(261)--高数强化阶段测试卷（数三）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26 年考研数学高数强化阶段测试（数学三）
一、选择题:1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合要求的.请将所选项前的字母填涂在答题卡指定位置上.
1.当x0时，下列无穷小量中阶数最高的是
（A） ( 1  x )
1x
 e （B） 12x2 313x2
（C） 
c
1
o 2s x
l n ( t  1  t 2 ) d t （D）ln(x 1x2)x
2.设函数 f ( x )  ln i m

x 2 n
1


e
e
(n 
n x
1 ) x
，则 f ( x ) 在x0处为
（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）无穷间断点
3.设 f ( x , y ) 
 x
0
y
,
s i n
x 2
| x

2
y

2
y 2 |
, (
, (
x
x
,
,
y
y
)
)


( 0
( 0
,
,
0
0
) ,
) .
则 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处
（A）不连续 （B）连续但偏导数不存在
（C）偏导数存在但不可微 （D）可微
4.下列级数发散的是
（A）
n 1
 1  n 1 c o s
n







  sinn 1 
； （B）    ；
n1 n2 n
（C）
n 2
s i n n
l
1
n n
 




  
1n
a
； （D）若 a 2 收敛，则  n (0).
n n2 
n1 n1
5.设 f ( x )  ( e 3 x  1 ) | x 3  x | ，则 f (x)的不可导点的个数是
（A） 0. （B）1. （C） 2. （D）3.
6.已知 f(x)在x0的某邻域内连续，且满足 l i m
x  0
2 f ( x )  f (
x

2
x )  s i n x
 1 ，则下列选项正
确的是
（A）x0是 f(x)的极值点且 f(0)0.
（B）x0是 f(x)的极值点且 f(0)不存在.（C） x  0 不是 f ( x ) 的极值点且 f ( 0 )  1 .
（D） x  0 不是 f ( x ) 的极值点且 f ( 0 ) 不存在.
7.设反常积分 I  

1

x p
1
l n q x
d x ( p  0 , q  0 ) 收敛，则
（A） p1且q1 （B） p1且q1
（C） p  1 且 q  1 （D） p  1 且 q  1
8.设 f ( x )
e
a rc
[
1 ,
ta
x
1
n
x
]
2
x
1
, x
x
0
0
,
,









其中 [ x ]
x
表示不超过x的最大整数，则F(x) f(t)dt
1
在x0的某邻域内
（A）不连续 （B）连续但不可导 （C）可导 （D）存在原函数
9.设 z  z ( x , y ) 由方程yz  xf(y2 z2)确定，且 f ( u ) 可微，则 x


z
x
 z


z
y
等于
（A） x ． （B） y ． （C） z ． （D） 1 ．
10.累次积分 
2d
0
x 
0
2 x  x 2
( x 2  y 2 ) d y 的值等于
1 1 3
（A） π. （B） π. （C） π. （D）π.
4 2 4
二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题卡指定位置上.
arcsin xsint
11.已知y  dt ，则

t
4
d
d
x
y
y  0
 .
x2
12.函数y  在区间
1x2
[
1
2
,
2
3
] 上的平均值 .
13.曲线 y  x 2  2 x  s in x  x 的斜渐近线方程为 .
1 1
14.已知 y  xe2x  x2e2x,y e2x  x2e2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的
1 2 2 2
两个特解，则该微分方程为： .15. 设 f ( x ) 在 x  0 的 某 邻 域 内 有 定 义 ， 且 li m
x  0
s i n 6 x  f (
3 x
x ) t a n x
 0 ， 则
6 f(x)
lim  .
x0 x2
16.双纽线(x2  y2)2  x2 y2所围成的平面图形的面积为:_________.
三、解答题:17~22小题，共70分.请将解答写在答题卡指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
求极限 l i
x 
m
0 
(1


x
0
x
t [
)
(1
1x 
 t )
2 x
2
1t


1
e

c o s
1
t ]

d t
x 2

18.（本题满分12分）
设方程 x 2  k e x  3  0 恰有两个实根， k 为常数，求 k 的取值.
19.（本题满分12分）
设函数 z x f ( x y , ( x y 2 ) )    ，其中 f 具有二阶连续导数， ( x )  二阶可导，且满足
l ix m
1 (
(
x
x )
1 )
1
2
1

 


2z
，求 .
xy
(1,1)
20.（本题满分12分）
计算二重积分 I 
x 2
 2
y  4
( x  y  2 ) s g n ( x 2  y 2  2 ) d
1, x0

，其中sgn(x)0, x0.
 1,x0

21.（本题满分12分）
1
求定积分 xln(1ex)dx.
-122.（本题满分12分）
设微分方程 y   p ( x ) y   q ( x ) y  0 .
(1) 证明：若 1  p ( x )  q ( x )  0 ，则方程有一特解y ex；若 p(x)xq(x)0，则方程有
一特解 y  x .
(2) 求 ( x  1 ) y   x y   y  0 满足初始条件 y ( 0 )  2 , y ( 0 )  1 的特解.
(3) 求 ( x  1 ) y   x y   y  1 满足初始条件 l i m
x  0
l n [ y ( x
x
)  1 ]
  1 的特解.