(292)--周周清第九周（5.05-5.11）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 5.5-5.11 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 y 1.（数一二三）已知动点P在曲线arctan ln x2 y2 上运动，若点P的横坐标关于时 x   3 1 间的变化率为2，则当点P运动到点( e3, e3)时，点P的纵坐标关于时间的变化率为 2 2 ____. x f(t) 2.（数一二三）设函数 f(x)满足 dt 2 x k ，则曲线 y kf (x)与直线xk以 1 t 及坐标轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积S  ____. 2 2 3.（数一二三）设平面区域D由x3  y3 1(x0,y 0)与两坐标轴围成，计算 (3 x  3 y)dxdy D 4.（数一三）将 S,T,A,T,I,S,T,I,C,S 十个字母随机地排成一行，记恰好排成 STATISTICS 的概率为 p ，从这十个字母中随机抽取六个排成一行，记恰好排成STATIC 1 p 的概率为 p ，则 1  ____. 2 p 2 5（数一二三）设函数 在 上可导且 若 的反函数 满足 则 [2,+∞) 2 =1. 2 2 = + , 4 =_________. 1 1 1 1 ( 6（ A) 数 9 一 1 二 − 三 ln ） 2 设 . (B)−9是 1 由 + 方 ln2 程 . (C) 9 ln2+1 . 确 (D 定 ) 的9 隐 ln 函 2− 数 1 且 . 则 = ( , ) 3 +2 −4 − =e , (1,1)=0, 2 ∂ ∂ ∂ |(1,1) =_______. 1 1 1 1 7 A （ 4 数2一 . 二三） B 二 2 次8型 . C 44. (D)84. 的正惯性指数 _______. 2 1, 2, 3 = 2+2 1 3 =周周清 5.5-5.11 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 y 1.（数一二三）已知动点P在曲线arctan =ln x2 + y2 上运动，若点P的横坐标关于时 x 3  1  间的变化率为2，则当点P运动到点( e3, e3)时，点P的纵坐标关于时间的变化率为 2 2 ____. [知识点]：一元函数微分学的应用 [解析]：答案：4+2 3 dy dy dy dx 记 y对时间的变化率为 .由链式法则可得 =  dt dt dx dt dy dy x − y 2x+2y y 1 dx 1 dx 对arctan =ln x2 + y2 两端关于x求导，可得  =  . x y2 x2 2 x2 + y2 1+ x2 dy dy dy x+ y 整理可得x − y = x+ y ，解得 = (x y,x0) dx dx dx x− y 3  1  3  1  dy 3+1 ( 3+1)2 当在点( e3, e3)时，x= e3,y = e3 ，代入可得 = = .结 2 2 2 2 dx 3−1 2 dx 合 =2可得 dt dy ( 3+1)2 = 2=( 3+1)2 =4+2 3 dt 2 [易错点]：对实际问题进行数学建模。x f(t) 2.（数一二三）设函数 f(x)满足 dt =2 x −k ，则曲线y =kf(x)与直线 1 t x = k 以 及坐标轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积S = ____. [知识点]：一元函数微分学的应用 8 [解析]：答案：8 3−  3 x f(t) 在等式 dt =2 x −k 中，令x=1，得k =2.对等式两端关于x求导可得， 1 t f(x) 1 = x x 1 故 f(x)= x，从而曲线y =kf(x)为y =2 x.进一步可得y= . x 由旋转体的侧面积公式可得，曲线y =2 x与直线x=2以及坐标轴所围区域绕 x 轴旋 转一周所得旋转体的侧面积 2 1 2 2 3 | S =2 2 x 1+ dx=4 x+1dx=4 (x+1)2 2 0 x 0 3 0 8 =8 3−  3 [易错点]：针对函数的解析式不会求以及旋转体的侧面积求法掌握不牢。2 2 3.（数一二三）设平面区域D由x3 + y3 =1(x0,y0)与两坐标轴围成，计算 (3 x + 3 y)dxdy D [知识点]：二重积分的计算 12 [解析]：答案： 35 2 2 曲线 x3 + y3 =1(x0,y0) 为星形线位于第一象限的部分，其参数方程为 x=cos3t   ，(0t  ) y =sin3t 2 区域D关于直线y = x对称，故对x,y具有轮换对称性，从而3 xdxdy =3 ydxdy， D D 进一步可得 (3 x+ 3 y)dxdy=23 xdxdy D D 将区域D看作X 型区域，则D=(x,y)|0 y y(x),0 x1 因此， ( ) 1 y(x) 1  3 x+ 3 y dxdy=23 xdxdy =2 3 xdx dy =2 3 xy(x)dx 0 0 0 D D x=cos3t 0  =====2 costsin3t3cos2t(−sint)dt =62cos3tsin4tdt  0 2 =6  2 ( 1−sin2t ) sin4td(sint)= u = =s = in = t 6 1( u4 −u6) du 0 0 1 1 =6( − ) 5 7 12 = 35 [易错点]：常见的特殊图像的方程要掌握，否则无法画出图像，无法积分。4.（数一三）将 S,T,A,T,I,S,T,I,C,S 十个字母随机地排成一行，记恰好排成 STATISTICS 的概率为 p ，从这十个字母中随机抽取六个排成一行，记恰好排成 1 S T A T I C p 的概率为 p ，则 1 = ____. 2 p 2 [知识点]：概率的计算 1 [解析]：答案： 12 将十个字母随机排列，样本空间总数为十个字母的全排列数，为A10 =10!. 10 由于STATISTICS 中，A,C 这两个字母只出现一次，I 出现两次，S,T 各出现三次， 72 故恰好排成STATISTICS 的事件总数为3!3!2!=72.于是， p = 1 10! 从十个字母中随机抽取六个排列,样本空间总数为A6 .由于STATIC中, A,C,I,S 这 10 四个字母只出现一次，T 出现两次，而十个字母中A,C 这两个字母只出现一次， I 出现两 36 次，S,T 各出现三次,故恰好排成STATIC的事件总数为A1A2A1 =36,于是, p = 3 3 2 2 A6 10 10! p 72 4! 2 1 由此可得， 1 =  = = p 10! 36 4! 12 2 [易错点]：对于排列组合，计数原理等基本功的掌握程度不到位。5（数一二三）设函数 𝑓(𝑥) 在 [2,+∞) 上可导且 𝑓(2)=1. 若 𝑓(𝑥) 的反函数 𝑔(𝑥) 满 足∫ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 =𝑥2𝑓(𝑥)+𝑥, 则 𝑓(4)=_________. 2 1 1 1 1 (A) (1−ln2). (B) − (1+ln2). (C) (ln2+1). (D) (ln2−1). 9 9 9 9 [知识点]：反函数性质，等式两边求导法则，一阶线性微分方程的变形求解，以及利用定 积分计算函数值。 [答案]：𝐷. [解析]：当 𝑥 ≥2 时将题设的等式两边对 𝑥 求导数, 得 𝑔[𝑓(𝑥)]𝑓′(𝑥)=𝑥2𝑓′(𝑥)+2𝑥𝑓(𝑥)+1, (1) 由于 𝑔[𝑓(𝑥)]≡𝑥, 从 (1) 式可得 𝑥𝑓′(𝑥)=𝑥2𝑓′(𝑥)+2𝑥𝑓(𝑥)+1 ⇔(𝑥2−𝑥)𝑓′(𝑥)+2𝑥𝑓(𝑥)=−1 1 ⇔(𝑥−1)𝑓′(𝑥)+2𝑓(𝑥)=− 𝑥 1 ⇔(𝑥−1)2𝑓′(𝑥)+2(𝑥−1)𝑓(𝑥)= −1 𝑥 1 ⇔[(𝑥−1)2𝑓(𝑥)]′ = −1. (2) 𝑥 将 (2) 式两边在区间 [2,4] 上求定积分, 并利用 𝑓(2)=1 就有 4 1 (𝑥−1)2𝑓(𝑥)|4 =∫ ( −1)d𝑥 2 𝑥 2 ⇔9𝑓(4)−𝑓(2)=ln𝑥|4−2 2 1 ⇔𝑓(4)= (ln2−1). 9 故应选 (D). [易错点]：对含变上限积分的等式求导时，容易忽略求导法则的正确运用；在变形一阶线性 微分方程以及定积分计算过程中，易出现计算错误。6（数一二三）设 𝑧 =𝑧(𝑥,𝑦) 是由方程 3𝑥𝑦+2𝑥−4𝑦−𝑧 =e𝑧 确定的隐函数,且 𝑧(1,1)=0,则 ∂2𝑧 | =_______. (1,1) ∂𝑥∂𝑦 1 1 1 1 (A)4 . (B)2 . (C)4 . (D)8 . 2 8 4 4 [知识点]：隐函数求全微分确定一阶偏导数，在此基础上利用求导法则计算二阶混合偏导数。 [答案]：𝐵. [解析]： 将方程两边求全微分，可得 3(𝑥𝑑𝑦+𝑦𝑑𝑥)+2𝑑𝑥−4𝑑𝑦−𝑑𝑧 =𝑒𝑧𝑑𝑧 由此即知 1 𝑑𝑧= [(2+3𝑦)𝑑𝑥+(3𝑥−4)𝑑𝑦] 1+𝑒𝑧 ∂𝑧 2+3𝑦 ∂𝑧 3𝑥−4 ∂𝑧 5 ∂𝑧 1 于是 = ， = 以及 | = ， | =− . ∂𝑥 1+𝑒𝑧 ∂𝑦 1+𝑒𝑧 ∂𝑥 (1,1) 2 ∂𝑦 (1,1) 2 ∂2𝑧 继续求二阶混合偏导数 ，有 ∂𝑥∂𝑦 ∂2𝑧 ∂ 2+3𝑦 3 2+3𝑦 ∂𝑧 = ( )= − ⋅𝑒𝑧 ∂𝑥∂𝑦 ∂𝑦 1+𝑒𝑧 1+𝑒𝑧 (1+𝑒𝑧)2 ∂𝑦 ∂𝑧 1 在上式中令𝑥 =1，𝑦=1，并利用𝑧(1,1)=0 与 | =− 即得 (1,1) ∂𝑦 2 ∂2𝑧 3 5 1 3 5 17 1 | = − ×(− )= + = =2 ∂𝑥∂𝑦 (1,1) 2 4 2 2 8 8 8 故应选(B). [易错点]：求全微分时易遗漏项或计算错误；求二阶混合偏导数时，对复合函数求导的链 式法则运用不当，以及代入点的值计算时出错。7（数一二三）二次型 𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )=𝑥2+2𝑥 𝑥 的正惯性指数 𝑝=_______. 1 2 3 2 1 3 [知识点]：根据二次型写出对应的矩阵，通过求矩阵特征值确定正惯性指数；也可利用可逆 线性变换化二次型为标准形来确定正惯性指数。 [答案]：2. 0 0 1 [解析]： 因为二次型矩阵𝐴 =[0 1 0], 1 0 0 有 ∣ 𝜆 0 −1∣ ∣𝜆𝐸−𝐴∣= ∣ ∣ 0 𝜆−1 0 ∣ ∣ =(𝜆−1)2(𝜆+1) , ∣−1 0 𝜆 ∣ 特征值为1,1,−1, 故 𝑝 = 2. 𝑥 1 = 𝑦 1 +𝑦 3 ∣1 0 1 ∣ 或令(𝐼){𝑥 2 = 𝑦 2 , 因∣ ∣ 0 1 0 ∣ ∣ ≠ 0 知(𝐼)是可逆变换, 有 𝑥 3 = 𝑦 1 −𝑦 3 ∣ 1 0 −1 ∣ 𝑓 =𝑦2+2(𝑦 +𝑦 )(𝑦 −𝑦 )=2𝑦2+𝑦2−2𝑦2. 2 1 3 1 3 1 2 3 [易错点]：写出二次型矩阵时元素位置写错；求特征值过程中计算错误；利用可逆线性变 换时，变换矩阵构造或后续化简二次型出错。