(293)--周周清第十周（5.12-5.18）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 5.12-5.18 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧  1t x  arcsinu2du  1 1.（数一二三）设函数 y  y(x) 由参数方程 (0t 2) 确定，则 3t y 2t  3t dy |  ____. dx x0 2z 2.（数一二三）设函数z  z(x,y)由方程sinxy ylnzxz 1确定，则 |  ____. yx (0,1)  1  3.（数一二三）设函数 f(x)满足 f    x，且 f (x)  x3，求(x)dx.  x1 1 4.（数一三）设随机变量序列X ,X ,,X ,独立同分布，其中X (i 1,2,)~ B(2, ). 1 2 n i 2 1 n 若当n时，  Xk 依概率收敛于a (k 1,2,3)，则a a a  ____. n i k 1 2 3 i1 5.（数一二三）设当 时 连续，且满足 >−2 1 +1 e 2 d + = 2 , 则当 时 0 2 +2 >−2 , =_________. 6.（数一二三）设 则 2 − ' = 0 e d , ( )=_______. 7.（数一二三）设 )为正交矩阵，若矩阵 ,向量 为任 i 1 1 意常数，则方程组 =( 的1,通 2解, 为3, 4 = T = 1 , 1, 2 2 = _______. (A)k1 1+k2 2+ 3+ 4. C k1α1+k2α2+α3. B k1 3+k2 4+ 1+ 2. (D)k1α3+k2α4+α1.周周清 5.12-5.18 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧  x= 1−t arcsinu2du  −1 1.（数一二三）设函数 y = y(x)由参数方程 (0t 2) 确定，则 3+t y =2t  3−t dy | = ____. dx x=0 [知识点]：参数方程形式下导数的计算 44 5 [解析]：答案：− 5 dx 当1−t =−1，即t =2时，x=0.由于 =−arcsin(1−t)2 0，故x(t)关于t单调递 dt 减.于是，t =2是x(t)的唯一零点，当且仅当t =2时，x=0.进一步可得 dx  | =−arcsin1=− dt t=2 2 3+t 对y=2t 求导，需使用对数求导法，对其两边先取对数得 3−t 1 1 ln y=ln2+lnt+ ln(3+t)− ln(3−t) 2 2 对该式关于t求导可得 d(ln y) d(ln y) dy 1 dy 1 1 1 1 1 =  =  = +  +  dt dy dt y dt t 2 3+t 2 3−t 于是 dy 1 1 1 1 1  2(9−t2)+t(3−t)+t(3+t) = y  +  +   = y dt t 2 3+t 2 3−t 2t(9−t2) 3+t −2t2 +6t+18 3+t t2 −3t−9 =2t  =−2  3−t 2t(9−t2) 3−t 9−t2 dy 22 5 代入t =2可得， | = dt t=2 5 dy 22 5   44 5 因此， =  −  =− dx 5  2 5 x=0[易错点]：对于复杂类型的参数方程形式下的求导基本功不扎实。2z 2.（数一二三）设函数z = z(x,y)由方程sinxy+ ylnz−xz =1确定，则 | = ____. yx (0,1) [知识点]：多元微分学的计算 [解析]：答案：e−3e2 将x=0,y=1代入方程sinxy+ ylnz−xz =1可得lnz=1，即z=e. 对方程两端分别关于x和关于y求偏导数，可得 y z z y z z ycosxy+ −z−x =0, xcosxy+lnz+ −x =0 z x x z y y 将x=0,y=1,z =e代入上述两式，可得 1 z 1 z 1+ −e=0, 1+ =0 e x e y z z 解得 =e2 −e， =−e x y (0,1) (0,1) y z z 对xcosxy+lnz+ −x =0两端关于x求偏导数，可得 z y y 1 z y z z y 2z z 2z cosxy−xysinxy+ − + − −x =0 z x z2 x y z yx y yx z z 将x=0,y=1,z =e， =e2 −e， =−e代入上式，可得 x y (0,1) (0,1) 1 2z 3e−1+ =0 e yx 2z 解得： | = e−3e2. yx (0,1) [易错点]：每一步偏导数的计算都比较复杂，注意细心。 1  3.（数一二三）设函数 f(x)满足 f   = x，且 f ((x))= x3，求(x)dx.  x−1 [知识点]：有理函数积分 1 1 3 2x+1 [解析]：答案： ln|x−1|− ln(x2 +x+1)− arctan +C，其中C为任意常数 3 6 3 3 1  1  1 1+(x) 令u = ，则由 f   = x可得 f(u)= +1，从而，f((x))= = x3， x−1  x−1 u (x) 1 解得(x)= .于是， x3−1 1 1 (x)dx= dx= dx x3−1 (x−1)(x2 +x+1) 1 A Bx+C 设 = + ，整理可得 (x−1)(x2 +x+1) x−1 x2 +x+1 1 (A+B)x2 +(A+C−B)x+(A−C) = (x−1)(x2 +x+1) (x−1)(x2 +x+1) A+B=0,  1 1 2 比较系数可得A+C−B=0,解得A= ,B=− ,C =− . 3 3 3  A−C =1,  因此，  1  x+ 1  1 x+2  1  1 2 3 1  (x)dx=   −  dx=  − −  dx 3  x−1 x2 +x+1 3 x−1 x2 +x+1 2 x2 +x+1     1 1 d(x2 +x+1) 1 1 = ln|x−1|−  −  dx 3 6 x2 +x+1 2 1 3 (x+ )2 + 2 4 1 1 1 2 1 2x+1 = ln|x−1|− ln(x2 +x+1)−   d   3 6 2 3 2x+1 2  3  1+    3  1 1 3 2x+1 = ln|x−1|− ln(x2 +x+1)− arctan +C，其中C为任意常数. 3 6 3 3 [易错点]：对于有理函数积分的套路掌握不熟。1 4.（数一三）设随机变量序列X ,X , ,X , 独立同分布，其中X (i=1,2,)~ B(2, ). 1 2 n i 2 1 n 若当n→时， Xk 依概率收敛于a (k =1,2,3)，则a +a +a = ____. n i k 1 2 3 i=1 [知识点]：大数定律 [解析]：答案：5 1 n 由辛钦大数定律可得 Xk 依概率收敛于E(Xk)，即a =E(Xk) n i 1 k 1 i=1 1 1 1 由二项分布的分布律可得P{X =0}= ,P{X =1}= ,P{X =2}= ，故 1 4 1 2 1 4 1 1 1 1 2k a = E(Xk)=0 +1 +2k  = + k 1 4 2 4 2 4 于是 3 1 a +a +a = + (2+4+8)=5 1 2 3 2 4 [易错点]：大数定律概念略显抽象，需要合理应用。5.（数一二三）设当𝑥 >−2时𝑓(𝑥)连续，且满足 𝑥 1 (𝑥+1) e𝑥 2𝑓(𝑥)[∫ 𝑓(𝑡) d𝑡+ ]= , √2 (𝑥+2)2 0 则当 𝑥 >−2 时,𝑓(𝑥)=_________. [知识点]：利用换元法简化含积分与函数乘积的方程，通过对方程两边积分求解函数，涉 及变上限积分求导以及不定积分计算和常数确定。 𝑥 [答案]： (𝑥+1)e2 . 3 2(𝑥+2)2 [解析]：两边直接对𝑥求导会带来复杂的运算. 命𝐹(𝑥)=∫ 𝑥 𝑓(𝑡)d𝑡+ 1 , 以化简原式. 有 0 √2 𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥), 原式简化为 (𝑥+1)e𝑥 2𝐹′(𝑥)𝐹(𝑥)= , (𝑥+2)2 两边积分, 得 (𝑥+1)e𝑥 1 𝐹2(𝑥)=∫ d𝑥 =−∫(𝑥+1)e𝑥d( ) (𝑥+2)2 𝑥+2 (𝑥+1)e𝑥 1 =−[ −∫ d(𝑥+1)e𝑥] 𝑥+2 𝑥+2 (𝑥+1)e𝑥 𝑥+2 =−[ −∫ e𝑥d𝑥] 𝑥+2 𝑥+2 =−[ (𝑥+1)e𝑥 −e𝑥]+𝐶 = e𝑥 +𝐶. 𝑥+2 𝑥+2 𝑥 1 1 1 1 由𝐹(𝑥)=∫ 𝑓(𝑡)d𝑡+ 有𝐹(0)= , 代入上式得 = +𝐶, 所以𝐶 =0. 从而 0 √2 √2 2 2 e𝑥 𝐹(𝑥)=√ , 𝑥+2 1 这里开方前取“+”的原因是𝐹(0)= >0. 于是 √2 𝑥 𝑥 1 (𝑥+1)e2 𝑓(𝑥)=[∫ 𝑓(𝑡)d𝑡+ ]′=𝐹′(𝑥)= . 0 √2 2(𝑥+2) 3 2 [易错点]：直接对原式求导时计算混乱；积分运算过程中出现计算错误，如分部积分的使用 错误；确定常数𝐶 时概念理解不清，以及对𝐹(𝑥)开方时正负号判断失误。6.（数一二三）设 𝐹(𝑥)=∫ 𝑥 e𝑡𝑥−𝑡2 d𝑡, 则𝐹′(𝑥)=_______. 0 [知识点]：对于被积函数含参变量的变上限积分，通过配方和变量替换将其化为标准变上限 积分形式，再利用变上限积分求导法则求导。 [答案]：𝑥e 𝑥 4 2 ∫ 𝑥 2 e−𝑢2 d𝑢+1. 0 [解析]：被积函数含参变量𝑥, 先配方后再作变量替换，化为纯变限积分函数 𝑥 𝑥2 𝑥 2 𝑥2 𝑥 𝑥 2 𝐹(𝑥)=∫ e4 −( 2 −𝑡) d𝑡 = e4 ∫ e−( 2 −𝑡) d𝑡 0 0 𝑥 𝑥 𝑥 𝑢 → = 2 − 𝑡 −e 𝑥 4 2 ∫ − 2 e−𝑢2 d𝑢 = 2e 𝑥 4 2 ∫ 2 e−𝑢2 d𝑢. 𝑥 0 2 𝐹′(𝑥)=2e 𝑥 4 2 ⋅ 1 𝑥∫ 𝑥 2e−𝑢2 d𝑢+2e 𝑥 4 2 ⋅e− 𝑥 4 2 ⋅ 1 2 0 2 =𝑥e 𝑥 4 2 ∫ 𝑥 2e−𝑢2 d𝑢+1. 0 [易错点]：配方和变量替换过程出错，导致积分形式转换错误；在对变换后的变上限积分 求导时，漏乘或错乘相关项，以及对求导公式运用不当。𝛼T 7.（数一二三）设𝐴 =(𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ,𝛼 )为正交矩阵，若矩阵𝐵 =[ 1],向量𝛽 =(1) ,𝑘 ,𝑘 为 1 2 3 4 𝛼T 1 1 2 2 任意常数，则方程组𝐵𝑥 =𝛽的通解为_______. (A)k 𝛂 +k 𝛂 +𝛂 +𝛂 . (C)k α +k α +α . 1 1 2 2 3 4 1 1 2 2 3 (B)k 𝛂 +k 𝛂 +𝛂 +𝛂 . (D)k α +k α +α . 1 3 2 4 1 2 1 3 2 4 1 [知识点]：正交矩阵的性质（列向量正交且为单位向量），矩阵秩与齐次线性方程组基础解系 的关系，非齐次线性方程组通解结构（通解 = 齐次通解 + 非齐次特解）。 [答案]：𝐵. [ 解 析 ] ： 由于𝐴=(𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ) 为正交矩阵, 所以𝛼 ,𝛼 线性无关, 于是 2×4 矩阵 𝐵 = 1 2 3 4 1 2 𝛼T [ 1]的秩 𝑟(𝐵)=2, 故方程组 𝐵𝑥 =0 的基础解系由 2 个向量构成. 𝛼T 2 由题设可得 𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ,𝛼 为正交向量组, 且每个向量为单位向量, 即 1 2 3 4 0, 𝑖 ≠𝑗 𝛼T𝛼 ={ , 𝑖 𝑗 1, 𝑖 =𝑗 𝛼T 𝛼T𝛼 0 𝛼T 𝛼T𝛼 0 于是 𝐵𝛼 =[ 1]𝛼 =[ 1 3]=( ), 𝐵𝛼 =[ 1]𝛼 =[ 1 4]=( ). 3 𝛼T 3 𝛼T𝛼 0 4 𝛼T 4 𝛼T𝛼 0 2 2 3 2 2 4 所以 𝛼 ,𝛼 为方程组𝐵𝑥 =0 的解.又 𝑎 ,𝑎 线性无关,故 𝑎 ,𝑎 为方程组 𝐵𝑥 =0 的基础解系. 3 4 3 4 3 4 𝛼T 𝛼T𝛼 1 𝛼T 𝛼T𝛼 0 由于𝐵𝛼 =[ 1]𝛼 =[ 1 1]=( ),𝐵𝛼 =[ 1]𝛼 =[ 1 2]=( ), 1 𝛼T 1 𝛼T𝛼 0 2 𝛼T 2 𝛼T𝛼 1 2 2 1 2 2 2 1 0 1 所以 𝐵(𝛼 +𝛼 )=𝐵𝛼 +𝐵𝛼 =( )+( )=( ),故 𝛼 +𝛼 为方程组 𝐵𝑥 =𝛽 的特解. 1 2 1 2 0 1 1 1 2 因此 𝑘 𝑎 +𝑘 𝑎 +𝑎 +𝑎 为方程组 𝐵𝑥 =𝛽 的通解.正确选项为(B). 1 3 2 4 1 2 [易错点]：混淆正交矩阵列向量性质导致基础解系判断错误；在确定非齐次特解时计算或 逻辑错误，以及对非齐次线性方程组通解结构概念理解不清。