(294)--周周清第十一周（5.19-5.25）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 5.19-5.25 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 n k k 1.（数一二三）计算lim arctan ____ n 3 n k1 n2 2.（数一二三）设函数 y(x) 1e4x2 4[x]x1，其中[x]表示不超过x的最大整数， 则曲线 y  y(x)在点(0,y(0))处的法线方程为____. f(x,y)2x3y1 3.（数一二三）设函数 f(x,y)连续，并且 lim 存在.已知平面区 (x,y)(0,0) x2  y2 2f(x,y)dxdy 域D  (x,y)|0 xt,0 y t ，则lim D t  ____. t t0 1sin2t cost 4.（数一三）设总体X ~ N(0,2)，X ,X ,,X (n2)为来自总体X 的简单随机样本， 1 2 n  1 n   与 满足 P  | X |  P X  ，则____.     n i1 i   (A).  n (B). n  (C). n (D).n          5.（数一二三） 1 arcsin = 0 1+ d =_________. 6.（数一二三）设 为连续函数, 则 2 2 0 cos cos d = , 0 cos sin d = _________. 7.（数一二三）矩阵 的特征向量不能是 1 −1 1 A= 2 4 −2 __________. −3 −3 5 T T T T (A) −1,1,0 . B 1,−2,3 . C 1,2,−1 . (D) 3,−3,0 .周周清 5.19-5.25 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 n k k 1.（数一二三）计算lim arctan = ____ n→ 3 n k=1 n2 [知识点]：定积分定义求极限，分部积分法  1 ln2 [解析]：答案: − + 6 3 3 1 由定积分定义，整理原极限，提出“可爱因子” ，则 n 1 n k k 原极限=lim  arctan n→n n n k=1 1 = xarctan xdx 0 2 1 3 =  arctan xd(x2) 3 0 2 3 | 1 3 1 1  = x2 arctan x 1 − x2   dx 3  0 0 1+x 2 x  2  1 1 x  1 1 1  =  −  dx= −   1−  dx 3 4 3 01+x 6 3 0 1+x  1 1 |  1 ln2 = − + ln(1+x) 1= − + 6 3 3 0 6 3 3 [易错点]：看不出要用定积分定义，以及后续的分部积分法掌握不熟练。2.（数一二三）设函数y(x)= 1−e−4x2 −4[x]x+1，其中[x]表示不超过x的最大整数，则 曲线y = y(x)在点(0,y(0))处的法线方程为____. [知识点]：一元函数微分学的几何应用，高斯函数的处理 1 [解析]：答案：y=− x+1 2 当−1 x0时，[x]=−1，y(x)= 1−e−4x2 +4x+1； 当0 x1时，[x]=0，y(x)= 1−e−4x2 +1. 由y(x)的表达式可知，y(0)=1.根据导数定义， y(x)− y(0) 1−e−4x2 +4x+1−1 1−e−4x2 y(0)= lim = lim = lim +4 − x→0− x−0 x→0− x x→0− x 1−e−4x2 1−e−4x2 ~4x2 4x2 =−lim +4======− lim +4=−2+4=2 x→0− x2 x→0− x2 y(x)− y(0) 1−e−4x2 +1−1 1−e−4x2 y(0)= lim = lim = lim + x→0+ x−0 x→0+ x x→0+ x 1−e−4x2 4x2 = lim = lim =2 x→0+ x2 x→0+ x2 于是，y(0)=2 由导数的几何意义可知，曲线 y = y(x)在点(0,y(0))处的切线斜率为2，从而在同一点 1 1 处的法线斜率为− .则曲线y = y(x)在点(0,y(0))处的法线方程为y−1=− (x−0)，即 2 2 1 y=− x+1. 2 [易错点]：函数的处理上没有章法，以及对于使用导数定义求导数掌握不熟练。f(x,y)−2x−3y+1 3.（数一二三）设函数 f(x,y)连续，并且 lim 存在.已知平面区 (x,y)→(0,0) x2 + y2 2f(x,y)dxdy 域D =(x,y)|0 xt,0 yt，则lim D t = ____. t t→0 1+sin2t −cost [知识点]：多元函数微分的性质与二重积分的综合应用 1 [解析]：答案： 2 f(x,y)−2x−3y+1 由 lim 存在，以及函数 f(x,y)连续可知 (x,y)→(0,0) x2 + y2 f(0,0)= lim f(x,y)= lim (2x+3y−1)=−1 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) 由于 f(x,y)连续，故在区域D 上使用二重积分中值定理可知，存在点(,)D ，使 t t 得 2f(x,y)dxdy=2f(,)dxdy=2f(,)t2 D D t t 当t →0时，(,)→(0,0).因此， 2f(,)t2 t2 原极限=lim = lim 2f(,)lim t→0 1+sin2t −cost (,)→(0,0) t→0 1+sin2t −cost 1 t2 洛必达 1 2t = lim ==== lim 2 t→0 1+sin2t −cost 2 t→0 2sintcost +sint 2 1+sin2t t sint~t 1 1 =lim ===lim = t→0  cost  t→0 cost 2 +1 sint +1  1+sin2t  1+sin2t [易错点]：多元函数中连续性的性质不会运用，二重积分中值定理的合理运用等。4.（数一三）设总体X ~ N(0,2)，X ,X , ,X (n2)为来自总体X 的简单随机样本， 1 2 n  1 n   与 满足= P| X | = P X  ，则____.    n i   i=1  (A). = n (B). n = (C). =n (D).n =         [知识点]：数理统计的综合运用 [解析]：答案：(A). = n   1 n 记X = X . n i i=1 2 由于X ~ N(0,2)，故X ~ N(0, ). n X X 将X,X 标准化可得， ~ N(0,1)， ~ N(0,1).于是，  / n  X   对称性 X      P| X | = P  ====2P  =2  1−    ，          n    同理可得P X  =21− .           n  由P| X |  = P  | X |   可得，      =       .又因为(x)为单调递增  n 的函数，故  =  ，即 = n .     [易错点]：对于正态分布的一些常见处理方法掌握不熟练。5.（数一二三）𝐼 =∫ 1 𝑥 arcsin𝑥 d𝑥 =_________. 0 √1+𝑥 [知识点]：利用分部积分法计算定积分，包括多次运用分部积分，以及对积分式子进行化 简和计算。 [答案]：− √2 𝜋+ 16 . 3 9 [解析]：𝐼 =2∫ 1 𝑥arcsin𝑥d √1+𝑥 0 1 1𝑥 √1+𝑥 = (2𝑥 √1+𝑥 arcsin𝑥) |1−2∫ √1+𝑥 arcsin𝑥d𝑥−2∫ d𝑥 0 √1−𝑥2 0 0 对第二项再分部积分，对第三项化简得： 4 1 3 1 𝑥 𝐼 =√2𝜋− ∫ arcsin𝑥d(1+𝑥)2−2∫ d𝑥 3 √1−𝑥 0 0 3 =√2𝜋−( 4 3 (1+𝑥) 3 2arcsin𝑥)|1 0 + 4 3 ∫ 0 1( √ 1 1 + − 𝑥 𝑥 ) 2 2 d𝑥−2∫ 0 1 √ 𝑥 1 d − 𝑥 𝑥 4 4 1 1+𝑥 1 𝑥 =√2𝜋− √2𝜋+ ∫ d𝑥−2∫ d𝑥 3 3 √1−𝑥 √1−𝑥 0 0 √2 2 11−𝑥+1 =− 𝜋+ ∫ d𝑥 3 3 √1−𝑥 0 √2 2 2 3 1 =− 𝜋+ [− (1−𝑥)2−2(1−𝑥)2]|1 3 3 3 0 √2 16 =− 𝜋+ . 3 9 [易错点]：分部积分时𝑢和𝑑𝑣选择不当；多次分部积分过程中计算混乱，如符号错误、漏 项；对积分化简和计算时出现计算失误。𝜋 𝜋 6.（数一二三）设 𝑓(𝑥) 为连续函数,∫2 𝑓(𝑥cos𝑥)cos𝑥d𝑥= 𝐴,则∫2 𝑓(𝑥cos𝑥)𝑥sin𝑥d𝑥= 0 0 _________. (𝐴)0. (𝐵)𝐴. (𝐶)−𝐴. (𝐷)2𝐴. [知识点]：凑微分法, 原函数的性质。 [答案]：𝐵. 𝜋 𝜋 [解析]：比较∫2 𝑓(xcos𝑥)cos𝑥d𝑥与∫2 𝑓(xcos𝑥)xsin𝑥d𝑥，考察： 0 0 𝜋 𝜋 2 2 ∫ 𝑓(𝑥cos 𝑥)cos 𝑥d𝑥−∫ 𝑓(𝑥cos 𝑥)𝑥sin 𝑥d𝑥 0 0 𝜋 𝜋 2 2 =∫ 𝑓(𝑥cos 𝑥)[cos𝑥d𝑥+xdcos𝑥]=∫ 𝑓(𝑥cos 𝑥)d(𝑥cos𝑥) 0 0 𝜋 =𝐹(𝑥cos𝑥)|2 =𝐹(0)−𝐹(0)=0. 0 其中 𝐹(𝑥) 是 𝑓(𝑥) 的一个原函数. 𝜋 𝜋 2 2 因此∫ 𝑓(𝑥cos 𝑥)𝑥sin 𝑥d𝑥 =∫ 𝑓(𝑥cos 𝑥)cos 𝑥d𝑥 =𝐴. 0 0 所以选(𝐵). [易错点]：难以想到通过两积分相减构造出可凑微分的形式；对原函数性质运用不熟 练。1 −1 1 7.（数一二三）矩阵 A=[ 2 4 −2] 的特征向量不能是__________. −3 −3 5 (A)(−1,1,0)T. (B)(1,−2,3)T. (C)(1,2,−1)T. (D)(3,−3,0)T. [知识点]：矩阵特征向量的定义。 [答案]：𝐶. [解析]：因(A)和(D)向量成比例. 如果(A)中 (−1,1,0)T 不是矩阵A的特征向量, 则(D)中 的 (3,−3,0)T 亦肯定不是矩阵A的特征向量. 而选项唯一, 所以(A)(D)是矩阵A的特征向量. 由： 1 −1 1 1 6 1 [ 2 4 −2][−2]=[−12]=6[−2], −3 −3 5 3 18 3 可知(B)是矩阵A的特征向量. 1 −1 1 1 −2 1 而 [ 2 4 −2][ 2 ]=[ 12 ]≠λ[ 2 ], 故(C)不是A的特征向量. −3 −3 5 −1 −14 −1 应选(C). [易错点]：对特征向量定义理解不透彻，计算矩阵与向量乘积时出现计算错误，或在判断 向量是否成比例以及利用比例关系排除选项时出错。