   P  B （除非 p  A 1）.
   
p A p A
9.【答案】：
A

x2

【解析】：X 的概率密度为： f (x) 1 e 2 1 2  1 ex2 , x .
X 1 
2
2
在X  x的条件下，Y 的条件概率密度为：
(yx)2

f (y|x) 1 e 2 1 2  1 e(yx)2 , y  .
Y|X 1 
2
2
X 与Y 的联合概率密度为：
1
f(x,y) f (x)f (y|x) e(2x22xyy2), x, y  .
X Y|X 
Y 的边缘概率密度为：
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f (y)   f(x,y)dx    1 e(2x22xyy2)dx  1   e 2(x 1 2 y)2 1 2 y2 dx
Y     
(x 1 y)2
 2
1  y2  1 2 1 1  y2
 e 2  e 4 dx e 2 .
2  1 2
2
2
10.【答案】：
B

 1 5 5 2 10
【解析】：由于总体 X  B5,  E  X  ,D  X    . 选项(A)与(B)：
 3 i 3 i 3 3 9
 n 

X

Cov  X ,X  Cov  X , j1 j  1 Cov  X , n X   1  n Cov  X ,X  .
i  i n  n  i j1 j  n j1 i j
 
 
   
当i  j时，X ,X 独立，因而Cov X ,X 0Cov X ,X 
i j i j i
1 1 10
Cov

X ,X

D

X
 ，(A)错误选
B

.
n i i n i 9n
至于选项(C),(D)：
   X  X  X   n1 X X  X  X 
D X X DX  1 2 n  D X  1 i1 i1 n 
i  i n   n i n 
n1   X X  X  X 
由于样本之间相互独立，因而=D X  D 1 i1 i1 n  
 n i   n 
n1 2 n1 10n1 2 10 n1 10 n23n 10  n3 
  D  X  D  X  =      .
 n  i n2 9  n  9 n2 9 n2 9n
10  n1 
D选项类似，结果是 .
9n
11.【答案】：2.
【解析】：
1 1 1 1
 1ax2  4 1  ax2  ax  ax 1
lim lim 4 洛lim 2 lim 2  a1 a2
x0 1cosxsint x0 1cosxsint x0 sin  1cosx  x0 x 2
 dt  dt sinx
t t 1cosx
0 0
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sint 1
【注】：也可将 x 中被积函数 等价为1，积分上限等价为 x2，更快得出a 2.
t 2
2
12.【答案】：y arctan .
1ex
1 sec2 y
【解析】：分离变量得： dx  dy，两边同时积分得：
1ex tan y
ln  1ex  lnC lntan y
C  2
化简为：tan y  ，由于y  0  C 2，因而特解是 y arctan .
1ex 4 1ex
1 f 
13.【答案】： y .
xf
z
【解析】：对 y  xf  z  y,z 左右同时对x求导：
z z
0 f  z xf  z    y,z 0  y,z 
x y z x
z f z 1 z z 1 f 
整理可得：  ，类似的方法可以得到  y    y .
x xf y xf x y xf
z z z
【注】：此题中的，即是我们上课讲的,
.
y z 1 2
14.【答案】：Q ep3 .
dQ p dQ 1
【解析】：由题：需求量Q对价格的弹性为 3p3，即 3p2，变量可
dp Q dp Q
分离Q Cep3，由于最大需求（就是价格为0的时候）是1，因而C 1Q ep3 .
（当然最大需求也可以求导，但仍是 p 0的时候）
15.【答案】： 0,2,2 T .
【解析】：有题设条件A ,A  ，又 ，
1 1 2 2 2 1
A A  A     0,2,2 T .
2 1 2 1
【注】：如果看不出 ，可以设方程组k k 解出系数k ,k .
2 1 1 1 2 2 1 2
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7
16.【答案】： .
8
【解析】：P  max  X,Y 0  1P  max  X,Y 0  1P  X 0,Y 0 ，
1 1 7
由于X,Y 相互独立，1P  X 0,Y 0 1P  X 0  P  Y 0 1   .
2 4 8
1
17.【答案】： .
2
【解析】：令xt ，
1 1  1
1  e t
  1  1 1  1 t t2
原式= lim t2 t1te t lim t 1  e t  lim
t  t   t t2   t 1
t
1 1uu2 eu 1uu2 11eu
再令 u，极限=lim lim
t u0 u u0 u
1 
 uu2
1uu2 1 1eu u 1 1
 lim  lim 等价替换lim 2  lim  1 .
u0 u u0 u u0 u u0 u 2 2
18.【答案】： f(x,y,z)在的最大值为9，最小值为1.
【解析】： f(x,y,z)在有界闭区域上连续，一定存在最大、最小值.
f
由 2知 f(x,y,z)在内无驻点，因此 f(x,y,z)在的最大值、最小值都
x
只能在的边界上达到.
求 f(x,y,z)在的边界x2  y2 z2  2上的最大、最小值，即求 f(x,y,z)在
条件x2  y2 z2 20下的最大、最小值.
令F(x,y,z,) 2x2yz25(x2y2z22) ，解方程组
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F
22x0.....................(1)

x


F
22y0.....................(2)
y


F
2z2z0.................(3)
 z

F
  x2  y2 z2 2 0.........(4)

由（1），（2）知x y，由（3）知z 0或1.由x y,z 0代入（4）
知x y 1,z 0.当1时，由（1），（2），（4）也得x y 1,z 0.因此得
驻点P(1,1,0)与P(1,1,0).计算得知 f(P)1, f(P)9.
1 2 1 2
因此， f(x,y,z)在的最大值为9，最小值为1.
2
19. 【答案】： 21 ln( 21).
2
【解析】：如下图所示：
用坐标轴将D分割为D ，D 与D 三部分，由于D ，D 关于直线y  x对称，
1 2 3 1 3
x y
且 f(x,y)  f(y,x)，
x2  y2
x y x y
故 dxdy  dxdy.于是
x2  y2 x2  y2
D D
1 3
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x y x y x y
 dxdy 2 dxdy dxdy
x2  y2 x2  y2 x2  y2
D D D
1 2
2r(cossin)drdr(cossin)drd
D D
1 2
 1
0 1
2 (cossin)d rdr 2(cossin)dcossinrdr

 0 0 0
4
0 1  1
(sincos)|  2 d

 2 0 cossin
4
2  
 21 2csc( )d
4 0 4
2   
 21 [ln|csc( )cot( )|]|2
4 4 4 0
2
 21 [ln( 21)ln( 21)]
4
2
 21 ln( 21).
2
5 3 1 3
20. 【答案】：（1）S(x) ex  ex, x.（2）有极小值S( ln )  15.
2 2 2 5

【解析】：（1）S(x)a xn a a xa x2...,S(0)a 4 ，
n 0 1 2 0
n0

S'(x)na xn1a 2a x...,S'(0)a 1，
n 1 2 1
n1
  
S''(x)n(n1)a xn2 a xn2 a xn S(x) ，
n n2 n
n2 n2 n0
则S''(x)S(x)0，解得S(x)Cex C ex,S'(x)Cex C ex ，
1 2 1 2
C C  4 5 3
又S(0)4,S'(0)1得 1 2 故C  ，C  ，
C C 1 1 2 2 2
1 2
5 3
S(x) ex  ex, x.
2 2
5 3 1 3
（2）由（1）可知S'(x) ex  ex，令S'(x )0，得x  ln ，又
2 2 0 0 2 5
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5 3 1 3
S''(x) ex  ex 0，所以x  ln 是S(x)的极小值点，
2 2 0 2 5
1 3 5 1 ln 3 3  1 ln 3 5 3 3 5
故极小值为S( ln )  e2 5  e 2 5    15 .
2 5 2 2 2 5 2 3
a 1
21.【答案】：（1）： ；（2）非0公共解为C 1,1,1,1 T  C 0  .
b0
【解析】：（1）由于 II 的通解为C C C ,C 2C ,C 2C ,C T ，代入到
1 1 2 2 2 1 2 1 2 2
C C 0
 1 2
方程组 I 中有  b1  C  12b  C 0，看是否有不全为0的C ,C 满足新方程组，
1 2 1 2

2C  3a  C 0

1 2
 1 1  1 1 
    a 1
由于其系数矩阵 b1 12b 初等行变换 0 b ，所以当 时，存在不全
   
   
b0
 2 3a  0 1a
为0的C ,C 使得存在方程组 II 的非零解也为方程组 I 的解，且此时：C C 0，
1 2 1 2
a 1
（2）因而当 时，非0公共解为C ,C 2C ,C 2C ,C T 中满足C C 0
b0 2 1 2 1 2 2 1 2
的解，即C ,C ,C ,C T C 1,1,1,1 T  C  0 C 1,1,1,1 T  C  0  .
2 2 2 2 2 2
 1  1
22.【答案】： a  ,a  .
M X L X
【解析】：由题意可知，随机变量X 的分布律为：
a 1
P  X k  ( )k,k  0,1,2,....
a1 a1
 a 1 a 1  1 1
所以E(X)k ( )k   k( )k1 ，
a1 a1 a1 a1 a1 a
k0 k1
1  1
因为使得X  ，所以参数a的矩估计量a  .
a M X
对于给定的样本X ,X ,...,X ，设x ,x ,...,x 为样本的观测值，
1 2 n 1 2 n
似然函数为：
n
L(a) n [ a ( 1 )x i]( a )n( 1 )  i0 x i ，
a1 a1 a1 a1
i1
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取对数得：
n
lnL(a) n[lnaln(a1)](x )ln(a1) .
i
i0
d 1 1 1 n d
lnL(a) n(  ) (x ) ，令 lnL(a)0，得
da a a1 a1 i da
i0
1 1 1 n  n 1
n(  ) (x )0 ，解得a   .
a a1 a1 i0 i L  n X X
i
i0
10